大一高等數(shù)學(xué) 第一章第六節(jié) 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限

目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 二 、 兩 個(gè) 重 要 極 限 一 、 函 數(shù) 極 限 與 數(shù) 列 極 限 的 關(guān) 系 及 夾 逼 準(zhǔn) 則極限存在準(zhǔn)則及兩個(gè)重要極限 第 一 章 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 一 、 函 數(shù) 極 限 與 數(shù) 列 極 限 的 關(guān) 系 及 夾 逼 準(zhǔn) 則1. 函 數(shù) 極 限 與 數(shù) 列 極 限 的 關(guān) 系定 理 1. Axfxx )(lim 0 :nx ,0 xxn 有 定 義 ,),(0 nxxn Axf nn )(lim為 確 定 起 見 , 僅 討 論 的 情 形 .0 xx 有 )( nxfx nx 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 定 理 1. Axfxx )(lim0 :nx )(,0 nn xfxx 有 定 義 , ,)(0 nxxn且 設(shè) ,)(lim0 Axfxx 即 ,0 ,0 當(dāng),0 0 時(shí) xx 有 .)( Axf :nx )(,0 nn xfxx 有 定 義 , 且 ,)(0 nxxn對 上 述 , Nn 時(shí) , 有 ,0 0 xxn于 是 當(dāng) Nn 時(shí) .)( Axf n故 Axf nn )(lim可 用 反 證 法 證 明 . (略 ) .)(lim Axf nn 有證 ： 當(dāng) xyA ,N“ ”“ ” 0 xO 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 定 理 1. Axfxx )(lim0 :nx )(,0 nn xfxx 有 定 義,)(0 nxxn且 .)(lim Axf nn 有說 明 : 此 定 理 常 用 于 判 斷 函 數(shù) 極 限 不 存 在 .法 1 找 一 個(gè) 數(shù) 列 :nx ,0 xxn ,)(0 nxxn且不 存 在 .)(lim nn xf使法 2 找 兩 個(gè) 趨 于 0 x 的 不 同 數(shù) 列 nx 及 ,nx 使)(lim nn xf )(lim nn xf )( x )( nx 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 例 1. 證 明 xx 1sinlim0 不 存 在 .證 : 取 兩 個(gè) 趨 于 0 的 數(shù) 列21nxn 及 22 1 nxn有 nn x1sinlim nn x 1sinlim由 定 理 1 知 xx 1sinlim0 不 存 在 . ),2,1( n02sinlim nn 1)2sin(lim 2 nn 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 2. 函 數(shù) 極 限 存 在 的 夾 逼 準(zhǔn) 則定 理 2. ,),( 0 時(shí)當(dāng) xUx Axhxg xxxx )(lim)(lim 00 ,)()( xhxg )(xfAxfxx )(lim0 )0( Xx )( x )( x)( x 且( 利 用 定 理 1及 數(shù) 列 的 夾 逼 準(zhǔn) 則 可 證 ) 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 1sincos x xx 圓 扇 形 AOB的 面 積二 、 兩 個(gè) 重 要 極 限 1sinlim.1 0 x xx證 : 當(dāng)即 xsin21 x21 xtan21亦 即 )0(tansin 2 xxxx),0( 2x 時(shí) ， )0( 2 x,1coslim0 xx 1sinlim0 x xx顯 然 有 AOB 的 面 積 AOD的 面 積xxx cos1sin1 故 有 注 注 O B Ax1 DC 注當(dāng) 20 x 時(shí) xx cos1cos10 2sin2 2 x 222 x 22x0)cos1(lim0 xx 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 例 2. 求 .tanlim0 x xx解 : x xx tanlim0 xx xx cos1sinlim0 x xx sinlim0 xx cos1lim0 1例 3. 求 .arcsinlim0 x xx解 : 令 ,arcsinxt 則 ,sintx 因 此原 式 ttt sinlim0 1lim0 t t tsin 1 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 20 sinlim x 2x2x21 nnn R 2 cossinlim Rn例 4. 求 .cos1lim 20 x xx 解 : 原 式 = 2 220 sin2lim x xx 2121 21例 5. 已 知 圓 內(nèi) 接 正 n 邊 形 面 積 為證 明 : .lim 2RAnn 證 : nn Alim n nnn RnA 2 cossin 2 R說 明 : 計(jì) 算 中 注 意 利 用 1)( )(sinlim 0)( xxx 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 2. e)1(lim 1 xxx證 : 當(dāng) 0 x 時(shí) , 設(shè) ,1 nxn 則xx)1( 1 11)1( nn nn )1( 11 nnn )1(lim 11 lim n 111 )1( nn 111 n e11)1(lim nnn 1)1(lim 11 ）（ nnnn ee)1(lim 1 xxx (P5354) 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 當(dāng) x ,)1( tx 則 ,t 從 而 有xxx )1(lim 1 )1(11 )1(lim ttt )1(1)(lim tt tt 11)1(lim ttt)1()1(lim 11 tttt e故 e)1(lim 1 xxx說 明 : 此 極 限 也 可 寫 為 e)1(lim 10 zzz時(shí) , 令 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 例 6. 求 .)1(lim 1 xxx 解 : 令 ,xt 則 xxx )1(lim 1 ttt )1(lim 1 1lim t tt)1( 1 e1說 明 ： 若 利 用 ,e)1(lim )()(1)( xxx 則 原 式 111 e)1(lim xxx 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 lim x例 7. 求 .)cos(sinlim 11 xxxx 解 : 原 式 = 2)cos(sinlim 211 xxxx 2)sin1(lim 2 xxx )sin1( 2xe x x22sinx2sin1 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 的 不 同 數(shù) 列內(nèi) 容 小 結(jié)1. 函 數(shù) 極 限 與 數(shù) 列 極 限 關(guān) 系 的 應(yīng) 用(1) 利 用 數(shù) 列 極 限 判 別 函 數(shù) 極 限 不 存 在 (2) 數(shù) 列 極 限 存 在 的 夾 逼 準(zhǔn) 則法 1 找 一 個(gè) 數(shù) 列 :nx ,0 xxn )(0 nxxn且使 )(lim nn xf法 2 找 兩 個(gè) 趨 于 0 x nx 及 ,nx 使)(lim nn xf )(lim nn xf 不 存 在 .函 數(shù) 極 限 存 在 的 夾 逼 準(zhǔn) 則 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 2. 兩 個(gè) 重 要 極 限 1sinlim)1( 0 e)11(lim)2( 或 e)1(lim 10 注 : 代 表 相 同 的 表 達(dá) 式 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 思 考 與 練 習(xí)填 空 題 ( 1 4 ) ;_sinlim.1 x xx ;_1sinlim.2 xxx;_1sinlim.3 0 xxx ;_)11(lim.4 nn n0 10 1e 作 業(yè) P56 1 (4)， (5)， (6) ; 2 (2)， (3)， (4) ; 4 (4) , (5) 第 七 節(jié)