（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十章 解析幾何初步 第56課 圓的方程 文-人教版高三全冊數(shù)學(xué)試題

第56課 圓的方程(本課時(shí)對應(yīng)學(xué)生用書第頁)自主學(xué)習(xí)回歸教材1.(必修2P111練習(xí)4改編)方程x2+y2-6x=0表示的圓的圓心坐標(biāo)是，半徑是.【答案】(3，0)3【解析】原方程轉(zhuǎn)化為(x-3)2+y2=9，圓心坐標(biāo)為(3，0)，半徑為3.2.(必修2P111練習(xí)3(1)改編)以兩點(diǎn)A(-3，-1)和B(5，5)為直徑端點(diǎn)的圓的方程是.【答案】(x-1)2+(y-2)2=25【解析】圓心，即(1，2)，直徑2R=10，所以圓的方程是(x-1)2+(y-2)2=25.3.(必修2P102習(xí)題8改編)方程x+1=表示的曲線是.【答案】右半圓【解析】方程x+1=同解于方程(x+1)2=()2，x+10，此方程化簡為(x+1)2+y2=1，x-1.此方程表示以點(diǎn)(-1，0)為圓心、1為半徑的半圓，位于直線x=-1的右側(cè).4.(必修2P100習(xí)題7改編)已知點(diǎn)P(1，1)在圓C：x2+y2-ax+2ay-4=0的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】(-，2)【解析】因?yàn)辄c(diǎn)P在圓內(nèi)，所以1+1-a+2a-4<0，所以a<2.1.以(a，b)為圓心、r(r>0)為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2.2.圓的方程的一般形式是x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)，其中圓心為，半徑為.3.以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑兩端點(diǎn)的圓的方程為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.4.(1)設(shè)點(diǎn)P到圓心的距離為d，圓的半徑為r.若點(diǎn)P在圓上，則d=r；若點(diǎn)P在圓外，則d>r；若點(diǎn)P在圓內(nèi)，則d<r.(2)設(shè)點(diǎn)P(m，n)，圓C：f(x，y)=(x-a)2+(y-b)2-r2=x2+y2+Dx+Ey+F=0(r>0，D2+E2-4F>0)，則：點(diǎn)P在圓C外f(m，n)>0；點(diǎn)P在圓C上f(m，n)=0；點(diǎn)P在圓C內(nèi)f(m，n)<0.【要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)】要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)各個(gè)擊破求圓的方程例1一個(gè)圓經(jīng)過A(3，-2)，B(2，1)兩點(diǎn)，求分別滿足下列條件的圓的方程.(1)圓心在直線x-2y-3=0上；(2)在兩坐標(biāo)軸上的四個(gè)截距之和為2.【思維引導(dǎo)】在解決圓的方程問題時(shí)，不僅可以利用待定系數(shù)法，還可以利用幾何法，即利用圓的有關(guān)性質(zhì)來尋求圓的方程中的幾個(gè)基本量，從而求出圓的方程.根據(jù)具體的條件合理選擇方法.【解答】(1)方法一：設(shè)所求的圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2.由已知，得解得即所求圓的方程為(x-1)2+(y+1)2=5.方法二：由圓的幾何性質(zhì)知，圓心在線段AB的垂直平分線x-3y-4=0上，與方程x-2y-3=0聯(lián)立可得圓心坐標(biāo)為C(1，-1)，半徑為CA=，故所求圓的方程為(x-1)2+(y+1)2=5.(2)方法一：設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)，由圓過點(diǎn)A(3，-2)，B(2，1)，得由x=0，得y2+Ey+F=0，y1+y2=-E.由y=0，得x2+Dx+F=0，x1+x2=-D.由題意知x1+x2+y1+y2=-D-E=2，解得D=-，E=，F(xiàn)=.故所求圓的方程為x2+y2-x+y+=0.方法二：設(shè)圓心為(a，b)，圓與x軸分別交于(x1，0)，(x2，0)，與y軸分別交于(0，y1)，(0，y2)，則根據(jù)題意知x1+x2+y1+y2=2，所以+=1，a=，b=，所以a+b=1.又因?yàn)辄c(diǎn)(a，b)在線段AB的中垂線上，所以a-3b-4=0，聯(lián)立解得所以圓心為，半徑r=，所以所求圓的方程為+=，即x2+y2-x+y+=0.【精要點(diǎn)評(píng)】求圓的方程時(shí)，要根據(jù)已知條件選擇合適的形式，一般地，與圓心和半徑有關(guān)，選擇標(biāo)準(zhǔn)式，否則，選擇一般式.不論是哪種形式，都是確定三個(gè)獨(dú)立參數(shù)，所以應(yīng)該有三個(gè)獨(dú)立等式.另外，充分利用圓的幾何性質(zhì)，也可以求得圓的方程中的三個(gè)參數(shù).常用的性質(zhì)有：圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上；圓心在任意弦的中垂線上；兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓心三點(diǎn)共線.變式1求過兩點(diǎn)A(1，4)，B(3，2)且圓心在直線y=0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷點(diǎn)P(2，4)與圓的位置關(guān)系.【解答】方法一：(待定系數(shù)法)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2.因?yàn)閳A心在y=0上，故b=0.所以圓的方程為(x-a)2+y2=r2.因?yàn)樵搱A過A(1，4)，B(3，2)兩點(diǎn)，所以解得a=-1，r2=20.所以所求圓的方程為(x+1)2+y2=20.又點(diǎn)P(2，4)到圓心C(-1，0)的距離d=PC=>r.所以點(diǎn)P在圓外.方法二：(直接求出圓心坐標(biāo)和半徑)因?yàn)閳A過A(1，4)，B(3，2)兩點(diǎn)，所以圓心C必在線段AB的垂直平分線l上.因?yàn)閗AB=-1，故l的斜率為1，又AB的中點(diǎn)為(2，3)，故AB的垂直平分線l的方程為y-3=x-2，即x-y+1=0.又知圓心在直線y=0上，故圓心坐標(biāo)為C(-1，0).所以半徑r=AC=，故所求圓的方程為(x+1)2+y2=20.又點(diǎn)P(2，4)到圓心C(-1，0)的距離 d=PC=>r，所以點(diǎn)P在圓外.變式2如圖(1)，圓O1與圓O2的半徑都是1，O1O2=4，過動(dòng)點(diǎn)P分別作圓O1，圓O2的切線PM，PN(M，N分別為切點(diǎn))，使得PM=PN，若以O(shè)1O2的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，O1O2所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)，求點(diǎn)P所在的圓的方程.(變式2(1)【解答】建立如圖(2)所示的平面直角坐標(biāo)系，則O1(-2，0)，O2(2，0).(變式2(2)由已知PM=PN，得PM2=2PN2.因?yàn)閮蓤A的半徑均為1，所以P-1=2(P-1).設(shè)P(x，y)，則(x+2)2+y2-1=2(x-2)2+y2-1，即(x-6)2+y2=33，所以點(diǎn)P所在圓的方程為(x-6)2+y2=33(或x2+y2-12x+3=0).與圓有關(guān)的最值問題例2若實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2+2x-4y+1=0，求下列各式的最大值和最小值.(1)；(2)3x-4y；(3)x2+y2.【思維引導(dǎo)】(1)和(2)中，設(shè)所求式等于某參數(shù)，再將其轉(zhuǎn)化為直線方程，利用直線與圓的位置關(guān)系求解，(3)是原點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離的平方問題，可用兩點(diǎn)間距離公式求解.【解答】(1)方法一：令=k，則kx-y-4k=0.因?yàn)閤，y滿足x2+y2+2x-4y+1=0，所以圓心(-1，2)到直線kx-y-4k=0的距離不大于圓的半徑2，即2，解得-k0，所以的最大值為0，最小值為-.方法二：令=k，則y=k(x-4)代入圓的方程，整理得(1+k2)x2+(2-4k-8k2)x+16k2+16k+1=0，因?yàn)樯鲜龇匠逃袑?shí)數(shù)根，所以=(2-4k-8k2)2-4(1+k2)·(16k2+16k+1)0，化簡整理得21k2+20k0，解得-k0，所以的最大值為0，最小值為-.(2)方法一：設(shè)3x-4y=k，則3x-4y-k=0，圓心(-1，2)到該直線的距離不大于圓的半徑，即2，解得-21k-1，所以3x-4y的最大值為-1，最小值為-21.方法二：設(shè)k=3x-4y，即y=x-，代入圓的方程，整理得25x2-(16+6k)x+k2+16k+16=0，因?yàn)樯鲜龇匠逃袑?shí)根，所以=(-16-6k)2-4·25(k2+16k+16)0，化簡整理得k2+22k+210，解得-21k-1，所以3x-4y的最大值為-1，最小值為-21.(3)方法一：先求出原點(diǎn)與圓心之間的距離d=，根據(jù)幾何意義，知x2+y2的最大值為(+2)2=9+4，最小值為(-2)2=9-4.方法二：由(1)的方法知，圓的方程中的x，y變?yōu)?，2)，所以x2+y2=(-1+2cos )2+(2+2sin )2=9+8sin -4cos =9+4sin(+)，其中tan =-，所以9-4x2+y29+4，即x2+y2的最大值為9+4，最小值為9-4.【精要點(diǎn)評(píng)】本題的每一小題都給出了不同的解法，希望讀者仔細(xì)研讀，比較優(yōu)劣，選擇自己容易把握的方法.涉及圓的最值的問題主要有三種類型：(1)斜率型：=k，其本質(zhì)是動(dòng)直線的斜率變化問題，可用例題中第(1)題的兩種方法求解.(2)截距型：ax+by=t，其本質(zhì)是動(dòng)直線的截距變化問題，可用例題中第(2)題的兩種方法求解.(3)距離型：(x-a)2+(y-b)2=s，其本質(zhì)是定點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離問題，可用例題中第(3)題的兩種方法求解.變式設(shè)點(diǎn)P(x ，y)為圓x2+y2=1上任一點(diǎn)，求下列兩個(gè)式子的取值范圍.(1)；(2)x2+y2-2x+6y+1.【思維引導(dǎo)】(1)將u=變形為y-2=u(x+1)，則該直線與圓x2+y2=1恒有公共點(diǎn)；(2)將圓的方程通過三角代換變成三角式代入求出表達(dá)式，利用參數(shù)求出范圍.【解答】(1)方法一：由u=得，y-2=u(x+1)，此直線與圓x2+y2=1有公共點(diǎn)，故圓心(0，0)到直線的距離d1，即1，解得u-，所以的取值范圍是.方法二：由消去y后得(u2+1)x2+(2u2+4u)x+(u2+4u+3)=0，此方程有實(shí)數(shù)根，故=(2u2+4u)2-4(u2+1)(u2+4u+3)0，解得u-，所以的取值范圍是.(2)將圓的方程x2+y2=1通過三角代換，變?yōu)?，2)，所以x2+y2-2x+6y-1=1-2cos +6sin +1=2+6sin -2cos =2+2sin(+)，所以x2+y2-2x+6y-1的取值范圍是2-2，2+2.與圓有關(guān)的實(shí)際問題例3有一種大型商品在A，B兩地都有出售，且價(jià)格相同.某地居民從兩地之一購得商品后運(yùn)回的費(fèi)用：每單位距離A地的運(yùn)費(fèi)是B地的運(yùn)費(fèi)的3倍.已知A，B兩地的距離為10 km，顧客選擇A地或B地購買這種商品的標(biāo)準(zhǔn)：包括運(yùn)費(fèi)和價(jià)格的總費(fèi)用較低.求A，B兩地的售貨區(qū)域的分界線的曲線形狀，并指出曲線上、曲線內(nèi)、曲線外的居民應(yīng)如何選擇購物地點(diǎn).【思維引導(dǎo)】建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)出符合某種條件的點(diǎn)，從而表示出這一點(diǎn)與A和B兩點(diǎn)的距離與費(fèi)用，如果到A地購買比到B地購買總費(fèi)用低，則有價(jià)格+A地運(yùn)費(fèi)價(jià)格+B地的運(yùn)費(fèi).(例3)【解答】以A，B所確定的直線為x軸，AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.因?yàn)锳B=10，所以A(-5 ，0)，B(5 ，0).設(shè)某地P的坐標(biāo)為(x ，y)，且P地居民選擇A地購買商品便宜，并設(shè)A地的運(yùn)費(fèi)為3a元/km，B地的運(yùn)費(fèi)為a元/km.因?yàn)镻地居民購物總費(fèi)用滿足條件：價(jià)格+A地運(yùn)費(fèi)價(jià)格+B地的運(yùn)費(fèi)，即3aa.因?yàn)閍>0，所以3，化簡整理得+y2，所以以點(diǎn)為圓心、為半徑的圓是兩地購貨的分界線.圓內(nèi)的居民從A地購物便宜；圓外的居民從B地購物便宜；圓上的居民從A，B兩地購物的總費(fèi)用相等，因此可隨意從A，B兩地之一購物.【精要點(diǎn)評(píng)】本題的關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，引入坐標(biāo)研究曲線的形狀，這也是解析幾何的最基本的思想.每單位距離A地的運(yùn)費(fèi)是B地的運(yùn)費(fèi)的3倍轉(zhuǎn)化為幾何條件即為PA=3PB，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓.變式如圖(1)是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖，該圓拱跨度AB=20 m，拱高OP=4 m，每隔4 m需用一支柱支撐，求支柱A2P2的高度.(精確到0.01 m，28.72)(變式(1)【解答】建立如圖(2)所示的坐標(biāo)系，設(shè)該圓拱所在圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，由于圓心在y軸上，所以D=0，方程即為x2+y2+Ey+F=0.(變式(2)因?yàn)镻，B都在圓上，由題意知其坐標(biāo)分別為(0，4)，(10，0)，所以解得F=-100，E=21.所以這個(gè)圓的方程是x2+y2+21y-100=0.把點(diǎn)P2的橫坐標(biāo)x=-2代入這個(gè)圓的方程，得(-2)2+y2+21y-100=0，即y2+21y-96=0.因?yàn)镻2的縱坐標(biāo)y>0，故應(yīng)取正值，所以y=3.86(m).所以支柱A2P2的高度約為3.86 m.1.(2015·北京卷改編)圓心為(1，1)且過原點(diǎn)的圓的方程是.【答案】(x-1)2+(y-1)2=2【解析】由題意可得圓的半徑為r=，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-1)2=2.2.若點(diǎn)P(1，)在圓x2+y2-2ax-2ay=0的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【解析】由點(diǎn)P在圓的內(nèi)部，得1+3-2a-6a<0，解得a>.3.若直線l：ax+by+4=0(a>0，b>0)始終平分圓C：x2+y2+8x+2y+1=0，則ab的最大值為.【答案】1【解析】圓C的圓心坐標(biāo)為(-4，-1)，則有-4a-b+4=0，即4a+b=4.所以ab=(4ab)=×=1，當(dāng)且僅當(dāng)a=，b=2時(shí)取等號(hào).4.若實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2+y2-4x+1=0，則的最大值為，最小值為.【答案】-【解析】因?yàn)?，所以表示過點(diǎn)P(-1，0)與圓(x-2)2+y2=3上的點(diǎn)(x，y)的直線的斜率.如圖，由圖象知的最大值和最小值分別是過點(diǎn)P與圓相切的直線PA，PB的斜率，kPA=，kPB=-=-=-，故的最大值為，最小值為-.(第4題)趁熱打鐵，事半功倍.請老師布置同學(xué)們完成配套檢測與評(píng)估中的練習(xí)第111112頁.【檢測與評(píng)估】第56課圓的方程一、 填空題1.與圓(x+2)2+y2=5關(guān)于原點(diǎn)(0，0)對稱的圓的方程為.2.若直線y=x+b平分圓x2+y2-8x+2y+8=0 的周長，則實(shí)數(shù)b的值為.3.若點(diǎn)(1，1)在圓(x-a)2+(y+a)2=4的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.4.圓心在y軸上，半徑為1，且過點(diǎn)(1，2)的圓的方程為.5.(2015·全國卷改編)已知ABC頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1，0)，B(0，)，C(2，)，則ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為.6.已知實(shí)數(shù)x，y滿足(x-2)2+(y+1)2=1，則2x-y的最大值與最小值的和為.7.若方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.8.已知點(diǎn)P(a，b)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為P'(b+1，a-1)，那么圓C：x2+y2-6x-2y=0關(guān)于直線l對稱的圓C'的方程為.二、 解答題 9.已知ABC頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)，求ABC外接圓的方程.10.若方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圓，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并求出半徑最小的圓的方程.11.如圖，為保護(hù)河上古橋OA，規(guī)劃建一座新橋BC，同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū).規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB垂直；保護(hù)區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓，且古橋兩端O和A到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m.經(jīng)測量，點(diǎn)A位于點(diǎn)O正北方向60 m處，點(diǎn)C位于點(diǎn)O正東方向170 m處(OC為河岸)，tanBCO=.(1)求新橋BC的長.(2)當(dāng)OM多長時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大?(第11題)三、 選做題(不要求解題過程，直接給出最終結(jié)果)12.已知圓C關(guān)于y軸對稱，經(jīng)過點(diǎn)(1，0)且被x軸分成兩段弧長之比為12的圓弧，那么圓C的方程為.13.已知點(diǎn)P(x，y)是圓x2+(y-1)2=1上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足不等式x+y+m0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【檢測與評(píng)估答案】第56課圓的方程1.(x-2)2+y2=5【解析】圓心(-2，0)關(guān)于原點(diǎn)(0，0)的對稱點(diǎn)為(2，0)，所以所求圓的方程為(x-2)2+y2=5.2. -5【解析】圓心坐標(biāo)為(4，-1)，由直線y=x+b平分圓，知-1=4+b，所以b=-5.3.(-1，1)【解析】因?yàn)辄c(diǎn)(1，1)在圓的內(nèi)部，所以(1-a)2+(1+a)2<4，解得-1<a<1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-1，1).4.x2+(y-2)2=1【解析】設(shè)圓的方程為x2+(y-b)2=1，此圓過點(diǎn)(1，2)，所以12+(2-b)2=1，解得b=2，故所求圓的方程為x2+(y-2)2=1.5.【解析】ABC外接圓圓心在直線BC的垂直平分線上，即在直線x=1上，設(shè)圓心D(1，b)，由DA=DB，得|b|=b=，所以圓心到原點(diǎn)的距離d=.6.10【解析】令b=2x-y，則b為直線2x-y=b在y軸上的截距的相反數(shù)，當(dāng)直線2x-y=b與圓相切時(shí)，b取得最值.由=1，解得b=5±，所以2x-y的最大值為5+，最小值為5-，其和為10.7.【解析】方程表示圓的充要條件是D2+E2-4F>0，即有4(m+3)2+4(1-4m2)2-4(16m4+9)>0，解得-<m<1.8.(x-2)2+(y-2)2=10【解析】圓C：(x-3)2+(y-1)2=10，令a=3，b=1，可得C'(2，2).圓C'的半徑與圓C的半徑相等，為，所以圓C'的方程為(x-2)2+(y-2)2=10.9. 方法一：設(shè)ABC外接圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0.由題意得解得所以ABC外接圓的方程為x2+y2-8x+6y=0.方法二：根據(jù)圓的性質(zhì)，可知ABC外接圓的圓心一定在三邊垂直平分線的交點(diǎn)處，易得AB的垂直平分線的方程為y-=-，BC的垂直平分線的方程為y-=-3.聯(lián)立得解得故所求圓的圓心為P(4，-3)，半徑r=OP=5，所以所求圓的方程為(x-4)2+(y+3)2=25.10. 因?yàn)榉匠蘟x2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圓，所以a0.所以方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0可以寫成x2+y2-x+y=0.因?yàn)镈2+E2-4F=>0恒成立，所以a0時(shí)，方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圓.設(shè)圓的半徑為r，則r2=2，所以當(dāng)=即，a=2時(shí)，圓的半徑最小，半徑最小的圓的方程為(x-1)2+(y+1)2=2.11. (1) 如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC所在直線為 x 軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy.由條件知A(0，60)，C(170，0)，直線 BC 的斜率kBC=-tanBCO=-.又因?yàn)?ABBC，所以直線AB的斜率kAB=.設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a，b)，則kBC=-，kAB=，解得a=80，b=120，所以BC=150.因此新橋BC的長是150 m.(第11題)(2) 設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓M的半徑為r m，OM=d m(0d60).由條件知，直線BC的方程為y=-(x-170)，即4x+3y-680=0.由于圓M與直線BC相切，故點(diǎn)M(0，d)到直線BC的距離為r，即r=.因?yàn)镺和A到圓M上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m，所以即解得10d35.故當(dāng)d=10時(shí)，r=最大，即圓面積最大，所以當(dāng)OM=10 m時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大.12.x2+=【解析】由題可知圓心在y軸上，且被x軸所分劣弧所對圓心角為.設(shè)圓心(0，b)，半徑為r，則rsin=1，rcos=|b|，解得r=，|b|=，即b=±.故圓的方程為x2+=.13.-1，+)【解析】令x=cos ，y=1+sin ，則m-x-y=-1-(sin +cos )=-1-sin對任意的R恒成立，所以m-1.