(江蘇專用)高考數(shù)學(xué) 考前三個(gè)月 必考題型過(guò)關(guān)練 第37練 圓錐曲線中的探索性問(wèn)題 理
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(江蘇專用)高考數(shù)學(xué) 考前三個(gè)月 必考題型過(guò)關(guān)練 第37練 圓錐曲線中的探索性問(wèn)題 理
第37練圓錐曲線中的探索性問(wèn)題題型一定值、定點(diǎn)問(wèn)題例1已知橢圓C:1經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,),離心率為,直線l經(jīng)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F交橢圓于A、B兩點(diǎn)(1)求橢圓C的方程;(2)若直線l交y軸于點(diǎn)M,且,當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí),探求的值是否為定值?若是,求出的值;否則,請(qǐng)說(shuō)明理由破題切入點(diǎn)(1)待定系數(shù)法(2)通過(guò)直線的斜率為參數(shù)建立直線方程,代入橢圓方程消y后可得點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)的關(guān)系式,然后根據(jù)向量關(guān)系式,.把,用點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)表示出來(lái),只要證明的值與直線的斜率k無(wú)關(guān)即證明了其為定值,否則就不是定值解(1)依題意得b,e,a2b2c2,a2,c1,橢圓C的方程為1.(2)因直線l與y軸相交于點(diǎn)M,故斜率存在,又F坐標(biāo)為(1,0),設(shè)直線l方程為yk(x1),求得l與y軸交于M(0,k),設(shè)l交橢圓A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得(34k2)x28k2x4k2120,x1x2,x1x2,又由,(x1,y1k)(1x1,y1),同理,.所以當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí),直線的值為定值.題型二定直線問(wèn)題例2在平面直角坐標(biāo)系xOy中,過(guò)定點(diǎn)C(0,p)作直線與拋物線x22py(p>0)相交于A,B兩點(diǎn)(1)若點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn),求ANB面積的最小值;(2)是否存在垂直于y軸的直線l,使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值?若存在,求出l的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由破題切入點(diǎn)假設(shè)符合條件的直線存在,求出弦長(zhǎng),利用變量的系數(shù)恒為零求解解方法一(1)依題意,點(diǎn)N的坐標(biāo)為N(0,p),可設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為ykxp,與x22py聯(lián)立得消去y得x22pkx2p20.由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x22pk,x1x22p2.于是SABNSBCNSACN·2p|x1x2|p|x1x2|pp2p2,當(dāng)k0時(shí),(SABN)min2p2.(2)假設(shè)滿足條件的直線l存在,其方程為ya,AC的中點(diǎn)為O,l與以AC為直徑的圓相交于點(diǎn)P,Q,PQ的中點(diǎn)為H,則OHPQ,Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(,)OPAC,OH|2ay1p|,PH2OP2OH2(yp2)(2ay1p)2(a)y1a(pa),PQ2(2PH)24(a)y1a(pa)令a0,得a,此時(shí)PQp為定值,故滿足條件的直線l存在,其方程為y,即拋物線的通徑所在的直線方法二(1)前同方法一,再由弦長(zhǎng)公式得AB|x1x2|··2p·,又由點(diǎn)到直線的距離公式得d.從而SABN·d·AB·2p·· 2p2.當(dāng)k0時(shí),(SABN)min2p2.(2)假設(shè)滿足條件的直線l存在,其方程為ya,則以AC為直徑的圓的方程為(x0)(xx1)(yp)(yy1)0,將直線方程ya代入得x2x1x(ap)(ay1)0,則x4(ap)(ay1)4(a)y1a(pa)設(shè)直線l與以AC為直徑的圓的交點(diǎn)為P(x3,y3),Q(x4,y4),則有PQ|x3x4| 2.令a0,得a,此時(shí)PQp為定值,故滿足條件的直線l存在,其方程為y,即拋物線的通徑所在的直線題型三定圓問(wèn)題例3已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),長(zhǎng)軸在x軸上,離心率為,兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1和F2,橢圓G上一點(diǎn)到F1和F2的距離之和為12,圓Ck:x2y22kx4y210(kR)的圓心為點(diǎn)Ak.(1)求橢圓G的方程;(2)求AkF1F2的面積;(3)問(wèn)是否存在圓Ck包圍橢圓G?請(qǐng)說(shuō)明理由破題切入點(diǎn)(1)根據(jù)定義,待定系數(shù)法求方程(2)直接求(3)關(guān)鍵看長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)解(1)設(shè)橢圓G的方程為1(a>b>0),半焦距為c,則解得所以b2a2c236279.所以所求橢圓G的方程為1.(2)點(diǎn)Ak的坐標(biāo)為(k,2),SAkF1F2×|F1F2|×2×6×26.(3)若k0,由620212k0211512k>0,可知點(diǎn)(6,0)在圓Ck外;若k<0,由(6)20212k0211512k>0,可知點(diǎn)(6,0)在圓Ck外所以不論k為何值,圓Ck都不能包圍橢圓G.即不存在圓Ck包圍橢圓G.總結(jié)提高(1)定值問(wèn)題就是在運(yùn)動(dòng)變化中尋找不變量的問(wèn)題,基本思想是使用參數(shù)表示要解決的問(wèn)題,證明要解決的問(wèn)題與參數(shù)無(wú)關(guān)在這類試題中選擇消元的方向是非常關(guān)鍵的(2)由直線方程確定定點(diǎn),若得到了直線方程的點(diǎn)斜式:yy0k(xx0),則直線必過(guò)定點(diǎn)(x0,y0);若得到了直線方程的斜截式:ykxm,則直線必過(guò)定點(diǎn)(0,m)(3)定直線問(wèn)題一般都為特殊直線xx0或yy0型1在平面直角坐標(biāo)系xOy中,經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,)且斜率為k的直線l與橢圓y21有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q.(1)求k的取值范圍;(2)設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A,B,是否存在常數(shù)k,使得向量與共線?如果存在,求k值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)由已知條件,得直線l的方程為ykx,代入橢圓方程得(kx)21.整理得(k2)x22kx10.直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于8k24(k2)4k22>0,解得k<或k>.即k的取值范圍為(,)(,)(2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則(x1x2,y1y2),由方程,得x1x2.又y1y2k(x1x2)2.而A(,0),B(0,1),(,1)所以與共線等價(jià)于x1x2(y1y2),將代入上式,解得k.由(1)知k<或k>,故不存在符合題意的常數(shù)k.2已知雙曲線方程為x21,問(wèn):是否存在過(guò)點(diǎn)M(1,1)的直線l,使得直線與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn),且M是線段PQ的中點(diǎn)?如果存在,求出直線的方程,如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由解顯然x1不滿足條件,設(shè)l:y1k(x1)聯(lián)立y1k(x1)和x21,消去y得(2k2)x2(2k22k)xk22k30,由>0,得k<,x1x2,由M(1,1)為PQ的中點(diǎn),得1,解得k2,這與k<矛盾,所以不存在滿足條件的直線l.3設(shè)橢圓E:1(a,b>0)過(guò)M(2,),N(,1)兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求橢圓E的方程;(2)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且?若存在,寫(xiě)出該圓的方程,并求AB的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)因?yàn)闄E圓E:1(a,b>0)過(guò)M(2,),N(,1)兩點(diǎn),所以解得所以橢圓E的方程為1.(2)假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且,設(shè)該圓的切線方程為ykxm,A(x1,y1),B(x2,y2),解方程組得x22(kxm)28,即(12k2)x24kmx2m280,則16k2m24(12k2)(2m28)8(8k2m24)>0,即8k2m24>0.故y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2m2.要使,需使x1x2y1y20,即0,所以3m28k280,所以k20.又8k2m24>0,所以所以m2,即m或m,因?yàn)橹本€ykxm為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以圓的半徑為r,r2,r,所求的圓為x2y2,此時(shí)圓的切線ykxm都滿足m或m,而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為x±與橢圓1的兩個(gè)交點(diǎn)為(,±)或(,±)滿足,綜上,存在圓心在原點(diǎn)的圓x2y2,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且.4(2014·重慶)如圖,設(shè)橢圓1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,點(diǎn)D在橢圓上,DF1F1F2,2,DF1F2的面積為.(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)是否存在圓心在y軸上的圓,使圓在x軸的上方與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn),且圓在這兩個(gè)交點(diǎn)處的兩條切線相互垂直并分別過(guò)不同的焦點(diǎn)?若存在,求出圓的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)設(shè)F1(c,0),F(xiàn)2(c,0),其中c2a2b2.由2,得DF1c,從而SDF1F2DF1·F1F2c2,故c1,從而DF1.由DF1F1F2,得DFDFF1F,因此DF2.所以2aDF1DF22,故a,b2a2c21.因此,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)如圖,設(shè)圓心在y軸上的圓C與橢圓y21相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是兩個(gè)交點(diǎn),y1>0,y2>0,F(xiàn)1P1,F(xiàn)2P2是圓C的切線,且F1P1F2P2.由圓和橢圓的對(duì)稱性,易知,x2x1,y1y2.由(1)知F1(1,0),F(xiàn)2(1,0),所以(x11,y1),(x11,y1),再由F1P1F2P2,得(x11)2y0.由橢圓方程得1(x11)2,即3x4x10,解得x1或x10.當(dāng)x10時(shí),P1,P2重合,題設(shè)要求的圓不存在當(dāng)x1時(shí),過(guò)P1,P2分別與F1P1,F(xiàn)2P2垂直的直線的交點(diǎn)即為圓心C.設(shè)C(0,y0),由CP1F1P1,得·1.而求得y1,故y0.圓C的半徑CP1 .綜上,存在滿足題設(shè)條件的圓,其方程為x2(y)2.5(2014·江西)如圖,已知拋物線C:x24y,過(guò)點(diǎn)M(0,2)任作一直線與C相交于A,B兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)B作y軸的平行線與直線AO相交于點(diǎn)D(O為坐標(biāo)原點(diǎn))(1)證明:動(dòng)點(diǎn)D在定直線上;(2)作C的任意一條切線l(不含x軸),與直線y2相交于點(diǎn)N1,與(1)中的定直線相交于點(diǎn)N2,證明:MNMN為定值,并求此定值(1)證明依題意可設(shè)AB方程為ykx2,代入x24y,得x24(kx2),即x24kx80.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有x1x28.直線AO的方程為yx;BD的方程為xx2.解得交點(diǎn)D的坐標(biāo)為注意到x1x28及x4y1,則有y2.因此動(dòng)點(diǎn)D在定直線y2上(x0)(2)解依題設(shè),切線l的斜率存在且不等于0,設(shè)切線l的方程為yaxb(a0),代入x24y得x24(axb),即x24ax4b0.由0得(4a)216b0,化簡(jiǎn)整理得ba2.故切線l的方程可寫(xiě)為yaxa2.分別令y2,y2得N1,N2的坐標(biāo)為N1(a,2),N2(a,2),則MNMN(a)242(a)28,即MNMN為定值8.6(2014·福建)已知曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)F(0,1)的距離比它到直線y3的距離小2.(1)求曲線的方程(2)曲線在點(diǎn)P處的切線l與x軸交于點(diǎn)A,直線y3分別與直線l及y軸交于點(diǎn)M,N.以MN為直徑作圓C,過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線,切點(diǎn)為B.試探究:當(dāng)點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P與原點(diǎn)不重合)時(shí),線段AB的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化?證明你的結(jié)論解方法一(1)設(shè)S(x,y)為曲線上任意一點(diǎn),依題意,點(diǎn)S到F(0,1)的距離與它到直線y1的距離相等,所以曲線是以點(diǎn)F(0,1)為焦點(diǎn)、直線y1為準(zhǔn)線的拋物線,所以曲線的方程為x24y.(2)當(dāng)點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段AB的長(zhǎng)度不變證明如下:由(1)知拋物線的方程為yx2,設(shè)P(x0,y0)(x00),則y0x,由yx,得切線l的斜率ky|xx0x0,所以切線l的方程為yy0x0(xx0),即yx0xx.由得A(x0,0)由得M(x0,3)又N(0,3),所以圓心C(x0,3),半徑rMN|x0|,AB .所以點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段AB的長(zhǎng)度不變方法二(1)設(shè)S(x,y)為曲線上任意一點(diǎn),則|y(3)|2,依題意,點(diǎn)S(x,y)只能在直線y3的上方,所以y>3,所以y1,化簡(jiǎn),得曲線的方程為x24y.(2)同方法一