高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)與策略 第1部分 專題4 立體幾何 突破點(diǎn)10 空間幾何體表面積或體積的求解教師用書 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

專題四立體幾何建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)明內(nèi)在聯(lián)系高考點(diǎn)撥立體幾何專題是高考中當(dāng)仁不讓的熱點(diǎn)之一，常以“一小一大”呈現(xiàn)，小題主要考查三視圖與空間幾何體的體積和空間位置關(guān)系及空間角，一大題?？伎臻g位置關(guān)系的證明與空間角、距離的探求本專題主要從“空間幾何體表面積或體積的求解”“空間中的平行與垂直關(guān)系”“立體幾何中的向量方法”三大角度進(jìn)行典例剖析，引領(lǐng)考生明確考情并提升解題技能突破點(diǎn)10空間幾何體表面積或體積的求解(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第167頁(yè))提煉1求解幾何體的表面積或體積(1)對(duì)于規(guī)則幾何體，可直接利用公式計(jì)算(2)對(duì)于不規(guī)則幾何體，可采用割補(bǔ)法求解；對(duì)于某些三棱錐，有時(shí)可采用等體積轉(zhuǎn)換法求解(3)求解旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積時(shí)，注意圓柱的軸截面是矩形，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形的應(yīng)用.提煉2球與幾何體的外接與內(nèi)切(1)正四面體與球：設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a ，由正四面體本身的對(duì)稱性，可知其內(nèi)切球和外接球的球心相同，則內(nèi)切球的半徑ra，外接球的半徑Ra.(2)正方體與球：設(shè)正方體ABCD­A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，O為其對(duì)稱中心，E，F(xiàn)，H，G分別為AD，BC，B1C1，A1D1的中點(diǎn)，J為HF的中點(diǎn)，如圖10­1所示圖10­1正方體的內(nèi)切球：截面圖為正方形EFHG的內(nèi)切圓，故其內(nèi)切球的半徑為OJ；正方體的棱切球：截面圖為正方形EFHG的外接圓，故其棱切球的半徑為OG；正方體的外接球：截面圖為矩形ACC1A1的外接圓，故其外接球的半徑為OA1.回訪1幾何體的表面積或體積1(2016·山東高考)一個(gè)由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖10­2所示，則該幾何體的體積為()圖10­2A.B.C.D1C由三視圖知，該四棱錐是底面邊長(zhǎng)為1，高為1的正四棱錐，結(jié)合三視圖可得半球半徑為，從而該幾何體的體積為×12×1××3.故選C.2(2015·山東高考)在梯形ABCD中，ABC，ADBC，BC2AD2AB2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()A.B.C.D2C過(guò)點(diǎn)C作CE垂直AD所在直線于點(diǎn)E，梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體是由以線段AB的長(zhǎng)為底面圓半徑，線段BC為母線的圓柱挖去以線段CE的長(zhǎng)為底面圓半徑，ED為高的圓錐，如圖所示，該幾何體的體積為VV圓柱V圓錐·AB2·BC··CE2·DE×12×2×12×1，選C.3(2014·山東高考)一個(gè)六棱錐的體積為2，其底面是邊長(zhǎng)為2的正六邊形，側(cè)棱長(zhǎng)都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為_12設(shè)正六棱錐的高為h，側(cè)面的斜高為h.由題意，得×6××2××h2，h1，斜高h(yuǎn)2，S側(cè)6××2×212.回訪2球與幾何體的外接與內(nèi)切4(2015·全國(guó)卷)已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，AOB90°，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)若三棱錐O­ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為()A36B64C144D256C如圖，設(shè)球的半徑為R，AOB90°，SAOBR2.VO­ABCVC­AOB，而AOB面積為定值，當(dāng)點(diǎn)C到平面AOB的距離最大時(shí)，VO­ABC最大，當(dāng)C為與球的大圓面AOB垂直的直徑的端點(diǎn)時(shí)，體積VO­ABC最大為×R2×R36，R6，球O的表面積為4R24×62144.故選C.5(2013·全國(guó)卷)如圖10­3，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6 cm，如果不計(jì)容器厚度，則球的體積為()圖10­3A. cm3B. cm3C. cm3D. cm3A如圖，作出球的一個(gè)截面，則MC862(cm)，BMAB×84(cm)設(shè)球的半徑為R cm，則R2OM2MB2(R2)242，R5，V球×53(cm3)6(2012·全國(guó)卷)已知三棱錐S­ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC2，則此棱錐的體積為()A.B.C.D.A由于三棱錐S­ABC與三棱錐O­ABC底面都是ABC，O是SC的中點(diǎn)，因此三棱錐S­ABC的高是三棱錐O­ABC高的2倍，所以三棱錐S­ABC的體積也是三棱錐O­ABC體積的2倍在三棱錐O­ABC中，其棱長(zhǎng)都是1，如圖所示，SABC×AB2，高OD，VS­ABC2VO­ABC2×××.(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第167頁(yè))熱點(diǎn)題型1幾何體的表面積或體積題型分析：解決此類題目，準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化是前提，套用公式是關(guān)鍵，求解時(shí)先根據(jù)條件確定幾何體的形狀，再套用公式求解.(1)(2016·全國(guó)乙卷)如圖10­4，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑若該幾何體的體積是，則它的表面積是()圖10­4A17B18C20D28(2)(2016·全國(guó)丙卷)如圖10­5，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為()圖10­5A1836B5418C90D81(1)A(2)B(1)由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)球體去掉上半球的，得到的幾何體如圖設(shè)球的半徑為R，則R3×R3，解得R2.因此它的表面積為×4R2R217.故選A.(2)由三視圖可知該幾何體是底面為正方形的斜四棱柱，其中有兩個(gè)側(cè)面為矩形，另兩個(gè)側(cè)面為平行四邊形，則表面積為(3×33×63×3)×25418.故選B.1求解幾何體的表面積及體積的技巧(1)求幾何體的表面積及體積問(wèn)題，可以多角度、多方位地考慮，熟記公式是關(guān)鍵所在求三棱錐的體積，等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)化原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上(2)求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補(bǔ)形的思想，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于求解2根據(jù)幾何體的三視圖求其表面積與體積的三個(gè)步驟(1)根據(jù)給出的三視圖判斷該幾何體的形狀(2)由三視圖中的大小標(biāo)示確定該幾何體的各個(gè)度量(3)套用相應(yīng)的面積公式與體積公式計(jì)算求解變式訓(xùn)練1(1)(2016·平頂山二模)某幾何體的三視圖如圖10­6所示，則該幾何體的體積為()A.B5C5D.圖10­6(2)(2016·膠東示范校二模)一個(gè)茶葉盒的三視圖如圖10­7所示(單位：分米)，盒蓋與盒底為合金材料制成，其余部分為鐵皮材料制成如果合金材料每平方分米造價(jià)10元，鐵皮材料每平方分米造價(jià)5元，則該茶葉盒的造價(jià)為()圖10­7A100元B120元C130元D200元(3)(名師押題)如圖10­8，從棱長(zhǎng)為6 cm的正方體鐵皮箱ABCD ­A1B1C1D1中分離出來(lái)由三個(gè)正方形面板組成的幾何圖形如果用圖示中這樣一個(gè)裝置來(lái)盛水，那么最多能盛的水的體積為_cm3.圖10­8(1)D(2)C(3)36(1)由三視圖知該幾何體是由一個(gè)長(zhǎng)方體，一個(gè)三棱錐和一個(gè)圓柱組成，故該幾何體的體積為V2×1×2××1×1×2××12×2.(2)該茶葉盒是一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體截去了四個(gè)三棱錐，其直觀圖如圖所示，以下底面正方形的邊為底的四個(gè)等腰三角形的面積之和是4××2×28，以上底面正方形的邊為底的四個(gè)等腰三角形的面積之和是4×××6.又下底面的面積為4，上底面的面積為2，所以該茶葉盒的造價(jià)為5×1410×6130(元)(3)最多能盛多少水，實(shí)際上是求三棱錐C1­CD1B1的體積又V三棱錐C1­CD1B1V三棱錐C­B1C1D1××636(cm3)，所以用圖示中這樣一個(gè)裝置來(lái)盛水，最多能盛36 cm3體積的水熱點(diǎn)題型2球與幾何體的切、接問(wèn)題題型分析：與球有關(guān)的表面積或體積求解，其核心本質(zhì)是半徑的求解，這也是此類問(wèn)題求解的主線，考生要時(shí)刻謹(jǐn)記.先根據(jù)幾何體的三視圖確定其結(jié)構(gòu)特征與數(shù)量特征，然后確定其外接球的球心，進(jìn)而確定球的半徑，最后代入公式求值即可；也可利用球的性質(zhì)球面上任意一點(diǎn)對(duì)直徑所張的角為直角，然后根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造射影定理求解.(1)(2016·南昌二模)一個(gè)幾何體的三視圖如圖10­9所示，其中正視圖是正三角形，則該幾何體的外接球的表面積為()圖10­9A.B.C.D.(2)(2016·全國(guó)丙卷)在封閉的直三棱柱ABC­A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，則V的最大值是()A4B.C6D.(1)D(2)B(1)法一由三視圖可知，該幾何體是如圖所示的三棱錐S ­ ABC，其中HS是三棱錐的高，由三視圖可知HS2，HAHBHC2，故H為ABC外接圓的圓心，該圓的半徑為2.由幾何體的對(duì)稱性可知三棱錐S­ABC外接球的球心O在直線HS上，連接OB.設(shè)球的半徑為R，則球心O到ABC外接圓的距離為OH|SHOS|2R|，由球的截面性質(zhì)可得ROB，解得R，所以所求外接球的表面積為4R24×.故選D.法二由三視圖可知，該幾何體是如圖所示的三棱錐S ­ABC，其中HS是三棱錐的高，由側(cè)視圖可知HS2，由正視圖和側(cè)視圖可得HAHBHC2.由幾何體的對(duì)稱性可知三棱錐外接球的球心O在HS上，延長(zhǎng)SH交球面于點(diǎn)P，則SP就是球的直徑，由點(diǎn)A在球面上可得SAAP.又SH平面ABC，所以SHAH.在RtASH中，SA4.設(shè)球的半徑為R，則SP2R，在RtSPA中，由射影定理可得SA2SH×SP，即422×2R，解得R，所以所求外接球的表面積為4R24×.故選D.(2)由題意得要使球的體積最大，則球與直三棱柱的若干面相切設(shè)球的半徑為R.因?yàn)锳BC的內(nèi)切圓半徑為2，所以R2.又2R3，所以R，所以Vmax3.故選B.解決球與幾何體的切、接問(wèn)題的關(guān)鍵在于確定球的半徑與幾何體的度量之間的關(guān)系，這就需要靈活利用球的截面性質(zhì)以及組合體的截面特征來(lái)確定對(duì)于旋轉(zhuǎn)體與球的組合體，主要利用它們的軸截面性質(zhì)建立相關(guān)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系；而對(duì)于多面體，應(yīng)抓住多面體的結(jié)構(gòu)特征靈活選擇過(guò)球心的截面，把多面體的相關(guān)數(shù)據(jù)和球的半徑在截面圖形中體現(xiàn)出來(lái)變式訓(xùn)練2(1)已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O 的球面上，若AB3，AC1，BAC60°，AA12，則該三棱柱的外接球的體積為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：67722037】A.B.C.D20(2)(名師押題)一幾何體的三視圖如圖10­10(網(wǎng)格中每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1)，若這個(gè)幾何體的頂點(diǎn)都在球O的表面上，則球O的表面積是_圖10­10(1)B(2)20(1)設(shè)A1B1C1的外心為O1，ABC的外心為O2，連接O1O2，O2B，OB，如圖所示由題意可得外接球的球心O為O1O2的中點(diǎn)在ABC中，由余弦定理可得BC2AB2AC22AB×ACcosBAC32122×3×1×cos 60°7，所以BC.由正弦定理可得ABC外接圓的直徑2r2O2B，所以r.而球心O到截面ABC的距離dOO2AA11，設(shè)直三棱柱ABC­A1B1C1的外接球半徑為R，由球的截面性質(zhì)可得R2d2r2122，故R，所以該三棱柱的外接球的體積為VR3.故選B.(2)由三視圖知該幾何體是一個(gè)四棱錐，如圖所示，其底面ABCD是長(zhǎng)、寬分別為4和2的矩形，高為2，且側(cè)面SDC與底面ABCD垂直，且頂點(diǎn)S在底面上的射影為該側(cè)面上的底面邊的中點(diǎn)由該幾何體的結(jié)構(gòu)特征知球心在過(guò)底面中心O且與底面垂直的直線上，同時(shí)在過(guò)側(cè)面SDC的外接圓圓心且與側(cè)面SDC垂直的直線上因?yàn)镾DC為直角三角形，所以球心就為底面ABCD的中心O，所以外接球的半徑為RAC，故外接球的表面積為4R220.專題限時(shí)集訓(xùn)(十)空間幾何體表面積或體積的求解 建議A、B組各用時(shí)：45分鐘 A組高考達(dá)標(biāo)一、選擇題1(2016·石家莊二模)一個(gè)三棱錐的正視圖和俯視圖如圖10­11所示，則該三棱錐的側(cè)視圖可能為()圖10­11D分析三視圖可知，該幾何體為如圖所示的三棱錐，其中平面ACD平面BCD，故選D.2(2016·濰坊二模)已知某幾何體的三視圖如圖10­12所示，則該幾何體的體積為()圖10­12A.B.C.D(2)B由三視圖可知該幾何體由半球內(nèi)挖去一個(gè)同底的圓錐得到，所以該幾何體的體積為V××13×12×1.3(2016·煙臺(tái)模擬)某幾何體的三視圖如圖10­13所示，則該幾何體的體積與其外接球的體積之比為()圖10­13A13B.C13D1D由三視圖可知，幾何體是一個(gè)三棱柱，體積V1×2×2×24，設(shè)外接球的半徑為R，則4R222222212，所以R.所以球的體積V2R34，體積比V1V2441.4(2016·湖北七市模擬)已知某幾何體的三視圖如圖10­14所示，其中俯視圖是正三角形，則該幾何體的體積為()圖10­14A.B2 C3D4B分析題意可知，該幾何體是由如圖所示的三棱柱ABC­A1B1C1截去四棱錐A­BEDC得到的，故其體積V×22×3××2×2，故選B.5(2016·廣州二模)如圖10­15，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某個(gè)四面體的三視圖，則該四面體的表面積為()圖10­15A884B882C22D.A在正方體中還原出該四面體C­A1EC1如圖所示，可求得該四面體的表面積為884.二、填空題6(2016·昆明一模)已知三棱錐P­ABC的頂點(diǎn)P，A，B，C在球O的球面上，ABC是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，如果球O的表面積為36，那么P到平面ABC距離的最大值為_32依題意，邊長(zhǎng)是的等邊ABC的外接圓半徑r·1.球O的表面積為364R2，球O的半徑R3，球心O到平面ABC的距離d2，球面上的點(diǎn)P到平面ABC距離的最大值為Rd32.7(2016·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)三棱錐P­ABC中，D，E分別為PB，PC的中點(diǎn)，記三棱錐D­ABE的體積為V1，P­ABC的體積為V2，則_.如圖，設(shè)SABDS1，SPABS2，E到平面ABD的距離為h1，C到平面PAB的距離為h2，則S22S1，h22h1，V1S1h1，V2S2h2，所以.8(2016·?？诙?半徑為2的球O中有一內(nèi)接正四棱柱(底面是正方形，側(cè)棱垂直底面)當(dāng)該正四棱柱的側(cè)面積最大時(shí)，球的表面積與該正四棱柱的側(cè)面積之差是_16()設(shè)內(nèi)接正四棱柱底邊長(zhǎng)為a，高為h，那么162a2h22ah，正四棱柱的側(cè)面積S4ah16，球的表面積與該正四棱柱的側(cè)面積之差是16()三、解答題9(2016·合肥二模)如圖10­16，P為正方形ABCD外一點(diǎn)，PB平面ABCD，PBAB2，E為PD的中點(diǎn)圖10­16(1)求證：PACE；(2)求四棱錐P­ABCD的表面積解(1)證明：取PA的中點(diǎn)F，連接EF，BF，則EFADBC，即EF，BC共面PB平面ABCD，PBBC，又BCAB且PBABB，BC平面PAB，BCPA.3分PBAB，BFPA，又BCBFB，PA平面EFBC，PACE.6分(2)設(shè)四棱錐P­ABCD的表面積為S，PB平面ABCD，PBCD，又CDBC，PBBCB，CD平面PBC，CDPC，即PCD為直角三角形，8分由(1)知BC平面PAB，而ADBC，AD平面PAB，故ADPA，即PAD也為直角三角形SABCD2×24，SPBCSPABSPDA×2×22，SPCD×2×2，10分S表SABCDSPBCSPDASPABSPCD102.12分10(2016·湖北七市模擬)如圖10­17，一個(gè)側(cè)棱長(zhǎng)為l的直三棱柱ABC­A1B1C1容器中盛有液體(不計(jì)容器厚度)若液面恰好分別過(guò)棱AC，BC，B1C1，A1C1的中點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G.圖10­17(1)求證：平面DEFG平面ABB1A1；(2)當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，求液面的高解(1)證明：因?yàn)镈，E分別為棱AC，BC的中點(diǎn)，所以DE是ABC的中位線，所以DEAB.又DE平面ABB1A1，AB平面ABB1A1，所以DE平面ABB1A1.同理DG平面ABB1A1，又DEDGD，所以平面DEFG平面ABB1A1.6分(2)當(dāng)直三棱柱ABC­A1B1C1容器的側(cè)面AA1B1B水平放置時(shí)，由(1)可知，液體部分是直四棱柱，其高即為原直三棱柱ABC­A1B1C1容器的高，即側(cè)棱長(zhǎng)l，當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，設(shè)液面的高為h，ABC的面積為S，則由已知條件可知，CDEABC，且SCDES，所以S四邊形ABEDS.9分由于兩種狀態(tài)下液體體積相等，所以V液體ShS四邊形ABEDlSl，即hl.因此，當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，液面的高為l.12分B組名校沖刺一、選擇題1(2016·濟(jì)寧模擬)如圖10­18所示，四棱錐P­ABCD中，PD平面ABCD，且PD2，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，M是CD的中點(diǎn)，平面PMB平面PCD，則該四棱錐的體積為()圖10­18A.B4C.D4A過(guò)點(diǎn)D在平面PCD內(nèi)作DNPM于點(diǎn)N，又平面PMB平面PCD，平面PMB平面PCDPM，所以DN平面PMB，所以DNBM.又由PD平面ABCD，得PDBM，又PD與DN是平面PDC內(nèi)的兩條相交直線，所以BM平面PDC，則BMCD.又點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，BCCD，所以BCD60°，所以底面菱形ABCD的面積為2×2×sin 60°2，故該四棱錐的體積為×2×2.2(2016·重慶二模)某幾何體的三視圖如圖10­19所示，則該幾何體的體積為()圖10­19A.B.C.D.B根據(jù)三視圖可知，幾何體是由一個(gè)直三棱柱與一個(gè)三棱錐所組成的，其中該直三棱柱的底面是一個(gè)直角三角形(直角邊長(zhǎng)分別為1,2，高為1)；該三棱錐的底面是一個(gè)直角三角形(腰長(zhǎng)分別為1,2，高為1)，因此該幾何體的體積為×2×1×1××2×1×1，選B.3(2016·唐山二模)某幾何體的三視圖如圖10­20所示，則該幾何體的體積為()圖10­20A64B4C.D2D由三視圖知，該幾何體為一個(gè)底面半徑為1，高為1的圓柱體，與底面半徑為1，高為2的半圓柱體構(gòu)成，所以該三視圖的體積為×12×1×12×22，故選D.4(2016·江西上饒三模)從點(diǎn)P出發(fā)的三條射線PA，PB，PC兩兩成60°角，且分別與球O相切于A，B，C三點(diǎn)，若OP，則球的體積為()A.B.C.D.C設(shè)OP交平面ABC于O，由題得ABC和PAB為正三角形，所以O(shè)AABAP.因?yàn)锳OPO，OAPA，所以，所以O(shè)A×1，即球的半徑為1，所以其體積為×13.選C.二、填空題5(2016·廣州二模)一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長(zhǎng)都為1，頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的體積為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：67722038】由題意知六棱柱的底面正六邊形的外接圓半徑r1, 其高h(yuǎn)1，球半徑為R，該球的體積VR3×3.6(2016·開封一模)在三棱錐P­ABC中，ABBC，AC6，PC平面ABC，PC2，則該三棱錐的外接球表面積為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：67722039】由題可知，ABC中AC邊上的高為，球心O在底面ABC的投影即為ABC的外心D，設(shè)DADBDCx，x232(x)2，解得x，R2x221(其中R為三棱錐外接球的半徑)，外接球的表面積S4R2.三、解答題7如圖10­21，矩形CDEF和梯形ABCD互相垂直，BADADC90°，ABADCD，BEDF.圖10­21(1)若M為EA中點(diǎn)，求證：AC平面MDF；(2)若AB2，求四棱錐E­ABCD的體積解(1)證明：設(shè)EC與DF交于點(diǎn)N，連接MN，在矩形CDEF中，點(diǎn)N為EC中點(diǎn)，因?yàn)镸為EA中點(diǎn)，所以MNAC.2分又因?yàn)锳C平面MDF，MN平面MDF，所以AC平面MDF.4分(2)取CD中點(diǎn)為G，連接BG，EG，平面CDEF平面ABCD，平面CDEF平面ABCDCD，AD平面ABCD，ADCD，所以AD平面CDEF，同理ED平面ABCD，7分所以ED的長(zhǎng)即為四棱錐E­ABCD的高.8分在梯形ABCD中，ABCDDG，ABDG，所以四邊形ABGD是平行四邊形，BGAD，所以BG平面CDEF.又DF平面CDEF，所以BGDF，又BEDF，BEBGB，所以DF平面BEG，DFEG.10分注意到RtDEGRtEFD，所以DE2DG·EF8，DE2，所以VE­ABCDS梯形ABCD·ED4.12分8如圖10­22，在多面體ABCDM中，BCD是等邊三角形，CMD是等腰直角三角形，CMD90°，平面CMD平面BCD，AB平面BCD，點(diǎn)O為CD的中點(diǎn)，連接OM.圖10­22(1)求證：OM平面ABD；(2)若ABBC2，求三棱錐A­BDM的體積解(1)證明：CMD是等腰直角三角形，CMD90°，點(diǎn)O為CD的中點(diǎn)，OMCD.1分平面CMD平面BCD，平面CMD平面BCDCD，OM平面CMD，OM平面BCD.2分AB平面BCD，OMAB.3分AB平面ABD，OM平面ABD，OM平面ABD.4分(2)法一：由(1)知OM平面ABD，點(diǎn)M到平面ABD的距離等于點(diǎn)O到平面ABD的距離.5分過(guò)點(diǎn)O作OHBD，垂足為點(diǎn)H.AB平面BCD，OH平面BCD，OHAB.6分AB平面ABD，BD平面ABD，ABBDB，OH平面ABD.7分ABBC2，BCD是等邊三角形，BD2，OD1，OHOD·sin 60°.9分V三棱錐A­BDMV三棱錐M­ABD××AB·BD·OH××2×2×.11分三棱錐A­BDM的體積為.12分法二：由(1)知OM平面ABD，點(diǎn)M到平面ABD的距離等于點(diǎn)O到平面ABD的距離.5分ABBC2，BCD是等邊三角形，BD2，OD1.6分連接OB，則OBCD，OBBD·sin 60°.7分V三棱錐A­BDMV三棱錐M­ABDV三棱錐O­ABDV三棱錐A­BDO××OD·OB·AB××1××2.11分三棱錐A­BDM的體積為.12分