高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)與策略 第1部分 專題3 概率與統(tǒng)計(jì) 突破點(diǎn)9 隨機(jī)變量及其分布教師用書 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

突破點(diǎn)9隨機(jī)變量及其分布(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第167頁)提煉1離散型隨機(jī)變量的分布列離散型隨機(jī)變量X的分布列如下：Xx1x2x3xixnPp1p2p3pipn則(1)pi0.(2)p1p2pipn1(i1,2,3，n)(3)E(X)x1p1x2p2xipixnpn為X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡(jiǎn)稱期望)D(X)(x1E(X)2·p1(x2E(X)2·p2(xiE(X)2·pi(xnE(X)2·pn叫做隨機(jī)變量X的方差(4)均值與方差的性質(zhì)E(aXb)aE(X)b；D(aXb)a2D(X)(a，b為實(shí)數(shù))(5) 兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)p，D(X)p(1p)；若XB(n，p)，則E(X)np，D(X)np(1p).提煉2幾種常見概率的計(jì)算(1)條件概率在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率為P(B|A).(2)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率P(AB)P(A)P(B)(3)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p，那么它在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n.提煉3正態(tài)分布(1)若XN(，2)，則P(<X)0.682 6；P(2<X2)0.954 4；P(3<X3)0.9974.(2)若XN(，2)，則正態(tài)曲線關(guān)于直線x對(duì)稱且P(X<a)1P(Xa)；P(X<a)P(X>a)回訪1條件概率1(2015·全國卷)投籃測(cè)試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測(cè)試已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過測(cè)試的概率為()A0.648B0.432C0.36 D0.312A3次投籃投中2次的概率為P(k2)C×0.62×(10.6)，投中3次的概率為P(k3)0.63，所以通過測(cè)試的概率為P(k2)P(k3)C×0.62×(10.6)0.630.648.故選A.2(2014·全國卷)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是()A0.8B0.75C0.6D0.45A已知連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，那么在前一天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的前提下，要求隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率，可根據(jù)條件概率公式，得P0.8.回訪2正態(tài)分布3(2015·山東高考)已知某批零件的長(zhǎng)度誤差(單位：毫米)服從正態(tài)分布N(0,32)，從中隨機(jī)取一件，其長(zhǎng)度誤差落在區(qū)間(3,6)內(nèi)的概率為()(附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(，2)，則P(<<)68.26%，P(2<<2)95.44%.)A4.56%B13.59%C27.18%D31.74%B由正態(tài)分布的概率公式知P(33)0.682 6，P(66)0.954 4，故P(36)0.135 913.59%，故選B.4(2012·全國卷)某一部件由三個(gè)電子元件按如圖9­1所示方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作設(shè)三個(gè)電子元件的使用壽命(單位：小時(shí))均服從正態(tài)分布N(1 000,502)，且各個(gè)元件能否正常工作相互獨(dú)立，那么該部件的使用壽命超過1 000小時(shí)的概率為_圖9­1設(shè)元件1,2,3的使用壽命超過1 000小時(shí)的事件分別記為A，B，C，顯然P(A)P(B)P(C)，該部件的使用壽命超過1 000小時(shí)的事件為(ABAB)C，該部件的使用壽命超過1 000小時(shí)的概率P×.回訪3隨機(jī)變量的分布列、期望、方差5(2016·山東高考)甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語在一輪活動(dòng)中，如果兩人都猜對(duì)，則“星隊(duì)”得3分；如果只有一人猜對(duì)，則“星隊(duì)”得1分；如果兩人都沒猜對(duì)，則“星隊(duì)”得0分已知甲每輪猜對(duì)的概率是，乙每輪猜對(duì)的概率是；每輪活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果亦互不影響假設(shè)“星隊(duì)”參加兩輪活動(dòng)，求：(1)“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語的概率；(2)“星隊(duì)”兩輪得分之和X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX.解(1)記事件A：“甲第一輪猜對(duì)”，記事件B：“乙第一輪猜對(duì)”，記事件C：“甲第二輪猜對(duì)”，記事件D：“乙第二輪猜對(duì)”，記事件E：“星隊(duì)至少猜對(duì)3個(gè)成語”由題意，EABCDBCDACDABDABC，2分由事件的獨(dú)立性與互斥性，P(E)P(ABCD)P(BCD)P(ACD)P(ABD)P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(D)P()P(B)P(C)P(D)P(A)P()P(C)P(D)P(A)P(B)P()P(D)P(A)P(B)P(C)P()×××2×，所以“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語的概率為.5分(2)由題意，隨機(jī)變量X可能的取值為0,1,2,3,4,6.由事件的獨(dú)立性與互斥性，得P(X0)×××，P(X1)2×，P(X2)××××××××××××，8分P(X3)××××××，P(X4)2×，P(X6)×××.10分可得隨機(jī)變量X的分布列為X012346P所以數(shù)學(xué)期望EX0×1×2×3×4×6×.12分(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第167頁)熱點(diǎn)題型1相互獨(dú)立事件的概率與條件概率題型分析：高考對(duì)條件概率的考查，主要體現(xiàn)在對(duì)條件概率的了解層次，難度較小，對(duì)事件相互獨(dú)立性的考查相對(duì)較頻繁，難度中等.(1)(2016·山西考前模擬)某同學(xué)用計(jì)算器產(chǎn)生了兩個(gè)0,1之間的均勻隨機(jī)數(shù)，分別記作x，y.當(dāng)y<x2時(shí)，x>的概率是() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：67722034】A.B.C.D.(2)如圖9­2，由M到N的電路中有4個(gè)元件，分別標(biāo)為T1，T2，T3，T4，電流能通過T1，T2，T3的概率都是p，電流能通過T4的概率是0.9.電流能否通過各元件相互獨(dú)立已知T1，T2，T3中至少有一個(gè)能通過電流的概率為0.999.圖9­2求p；求電流能在M與N之間通過的概率(1)D記“y<x2”為事件A，“x>”為事件B，所以(x，y)構(gòu)成的區(qū)域如圖所示，所以S1x2dxx3，S2x2dxS1x3，則所求概率為，故選D.(2)記Ai表示事件：電流能通過Ti，i1,2,3,4，A表示事件：T1，T2，T3中至少有一個(gè)能通過電流，B表示事件：電流能在M與N之間通過123，1，2，3相互獨(dú)立，2分P()P(123)P(1)P(2)P(3)(1p)3.3分又P()1P(A)10.9990.001，4分故(1p)30.001，p0.9.6分BA44A1A341A2A3，8分P(B)P(A44A1A341A2A3)P(A4)P(4A1A3)P(41A2A3)P(A4)P(4)P(A1)P(A3)P(4)P(1)P(A2)P(A3)0.90.1×0.9×0.90.1×0.1×0.9×0.90.989 1.12分1解決條件概率的關(guān)鍵是明確“既定條件”2求相互獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率的方法(1)直接法：正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成，將復(fù)雜事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥的事件的和事件或幾個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的積事件或獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)問題，然后用相應(yīng)概率公式求解(2)間接法：當(dāng)復(fù)雜事件正面情況比較多，反面情況較少，則可利用其對(duì)立事件進(jìn)行求解對(duì)于“至少”“至多”等問題往往也用這種方法求解變式訓(xùn)練1(2016·全國甲卷)某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險(xiǎn)次數(shù)012345保費(fèi)0.85aa1.25a1.5a1.75a2a設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下：一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)012345概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率；(2)若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)，求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率；(3)求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值解(1)設(shè)A表示事件“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)”，則事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1，故P(A)0.20.20.10.050.55.2分(2)設(shè)B表示事件“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%”，則事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于3，故P(B)0.10.050.15.4分又P(AB)P(B)，故P(B|A).因此所求概率為.6分(3)記續(xù)保人本年度的保費(fèi)為X，則X的分布列為X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.059分E(X)0.85a×0.30a×0.151.25a×0.201.5a×0.201.75a×0.102a×0.051.23a.11分因此續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值為1.23.12分熱點(diǎn)題型2離散型隨機(jī)變量的分布列、期望和方差題型分析：離散型隨機(jī)變量的分布列問題是高考的熱點(diǎn)，常以實(shí)際生活為背景，涉及事件的相互獨(dú)立性、互斥事件的概率等，綜合性強(qiáng)，難度中等.(2016·威海二模)2015年，威海智慧公交建設(shè)項(xiàng)目已經(jīng)基本完成為了解市民對(duì)該項(xiàng)目的滿意度，分別從不同公交站點(diǎn)隨機(jī)抽取若干市民對(duì)該項(xiàng)目進(jìn)行評(píng)分(滿分100分)，繪制如下頻率分布直方圖，并將分?jǐn)?shù)從低到高分為四個(gè)等級(jí)：滿意度評(píng)分低于60分60分到79分80分到89分不低于90分滿意度等級(jí)不滿意基本滿意滿意非常滿意已知滿意度等級(jí)為基本滿意的有680人(1)若市民的滿意度評(píng)分相互獨(dú)立，以滿意度樣本估計(jì)全市市民滿意度現(xiàn)從全市市民中隨機(jī)抽取4人，求至少有2人非常滿意的概率；(2)在等級(jí)為不滿意市民中，老年人占.現(xiàn)從該等級(jí)市民中按年齡分層抽取15人了解不滿意的原因，并從中選取3人擔(dān)任整改督導(dǎo)員，記X為老年督導(dǎo)員的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)；(3)相關(guān)部門對(duì)項(xiàng)目進(jìn)行驗(yàn)收，驗(yàn)收的硬性指標(biāo)是：市民對(duì)該項(xiàng)目的滿意指數(shù)不低于0.8，否則該項(xiàng)目需進(jìn)行整改，根據(jù)你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，判斷該項(xiàng)目能否通過驗(yàn)收，并說明理由(注：滿意指數(shù))圖9­3解(1)由頻率分布直方圖可知a110×(0.0350.0040.0200.0140.002)0.025，1分市民非常滿意的概率為0.025×100.25.2分市民滿意度評(píng)分相互獨(dú)立， P1C04C131或PC22C31C40.4分(2)按年齡分層抽樣抽取15人進(jìn)行座談，則老年市民抽15×5人從15人中選取3名整改督導(dǎo)員的所有可能情況為C，由題知X的可能取值為0,1,2,3，6分P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，X0123P所以E(X)0×1×2×3×1.10分(3)所選樣本滿意程度的平均得分為45×0.0255×0.0465×0.1475×0.285×0.3595×0.2580.7，估計(jì)市民滿意度程度的平均得分為80.7，所以市民滿意度指數(shù)為0.8070.8，所以該項(xiàng)目能通過驗(yàn)收.12分解答離散型隨機(jī)變量的分布列及相關(guān)問題的一般思路：(1)明確隨機(jī)變量可能取哪些值(2)結(jié)合事件特點(diǎn)選取恰當(dāng)?shù)挠?jì)算方法計(jì)算這些可能取值的概率值(3)根據(jù)分布列和期望、方差公式求解提醒：明確離散型隨機(jī)變量的取值及事件間的相互關(guān)系是求解此類問題的關(guān)鍵變式訓(xùn)練2(名師押題)第31屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)已于2016年8月5日21日在巴西里約熱內(nèi)盧舉行完畢下表是近六屆奧運(yùn)會(huì)中國代表團(tuán)和俄羅斯代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)(單位：枚).第31屆巴西第30屆倫敦第29屆北京第28屆雅典第27屆悉尼第26屆亞特蘭大中國263851322816俄羅斯192423273226(1)根據(jù)表格中兩組數(shù)據(jù)完成近五屆奧運(yùn)會(huì)兩國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的平均值及分散程度(不要求計(jì)算出具體數(shù)值，給出結(jié)論即可)；(2)甲、乙、丙三人競(jìng)猜下屆中國代表團(tuán)和俄羅斯代表團(tuán)中的哪一個(gè)獲得的金牌數(shù)多(假設(shè)兩國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)不會(huì)相等)，規(guī)定甲、乙、丙必須在兩個(gè)代表團(tuán)中選一個(gè)，已知甲、乙猜中國代表團(tuán)的概率都為，丙猜中國代表團(tuán)的概率為，三人各自猜哪個(gè)代表團(tuán)互不影響現(xiàn)讓甲、乙、丙各猜一次，設(shè)三人中猜中國代表團(tuán)的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)解(1)兩國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的莖葉圖如下：通過莖葉圖可以看出，中國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的平均值高于俄羅斯代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的平均值；俄羅斯代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)比較集中，中國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)比較分散.6分(2)X的可能取值為0,1,2,3，設(shè)事件A，B，C分別表示甲、乙、丙猜中國代表團(tuán)，則P(X0)P()·P()·P()2×，7分P(X1)P(A)P(B)P(C)C×××2×，8分P(X2)P(AB)P(AC)P(BC)2×C×××，9分P(X3)P(A)·P(B)·P(C)2×.10分故X的分布列為X0123P11分E(X)0×1×2×3×.12分熱點(diǎn)題型3正態(tài)分布問題題型分析：由于正態(tài)分布與頻率分布直方圖有極大的相似性，故在復(fù)習(xí)備考中應(yīng)適度關(guān)注這一知識(shí)間的聯(lián)系，同時(shí)對(duì)正態(tài)分布的圖象特征給予高度關(guān)注.(2014·全國卷)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：圖9­4(1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(2)由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(，2)，其中近似為樣本平均數(shù)，2近似為樣本方差s2.利用該正態(tài)分布，求P(187.8<Z<212.2)；某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)的產(chǎn)品件數(shù)，利用的結(jié)果，求E(X)附：12.2.若ZN(，2)，則P(<Z<)0.682 6，P(2<Z<2)0.954 4.解(1)抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2分別為170×0.02180×0.09190×0.22200×0.33210×0.24220×0.08230×0.02200，3分s2(30)2×0.02(20)2×0.09(10)2×0.220×0.33102×0.24202×0.08302×0.02150.6分(2)由(1)知，ZN(200,150)，從而P(187.8<Z<212.2)P(20012.2<Z<20012.2)0.682 6.9分由知，一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)的概率為0.682 6，依題意知XB(100,0.682 6)，所以E(X)100×0.682 668.26.12分解決正態(tài)分布問題有三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1)對(duì)稱軸x；(2)標(biāo)準(zhǔn)差；(3)分布區(qū)間利用對(duì)稱性求指定范圍內(nèi)的概率值；由，分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3特殊區(qū)間，從而求出所求概率變式訓(xùn)練3(1)設(shè)XN(1，2) ，其正態(tài)分布密度曲線如圖9­5所示，且P(X3)0.022 8，那么向正方形OABC中隨機(jī)投擲10 000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為()圖9­5(附：隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(，2)，則P(<X<)68.26%，P(2<X<2)95.44%)A6 038B6 587C7 028D7 539(2)已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(0，2)，若P(>3)0.023，則P(33)_.(1)B(2)0.954(1)由題意得，P(X1)P(X3)0.022 8，P(1<X<3)10.022 8×20.954 4，121，1，P(0X1)P(0X2)0.341 3，故估計(jì)的個(gè)數(shù)為10 000×(10.341 3)6 587，故選B.(2)N(0，2)，正態(tài)曲線的對(duì)稱軸為0.故P(33)2P(03)而由正態(tài)曲線的對(duì)稱性，可知P(0)P(0)0.5，故P(03)0.5P(>3)0.50.0230.477，P(33)2P(03)2×0.4770.954.專題限時(shí)集訓(xùn)(九)隨機(jī)變量及其分布建議A、B組各用時(shí)：45分鐘A組高考達(dá)標(biāo)一、選擇題1已知變量X服從正態(tài)分布N(2,4)，下列概率與P(X0)相等的是()AP(X2)BP(X4)CP(0X4)D1P(X4)B由變量X服從正態(tài)分布N(2,4)可知，x2為其密度曲線的對(duì)稱軸，因此P(X0)P(X4)故選B.2(2016·廈門模擬)某種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1 000粒，對(duì)于沒有發(fā)芽的種子，每粒需要再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為()A100B200C300D400B將“沒有發(fā)芽的種子數(shù)”記為，則1,2,3，1 000，由題意可知B(1 000,0.1)，所以E()1 000×0.1100，又因?yàn)閄2，所以E(X)2E()200，故選B.3現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)靶，某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為；向乙靶射擊兩次，每次命中的概率為.該射手每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立假設(shè)該射手完成以上三次射擊，該射手恰好命中一次的概率為()A.B. C.D.C××××××，故選C.4(2016·合肥二模)某校組織由5名學(xué)生參加的演講比賽，采用抽簽法決定演講順序，在“學(xué)生A和B都不是第一個(gè)出場(chǎng)，B不是最后一個(gè)出場(chǎng)”的前提下，學(xué)生C第一個(gè)出場(chǎng)的概率為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：67722035】A.B.C.D.A“A和B都不是第一個(gè)出場(chǎng)，B不是最后一個(gè)出場(chǎng)”的安排方法中，另外3人中任何一個(gè)人第一個(gè)出場(chǎng)的概率都相等，故“C第一個(gè)出場(chǎng)”的概率是.5箱中裝有標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,5,6且大小相同的6個(gè)球從箱中一次摸出兩個(gè)球，記下號(hào)碼并放回，如果兩球號(hào)碼之積是4的倍數(shù)，則獲獎(jiǎng)現(xiàn)在4人參與摸獎(jiǎng)，恰好有3人獲獎(jiǎng)的概率是()A.B.C.D.B若摸出的兩球中含有4，必獲獎(jiǎng)，有5種情形；若摸出的兩球是2,6，也能獲獎(jiǎng)故獲獎(jiǎng)的情形共6種，獲獎(jiǎng)的概率為.現(xiàn)有4人參與摸獎(jiǎng)，恰有3人獲獎(jiǎng)的概率是C3·.二、填空題6隨機(jī)變量的取值為0,1,2.若P(0)，E()1，則D()_.由題意設(shè)P(1)p，的分布列如下：012Ppp由E()1，可得p，所以D()12×02×12×.7某學(xué)校一年級(jí)共有學(xué)生100名，其中男生60人，女生40人來自北京的有20人，其中男生12人，若任選一人是女生，則該女生來自北京的概率是_設(shè)事件A為“任選一人是女生”，B為“任選一人來自北京”，依題意知，來自北京的女生有8人，這是一個(gè)條件概率，問題即計(jì)算P(B|A)由于P(A)，P(AB)，則P(B|A).8(2016·黃岡一模)荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷葉上跳來跳去(每次跳躍時(shí)，均從一葉跳到另一葉)，而且逆時(shí)針方向跳的概率是順時(shí)針方向跳的概率的兩倍，如圖9­6所示，假設(shè)現(xiàn)在青蛙在A葉上，則跳三次后仍停在A葉上的概率是_圖9­6設(shè)順時(shí)針跳的概率為p，則逆時(shí)針跳的概率為2p，則p2p1，即p，由題意可知，青蛙三次跳躍 的方向應(yīng)相同，即要么全為順時(shí)針方向，要么全為逆時(shí)針方向，故所求概率P33.三、解答題9(2016·煙臺(tái)二模)甲、乙兩人進(jìn)行象棋比賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分在其中的一方比對(duì)方多得2分或下滿5局時(shí)停止比賽設(shè)甲在每局中獲勝的概率為，乙在每局中獲勝的概率為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立(1)求沒下滿5局甲即獲勝的概率；(2)設(shè)比賽停止時(shí)已下局?jǐn)?shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望E()解(1)沒下滿5局甲獲勝有兩種情況：是兩局后甲獲勝，此時(shí)P1×，2分是四局后甲獲勝，此時(shí)P2××，4分所以甲獲勝的概率PP1P2.5分(2)依題意知，的所有可能值為2,4,5.6分設(shè)前4局每?jī)删直荣悶橐惠啠瑒t該輪結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為：22.7分若該輪結(jié)束時(shí)比賽還將繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時(shí)，該輪比賽結(jié)果對(duì)下輪比賽是否停止沒有影響，從而有：P(2)，P(4)，P(5)2.10分所以的分布列為：245P故E()2×4×5×.12分10甲、乙兩班進(jìn)行消防安全知識(shí)競(jìng)賽，每班出3人組成甲、乙兩支代表隊(duì)，首輪比賽每人一道必答題，答對(duì)則為本隊(duì)得1分，答錯(cuò)或不答都得0分已知甲隊(duì)3人每人答對(duì)的概率分別為，乙隊(duì)每人答對(duì)的概率都是.設(shè)每人回答正確與否相互之間沒有影響，用表示甲隊(duì)總得分(1)求隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望E()；(2)求在甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4的條件下，甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高的概率解(1)的可能取值為0,1,2,3.P(0)××；1分P(1)××××××；2分P(2)××××××；3分P(3)××.4分所以的分布列為0123P6分所以E()0×1×2×3×.8分(2)設(shè)“甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4”為事件A，“甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高”為事件B，則P(A)×C3×C2××C1×2.10分P(AB)×C1×2.11分P(B|A).12分B組名校沖刺一、選擇題1(2016·河北第二次聯(lián)考)已知袋子中裝有大小相同的6個(gè)小球，其中有2個(gè)紅球、4個(gè)白球現(xiàn)從中隨機(jī)摸出3個(gè)小球，則至少有2個(gè)白球的概率為()A.B.C.D.C所求問題有兩種情況：1紅2白或3白，則所求概率P.2如圖9­7，ABC和DEF是同一個(gè)圓的內(nèi)接正三角形，且BCEF.將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)，用M表示事件“豆子落在ABC內(nèi)”，N表示事件“豆子落在DEF內(nèi)”，則P(|M)()圖9­7A.B.C.D.C如圖，作三條輔助線，根據(jù)已知條件知這些小三角形都全等，ABC包含9個(gè)小三角形，滿足事件M的有3個(gè)小三角形，所以P(|M)，故選C.3設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,9)，若P(X>c1)P(X<c1)，則c()A1B2C3D4BXN(2,9)，正態(tài)密度曲線關(guān)于x2對(duì)稱，又概率表示它與x軸所圍成的面積2，c2.4甲、乙兩人獨(dú)立地從六門選修課程中任選三門進(jìn)行學(xué)習(xí)，記兩人所選課程相同的門數(shù)為X，則E(X)為()A1B1.5C2D2.5BX可取0,1,2,3，P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，故E(X)0×1×2×3×1.5.二、填空題5現(xiàn)有10道題，其中6道甲類題，4道乙類題，張同學(xué)從中任選3道題作答已知所選的3道題中有2道甲類題，1道乙類題設(shè)張同學(xué)答對(duì)每道甲類題的概率都是，答對(duì)每道乙類題的概率都是，且各題答對(duì)與否相互獨(dú)立，則張同學(xué)恰好答對(duì)2道題的概率為_設(shè)張同學(xué)答對(duì)甲類題的數(shù)目為x，答對(duì)乙類題的數(shù)目為y，答對(duì)題的總數(shù)為X，則Xxy.所以P(X2)P(x2，y0)P(x1，y1)C×2×C×××.6某商場(chǎng)在兒童節(jié)舉行回饋顧客活動(dòng)，凡在商場(chǎng)消費(fèi)滿100元者即可參加射擊贏玩具活動(dòng)，具體規(guī)則如下：每人最多可射擊3次，一旦擊中，則可獲獎(jiǎng)且不再繼續(xù)射擊，否則一直射擊到3次為止設(shè)甲每次擊中的概率為p(p0)，射擊次數(shù)為，若的數(shù)學(xué)期望E()>，則p的取值范圍是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：67722036】由已知得P(1)p，P(2)(1p)p，P(3)(1p)2，則E()p2(1p)p3(1p)2p23p3>，解得p>或p<，又p(0,1)，所以p.三、解答題7(2016·鄭州模擬)已知從A地到B地共有兩條路徑L1和L2，據(jù)統(tǒng)計(jì)，經(jīng)過兩條路徑所用的時(shí)間互不影響，且經(jīng)過L1與L2所用時(shí)間落在各時(shí)間段內(nèi)的頻率分布直方圖分別如圖9­8(1)和圖(2)(1)(2)圖9­8現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時(shí)間用于從A地到B地(1)為了盡最大可能在各自允許的時(shí)間內(nèi)趕到B地，甲和乙應(yīng)如何選擇各自的路徑？(2)用X表示甲、乙兩人中在允許的時(shí)間內(nèi)能趕到B地的人數(shù)，針對(duì)(1)的選擇方案，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望解(1)用Ai表示事件“甲選擇路徑Li時(shí)，40分鐘內(nèi)趕到B地”，B i表示事件“乙選擇路徑Li時(shí)，50分鐘內(nèi)趕到B地”，i1,2.1分由頻率分布直方圖及頻率估計(jì)相應(yīng)的概率可得P(A1)(0.010.020.03)×100.6，P(A2)(0.010.04)×100.5.P(A1)>P(A2)，故甲應(yīng)選擇L1.3分P(B1)(0.010.020.030.02)×100.8，P(B2)(0.010.040.04)×100.9.P(B2)>P(B1)，故乙應(yīng)選擇L2.5分(2)用M，N分別表示針對(duì)(1)的選擇方案，甲、乙在各自允許的時(shí)間內(nèi)趕到B地，由(1)知P(M)0.6，P(N)0.9，又由題意知，M，N相互獨(dú)立，7分P(X0)P()P()P()0.4×0.10.04；P(X1)P(NM)P()P(N)P(M)P()0.4×0.90.6×0.10.42；P(X2)P(MN)P(M)P(N)0.6×0.90.54.9分X的分布列為X012P0.040.420.54E(X)0×0.041×0.422×0.541.5.12分8氣象部門提供了某地區(qū)今年六月份(30天)的日最高氣溫的統(tǒng)計(jì)表如下：日最高氣溫t/t2222<t2828<t32t>32天數(shù)612YZ由于工作疏忽，統(tǒng)計(jì)表被墨水污染，Y和Z數(shù)據(jù)不清楚，但氣象部門提供的資料顯示，六月份的日最高氣溫不高于32的頻率為0.9.某水果商根據(jù)多年的銷售經(jīng)驗(yàn)，六月份的日最高氣溫t(單位：)對(duì)西瓜的銷售影響如下表：日最高氣溫t/t2222<t2828<t32t>32日銷售額X/千元2568(1)求Y，Z的值；(2)若視頻率為概率，求六月份西瓜日銷售額X的期望和方差；(3)在日最高氣溫不高于32時(shí)，求日銷售額不低于5千元的概率解(1)由已知得P(t32)0.9，所以P(t>32)1P(t32)0.1，所以Z30×0.13，Y30(6123)9.3分(2)由題意，知X的所有可能取值為2,5,6,8.易知P(X2)P(t22)0.2，P(X5)P(22<t28)0.4，P(X6)P(28<t32)0.3，P(X8)P(t>32)0.1.所以六月份西瓜日銷售額X的分布列為X2568P0.20.40.30.16分所以E(X)2×0.25×0.46×0.38×0.15，7分D(X)(25)2×0.2(55)2×0.4(65)2×0.3(85)2×0.13.8分(3)因?yàn)镻(t32)0.9，P(22<t32)0.40.30.7，所以由條件概率得P(X5|t32)P(22<t32|t32).12分