高中數(shù)學(xué) 第二章 空間向量與立體幾何 4 用向量討論垂直與平行(二)課件 北師大版選修2-1.ppt

第二章 空間向量與立體幾何,4 用向量討論垂直與平行(二),1.會利用平面法向量證明兩個平面垂直. 2.能利用直線的方向向量和平面的法向量判定并證明空間中的垂直(線線、線面、面面)關(guān)系.,學(xué)習(xí)目標(biāo),知識梳理 自主學(xué)習(xí),題型探究 重點(diǎn)突破,當(dāng)堂檢測 自查自糾,欄目索引,知識梳理 自主學(xué)習(xí),知識點(diǎn) 空間垂直關(guān)系的向量表示,思考 直線的方向向量和平面的法向量在確定直線、平面的位置時各起到什么作用？ 答案 (1)方向向量的選?。涸谥本€上任取兩點(diǎn)P，Q，可得到直線的一個方向向量 . 方向向量的不惟一性：直線的方向向量不是惟一的，可以分為方向相同和相反兩類，它們都是共線向量，解題時，可以選取坐標(biāo)最簡的方向向量. 非零性：直線的方向向量是非零向量. (2)對平面法向量的兩點(diǎn)說明 平面法向量的選取：平面的一個法向量垂直于與平面共面的所有向量.即只需作一條垂直于平面的直線，選取該直線的方向向量. 平面法向量的不惟一性：一個平面的法向量不是惟一的，一個平面的所有法向量共線.在應(yīng)用時，可以根據(jù)需要進(jìn)行選取.,答案,返回,題型探究 重點(diǎn)突破,題型一 證明線線垂直問題 例1 如圖，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC120，E，F(xiàn)分別為AC，DC的中點(diǎn).求證：EFBC.,解析答案,反思與感悟,反思與感悟,證明 由題意，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，在平面DBC內(nèi)過點(diǎn)B作垂直于BC的直線為x軸，BC所在直線為y軸，在平面ABC內(nèi)過點(diǎn)B作垂直BC的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，,證明兩直線垂直的基本步驟：建立空間直角坐標(biāo)系寫出點(diǎn)的坐標(biāo)求直線的方向向量證明向量垂直得到兩直線垂直.,反思與感悟,解析答案,跟蹤訓(xùn)練1 如圖所示，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，垂足為A，ABAD于A，ACCD于C，ABC60，PAABBC，E是PC的中點(diǎn).求證AECD.,證明 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)PAABBC1，則A(0,0,0)，P(0,0,1). ABC60，ABC為正三角形.,解析答案,反思與感悟,題型二 證明線面垂直問題 例2 如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，D1B1的中點(diǎn).求證：EF平面B1AC.,解析答案,反思與感悟,證明 方法一 設(shè)正方體的棱長為2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(xiàn)(1,1,2).,(1)0(1)2120.,EFAB1，EFAC.,又AB1ACA，AB1平面B1AC，AC平面B1AC， EF平面B1AC.,解析答案,反思與感悟,反思與感悟,同理，EFB1C. 又AB1B1CB1，AB1平面B1AC，B1C平面B1AC， EF平面B1AC.,反思與感悟,本類型題目用向量法證明的關(guān)鍵步驟是建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示向量或用基底表示向量，證法的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘運(yùn)算.,解析答案,跟蹤訓(xùn)練2 如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O為AC與BD的交點(diǎn)，G為CC1的中點(diǎn).求證：A1O平面GBD.,解析答案,證明 方法一 如圖取D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系. 設(shè)正方體棱長為2， 則O(1,1,0)，A1(2,0,2)，G(0,2,1)，B(2,2,0)，D(0,0,0)，,即OA1OB，OA1BG， 而OBBGB，OA1平面GBD.,方法二 同方法一建系后，設(shè)面GBD的一個法向量為n(x，y，z)，,令x1得z2，y1， 平面GBD的一個法向量為(1,1,2)，,解析答案,反思與感悟,題型三 證明面面垂直 例3 如圖，底面ABCD是正方形，AS平面ABCD，且ASAB，E是SC的中點(diǎn).求證：平面BDE平面ABCD.,證明 設(shè)ABBCCDDAAS1，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，,又因為AS平面ABCD，所以O(shè)E平面ABCD， 又OE平面BDE，所以平面BDE平面ABCD.,反思與感悟,反思與感悟,利用空間向量證明面面垂直通常可以有兩個途徑：一是利用兩個平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直；二是直接求解兩個平面的法向量，證明兩個法向量垂直，從而得到兩個平面垂直.,跟蹤訓(xùn)練3 在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，ABBC，ABBC2，AA11，E為BB1的中點(diǎn)，求證：平面AEC1平面AA1C1C.,解析答案,返回,解析答案,解 由題意知直線AB，BC，B1B兩兩垂直，以點(diǎn)B為原點(diǎn)，分別以BA，BC，BB1所在直線為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，,設(shè)平面AA1C1C的法向量為n1(x，y，z)，,令x1，得y1，故n(1,1,0).,設(shè)平面AEC1的法向量為n2(a，b，c)，,令c4，得a1，b1. 故n2(1,1,4). 因為n1n2111(1)040， 所以n1n2. 所以平面AEC1平面AA1C1C.,返回,當(dāng)堂檢測,1,2,3,4,5,解析答案,1.已知平面的法向量為a(1，2，2)，平面的法向量為b(2，4，k)，若，則k等于( ) A.5 B.4 C.4 D.5 解析 ，ab， ab282k0，k5.,D,1,2,3,4,5,解析答案,2.設(shè)直線l1，l2的方向向量分別為a(2,2,1)，b(3,2,m)，若l1l2，則m等于( ) A.2 B.2 C.6 D.10 解析 l1l2，ab0， 2322m0，m10.,D,1,2,3,4,5,解析答案,3.若平面，垂直，則下面可以作為這兩個平面的法向量的是( ) A.n1(1,2,1)，n2(3,1,1) B.n1(1,1,2)，n2(2,1,1) C.n1(1,1,1)，n2(1,2,1) D.n1(1,2,1)，n2(0，2，2) 解析 1(3)21110， n1n20，故選A.,A,1,2,3,4,5,解析答案,4.若直線l的方向向量為a(2,0,1)，平面的法向量為n(4,0,2)，則直線l與平面的位置關(guān)系為( ) A.l與斜交 B.l C.l D.l 解析 a(2,0,1)，n(4,0,2)， n2a，an，l.,D,1,2,3,4,5,解析答案,5.已知平面和平面的法向量分別為a(1,1,2)，b(x,2,3)，且，則x_. 解析 ，ab0， x2230，x4.,4,課堂小結(jié),返回,1.利用空間向量解決立體幾何問題的“三個基本步驟”： (1)建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題； (2)進(jìn)行向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系(距離和夾角等)； (3)根據(jù)運(yùn)算結(jié)果的幾何意義來解釋相關(guān)問題. 2.證明線面垂直問題，可以利用直線的方向向量和平面的法向量之間的關(guān)系來證明.,