概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章課后習題答案

概率論與數(shù)理統(tǒng)計課后習題答案第二章 1.一袋中有5 只乒乓球，編號為1，2，3，4，5，在其中同時取3只，以X表示取出的3只球中的最 大號碼，寫出隨機變量X的分布律.【解】 故所求分布律 為X 345P 0.10.30.6 2.設在15只同 類型零件中有2只為次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽樣，以X表示取出 的次品個數(shù)，求：（1） X的分 布律；（2） X的分 布函數(shù)并作圖；(3) .【解】 故X的分布律為 X 012P （2） 當x<0時， F（x）=P（Xx）=0當0x<1時 ，F(xiàn)（x）=P（Xx）=P(X=0)= 當1x<2時 ，F(xiàn)（x）=P（Xx）=P(X=0)+P(X=1)=當x2時， F（x）=P（Xx）=1故X的分布函 數(shù) (3) 3.射手向目標獨立 地進行了3次射擊，每次擊中率為0.8，求3次射擊中擊中目標的次數(shù)的分布律及分布函 數(shù)，并求3次射擊中至少擊中2次的概率.【解】 設X表示擊中目標的次數(shù).則X=0，1，2，3. 故X的 分布律為X 0123P0.0080.0960.3840.512 分布函數(shù) 4.（1） 設隨機變量X的分布律為 PX=k=， 其中k=0，1，2，0為常數(shù)，試確定常數(shù)a. （2） 設隨機變量X的分布律為 PX=k=a/N， k=1，2，N， 試確定常數(shù)a. 【解】（1） 由分布律的性質知 故 (2) 由分布律的性質知 即 . 5.甲、乙兩人投籃，投中的概率分別為0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 兩人投中次數(shù)相等的概率; （2） 甲比乙投中次數(shù)多的概率. 【解】分別令X、Y表示甲、乙投中次數(shù)，則Xb（3，0.6）,Yb(3,0.7) (1) + (2) =0.243 6.設某機場每天有200架飛機在此降落，任一飛機在某一時刻降落的概率設為0.02，且設各飛機降落是相互獨立的.試問該機場需配備多少條跑道，才能保證某一時刻飛機需立即降 落而沒有空閑跑道的概率小于0.01(每條跑道只能允許一架飛機降落)？【 解】設X為某一時刻需立即降落的飛機數(shù)，則Xb(200,0.02)，設機場需配備N條跑道，則有 即 利用泊松近似 查表得N9.故機場至少應配備9條跑道.7.有 一繁忙的汽車站，每天有大量汽車通過，設每輛車在一天的某時段出事故的概率為0.000 1,在某天的該時段內有1000輛汽車通過，問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少（利用泊 松定理）？【解】設X表示出事故的次數(shù)，則Xb（1000，0.0 001） 8.已知在五重貝努里試驗中成功的次數(shù)X滿足PX= 1=PX=2，求概率PX=4.【解】設在每次試驗中成功的概率為p，則 故 所以 . 9.設事件A在每一次試驗中發(fā)生的概率為0.3，當A發(fā)生不少于3次時，指示燈發(fā)出信號， （1） 進行了5次獨立試驗，試求指示燈發(fā)出信號的概率； （2） 進行了7次獨立試驗，試求指示燈發(fā)出信號的概率. 【解】（1） 設X表示5次獨立試驗中A發(fā)生的次數(shù)，則X6（5，0.3） (2) 令Y表示7次獨立試驗中A發(fā)生的次數(shù)，則Yb（7，0.3） 10.某公安局在長度為t的時間間隔內收到的緊急呼救的次數(shù)X服從參數(shù)為（1/2）t的泊松分布，而與時間間隔起點無關（時間以小時計）.（1） 求某一天中午12時至下午3時沒收到呼救的概率；（ 2） 求某一天中午12時至下午5時至少收到1次呼救的概率.【解】（1 ） (2) 11.設P X=k=, k=0,1,2PY=m= , m=0,1,2,3,4分別為隨機變量X，Y的概率分布，如果已知PX1=，試求PY1.【解】因為，故.而 故得 即 從而 12.某教科書出版了2000冊，因裝訂等原因造成錯誤的概率為0.001，試求在這2000冊書中恰有5冊錯誤的概率.【解】令X為2000冊書中錯誤的冊數(shù)，則Xb(2000,0.001).利用泊松近似計算,得 13.進行某種試驗，成功的概率為，失敗的概率為.以X表示試驗首次成功所需試驗的次數(shù)，試寫出X的分布律，并計算X取偶數(shù)的概率.【解】14.有2500名同一年齡和同社會階層的人參加了保險公司的人壽保險.在一年中每個人死亡的概率為0.002，每個參加保險的人在1月1日須交12元保險費，而在死亡時家屬可從保險公司領取2000元賠償金.求：（1） 保險公司虧本的概率;（2） 保險公司獲利分別不少于10000元、20000元的概率.【解】以“年”為單位來考慮.（1） 在1月1日，保險公司總收入為250012=30000元.設1年中死亡人數(shù)為X，則Xb(2500,0.002)，則所求概率為由于n很大，p很小，=np=5，故用泊松近似，有(2) P(保險公司獲利不少于10000) 即保險公司獲利不少于10000元的概率在98%以上P（保險公司獲利不少于20000） 即保險公司獲利不少于20000元的概率約為62%15.已知隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)=Ae-|x|, -<x<+,求：（1）A值；（2）P0<X<1; (3) F(x).【解】（1） 由得故 .(2) (3) 當x<0時，當x0時， 故 16.設某種儀器內裝有三只同樣的電子管，電子管使用壽命X的密度函數(shù)為f(x)=求：（1） 在開始150小時內沒有電子管損壞的概率；（2） 在這段時間內有一只電子管損壞的概率；（3） F（x）.【解】（1） (2) (3) 當x<100時F（x）=0當x100時 故 17.在區(qū)間0，a上任意投擲一個質點，以X表示這質點的坐標，設這質點落在0，a中任意小區(qū)間內的概率與這小區(qū)間長度成正比例，試求X的分布函數(shù).【解】 由題意知X0,a，密度函數(shù)為故當x<0時F（x）=0當0xa時當x>a時，F(xiàn)（x）=1即分布函數(shù)18.設隨機變量X在2，5上服從均勻分布.現(xiàn)對X進行三次獨立觀測，求至少有兩次的觀測值大于3的概率.【解】XU2,5，即故所求概率為19.設顧客在某銀行的窗口等待服務的時間X（以分鐘計）服從指數(shù)分布.某顧客在窗口等待服務，若超過10分鐘他就離開.他一個月要到銀行5次，以Y表示一個月內他未等到服務而離開窗口的次數(shù)，試寫出Y的分布律，并求PY1.【解】依題意知，即其密度函數(shù)為該顧客未等到服務而離開的概率為,即其分布律為20.某人乘汽車去火車站乘火車，有兩條路可走.第一條路程較短但交通擁擠，所需時間X服從N（40，102）；第二條路程較長，但阻塞少，所需時間X服從N（50，42）.（1） 若動身時離火車開車只有1小時，問應走哪條路能乘上火車的把握大些？（2） 又若離火車開車時間只有45分鐘，問應走哪條路趕上火車把握大些？【解】（1） 若走第一條路，XN（40，102），則若走第二條路，XN（50，42），則+故走第二條路乘上火車的把握大些.（2） 若XN（40，102），則若XN（50，42），則 故走第一條路乘上火車的把握大些.21.設XN（3，22），（1） 求P2<X5，P-4<X10，PX2，PX3;（2） 確定c使PXc=PXc.【解】（1） (2) c=322.由某機器生產(chǎn)的螺栓長度（cm）XN（10.05,0.062）,規(guī)定長度在10.050.12內為合格品,求一螺栓為不合格品的概率.【解】 23.一工廠生產(chǎn)的電子管壽命X（小時）服從正態(tài)分布N（160，2），若要求P120X2000.8，允許最大不超過多少？【解】 故 24.設隨機變量X分布函數(shù)為F（x）=（1） 求常數(shù)A，B；（2） 求PX2，PX3；（3） 求分布密度f（x）.【解】（1）由得（2） (3) 25.設隨機變量X的概率密度為f（x）=求X的分布函數(shù)F（x），并畫出f（x）及F（x）.【解】當x<0時F（x）=0當0x<1時 當1x<2時 當x2時故 26.設隨機變量X的密度函數(shù)為（1） f(x)=ae-l|x|,>0;(2) f(x)=試確定常數(shù)a,b，并求其分布函數(shù)F（x）.【解】（1） 由知故 即密度函數(shù)為 當x0時當x>0時 故其分布函數(shù)(2) 由得 b=1即X的密度函數(shù)為當x0時F（x）=0當0<x<1時 當1x<2時 當x2時F（x）=1故其分布函數(shù)為27.求標準正態(tài)分布的上分位點，（1）=0.01，求;（2）=0.003，求，.【解】（1） 即 即 故 （2） 由得即 查表得 由得即 查表得 28.設隨機變量X的分布律為X-2 -1 0 1 3Pk1/5 1/6 1/5 1/15 11/30求Y=X2的分布律.【解】Y可取的值為0，1，4，9故Y的分布律為Y0 1 4 9Pk1/5 7/30 1/5 11/3029.設PX=k=()k, k=1,2,令 求隨機變量X的函數(shù)Y的分布律.【解】 30.設XN（0，1）.（1） 求Y=eX的概率密度；（2） 求Y=2X2+1的概率密度；（3） 求Y=X的概率密度.【解】（1） 當y0時，當y>0時， 故 (2)當y1時當y>1時 故 (3) 當y0時當y>0時 故31.設隨機變量XU（0,1），試求：（1） Y=eX的分布函數(shù)及密度函數(shù)；（2） Z=-2lnX的分布函數(shù)及密度函數(shù).【解】（1） 故 當時當1<y<e時當ye時即分布函數(shù)故Y的密度函數(shù)為（2） 由P（0<X<1）=1知當z0時，當z>0時， 即分布函數(shù)故Z的密度函數(shù)為32.設隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)=試求Y=sinX的密度函數(shù).【解】當y0時，當0<y<1時， 當y1時，故Y的密度函數(shù)為33.設隨機變量X的分布函數(shù)如下：試填上(1),(2),(3)項.【解】由知填1。由右連續(xù)性知，故為0。從而亦為0。即34.同時擲兩枚骰子，直到一枚骰子出現(xiàn)6點為止，求拋擲次數(shù)X的分布律.【解】設Ai=第i枚骰子出現(xiàn)6點。（i=1,2）,P(Ai)=.且A1與A2相互獨立。再設C=每次拋擲出現(xiàn)6點。則 故拋擲次數(shù)X服從參數(shù)為的幾何分布。35.隨機數(shù)字序列要多長才能使數(shù)字0至少出現(xiàn)一次的概率不小于0.9?【解】令X為0出現(xiàn)的次數(shù)，設數(shù)字序列中要包含n個數(shù)字，則Xb(n,0.1)即 得 n22即隨機數(shù)字序列至少要有22個數(shù)字。36.已知F（x）=則F（x）是（ ）隨機變量的分布函數(shù).（A） 連續(xù)型； （B）離散型；（C） 非連續(xù)亦非離散型.【解】因為F（x）在（-,+）上單調不減右連續(xù)，且,所以F（x）是一個分布函數(shù)。但是F（x）在x=0處不連續(xù)，也不是階梯狀曲線，故F（x）是非連續(xù)亦非離散型隨機變量的分布函數(shù)。選（C）37.設在區(qū)間a,b上，隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)=sinx，而在a,b外，f(x)=0，則區(qū)間 a,b等于（ ）(A) 0,/2; (B) 0,;(C) -/2,0; (D) 0,.【解】在上sinx0，且.故f(x)是密度函數(shù)。在上.故f(x)不是密度函數(shù)。在上，故f(x)不是密度函數(shù)。在上，當時，sinx<0，f(x)也不是密度函數(shù)。故選（A）。38.設隨機變量XN（0，2），問：當取何值時，X落入?yún)^(qū)間（1，3）的概率最大？【解】因為 利用微積分中求極值的方法，有 得,則 又 故為極大值點且惟一。故當時X落入?yún)^(qū)間（1，3）的概率最大。39.設在一段時間內進入某一商店的顧客人數(shù)X服從泊松分布P（），每個顧客購買某種物品的概率為p，并且各個顧客是否購買該種物品相互獨立，求進入商店的顧客購買這種物品的人數(shù)Y的分布律.【解】設購買某種物品的人數(shù)為Y，在進入商店的人數(shù)X=m的條件下，Yb(m,p)，即由全概率公式有 此題說明：進入商店的人數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布，購買這種物品的人數(shù)仍服從泊松分布，但參數(shù)改變?yōu)閜.40.設隨機變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布.證明：Y=1-e-2X在區(qū)間（0，1）上服從均勻分布. 【證】X的密度函數(shù)為由于P（X>0）=1，故0<1-e-2X<1，即P（0<Y<1）=1當y0時，F(xiàn)Y（y）=0當y1時，F(xiàn)Y（y）=1當0<y<1時，即Y的密度函數(shù)為即YU（0，1）41.設隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)=若k使得PXk=2/3，求k的取值范圍. (2000研考)【解】由P（Xk）=知P（X<k）=若k<0,P(X<k)=0若0k1,P(X<k)= 當k=1時P（X<k）=若1k3時P（X<k）=若3<k6，則P（X<k）=若k>6,則P（X<k）=1故只有當1k3時滿足P（Xk）=.42.設隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)=求X的概率分布. （1991研考）【解】由離散型隨機變量X分布律與分布函數(shù)之間的關系，可知X的概率分布為X-113P0.40.40.243.設三次獨立試驗中，事件A出現(xiàn)的概率相等.若已知A至少出現(xiàn)一次的概率為19/27，求A在一次試驗中出現(xiàn)的概率.【解】令X為三次獨立試驗中A出現(xiàn)的次數(shù)，若設P（A）=p,則Xb(3,p)由P（X1）=知P（X=0）=（1-p）3=故p=44.若隨機變量X在（1，6）上服從均勻分布，則方程y2+Xy+1=0有實根的概率是多少？ 【解】45.若隨機變量XN（2，2），且P2<X<4=0.3，則PX<0= . 【解】故 因此 46.假設一廠家生產(chǎn)的每臺儀器，以概率0.7可以直接出廠；以概率0.3需進一步調試，經(jīng)調試后以概率0.8可以出廠，以概率0.2定為不合格品不能出廠.現(xiàn)該廠新生產(chǎn)了n(n2)臺儀器（假設各臺儀器的生產(chǎn)過程相互獨立）.求（1） 全部能出廠的概率；（2） 其中恰好有兩臺不能出廠的概率；（3）其中至少有兩臺不能出廠的概率. 【解】設A=需進一步調試，B=儀器能出廠，則=能直接出廠，AB=經(jīng)調試后能出廠由題意知B=AB，且令X為新生產(chǎn)的n臺儀器中能出廠的臺數(shù)，則X6（n，0.94）,故 47.某地抽樣調查結果表明，考生的外語成績（百分制）近似服從正態(tài)分布，平均成績?yōu)?2分，96分以上的占考生總數(shù)的2.3%，試求考生的外語成績在60分至84分之間的概率.【解】設X為考生的外語成績，則XN（72，2）故 查表知 ,即=12從而XN（72，122）故 48.在電源電壓不超過200V、200V240V和超過240V三種情形下，某種電子元件損壞的概率分別為0.1，0.001和0.2（假設電源電壓X服從正態(tài)分布N（220，252）.試求：（1） 該電子元件損壞的概率;(2) 該電子元件損壞時，電源電壓在200240V的概率【解】設A1=電壓不超過200V，A2=電壓在200240V，A3=電壓超過240V，B=元件損壞。由XN（220，252）知 由全概率公式有由貝葉斯公式有49.設隨機變量X在區(qū)間（1，2）上服從均勻分布，試求隨機變量Y=e2X的概率密度fY(y).【解】因為P（1<X<2）=1,故P（e2<Y<e4）=1當ye2時FY（y）=P(Yy)=0. 當e2<y<e4時， 當ye4時，即 故 50.設隨機變量X的密度函數(shù)為fX(x)=求隨機變量Y=eX的密度函數(shù)fY(y). (1995研考)【解】P（Y1）=1當y1時，當y>1時， 即 故 51.設隨機變量X的密度函數(shù)為fX(x)=,求Y=1-的密度函數(shù)fY(y). 【解】 故 52.假設一大型設備在任何長為t的時間內發(fā)生故障的次數(shù)N（t）服從參數(shù)為t的泊松分布.（1） 求相繼兩次故障之間時間間隔T的概率分布；（2） 求在設備已經(jīng)無故障工作8小時的情形下，再無故障運行8小時的概率Q.（1993研考）【解】（1） 當t<0時，當t0時，事件T>t與N(t)=0等價，有即 即間隔時間T服從參數(shù)為的指數(shù)分布。（2） 53.設隨機變量X的絕對值不大于1，PX=-1=1/8，PX=1=1/4.在事件-1<X<1出現(xiàn)的條件下，X在-1，1內任一子區(qū)間上取值的條件概率與該子區(qū)間長度成正比，試求X的分布函數(shù)F（x）=PXx. (1997研考)【解】顯然當x<-1時F（x）=0；而x1時F（x）=1由題知當-1<x<1時，此時 當x=-1時，故X的分布函數(shù)54. 設隨機變量X服從正態(tài)分N（1,12),Y服從正態(tài)分布N(2,22)，且P|X-1|<1>P|Y-2|<1，試比較1與2的大小. (2006研考)解： 依題意 ，則，.因為，即，所以有 ，即.