桁架摩擦重心

第 六 章 桁 架 、 摩 擦 、 重 心 61 平 面 簡 單 桁 架 的 內(nèi) 力 分 析 62 摩 擦 63 滑 動 摩 擦 64 考 慮 滑 動 摩 擦 時(shí) 的 平 衡 問 題 65 滾 動 摩 擦 66 平 行 力 系 的 中 心 、 物 體 的 重 心 由 物 系 的 多 樣 化 ， 引 出 僅 由 桿 件 組 成 的 系 統(tǒng) 桁 架 6-1 平 面 簡 單 桁 架 的 內(nèi) 力 分 析 工 程 中 的 桁 架 結(jié) 構(gòu) 工 程 中 的 桁 架 結(jié) 構(gòu) 工 程 中 的 桁 架 結(jié) 構(gòu) 工 程 中 的 桁 架 結(jié) 構(gòu) 桁 架 ： 由 桿 組 成 ， 用 鉸 聯(lián) 接 ， 受 力 不 變 形 的 系 統(tǒng) 。 桁 架 的 優(yōu) 點(diǎn) ： 輕 ， 充 分 發(fā) 揮 材 料 性 能 。桁 架 的 特 點(diǎn) ： 直 桿 ， 不 計(jì) 自 重 ， 均 為 二 力 桿 ； 桿 端 鉸 接 ； 外 力 作 用 在 節(jié) 點(diǎn) 上 。力 學(xué) 中 的 桁 架 模 型( 三 角 形 有 穩(wěn) 定 性 (c) 工 程 力 學(xué) 中 常 見 的 桁 架 簡 化 計(jì) 算 模 型 ,0X 0BX,0)( FmA ,0)( FmB 024 PYB 042 ANP kN 5 ,0 BAB YNX解 ： 研 究 整 體 ， 求 支 座 反 力一 、 節(jié) 點(diǎn) 法 例 已 知 ： 如 圖 P=10kN， 求 各 桿 內(nèi) 力 ？ 依 次 取 A、 C、 D節(jié) 點(diǎn) 研 究 ， 計(jì) 算 各 桿 內(nèi) 力 。0X 030cos 012 SS0Y 030sin 01 SNA )(kN10,kN66.8 12 表 示 桿 受 壓解 得 SS 0X 0Y 030cos30cos 0104 SS 030sin30sin 04013 SSS11 SS 代 入 kN 10 ,kN 10 : 43 SS解 得 kN 66.75S解 得 0X 025 SS后代 入 22 SS 節(jié) 點(diǎn) D的 另 一 個(gè) 方 程 可 用 來 校 核 計(jì) 算結(jié) 果 0Y 0 3 SP ,kN 103解 得 S恰 與 相 等 ,計(jì) 算 準(zhǔn) 確 無 誤 。 3S 解 ： 研 究 整 體 求 支 反 力 0X 0AX0 BM 023 aPaPaY PYA 0 Am由 04 aYhS AhPaS 40Y 0sin5 PSYA 05S0X 0cos 456 AXSSS hPaS 6 二 、 截 面 法 例 已 知 ： 如 圖 ， h， a， P 求 ： 4， 5， 6桿 的 內(nèi) 力 。選 截 面 I-I ， 取 左 半 部 研 究I IA 說 明 ：節(jié) 點(diǎn) 法 ： 用 于 設(shè) 計(jì) ， 計(jì) 算 全 部 桿 內(nèi) 力截 面 法 ： 用 于 校 核 ， 計(jì) 算 部 分 桿 內(nèi) 力 先 把 桿 都 設(shè) 為 拉 力 ,計(jì) 算 結(jié) 果 為 負(fù) 時(shí) ,說 明 是 壓力 ， 與 所 設(shè) 方 向 相 反 。 三 桿 節(jié) 點(diǎn) 無 載 荷 、 其 中 兩 桿 在一 條 直 線 上 ， 另 一 桿 必 為 零 桿 21 SS 且四 桿 節(jié) 點(diǎn) 無 載 荷 、 其 中 兩 兩 在一 條 直 線 上 ， 同 一 直 線 上 兩 桿內(nèi) 力 等 值 、 同 性 。 21 SS 43 SS 兩 桿 節(jié) 點(diǎn) 無 載 荷 、 且 兩 桿 不 在一 條 直 線 上 時(shí) ， 該 兩 桿 是 零 桿 。三 、 特 殊 桿 件 的 內(nèi) 力 判 斷 021 SS 例 3 已 知 P d,求 ： a.b.c.d四 桿 的 內(nèi) 力 ？ 解 ： 由 零 桿 判 式 0 adc SSS研 究 A點(diǎn) ： 0Y由 045cos PS ob PSb 2 前 幾 章 我 們 把 接 觸 表 面 都 看 成 是 絕 對 光 滑 的 ，忽 略 了 物 體 之 間 的 摩 擦 ， 事 實(shí) 上 完 全 光 滑 的 表 面 是不 存 在 的 ， 一 般 情 況 下 都 存 在 有 摩 擦 。例 6-2 摩 擦 平 衡 必 計(jì) 摩 擦 一 、 為 什 么 研 究 摩 擦 ？ 二 、 怎 樣 研 究 摩 擦 ， 掌 握 規(guī) 律 利 用 其 利 ， 克 服 其 害 。 三 、 按 接 觸 面 的 運(yùn) 動 情 況 看 ： 摩 擦 分 為 滑 動 摩 擦 滾 動 摩 擦 1、 定 義 ： 相 接 觸 物 體 ， 產(chǎn) 生 相 對 滑 動 （ 趨 勢 ） 時(shí) ，其 接 觸 面 產(chǎn) 生 阻 止 物 體 運(yùn) 動 的 力 叫 滑 動 摩 擦 力 。 (就是 接 觸 面 對 物 體 作 用 的 切 向 約 束 反 力 ) 2、 狀 態(tài) ： 靜 止 ： 臨 界 ： （ 將 滑 未 滑 ） 滑 動 ： PF )( 不 固 定 值 FPNfF max NfF 6-3 滑 動 摩 擦一 、 靜 滑 動 摩 擦 力所 以 增 大 摩 擦 力 的 途 徑 為 ： 加 大 正 壓 力 N, 加 大 摩 擦 系 數(shù) f （ f 靜 滑 動 摩 擦 系 數(shù) ）（ f 動 摩 擦 系 數(shù) ） 二 、 動 滑 動 摩 擦 力 ： 與 靜 滑 動 摩 擦 力 不 同 的 是 產(chǎn) 生 了滑 動 大 小 ： （ 無 平 衡 范 圍 ）動 摩 擦 力 特 征 方 向 ： 與 物 體 運(yùn) 動 方 向 相 反 定 律 ： （ f 只 與 材 料 和 表 面 情 況有 關(guān) ， 與 接 觸 面 積 大 小 無 關(guān) 。 ）max0 FF 0XNfF max NfF NfF 3、 特 征 ： 大 小 ： (平 衡 范 圍 )滿 足靜 摩 擦 力 特 征 ： 方 向 ： 與 物 體 相 對 滑 動 趨 勢 方 向 相 反 定 律 ： (f 只 與 材 料 和 表 面 情 況有 關(guān) ， 與 接 觸 面 積 大 小 無 關(guān) 。 ) maxFm三 、 摩 擦 角 ： 定 義 ： 當(dāng) 摩 擦 力 達(dá) 到 最 大 值 時(shí) 其 全 反 力 與 法 線 的 夾 角 叫 做 摩 擦 角 。fNNfNFm maxtg 計(jì) 算 ： 四 、 自 鎖 定 義 ： 當(dāng) 物 體 依 靠 接 觸 面 間 的 相 互 作 用 的 摩 擦 力與 正 壓 力 （ 即 全 反 力 ） ， 自 己 把 自 己 卡 緊 ， 不 會 松開 （ 無 論 外 力 多 大 ） ， 這 種 現(xiàn) 象 稱 為 自 鎖 。 當(dāng) 時(shí) ， 永 遠(yuǎn) 平 衡 （ 即 自鎖 ） 自 鎖 條 件 ： m 摩 擦 系 數(shù) 的 測 定 ： OA繞 O 軸 轉(zhuǎn) 動 使 物 塊 剛 開 始 下滑 時(shí) 測 出 角 ， tg =f , (該 兩 種 材 料 間 靜 摩 擦 系 數(shù) )fNNfNFm maxtg 自 鎖 應(yīng) 用 舉 例 6-4 考 慮 滑 動 摩 擦 時(shí) 的 平 衡 問 題 考 慮 摩 擦 時(shí) 的 平 衡 問 題 ， 一 般 是 對 臨 界 狀 態(tài) 求解 ， 這 時(shí) 可 列 出 的 補(bǔ) 充 方 程 。 其 它 解 法與 平 面 任 意 力 系 相 同 。 只 是 平 衡 常 是 一 個(gè) 范 圍 （ 從例 子 說 明 ） 。 NfF max例 1 已 知 ： =30， G =100N， f =0.2 求 ： 物 體靜 止 時(shí) ， 水 平 力 Q的 平 衡 范 圍 。 當(dāng) 水 平 力 Q = 60N時(shí) ， 物 體 能 否 平 衡 ？ 解 ： 先 求 使 物 體 不 致 于 上 滑 的 圖 (1)maxQNfF GQNY FGQX maxmax maxmax : 0cossin ,0 0sincos ,0 補(bǔ) 充 方 程由 tg1tg : max f fGQ 解 得 tgtg1 tgtg m m G )(tg m G tgtg1 tgtg)(tg : m mm 應(yīng) 用 三 角 公 式 同 理 ： 再 求 使 物 體 不 致 下 滑 的 圖 (2) minQ ) ( tg tg1tgsin cos cossin mmin Gf fGGffQ解 得 ： 平 衡 范 圍 應(yīng) 是 maxmin QQQ 例 2 梯 子 長 AB=l， 重 為 P， 若 梯 子 與 墻 和 地 面 的 靜 摩 擦 系 數(shù) f =0.5, 求 多 大 時(shí) ， 梯 子 能 處 于 平 衡 ？解 ： 考 慮 到 梯 子 在 臨 界 平 衡 狀 態(tài) 有 下 滑 趨 勢 ， 做 受 力 圖 。 )2(0 ,0 )1(0 ,0 PFNY FNX BA AB由 )5()4( BB AA NfF NfF )3( 0sincoscos2 ,0 minminmin lNlFlPm BBA )3(1,1,1: 222 代 入解 得 fPPFffPNfPN BBA 022min 87365.02 5.01arctg21arctg: ff得注 意 ， 由 于 不 可 能 大 于 ， 所 以 梯 子 平 衡 傾 角 應(yīng)滿 足 90 00 908736 由 實(shí) 踐 可 知 ， 使 滾 子 滾 動 比 使 它 滑 動 省 力 ， 下圖 的 受 力 分 析 看 出 一 個(gè) 問 題 ， 即 此 物 體 平 衡 ， 但 沒有 完 全 滿 足 平 衡 方 程 。 )(0,0 0,0 0,0 不 成 立 rQM NPY FQX AQ與 F形 成 主 動 力 偶 使 前 滾 6-5 滾 動 摩 擦 出 現(xiàn) 這 種 現(xiàn) 象 的 原 因 是 ，實(shí) 際 接 觸 面 并 不 是 剛 體 ， 它 們在 力 的 作 用 下 都 會 發(fā) 生 一 些 變形 ， 如 圖 ： 此 力 系 向A點(diǎn) 簡 化 滾 阻 力 偶 M隨 主 動 力 偶 （ Q , F） 的 增 大 而 增 大 ; 有 個(gè) 平 衡 范 圍 ;滾 動 摩 擦 與 滾 子 半 徑 無 關(guān) ; 滾 動 摩 擦 定 律 ： ， d 為 滾 動 摩 擦 系 數(shù) 。 max0 MM maxM NM dmax滾 阻 力 偶 與 主 動 力 偶 （ Q,F） 相 平 衡 d 滾 動 摩 擦 系 數(shù) d 的 說 明 ： 有 長 度 量 綱 ， 單 位 一 般 用 mm,cm； 與 滾 子 和 支 承 面 的 材 料 的 硬 度 和 溫 度 有 關(guān) 。 d 的 物 理 意 義 見 圖 示 。根 據(jù) 力 線 平 移 定 理 ， 將 N和 M合 成 一 個(gè) 力 N ， N=NNMd NdNdM d d 從 圖 中 看 出 ， 滾 阻 力 偶 M的 力 偶 臂 正 是 d（ 滾 阻 系 數(shù) ） ，所 以 ， d 具 有 長 度 量 綱 。 由 于 滾 阻 系 數(shù) 很 小 ， 所 以 在 工 程 中 大 多 數(shù) 情 況 下 滾 阻 力偶 不 計(jì) ， 即 滾 動 摩 擦 忽 略 不 計(jì) 。 d 摩 擦 習(xí) 題 課 本 章 小 結(jié) 一 、 概 念 ： 1、 摩 擦 力 -是 一 種 切 向 約 束 反 力 ， 方 向 總 是 與 物 體 運(yùn) 動 趨 勢 方 向 相 反 。a. 當(dāng) 滑 動 沒 發(fā) 生 時(shí) Ff N (F=P 外 力 )b. 當(dāng) 滑 動 即 將 發(fā) 生 時(shí) Fmax=f N c. 當(dāng) 滑 動 已 經(jīng) 發(fā) 生 時(shí) F =f N (一 般 f 動 f 靜 ) 2、 全 反 力 與 摩 擦 角 a.全 反 力 R（ 即 F 與 N 的 合 力 ） b. 當(dāng) 時(shí) ， 物 體 不 動 （ 平 衡 ） 。3、 自 鎖 當(dāng) 時(shí) 自 鎖 。m m 二 、 內(nèi) 容 ： 1、 列 平 衡 方 程 時(shí) 要 將 摩 擦 力 考 慮 在 內(nèi) ； 2、 解 題 方 法 ： 解 析 法 幾 何 法 3、 除 平 衡 方 程 外 ， 增 加 補(bǔ) 充 方 程 (一 般 在 臨 界 平 衡 4、 解 題 步 驟 同 前 。 狀 態(tài) 計(jì) 算 ）三 、 解 題 中 注 意 的 問 題 ： 1、 摩 擦 力 的 方 向 不 能 假 設(shè) ， 要 根 據(jù) 物 體 運(yùn) 動 趨 勢 來 判 斷 。 （ 只 有 在 摩 擦 力 是 待 求 未 知 數(shù) 時(shí) ， 可 以 假 設(shè) 其 方 向 ） 2、 由 于 摩 擦 情 況 下 ， 常 常 有 一 個(gè) 平 衡 范 圍 ， 所 以 解 也 常 常 是 力 、 尺 寸 或 角 度 的 一 個(gè) 平 衡 范 圍 。 （ 原 因 是 和 ） NfF maxm NfF 四 、 例 題例 1 作 出 下 列 各 物 體 的 受 力 圖 例 2 作 出 下 列 各 物 體 的 受 力 圖 P 最 小 維 持 平 衡 P 最 大 維 持 平 衡狀 態(tài) 受 力 圖 ； 狀 態(tài) 受 力 圖 例 3 構(gòu) 件 1及 2用 楔 塊 3聯(lián) 結(jié) ， 已 知 楔 塊 與 構(gòu) 件 間 的 摩 擦 系 數(shù) f=0.1, 求 能 自 鎖 的 傾 斜 角 。 解 ： 研 究 楔 塊 ， 受 力 如 圖 0cos)cos(,0 1 RRX由 1: RR由 二 力 平 衡 條 件 時(shí) 能 自 鎖即 當(dāng) 極 限 狀 態(tài)又 26112 )( 26112 4351.0tg ,1.0tg 2 , 00 01 f 例 4 已 知 ： B塊 重 Q=2000N， 與 斜 面 的 摩 擦 角 =15 ， A塊與 水 平 面 的 摩 擦 系 數(shù) f=0.4， 不 計(jì) 桿 自 重 。 求 ： 使 B塊 不 下 滑 ， 物 塊 A最 小 重 量 。解 ： 研 究 B塊 ， 若 使 B塊 不 下 滑 Q QRS RSX QR QRY )(ctg )sin( )cos()cos( 0)cos(,0 )sin( 0)sin(,0 由 )N(500020004.0 )1530(ctg)(ctg ,0 ,0 QffSP PfNfSFSX 再 研 究 A塊 練 習(xí) 1 已 知 ： Q=10N， f 動 =0.1 f 靜 =0.2求 ： P=1 N; 2N, 3N 時(shí) 摩 擦 力 F？解 ： N2 ,0 ,N 2 PFXP 由時(shí)所 以 物 體 運(yùn) 動 ： 此 時(shí) N11.010 fNF 動 （ 沒 動 ， F 等 于 外 力 ）（ 臨 界 平 衡 ）（ 物 體 已 運(yùn) 動 ）N2102.0 max NfF 靜 N1 ,0 ,N 1 PFXP 由時(shí) N2N3 ,N 3 max FPP 時(shí) 練 習(xí) 2 已 知 A塊 重 500N， 輪 B重 1000N， D輪 無 摩 擦 ， E 點(diǎn) 的 摩 擦 系 數(shù) fE=0.2， A點(diǎn) 的 摩 擦 系 數(shù) fA=0.5。求 ： 使 物 體 平 衡 時(shí) 塊 C的 重 量 Q=？解 ： A不 動 （ 即 i點(diǎn) 不 產(chǎn) 生 平 移 ） 求 Q N2505005.0 11 NfFT A由 于1 N2505005.0 T 0)cos1010(cossin10sin15 QQT分 析 輪 有 0coscossin1015 22 QT )N(208)541(10 25015cos110 15 TQ 0 Em由 E 點(diǎn) 不 產(chǎn) 生 水 平 位 移 )531000(2.02.0: QNfNF E即 Qmi 可 得由 0 )N(3848.73000 : 068.13000 : 0)cos5.0cos(sin10)6.01000(2.015 0)5cos10(cossin10sin15 22 Q QQ QQ QQF即化 簡 B輪 不 向 上 運(yùn) 動 ， 即 N0 ;0sin,0 QGNY B由 )N(16706.01000,0531000sin QQQGN B 顯 然 ,如 果 i,E兩 點(diǎn) 均 不 產(chǎn) 生 運(yùn) 動 ,Q必 須 小 于 208N,即)N(208 maxQ 補(bǔ) 充 方 程 fNF 21 QQ Pf 當(dāng) 時(shí) ， 能 滾 過 去 （ 這 是 小 球 與 地 面 的 f 條 件 ） 21 QQ Pf 練 習(xí) 3 已 知 ： P、 D、 d、 Q1、 Q2， P為 水 平 。 求 ： 在 大 球 滾 過 小 球 時(shí) ， f=?解 ： 研 究 整 體 FPX ,0由 fQQP )( 21將 、 代 入 得 ：要 保 證 大 球 滾 過 小 球 ， 必 須 使 大 球 與 小 球 之 間 不 打 滑21,0 QQNY 0cos)90cos(,0 10 NFPX PFDPDFmO ,022,0由 求 大 球 與 小 球 之 間 的 f , 研 究 大 球 0cossin 1 NPP 補(bǔ) 充 方 程 fFNfNF 11 ,將 代 入 得 ： 0cossin fPPP又 dDDddD dDdD dD 2sin1cos,22 22sin 2 當(dāng) 時(shí) 能 滾 過 小 球Ddf結(jié) 論 ： 當(dāng) 和 時(shí) 能 保 證 大 球 能 滾 過 小 球 的 條 件 。 Ddf21 QQ Pf Ddf sin1cos解 得 ：注 大 球 與 小 球 間 的 f又 一 種 求 法 ： 1tg QPf 解 ： 作 法 線 AH和 BH 作 A,B點(diǎn) 的 摩 擦 角 交 E,G兩 點(diǎn) E,G兩 點(diǎn) 間 的 水 平 距 離 l為 人 的 活 動 范 圍練 習(xí) 4 水 平 梯 子 放 在 直 角 V形 槽 內(nèi) ， 略 去 梯 重 ， 梯 子 與 兩 個(gè) 斜面 間 的 摩 擦 系 數(shù) （ 摩 擦 角 均 為 ） ， 如 人 在 梯 子 上 走 動 ， 試 分 析不 使 梯 子 滑 動 ， 人 的 活 動 應(yīng) 限 制 在 什 么 范 圍 內(nèi) ？l 090 AGBAEB )60cos()30sin()60cos( )30cos()60sin()30cos( 000 000 ABBGBD ABAEAC所 以 人 在 AC和 BD段 活 動都 不 能 滿 足 三 力 平 衡 必 匯交 的 原 理 ， 只 有 在 CD段活 動 時(shí) ， 才 能 滿 足 三 力平 衡 必 匯 交 ， 能 交 上（ 有 交 點(diǎn) ）證 明 ： 由 幾 何 關(guān) 系 空 間 平 行 力 系 ， 當(dāng) 它有 合 力 時(shí) ， 合 力 的 作 用 點(diǎn)C就 是 此 空 間 平 行 力 系 的中 心 。 而 物 體 重 心 問 題 可以 看 成 是 空 間 平 行 力 系 中心 的 一 個(gè) 特 例 。 6-6 平 行 力 系 的 中 心 、 物 體 的 重 心一 、 空 間 平 行 力 系 的 中 心 、 物 體 的 重 心1、 平 行 力 系 的 中 心由 合 力 矩 定 理 ： )()( iOO FmRm nnC FrFrFrRr 2211 0110, PFFPRR 令 nnC rFrFrFrR 2211 iiinnC FrFR rFrFrFr 2211 RzFzRyFyRxFx iiCiiCiiC , , :投 影 式 如 果 把 物 體 的 重 力 都 看成 為 平 行 力 系 ， 則 求 重心 問 題 就 是 求 平 行 力 系的 中 心 問 題 。 由 合 力 矩定 理 ： iiC xPxP 物 體 分 割 的 越 多 ， 每 一 小 部 分 體 積 越 小 ， 求 得 的重 心 位 置 就 越 準(zhǔn) 確 。 在 極 限 情 況 下 ， ， 常 用積 分 法 求 物 體 的 重 心 位 置 。二 、 重 心 坐 標(biāo) 公 式 ： n iiC yPyP 根 據(jù) 物 體 的 重 心 位 置與 物 體 放 置 的 位 置 無 關(guān) 的性 質(zhì) ， 將 物 體 與 坐 標(biāo) 系 統(tǒng)繞 x軸 轉(zhuǎn) 動 力 90， 再 應(yīng) 用合 力 矩 定 理 對 x 軸 取 矩 得 ： iiC zPPz 綜 合 上 述 得 重 心 坐 標(biāo) 公 式 為 ： P zPzP yPyP xPx iiCiiCiiC ,若 以 Pi= mig , P=Mg 代 入 上 式 可 得 質(zhì) 心 公 式M zmzM ymyM xmx iiCiiCiiC , 設(shè) i表 示 第 i個(gè) 小 部 分 每 單 位 體 積 的 重 量 ， Vi第 i個(gè)小 體 積 ， 則 ， 代 入 上 式 并 取 極 限 ， 可 得 ：式 中 ， 上 式 為 重 心 C 坐 標(biāo) 的 精 確 公 式 。 PdVzzPdVyyPdVxx VCVCVC , iii VP V dVP 對 于 均 質(zhì) 物 體 ， =恒 量 ， 上 式 成 為 ： VdVzzVdVyyVdVxx VCVCVC ,同 理 對 于 薄 平 面 和 細(xì) 長 桿 均 可 寫 出 相 應(yīng) 的 公 式 。 同 理 ： 可 寫 出 均 質(zhì) 體 ， 均 質(zhì) 板 ， 均 質(zhì) 桿 的 形 心（ 幾 何 中 心 ） 坐 標(biāo) 分 別 為 ： V zVzV yVyV xVx iiCiiCiiC ,:立 體 A zAzA yAyA xAx ii CiiCiiC ,:平 板 l zlzl ylyl xlx iiCiiCiiC ,:細(xì) 桿 解 ： 由 于 對 稱 關(guān) 系 ， 該 圓 弧 重 心 必 在 Ox軸 ， 即yC=0。 取 微 段 dRdL R dRLdLxx LC 2cos 2 sinRx C 下 面 用 積 分 法 求 物 體 的 重 心 實(shí) 例 ：例 求 半 徑 為 R， 頂 角 為 2 的 均 質(zhì) 圓 弧 的 重 心 。O cosRx 三 、 重 心 的 求 法 ： 組 合 法 cm4.6 21 2211 SS ySyS A yAy iiC由解 ： cm248 cm4 21 ,80cm 212 221 )R(y,y,RSS 求 ： 該 組 合 體 的 重 心 ？已 知 ： 0)( FmB由 01 CxPlP稱 PlPxC 1 稱簡 單 圖 形 的 面 積 及 重 心 坐 標(biāo) 公 式 可 由 表 中 查 出 。 實(shí) 驗(yàn) 法 ： 懸 掛 法 稱 重 法