概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

教 師凡 震 彬 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 揚(yáng) 州 大 學(xué) 數(shù) 學(xué) 科 學(xué) 學(xué) 院 序序序 言言言概 率 論 與 數(shù) 理 統(tǒng) 計(jì)是 研 究 什 么 的 ？ 引 言一 .確 定 性 現(xiàn) 象 與 隨 機(jī) 現(xiàn) 象1.確 定 性 現(xiàn) 象 :在 一 定 的 條 件 下 , 現(xiàn) 象 的 結(jié) 果 只有 一 個(gè) ,事 先 可 以 預(yù) 言 其 結(jié) 果 的 現(xiàn) 象 .如 : A. 在 標(biāo) 準(zhǔn) 大 氣 壓 條 件 下 ， 溫 度 達(dá) 到 100的 純 水 ,一 定 會(huì) 沸 騰 ； B. 樹 上 的 蘋 果 一 旦 成 熟 ,一 定 會(huì) 落 到 地 上 .2. 隨 機(jī) 現(xiàn) 象 :在 一 定 的 條 件 下 , 現(xiàn) 象 的 結(jié) 果 不止 一 個(gè) ,事 先 無 法 預(yù) 言 會(huì) 出 現(xiàn) 哪 一 個(gè) 結(jié) 果 的現(xiàn) 象 .如 :A. 拋 一 枚 質(zhì) 地 均 勻 的 硬 幣 ， 擲 出 哪 一 面 ？ B. 拋 一 枚 質(zhì) 地 均 勻 的 骰 子 ,擲 出 哪 一 點(diǎn) ？ 從 表 面 上 看 ， 隨 機(jī) 現(xiàn) 象 無 規(guī) 律 可 循 .但 是 如果 我 們 對(duì) 隨 機(jī) 現(xiàn) 象 進(jìn) 行 大 量 試 驗(yàn) ， 就 可 以 發(fā) 現(xiàn)其 規(guī) 律 性 .歷 史 上 曾 有 兩 位 數(shù) 學(xué) 家 對(duì) “ 拋 擲 硬幣 ” 的 隨 機(jī) 現(xiàn) 象 經(jīng) 過 試 驗(yàn) ,統(tǒng) 計(jì) 出 其 規(guī) 律 性 .總 次 數(shù) n 出 現(xiàn) 正 面 次 數(shù) /n法 buffon 4040 2048 0.5069英 Pearson 12000 6019 0.5016英 Pearson 24000 12012 0.5005 從 上 表 可 知 ,隨 著 試 驗(yàn) 次 數(shù) 的 不 斷 增 加 ,出現(xiàn) 正 面 與 反 面 的 次 數(shù) 差 不 多 ， 即 出 現(xiàn) 正 面 與反 面 的 可 能 性 大 小 一 樣 ,分 別 是 1/2.這 就 是“ 擲 硬 幣 ” 這 一 現(xiàn) 象 的 內(nèi) 在 規(guī) 律 性 .二 .概 率 論 的 研 究 對(duì) 象 概 率 論 是 從 數(shù) 量 上 研 究 隨 機(jī) 現(xiàn) 象 及 其 規(guī) 律 性的 一 門 數(shù) 學(xué) 分 支 . 它 是 高 等 學(xué) 校 工 科 類 ， 經(jīng) 濟(jì) 類 專 業(yè) 的 學(xué) 生 ，應(yīng) 該 學(xué) 好 的 重 要 基 礎(chǔ) 課 程 .它 理 論 嚴(yán) 謹(jǐn) , 應(yīng) 用廣 泛 ， 發(fā) 展 迅 速 ， 是 與 實(shí) 際 問 題 比 較 接 近 的數(shù) 學(xué) 課 程 . 希 望 大 家 把 握 學(xué) 習(xí) 方 法 ， 認(rèn) 真 學(xué) 習(xí) ，把 這 門 不 易 學(xué) 好 的 課 程 學(xué) 好 . 無 序 隱 有 序 ，悟 道 詩(shī)嚴(yán) 加 安 （ 中 科 院 院 士 ）隨 機(jī) 非 隨 意 ，概 率 破 玄 機(jī) 。統(tǒng) 計(jì) 來 解 迷 。 2. 概 率 論 與 數(shù) 理 統(tǒng) 計(jì) 浙 江 大 學(xué) 盛 驟 編高 等 教 育 出 版 社參 考 書 ：1. 概 率 論 同 濟(jì) 大 學(xué) 編 高 等 教 育 出 版 社教 材 ： 概 率 論 與 數(shù) 理 統(tǒng) 計(jì) 宗 序 平 等編 機(jī) 械 工 業(yè) 出 版 社3. 概 率 論 與 數(shù) 理 統(tǒng) 計(jì) (經(jīng) 管 類 ） 吳 贛 昌 編 中 國(guó) 人 民 大 學(xué) 出 版 社 國(guó) 內(nèi) 有 關(guān) 經(jīng) 典 著 作1. 概 率 論 基 礎(chǔ) 及 其 應(yīng) 用 王 梓 坤 著 科 學(xué) 出 版 社 1976 年 版 2. 數(shù) 理 統(tǒng) 計(jì) 引 論 陳 希 儒 著 科 學(xué) 出 版 社 1981年 版國(guó) 外 有 關(guān) 經(jīng) 典 著 作 1. 概 率 論 的 分 析 理 論 P.- S.拉 普 拉 斯 著 1812年 版 2. 統(tǒng) 計(jì) 學(xué) 數(shù) 學(xué) 方 法 H. 克 拉 默 著 1946年 版 概 率 論 的 最 早 著 作數(shù) 理 統(tǒng) 計(jì) 最 早 著 作 概 率 論 的 起 源概 率 論 其 起 源 于 博 弈 問 題 .16世 紀(jì) 意 大 利 學(xué) 者 開 始 研 究 擲 骰 子 等 賭 博中 的 一 些 問 題 ； 17世 紀(jì) 中 葉 ， 法 國(guó) 數(shù) 學(xué) 家 B. 帕斯 卡 、 荷 蘭 數(shù) 學(xué) 家 C. 惠 更 斯 基 于 排 列 組 合 的 方法 ， 研 究 了 較 復(fù) 雜 的 賭 博 問 題 ， 解 決 了 “ 合理分 配 賭 注 問 題 ” ( 即 得 分 問 題 ). 得 分 問 題 甲 、 乙 兩 人 各 出 同 樣 的 賭 注 ， 用 擲硬 幣 作 為 博 奕 手 段 . 每 擲 一 次 ， 若 正 面 朝上 ， 甲 得 1 分 乙 不 得 分 . 反 之 ， 乙 得 1分 ，甲 不 得 分 . 誰(shuí) 先 得 到 規(guī) 定 分 數(shù) 就 贏 得 全 部賭 注 . 當(dāng) 進(jìn) 行 到 甲 還 差 2分 乙 還 差 3分 ， 就分 別 達(dá) 到 規(guī) 定 分 數(shù) 時(shí) ， 發(fā) 生 了 意 外 使 賭局不 能 進(jìn) 行 下 去 ， 問 如 何 公 平 分 配 賭 注 ？ 11/16,5/16 本 學(xué) 科 的 應(yīng) 用概 率 統(tǒng) 計(jì) 理 論 與 方 法 的 應(yīng) 用 幾 乎 遍 及所 有 科 學(xué) 技 術(shù) 領(lǐng) 域 、 工 農(nóng) 業(yè) 生 產(chǎn) 和 國(guó) 民 經(jīng)濟(jì) 的 各 個(gè) 部 門 中 . 例 如 1. 氣 象 、 水 文 、 地 震 預(yù) 報(bào) 、 人 口 控 制及 預(yù) 測(cè) 都 與 概 率 論 緊 密 相 關(guān) ；2. 產(chǎn) 品 的 抽 樣 驗(yàn) 收 ， 新 研 制 的 藥 品 能否 在 臨 床 中 應(yīng) 用 ， 均 要 用 到 假 設(shè) 檢 驗(yàn) ； 3. 尋 求 最 佳 生 產(chǎn) 方 案 要 進(jìn) 行 實(shí) 驗(yàn) 設(shè) 計(jì) 和 數(shù) 據(jù) 處 理 ；4. 電 子 系 統(tǒng) 的 設(shè) 計(jì) , 火 箭 衛(wèi) 星 的 研 制 及 其發(fā) 射 都 離 不 開 可 靠 性 估 計(jì) ; 5. 處 理 通 信 問 題 , 需 要 研 究 信 息 論 ；6. 探 討 太 陽(yáng) 黑 子 的 變 化 規(guī) 律 時(shí) , 時(shí) 間序 列 分 析 方 法 非 常 有 用 ;7. 研 究 化 學(xué) 反 應(yīng) 的 時(shí) 變 率 ， 要 以 馬 爾可 夫 過 程 來 描 述 ; 8. 生 物 學(xué) 中 研 究 群 體 的 增 長(zhǎng) 問 題 時(shí) ，提 出 了 生 滅 型 隨 機(jī) 模 型 ， 傳 染 病流行 問 題 要 用 到 多 變 量 非 線 性 生 滅 過 程 ；9. 許 多 服 務(wù) 系 統(tǒng) ， 如 電 話 通 信 、 船 舶裝 卸 、 機(jī) 器 維 修 、 病 人 候 診 、 存 貨 控 制 、水 庫(kù) 調(diào) 度 、 購(gòu) 物 排 隊(duì) 、 紅 綠 燈 轉(zhuǎn) 換 等 ， 都可 用 一 類 概 率 模 型 來 描 述 ， 其 涉 及 到 的 知識(shí) 就 是 排 隊(duì) 論 .目 前 , 概 率 統(tǒng) 計(jì) 理 論 進(jìn) 入 其 他 自 然 科 學(xué) 領(lǐng) 域 的 趨 勢(shì) 還 在 不 斷 發(fā) 展 . 在 社 會(huì) 科 學(xué) 領(lǐng)領(lǐng) 域 , 特 別 是 經(jīng) 濟(jì) 學(xué) 中 研 究 最 優(yōu) 決 策 和 經(jīng)濟(jì) 的 穩(wěn) 定 增 長(zhǎng) 等 問 題 , 都 大 量 采 用 概 率統(tǒng) 計(jì) 方 法 . 法 國(guó) 數(shù) 學(xué) 家 拉 普 拉 斯 (Laplace)說 : “ 生 活 中 最 重 要 的 問 題 , 其 中 絕 大 多 數(shù)在 實(shí) 質(zhì) 上 只 是 概 率 的 問 題 .”英 國(guó) 的 邏 輯 學(xué) 家 和 經(jīng) 濟(jì) 學(xué) 家 杰 文 斯 曾對(duì) 概 率 論 大 加 贊 美 ： “ 概 率 論 是 生 活 真 正的 領(lǐng) 路 人 , 如 果 沒 有 對(duì) 概 率 的 某 種 估 計(jì) , 那么 我 們 就 寸 步 難 行 , 無 所 作 為 . 第 一 章 隨 機(jī) 事 件 及 其 概 率隨 機(jī) 事 件 及 其 運(yùn) 算概 率 的 定 義 及 古 典 概 型概 率 的 加 法 公 式概 率 的 乘 法 公 式 與 事 件 的 獨(dú) 立 性全 概 率 公 式 與 Bayes公 式n重 貝 努 利 概 型 1.1 隨 機(jī) 事 件 及 其 運(yùn) 算一 、 隨 機(jī) 試 驗(yàn) 與 樣 本 空 間 概 率 論 的 研 究 對(duì) 象 是 隨 機(jī) 現(xiàn) 象 ,而 對(duì) 隨 機(jī) 現(xiàn)象 是 通 過 試 驗(yàn) 來 研 究 的 .1.隨 機(jī) 試 驗(yàn)對(duì) 某 事 物 特 征 進(jìn) 行 觀 察 , 統(tǒng) 稱 試 驗(yàn) .定 義 :若 試 驗(yàn) 滿 足1.可 在 相 同 的 條 件 下 重 復(fù) 進(jìn) 行 ；2.試 驗(yàn) 的 可 能 結(jié) 果 不 止 一 個(gè) , 但 事 先 能明 確 所 有 可 能 發(fā) 生 的 結(jié) 果 ；3. 試 驗(yàn) 前 不 能 預(yù) 知 出 現(xiàn) 哪 種 結(jié) 果 ; 稱 此 試 驗(yàn) 為 簡(jiǎn) 單 隨 機(jī) 試 驗(yàn) ， 簡(jiǎn) 稱 隨 機(jī) 試 驗(yàn) 。常 用 T或 E來 表 示 .例 1.1 T1: 擲 一 枚 質(zhì) 地 均 勻 的 硬 幣 ， 觀 察 其 出現(xiàn) 正 面 還 是 反 面 。例 1.2 T2: 擲 一 枚 質(zhì) 地 均 勻 的 骰 子 ， 觀 察 其 出現(xiàn) 的 點(diǎn) 數(shù) 。例 1.3 T3: 記 錄 某 電 話 臺(tái) 一 小 時(shí) 內(nèi) 接 到 的 電 話 呼喚 次 數(shù) 。例 1.4 T4: 在 一 批 燈 泡 中 任 取 一 只 ， 測(cè) 試 某 壽 命 。 2.樣 本 點(diǎn) 與 樣 本 空 間 樣 本 點(diǎn) : 試 驗(yàn) 的 每 一 個(gè) 可 能 發(fā) 生 的結(jié) 果 稱 為 一 個(gè) 樣 本 點(diǎn) ,記 為 . 樣 本 空 間 ： 隨 機(jī) 試 驗(yàn) 的 所 有 可 能 結(jié) 果 所組 成 的 集 合 稱 為 樣 本 空 間 ， 記 為 。這 里 要 說 明 的 是 ： 樣 本 點(diǎn) 及 樣 本 空 間 只 是 特 殊 的 元 素 與集 合 而 已 . 例 1.1 T1: 擲 一 枚 質(zhì) 地 均勻 的 硬 幣 ， 觀 察 其 出 現(xiàn)正 面 還 是 反 面 。例 1.2 T2: 擲 一 枚 質(zhì) 地 均勻 的 骰 子 ， 觀 察 其 出 現(xiàn)的 點(diǎn) 數(shù) 。例 1.3 T3: 記 錄 某 電 話 臺(tái)一 小 時(shí) 內(nèi) 接 到 的 電 話 呼喚 次 數(shù) 。例 1.4 T 4: 在 一 批 燈 泡 中任 取 一 只 ， 測(cè) 試 某 壽 命 。 有 限 樣 本 空 間 1 正 ， 反 6,3,2,12 有 限 樣 本 空 間,2,1,03 可 數(shù) 的 無 限 樣 本 空 間0|4 tt不 可 數(shù) 的 無 限 樣 本 空 間 樣本空間 有 限 樣 本 空 間無 限 樣 本 空 間 可 數(shù) 樣 本 空 間不 可 數(shù) 樣 本 空 間注 1： 樣 本 空 間 可 以 由 數(shù) 組 成 ， 也 可 以 不 是 數(shù) 組 成 ；注 2： 最 簡(jiǎn) 單 的 樣 本 空 間 由 兩 個(gè) 樣 本 點(diǎn) 構(gòu) 成 ； 二 、 隨 機(jī) 事 件注 ： 1.這 里 的 結(jié) 果 既 包 含 試 驗(yàn) T的 可 能 結(jié) 果 或 試 驗(yàn) 的更 加 復(fù) 雜 的 結(jié) 果 .如 在 例 1.2的 T2中 ： A=“ 擲 出 5點(diǎn) ” ； B=“ 擲 出 奇數(shù) 點(diǎn) ” ； C= “ 擲 出 的 點(diǎn) 數(shù) 不 大 于 3” .2.事 件 可 以 理 解 為 樣 本 空 間 的 子 集 合 .如 ： A=“ 擲 出 5點(diǎn) ” = 5B=“ 擲 出 奇 數(shù) 點(diǎn) ” = 1， 3， 5C= “ 擲 出 的 點(diǎn) 數(shù) 不 大 于 3” = 1， 2， 3 .再 如 ： D= 2， 4， 6 =“ 擲 出 偶 數(shù) 點(diǎn) ”定 義 ： 把 試 驗(yàn) 的 結(jié) 果 稱 為 事 件 ， 常 用 大 寫 字 母A， B， C 來 表 示 . 例 1.2 T2: 擲 一 枚 質(zhì) 地 均 勻 的 骰 子 ， 觀 察其 出 現(xiàn) 的 點(diǎn) 數(shù) 。事 件 ： A=“擲 出 5點(diǎn) ” = 5 ； B=“擲 出 奇 數(shù) 點(diǎn) ” = 1， 3， 5 ； C=“擲 出 的 點(diǎn) 數(shù) 不 大 于 3”= 1， 2 ， 3 。例 1.3 T3: 記 錄 某 電 話 臺(tái) 一 小 時(shí) 內(nèi) 接 到 的 電 話 呼喚 次 數(shù) 。事 件 ： A=“一 小 時(shí) 內(nèi) 接 到 的 10次 呼 喚 ” = 10 ； B=“一 小 時(shí) 內(nèi) 接 到 的 不 少 于 100次 呼 喚 ” = 100 ， 101 ， 102 ， 。 ,而 是 由 全 體 樣 本 點(diǎn) 組 成 集 合 ,它在 一 次 試 驗(yàn) 中 必 然 發(fā) 生 ,把 稱 為 必 然 事 件同 樣 ,H= “ 擲 出 的 點(diǎn) 數(shù) 小 于 10” = 注 3:因 為 ， 用 表 示 不 可 能 事 件 。如 :T2: 擲 一 枚 質(zhì) 地 均 勻 的 骰 子 ， 觀 察 其 出 現(xiàn)的 點(diǎn) 數(shù) 。 F = “ 擲 出 的 點(diǎn) 數(shù) 小 于 0” = A 隨 機(jī) 事 件 的 關(guān) 系 和 運(yùn) 算雷 同 集 合 的 關(guān) 系 和 運(yùn) 算文 氏 圖 ( Venn diagram ) 三 、 事 件 的 關(guān) 系 和 運(yùn) 算 (2)性 質(zhì) : BA(1)定 義 :若 事 件 A 發(fā) 生 必 然 導(dǎo) 致 事 件 B 發(fā) 生 ,則 稱 A 包 含 于 B,記 為1. 事 件 的 包 含2. 事 件 的 相 等 A B A CACBBA , ABBABA , A B 或 BA BAA B(1)定 義 :把 “ 事 件 A與 事 件 B 至 少 有 一 個(gè) 發(fā) 生 ”的 事 件 ,稱 為 A 與 B 的 和 事 件 ,記nAAA , 21 的 和 事 件 ni iA1 1i iA(2):推 廣 3. 事 件 的 并 (和 ) A B “ 至 少 有 一 個(gè) 發(fā) 生 ” nAAA , 21 “ 至 少 有 一 個(gè) 發(fā) 生 ” , 21 nAAA 的 和 事 件 , 21 nAAA A B 或 AB(1)定 義 :把 “ 事 件 A與事 件 B 同 時(shí) 發(fā) 生 ” 的事 件 稱 為 A 與 B 的 積事 件 ,記 為 nAAA , 21 的 積 事 件 ni iA1 , 21 nAAA 的 積 事 件 ( 1i iA4. 事 件 的 交 (積 ) ABA B(2)推 廣 (1)定 義 :A 與 B 互 不 相 容若 A、 B不 可 能 同 時(shí) 發(fā) 生 即 AB= A BnAAA , 21 兩 兩 互 不 相 容 (互 不 相 容 ) , 21 nAAA 兩 兩 互 不 相 容 (互 不 相 容 )njijiAA ji ,2,1, ,2,1, jijiAA ji5.互 不 相 容 關(guān) 系 (互 斥 關(guān) 系 )(2)推 廣 (1)定 義 :若 A 與 B 滿 足,AB A B ABAB稱 A 與 B 相 互 對(duì) 立 的 ,并 且 把 B稱 為 A 的 對(duì) 立 事 件 ,(2)性 質(zhì)6.對(duì) 立 關(guān) 系 A注 :這 里 每 次 試 驗(yàn) A、 B中 有 且 只 有 一 個(gè) 發(fā) 生 ,AA (1)定 義 ： 把 “ 事 件 A 發(fā) 生 ，但 事 件 B 不 發(fā) 生 ” 的 事 件 ，稱 為 A 與 B 的 差 事 件 ， 記為 A B BA7. 事 件 的 差 S A BA-B(a) A-B = ABA A(b)(2)性 質(zhì) 8. 完 備 事 件 組 ni iA1nAAA , 21 若 互 不 相 容 ， 且nAAA , 21 則 稱 為 完 備 事 件 組 . 1A nA 1nA2A 3A nAAA , 21 或 稱 為 的 一 個(gè) 劃 分 . 空 間 、 全 集空 集全 集 中 的 元 素集 合 A是 的 子 集集 合 A包 含 于 B集 合 A與 B相 等集 合 A與 B的 并集 合 A與 B的 交集 合 A的 余 集集 合 A與 B交 為 空集 合 A與 B的 差 集A=B A-B 集 合 論概 率 論記 號(hào) A BA BA ABBA A AB 樣 本 空 間 、 必 然 事 件不 可 能 事 件基 本 事 件 ， 樣 本 點(diǎn)事 件 A事 件 A發(fā) 生 必 然 導(dǎo) 致 B發(fā) 生事 件 A與 B相 等事 件 “ A， B至 少 有 一 個(gè) 發(fā)生 ”事 件 “ A， B同 時(shí) 發(fā) 生 ”A的 對(duì) 立 事 件 或 逆 事 件A,B事 件 互 不 相 容 (互 斥 )事 件 “ A發(fā) 生 ,B不 發(fā) 生 ” 四 .事 件 運(yùn) 算 的 運(yùn) 算 法 則1、 交 換 律 ： A B B A， AB BA2、 結(jié) 合 律 ： (A B) C A (B C) (AB)C A(BC)3、 分 配 律 ： (A B)C (AC) (BC) (AB) C (A C)(B C)4、 德 摩 根 (De Morgan)律 ： ., k kk kk kk k AAAA BAABBABA 可 推 廣 A、 B、 C 的 運(yùn) 算 關(guān) 系 表 示 下 列 事 件 ：123 456: : : : : : :AAAAAA“ 至 少 有 一 人 命 中 目 標(biāo) ”“ 恰 有 一 人 命 中 目 標(biāo) ”“ 恰 有 兩 人 命 中 目 標(biāo) ”“ 最 多 有 一 人 命 中 目 標(biāo) ”“ 三 人 均 命 中 目 標(biāo) ”“ 三 人 均 未 命 中 目 標(biāo) ” CBA CBACBACBA CBABCACAB BACACB ABC CBA 例 1.5： 甲 、 乙 、 丙 三 人 各 向 目 標(biāo) 射 擊 一 發(fā) 子 彈 ，以 A、 B、 C分 別 表 示 甲 、 乙 、 丙 命 中 目 標(biāo) ， 試 用 (4) ABC例 1.6 設(shè) 一 個(gè) 工 廠 生 產(chǎn) 三 個(gè) 零 件 ， 記 A=“ 第 一 個(gè)零 件 為 正 品 ” ， B=“ 第 二 個(gè) 零 件 為 正 品 ” ， C=“ 第 三 個(gè) 零 件 為 正 品 ” ， 試 用 事 件 A,B,C表 示 ：（ 1） 沒 有 一 個(gè) 零 件 為 次 品 ；（ 2） 只 有 A零 件 為 次 品 ；（ 3） 恰 一 個(gè) 零 件 為 次 品 ；（ 4） 至 少 有 一 個(gè) 零 件 為 次 品 ；解 （ 1） ABC BCA(2)CBABCACAB (3) 總 結(jié)一 、 隨 機(jī) 試 驗(yàn) 與 樣 本 空 間二 、 隨 機(jī) 事 件 及 運(yùn) 算三 、 隨 機(jī) 事 件 及 運(yùn) 算 法 則