《數(shù)學(xué)模型》淋雨模型-數(shù)學(xué)模型淋雨模型

淋 雨 量 模 型 要 在 雨 中 從 一 處 沿 直 線 跑 到 另 一 處 ， 若 雨 速 為 常數(shù) 且 方 向 不 變 ， 試 建 立 數(shù) 學(xué) 模 型 討 論 是 否 跑 得 越 快淋 雨 量 越 少 。 將 人 體 簡(jiǎn) 化 成 一 個(gè) 長(zhǎng) 方 體 ， 高 a=1.5m（ 頸 部 以下 ） ， 寬 b=0.5m， 厚 c=0.2m， 設(shè) 跑 步 的 距 離d=1000m， 跑 步 的 最 大 速 度 vm=5m/s， 雨 速 u=4m/s，降 雨 量 =2cm/h， 及 跑 步 速 度 為 v， 情 形 1、 不 考 慮 雨 的 方 向 ， 設(shè) 降 雨 淋 遍 全 身 ， 以最 大 速 度 跑 步 ， 估 計(jì) 跑 完 全 程 的 總 淋 雨 量 ;問 題提 出問 題分 析 情 形 2、 雨 從 迎 面 吹 來(lái) ， 雨 線 與 跑 步 方向 在 同 一 平 面 內(nèi) ， 且 與 人 體 的 夾 角 為 ，如 圖 1.建 立 總 淋 雨 量 與 速 度 v及 參 數(shù) a， b，c， d， u， ， 之 間 的 關(guān) 系 ， 問 速 度 v多大 ， 總 淋 雨 里 最 少 。 計(jì) 算 =0， =30 的總 淋 雨 量 . 情 形 3、 雨 從 背 面 吹 來(lái) ， 雨 線 方 向 跑 步 方向 在 同 一 平 面 內(nèi) ， 且 與 人 體 的 夾 角 為 ，如 圖 2.建 立 總 淋 雨 量 與 速 度 v及 參 數(shù) a， b，c， d， u， ， 之 間 的 關(guān) 系 ， 問 速 度 v多 大 ，總 淋 雨 量 最 小 。 計(jì) 算 =30 的 總 淋 雨 量 . 淋 雨 量 是 指 人 在 雨 中 行 走 時(shí) 全 身 所 接 收 到 得雨 的 體 積 ， 可 表 示 為 單 位 時(shí) 間 單 位 面 積 上 淋 雨 的 多少 與 接 收 雨 的 面 積 和 淋 雨 時(shí) 間 的 乘 積 ?？?得 ： 淋 雨 量 （ V） =降 雨 量 （ ） 人 體 淋 雨 面 積 （ S） 淋 浴 時(shí) 間 （ t） 時(shí) 間 （ t） =跑 步 距 離 （ d） 人 跑 步 速 度 （ v） 由 得 ： 淋 雨 量 （ V） = S d/v （ 1） 、 將 人 體 簡(jiǎn) 化 成 一 個(gè) 長(zhǎng) 方 體 ， 高 a=1.5m（ 頸 部 以下 ） ， 寬 b=0.5m， 厚 c=0.2m.設(shè) 跑 步 距 離 d=1000m， 跑 步 最大 速 度 vm=5m/s， 雨 速 u=4m/s， 降 雨 量 =2cm/h， 記 跑 步 速度 為 v； （ 2） 、 假 設(shè) 降 雨 量 到 一 定 時(shí) 間 時(shí) ， 應(yīng) 為 定 值 ； （ 3） 、 此 人 在 雨 中 跑 步 應(yīng) 為 直 線 跑 步 ； （ 4） 、 降 雨 地 區(qū) 是 地 面 是 平 面 且 不 考 慮 分 的 因 素 ； （ 5） 、 降 雨 時(shí) ， 雨 在 空 中 是 均 勻 分 布 的 。模 型假 設(shè) 情 形 1建 立 及 求 解 ： 設(shè) 不 考 慮 雨 的 方 向 ， 降 雨 淋 遍 全 身 ， 則 淋 雨 面 積 ： S 2ab+2ac+bc 雨 中 奔 跑 所 用 時(shí) 間 為 ： t=d/v 總 降 雨 量 V S d/v 2cm/h=2 10-2/3600 (m/s) 將 相 關(guān) 數(shù) 據(jù) 代 入 模 型 中 ， 可 解 得 ： S 2.2（ ） V 0.00244446 (cm)=2.44446 (L)模 型建 立求 解 情 形 2建 立 及 求 解 ： 若 雨 從 迎 面 吹 來(lái) ， 雨 線 與 跑 步 方 向 在 同 一 平 面內(nèi) ， 且 與 人 體 的 夾 角 為 .， 則 淋 雨 量 只 有 兩 部 分 ：頂 部 淋 雨 量 和 前 部 淋 雨 量 . （ 如 圖 1） 設(shè) 雨 從 迎 面 吹來(lái) 時(shí) 與 人 體 夾 角 為 . ， 且 0 90 ， 建 立 a， b， c，d， u， ， 之 間 的 關(guān) 系 為 ：（ 1） 、 考 慮 前 部 淋 雨 量 ： （ 由 圖 可 知 ） 雨 速 的 水平 分 量 為 且 方 向 與 v相 反 ， 故 人 相 對(duì) 于 雨 的水 平 速 度 為 ： 則 前 部 單 位 時(shí) 間 單 位 面 積 淋 雨 量 為 ： 又 因 為 前 部 的 淋 雨 面 積 為 ： ， 時(shí) 間 為 ： d/v 于 是 前 部 淋 雨 量 V2為 ： 即 ： sinu vsinu u/vsinu ）（ ba v/du/vsinuV2 ba vu/vsinuaV2 db （ 2） 、 考 慮 頂 部 淋 雨 量 ： （ 由 圖 可 知 ） 雨 速 在 垂 直 方向 只 有 向 下 的 分 量 ， 且 與 v無(wú) 關(guān) ， 所 以 頂 部 單 位 時(shí) 間 單 位面 積 淋 雨 量 為 ， 頂 部 面 積 為 ， 淋 雨 時(shí) 間為 ， 于 是 頂 部 淋 雨 量 為 ： 由 可 算 得 總 淋 雨 量 : cos cb v/d v/cosbV1 dc vu/vsinuav/coscbVVV 21 dbd代 入 數(shù) 據(jù) 求 得 ： 由 V（ v)函 數(shù) 可 知 ： 總 淋 雨 量 （ V） 與 人 跑 步 的 速 度（ v） 以 及 雨 線 與 人 的 夾 角 （ ） 兩 者 有 關(guān) 。v1800 v875.1sin5.7cosV 對(duì) 函 數(shù) V（ v） 求 導(dǎo) ， 得 ： 顯 然 ： 0對(duì) 式 求 導(dǎo) ， 易 知 u sin時(shí) ， 且 0 90 ， 對(duì) 式 求 導(dǎo) ， 解 得 ： ( )、 當(dāng) 1.5sin 0.2 cos0時(shí) ， 即 ： tan2/15,即 V0時(shí) ， 即 ： tan2/15,即 V0；從 而 推 出 ， 總 淋 雨 量 （ V） 隨 著 速 度 （ v） 的 增 加 而 增 加 ，所 以 ， 當(dāng) 速 度 （ v） 取 最 小 ，即 v=u sin 總 淋 雨 量 最 小 。 當(dāng) 30 ， tan2/15 ， 由 模 型 分 析 的 ， 當(dāng) v=u sin=4 1/2=2（ m/s）總 淋 雨 量 最 小 ， 且 V=0.0002405（ m） =0.2405(L)2v180 cos2.0sin5.1V ）（ （ 1） 在 該 模 型 中 考 慮 到 雨 的 方 向 問 題 ， 這 個(gè) 模 型 跟 模 型二 相 似 ， 將 模 型 二 與 模 型 三 綜 合 起 來(lái) 跟 實(shí) 際 的 生 活 就 差 不多 很 相 似 了 。 由 這 三 個(gè) 模 型 可 以 得 出 在 一 定 的 速 度 下 人跑 的 越 快 淋 雨 量 就 越 少 。 （ 2） 若 雨 迎 面 吹 來(lái) 時(shí) ， 跑 得 越 快 越 好 （ 3） 若 雨 從 背 面 吹 來(lái) 時(shí) ， 分 為 兩 種 情 況 ： 當(dāng) tanc/a時(shí) ， 跑 步 速 度 v=u sin時(shí) V最 小 ； 當(dāng) tanc/a時(shí) ， 跑 得 越 快 越 好 。模 型解 釋