信號與系統(tǒng)教案(第9次課)

第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析4.0引言時域分析，以沖激函數(shù)為基本信號，任意輸入信號可分解為一系列沖激函數(shù)之和；而yzs(t) = h(t)*f(t)。本章將以正弦信號和虛指數(shù)信號 ejt 為基本信號，任意輸入信號可分解為一系列不同頻率的正弦信號或虛指數(shù)信號之和。用于系統(tǒng)分析的獨立變量是頻率，故稱為頻域分析。頻域分析從本章開始由時域轉(zhuǎn)入變換域分析，首先討論傅里葉變換。 傅里葉變換是在傅里葉級數(shù)正交函數(shù)展開的基礎(chǔ)上發(fā)展而產(chǎn)生的，這方面的問題也稱為傅里葉分析（頻域分析）。將信號進行正交分解，即分解為三角函數(shù)或復(fù)指數(shù)函數(shù)的組合。頻域分析將時間變量變換成頻率變量，揭示了信號內(nèi)在的頻率特性以及信號時間特性與其頻率特性之間的密切關(guān)系，從而導(dǎo)出了信號的頻譜、帶寬以及濾波、調(diào)制等重要概念。發(fā)展歷史? 1822 年，法國數(shù)學(xué)家傅里葉 (J.Fourier,1768-1830) 在研究熱傳導(dǎo)理論時發(fā)表了“熱的分析理論”，提出并證明了將周期函數(shù)展開為正弦級數(shù)的原理，奠定了傅里葉級數(shù)的理論基礎(chǔ)。? 泊松 (Poisson) 、高斯 (Guass) 等人把這一成果應(yīng)用到電學(xué)中去，得到廣泛應(yīng)用。? 進入 20 世紀以后，諧振電路、濾波器、正弦振蕩器等一系列具體問題的解決為正弦函數(shù)與傅里葉分析的進一步應(yīng)用開辟了廣闊的前景。? 在通信與控制系統(tǒng)的理論研究和工程實際應(yīng)用中，傅里葉變換法具有很多的優(yōu)點。? “FFT ”快速傅里葉變換為傅里葉分析法賦予了新的生命力。4.1信號分解為正交函數(shù)? 矢量正交與正交分解? 信號正交與正交函數(shù)集? 信號的正交分解一、矢量正交與正交分解矢量正交的定義：指矢量 Vx = ( v x1, v x2, vx3 )與 Vy = ( v y1 , vy2 , vy3)的內(nèi)積為 0。正交矢量集：指由兩兩正交的矢量組成的矢量集合二、信號正交與正交函數(shù)集1. 信號正交：定義在 (t1 ，t2) 區(qū)間的 j 1(t) 和 j 2(t) 滿足則稱 j 1(t) 和 j 2(t) 在區(qū)間 (t1 ，t2)內(nèi)正交。t2*1 (t)2 (t ) d t 0t 1(兩函數(shù)的內(nèi)積為 0)2. 正交函數(shù)集：若 n 個函數(shù) j 1(t) ， j 2(t) ， j n(t) 構(gòu)成一個函數(shù)集，這些函數(shù)在區(qū)間(t1， t2)內(nèi)滿足t 2*0,iji (t )j (t) d tt1K i0,ij則稱此函數(shù)集為在區(qū)間 (t1 ， t2)的正交函數(shù)集。3. 完備正交函數(shù)集：如果在正交函數(shù)集 j1(t) ， j 2(t) ，j n(t) 之外，不存在函數(shù) (t)( 0）滿足t 2* (t ) i (t ) d t0t1( i =1 ，2， n) 則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。例如：三角函數(shù)集1 ，cos(n t)， sin(n t)， n=1,2, 虛指數(shù)函數(shù)集 e jnt， n=0 ，1，2， 是兩組典型的在區(qū)間 (t0 ，t0+T)(T=2 /)上的完備正交函數(shù)集。三、信號的正交分解設(shè)有 n 個函數(shù) j 1(t) ， j 2(t) ， j n(t) 在區(qū)間 (t1 ，t2) 構(gòu)成一個正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)f(t) 用這n 個正交函數(shù)的線性組合來近似，可表示為 f(t) C1j1+ C2j2+ + Cnjn函數(shù) f(t)可分解為無窮多項正交函數(shù)之和f (t )Ci i (t ) Ci1t2K it22 (t)d tf (t) i (t) d tii1K it1t1t22 (t ) d tCi2 Kift1i 1巴塞瓦爾能量公式4.2傅里葉級數(shù)? 傅里葉級數(shù)的三角形式? 波形的對稱性與諧波特性? 傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式? 周期信號的功率 Parseval 等式一、傅里葉級數(shù)的三角形式設(shè)周期信號 f(t)，其周期為 T，角頻率 W=2p/T ，當(dāng)滿足狄里赫利 (Dirichlet) 條件時，它可分解為如下三角級數(shù) 稱為 f(t) 的傅里葉級數(shù)a0an cos(n t)bn sin(n t)f (t )2 n 1n 1系數(shù) an , bn 稱為傅里葉系數(shù)2T2Tan2T f (t) cos(n t) d tbn2T f (t ) sin(n t) d tT2T2可見， an 是 n 的偶函數(shù)，bn 是 n 的奇函數(shù)。A0An cos(n tn )f (t )2將上式同頻率項合并，可寫為n 1二、波形的對稱性與諧波特性1.f(t) 為偶函數(shù) bn =0 ，展開為余弦級數(shù)。2.f(t) 為奇函數(shù) an =0 ，展開為正弦級數(shù)。3.f(t) 為奇諧函數(shù) f(t) = f(tT/2)此時 其傅里葉級數(shù)中只含奇次諧波分量，而不含偶次諧波分量即a0=a2= =b2=b4= =04 f(t) 為偶諧函數(shù) f(t) = f(t T/2)此時 其傅里葉級數(shù)中只含偶次諧波分量，而不含奇次諧波分量即a1=a3= =b1=b3= =0三、傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式三角形式的傅里葉級數(shù)，含義比較明確，但運算常感不便，因而經(jīng)常采用指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)。虛指數(shù)函數(shù)集 ejn t，n=0 ，1，2， f (t )Fnej n tn1Tf (t )e j n tF2d tnTT系數(shù) Fn2稱為復(fù)傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù)之間關(guān)系1 An ej n1 (anbnFnFn e nj bn )1a2b21 AnarctanFan22n2nn2nanAn cos nbnAn sinnn 的偶函數(shù)： an ， An ， |Fn |n 的奇函數(shù) :bn ， jn四、周期信號的功率Parseval 等式周期信號一般是功率信號，其平均功率為1T2(t) dtA0)212| Fn |2f(AnT02n 1 2n直流和 n 次諧波分量在 1W 電阻上消耗的平均功率之和。n0 時，|Fn| = An/2 。這是 Parseval 定理在傅里葉級數(shù)情況下的具體體現(xiàn)。4.3周期信號的頻譜? 信號頻譜的概念? 周期信號頻譜的特點? 頻帶寬度一、信號頻譜的概念從廣義上說，信號的某種特征量隨信號頻率變化的關(guān)系，稱為信號的頻譜，所畫出的圖形稱為信號的頻譜圖。周期信號的頻譜是指周期信號中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系，即將 An 和 jn的關(guān)系分別畫在以為橫軸的平面上得到的兩個圖， 分別稱為振幅頻譜圖和相位頻譜圖。因為 n0，所以稱這種頻譜為單邊譜。也可畫 |Fn| 和 jn 的關(guān)系，稱為雙邊譜。若Fn 為實數(shù)，也可直接畫Fn 。二、周期信號頻譜的特點令 Sa(x)=sin(x)/x ( 取樣函數(shù)）FnSa(nSa(n)TT2T, n = 0 , 1，2，周期信號頻譜的特點(1)周期信號的頻譜具有諧波(離散 )性。譜線位置是基頻的整數(shù)倍；(2)一般具有收斂性?？傏厔轀p小。三頻帶寬度在滿足一定失真條件下，信號可以用某段頻率范圍的信號來表示，此頻率范圍稱為頻帶寬度。一般把第一個零點作為信號的頻帶寬度。記為：B2或 B f1 ，帶寬與脈寬成反比。對于一般周期信號，將幅度下降為0.1|Fn|max的頻率區(qū)間定義為頻帶寬度。系統(tǒng)的通頻帶 >信號的帶寬，才能不失真。