概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件 第3章3節(jié)

對(duì) 某 些 隨 機(jī) 試 驗(yàn) 的 結(jié) 果 需 要 同 時(shí) 用 兩 個(gè) 或 兩 個(gè) 以 上 的 隨 機(jī) 變量 來(lái) 描 述 . 1 例 如 ， 研 究 某 地 區(qū) 學(xué) 前 兒 童 的 發(fā) 育 狀 況 ， 觀 察 他 們 的 身 高 H 和 體 重 W ， 這 時(shí) ， 樣 本 空 間 S =e =某 地 區(qū) 的 全 部 學(xué) 前兒 童 ， 而 H(e) 和 W(e) 是 定 義 在 S上 的 兩 個(gè) 隨 機(jī) 變 量 。 第 三 章 多 維 隨 機(jī) 變 量 及 其 分 布 1 二 維 隨 機(jī) 變 量 的 聯(lián) 合 分 布一 、 二 維 隨 機(jī) 變 量 的 定 義定 義 ： 設(shè) E 是 一 隨 機(jī) 試 驗(yàn) ， 樣 本 空 間 為 S=e . 設(shè) X=X(e) 和Y=Y(e) 是 定 義 在 S 上 的 隨 機(jī) 變 量 ， 由 它 們 構(gòu) 成 的 向 量 (X,Y) ,叫 做 二 維 隨 機(jī) 向 量 或 二 維 隨 機(jī) 變 量 。對(duì) S 中 每 個(gè) 樣 本 點(diǎn) e， 有 一 有 序 實(shí) 數(shù) 對(duì) (X(e),Y(e)與 它 對(duì) 應(yīng) 。Se y ,X e Y ex 二 維 隨 機(jī) 變 量 (X,Y) 的 性 質(zhì) 不 僅 與 X 及 Y 有 關(guān) ， 而 且 還 依 賴 于這 兩 個(gè) 隨 機(jī) 變 量 的 相 互 關(guān) 系 ， 因 此 逐 個(gè) 地 研 究 X 或 Y 的 性 質(zhì) 還 不夠 ， 還 要 將 (X,Y) 作 為 一 個(gè) 整 體 來(lái) 研 究 。 2二 、 聯(lián) 合 分 布 函 數(shù) 的 定 義 . ),(,),( ,),( 的 聯(lián) 合 分 布 函 數(shù)和分 布 函 數(shù) ， 也 稱 為 的為數(shù) ， 稱 函任 意 實(shí) 數(shù)是 二 維 隨 機(jī) 變 量 ， 對(duì) 于設(shè)定 義 YX YXyYxXPyYxXPyxF yxYX ),( yx xy 分 布 函 數(shù) F(x,y) 在 (x,y)處 的 函 數(shù) 值 就 是 : 隨 機(jī)點(diǎn) (X,Y ) 落 在 以 點(diǎn) (x,y) 為 頂 點(diǎn) 且 位 于 該 點(diǎn) 左 下方 的 無(wú) 窮 矩 形 域 內(nèi) 的 概 率 。 如 圖 所 示 . ),( 22 yx xy 1x 2x2y1y ),( 12 yx),( 11 yx ),( 21 yx , 2121 yYyxXxP 算下 面 利 用 分 布 函 數(shù) 來(lái) 計(jì) ),(),( ),(),( , 1112 2122 2121 yxFyxF yxFyxF yYyxXxP 三 、 分 布 函 數(shù) 的 性 質(zhì) 與 一 維 分 布 函 數(shù) 類 似 , F(x,y) 具 有 以 下 性 質(zhì) : ；時(shí)， 當(dāng)對(duì) 任 意 固 定 的 ),(),(, 2121 yxFyxFxxy ；時(shí)， 當(dāng)對(duì) 任 意 固 定 的 ),(),(, 2121 yxFyxFyyx ,1),(0).2 yxF ,0),(),( yFxFyx ， 有，且 對(duì) 任 意 固 定 的 的 不 減 函 數(shù) ，是 yxyxF ,),().1 .1),(,0),( FF ),( yx xy 4 也 右 連 續(xù) ， 即右 連 續(xù) ， 關(guān) 于關(guān) 于 yxyxF ),().3 )0,(),(),0(),( yxFyxFyxFyxF 1 1 2 2 1 2 1 21 1 1 2 2 1 2 24). ( , ),( , ) ,( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0.x y x y x x y yF x y F x y F x y F x y 對(duì) 于 任 意 ， 有四 、 二 維 離 散 型 (X,Y) 的 分 布 律 如 果 二 維 隨 機(jī) 變 量 (X,Y ) 的 所 有 可 能 取 的 值 只 有 限 對(duì) 或 可 列對(duì) ， 則 稱 (X,Y ) 是 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 。設(shè) (X,Y ) 的 所 有 可 能 取 值 為 ,2,1,),( jiyx ji ,2,1, jipyYxXP ijji記 .,),( ,2,1, 的 聯(lián) 合 分 布 律和或 稱 其 為的 分 布 律 為 離 散 型 隨 機(jī) 變 量稱 YXYX jipyYxXP ijji 五 、 二 維 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量 設(shè) 二 維 隨 機(jī) 變 量 (X,Y) 的 分 布 函 數(shù) 為 F(x,y)， 如 果 存 在 非 負(fù) 的函 數(shù) f (x,y) 使 對(duì) 于 任 意 x,y 有 ：則 稱 (X,Y ) 是 連 續(xù) 型 的 二 維 隨 機(jī) 變 量 。 dudvvufyxF y x ),(),( 9稱 f (x,y) 為 隨 機(jī) 變 量 (X, Y ) 的 概 率 密 度 ， 或 稱 為 隨 機(jī) 變 量 X 和 Y 的 聯(lián) 合 概 率 密 度 。(X,Y ) 的 概 率 密 度 函 數(shù) f (x,y) 具 有 以 下 性 質(zhì) ：;0),().1 yxf G dxdyyxfGYXP xoyG .),(),().3 則 平 面 上 的 區(qū) 域 ，是設(shè) ;1),(),().2 Fdxdyyxf ),( yx xy 10 連 續(xù) ，在 點(diǎn)若 ),(),().4 yxyxf .),(),(2 yxfyx yxF 則 有 2. 邊 緣 分 布 12 )(),( :),(),( yFxF YXyxFYX YX 的 分 布 函 數(shù) 分 別 為和，的 分 布 函 數(shù) 為設(shè) 一 、 邊 緣 分 布 函 數(shù) .),()(),( 的 邊 緣 分 布 函 數(shù)和關(guān) 于為則 分 別 稱 YXYXyFxF YX ,)( YxXPxXPxFX ),( xF),()( yFyFY 同 理 有 ： 的 邊 緣 分 布 律二 、 離 散 型 ),( YX ),()( xFxF X xx j iji p1 , xx iX i xXPxF )(又 ,2,1, 1 ipxXP j iji ,2,1, 1 jpyYPY i ijj的 分 布 律 為 ：類 似 可 得 xx yy iji j pyxF ),( 13 ,2,1,1 ixXPpp ij iji記 ,2,1,1 jyYPpp ji ijj . ),(),2,1(),2,1(的 邊 緣 分 布 律和 關(guān) 于為和分 別 稱Y XYXjpip ji 的 邊 緣 概 率 密 度三 、 連 續(xù) 型 ),( YX ),(),( yxfYX 的 概 率 密 度 為設(shè) dxdyyxfxFxF xX ),(),()( dyyxfxfX X ),()(的 概 率 密 度 為 dxyxfyfY Y ),()(的 概 率 密 度 為類 似 ， .),()()( 的 邊 緣 概 率 密 度、關(guān) 于為和分 別 稱 YXYXyfxf YX dx)x(fx X 16 四 、 二 維 均 勻 分 布密 度 為 的 概 率若其 面 積 為是 平 面 上 的 有 界 區(qū) 域 ，設(shè) ),(. YXAG .,0 ,),(,1),( 其 它 GyxAyxf 上 服 從 均 勻 分 布 。在則 稱 GYX ),( ).(1),( 22 xfyxYX X上 服 從 均 勻 分 布 ， 求在例 ： 設(shè) 的 密 度 函 數(shù) 為解 ： ),( YX ., ,yx,)y,x(f 其 它0 11 22 dyyxfxfX ),()( ., ,x,xdyxx 其 它0 11121 2211 2 1-1 五 、 二 維 正 態(tài) 分 布的 概 率 密 度 為若 ),( YX ),(,)()(2 )()1(2 1exp12 1),( 2 2 2221 21 21 212221 yxyyx xyxf .11,0,0, 212121 為 常 數(shù) ， 且其 中記 為 的 二 維 正 態(tài) 分 布 ，為 服 從 參 數(shù) 為則 稱 ,),( 2121YX ).,(),( 222121 NYX :)y(f),x(f YX 得求 其 求 邊 緣 概 率 密 度 xexexp 19 .2 1)( 22 222 )(2 yY eyf 則 有，結(jié) 論 ： 若 ),(),( 222121 NYX ),(),( 222211 NYNX注 ： 由 聯(lián) 合 分 布 一 定 能 確 定 邊 緣 分 布 ， 但 由 邊 緣 分 布不 能 確 定 聯(lián) 合 分 布 。課 堂 練 習(xí) ： 備 課 本 46 ,e)x(f )x(X 21 212121 一 、 二 維 離 散 型 r.v.的 情 況 :i j i j iji j j j j p 0, p 0, PX x , Y y pPX x |Y y ,PY y p i 1, 2, (3.1) Y y r.v.X 設(shè)稱 為 在 的 條 件 下 的 條 件 分 布 律 。 i j ijj i i ii PX x ,Y y pPY y |X x ,PX x pj 1,2, (3.2)X x r.v.Y . 稱 為 在 條 件 下 的 條 件 分 布 律 1.定 義 )B(P )AB(P)BA(P 12 01 11 i jiji ji ji PPyYxXP. yYxXP.2.性 質(zhì) PY 1|X 1 0.010/0.045 PY 2|X 1 0.005 /0.045. PX=1=0.045PY=0X=1=0.030 0.045用 表 格 形 式 表 示 為 : k 0 1 2 PY=k|X=1 6/9 2/9 1/9 )xX(P )yY,xX(PxXyYP i jiij 例 1. 設(shè) (X, Y)的 分 布 律 為 : Y X 0 1 2 3 0 0.840 0.030 0.020 0.010 1 0.060 0.010 0.008 0.002 2 0.010 0.005 0.004 0.001 求 在 X=1時(shí) Y的 條 件 分 布 律 . 例 2： (X,Y)的 聯(lián) 合 分 布 律 為 求 ： (1)a,b的 值 ； (2)X,Y的 邊 緣 分 布 律 ； (3) ( 1| 1)P X Y YX -1 10 0.20.1 a12 0.1 0.2 b( 1| 1) 0.5P Y X 已 知 ： 0.2( 1| 1) 0.3 aP Y X 又 X 10.4 20.6 ip jpY 0.3 0.5-1 100.2 23 ( 1| 1) 0.45P X Y 0.2 10.3 a 2 a 0.1 b=0.3 ，(2) 解 ： (1) 由 分 布 律 性 質(zhì) 知 a+b+0.6=1 即 a+b=0.4 二 、 二 維 連 續(xù) 型 r.v. yYP yY,xXPyYxXP )y(f )y,x(f)yx(fX yY)y(f )y,x(f,)y(f,y ).y(fY)Y,X( ),y,x(f)Y,X( YYXYY Y 的 條 件 概 率 密 度 ， 記 為條 件 下 為 在則 稱固 定 的 若 對(duì) 于的 邊 緣 概 率 密 度 為關(guān) 于 的 概 率 密 度 為設(shè) 二 維 隨 機(jī) 變 量 0).yx(F yYxXPX yYdx)y(f )y,x(fdx)yx(fYX x Yx YX或 的 條 件 分 布 函 數(shù) ， 記 為條 件 下 ， 的為 在稱 定 義 : dy)x(f )y,x(f)xy(F,)x(f )y,x(f)xy(f y XXYXXY 類 似 可 以 定 義 ： 2 2X|Y Y|X2. X, Y x y 1 , f (x, y) f (y|x). 例 設(shè) 在 圓 域 上 服 從 均 勻 分 布 求條 件 概 率 密 度 和 1-1 )y(f )y,x(f)yx(f YYX 011 )y(fy Y時(shí) ，當(dāng) ., ,yxy,y其 它0 1112 1 222 ., ,y,ydxyy 其 它0 111212211 2 ., ,yx,)y,x(f 其 它0 11 22 dx)y,x(f)y(fY )x(f )y,x(f)xy(f XXY 011 )x(fx X時(shí) ，當(dāng) ., ,xyx,x其 它0 1112 1 222 ., ,yx,)y,x(f 其 它0 11 22 dy)y,x(f)x(fX .,0 ,11,1212211 2 其 它xx xxdy 1-1 例 3. 設(shè) 數(shù) X在 區(qū) 間 (0,1)上 隨 機(jī) 地 取 值 , 當(dāng) 觀 察 到X=x(0 x1)時(shí) , 數(shù) Y在 區(qū) 間 (x, 1)上 隨 機(jī) 地 取 值 , 求 Y的 概 率 密 度 .X Y|X 1, 0 x 1,: , Xf (x) 0, ,X x , Y1 (1-x), x y 1, f (y|x) 0, . 解 按 題 意 其 它又 在 條 件 下 的 條 件 分 布 概 率 密 度其 它Y|X X 1/(1-x), 0 x y 1, f(x,y) f (y|x)f (x) 0, . 故 得 其 它y0Y 1/(1-x)dx -ln(1-y),0 y 1.f (y) f(x,y)dx 0, . 其 它 xy1 y=x