北京航空航天大學(xué)線性代數(shù)課件第一章行列式的定義

線 性 代 數(shù)朱 立 永 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 數(shù) 學(xué) 與 系 統(tǒng) 科 學(xué) 學(xué) 院 線 性 代 數(shù) 這 一 講 的 主 要 內(nèi) 容 這 門 課 程 的 主 要 內(nèi) 容 這 門 課 程 的 特 點 及 考 核 方 式 行 列 式 的 定 義 線 性 代 數(shù) 線 性 代 數(shù) 課 程 簡 介 英 文 名 字 ： Linear Algebra 線 性 代 數(shù) 是 討 論 有 限 維 空 間 中 線 性 關(guān) 系 經(jīng)典 理 論 的 課 程 ； 它 具 有 較 強(qiáng) 的 抽 象 性 和 邏 輯 性 ， 是 理 工 科大 學(xué) 本 科 各 專 業(yè) 的 重 要 基 礎(chǔ) 理 論 課 ； 本 課 程 不 僅 是 學(xué) 生 必 須 掌 握 的 數(shù) 學(xué) 基 礎(chǔ) ，同 時 也 在 現(xiàn) 代 科 學(xué) 技 術(shù) 的 各 個 領(lǐng) 域 有 著 十分 廣 泛 的 應(yīng) 用 。 線 性 代 數(shù) 本 課 程 的 主 要 內(nèi) 容 行 列 式 （ 第 1章 ) 矩 陣 （ 第 2章 ) 向 量 的 線 性 相 關(guān) 性 （ 第 3章 ) 線 性 方 程 組 （ 第 4章 ) 矩 陣 的 相 似 標(biāo) 準(zhǔn) 型 （ 第 5章 ) 二 次 型 （ 第 6章 ) 線 性 空 間 （ 第 7章 -自 學(xué) 內(nèi) 容 ） 線 性 變 換 （ 第 8章 自 學(xué) 內(nèi) 容 ） 線 性 代 數(shù) 的 一 些 應(yīng) 用 （ 第 9章 -自 學(xué) 內(nèi) 容 ） 線 性 代 數(shù) 1. 主 要 教 材 線 性 代 數(shù) ， 高 宗 升 周 夢 李 紅 裔 編 ， 北 京 航 空 航 天 大學(xué) 出 版 社 ， 2009。2. 其 它 參 考 書 （ 1） 線 性 代 數(shù) ， 周 德 潤 等 編 ， 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 出 版 社 ， 1996 （ 2） 線 性 代 數(shù) ， 同 濟(jì) 大 學(xué) 數(shù) 學(xué) 教 研 室 編 ， 高 等 教 育 出 版 社 （ 3） 線 性 代 數(shù) ， 謝 邦 杰 編 ， 人 民 教 育 出 版 社 ， 1978 （ 4） 高 等 代 數(shù) ， 北 京 大 學(xué) 數(shù) 學(xué) 系 編 ， 北 京 大 學(xué) 出 版 社 ， 2003 （ 5） 線 性 代 數(shù) 復(fù) 習(xí) 必 備 ， 自 印 。參 考 資 料 線 性 代 數(shù) 本 門 課 程 的 特 點 具 有 較 強(qiáng) 的 抽 象 性 和 邏 輯 性 各 部 分 內(nèi) 容 有 緊 密 的 聯(lián) 系 線 性 代 數(shù) 課 程 安 排 及 考 核 方 式 總 學(xué) 時 ： 48=36課 內(nèi) 學(xué) 時 + 12學(xué) 時 習(xí) 題 課 課 內(nèi) 教 師 講 授 ， 課 外 學(xué) 生 自 學(xué) 與 作 習(xí) 題 考 核 方 式 及 成 績 評 定 1. 期 末 閉 卷 筆 試 ， 占 總 成 績 的 90 2 平 時 作 業(yè) 占 10 線 性 代 數(shù) 其 它 要 注 意 的 幾 點 課 前 一 定 要 做 好 預(yù) 習(xí) 課 后 要 認(rèn) 真 完 成 作 業(yè) 有 問 題 要 及 時 問 （ baidu/google） ， （ 答 疑時 間 和 地 點 ?) 辦 公 室 ： 學(xué) 院 路 校 區(qū) 圖 書 館 西 配 樓 519室 ， Email： 線 性 代 數(shù) 第 一 章 行 列 式 行 列 式 是 由 解 線 性 方 程 組 引 進(jìn) 的 ， 是 研 究線 性 代 數(shù) 的 重 要 工 具 ， 它 在 自 然 科 學(xué) 的 許多 領(lǐng) 域 有 著 廣 泛 的 應(yīng) 用 。 線 性 代 數(shù) 1.1 n階 行 列 式 1.2 行 列 式 的 性 質(zhì) 1.3 行 列 式 的 展 開 與 計 算 1.4 克 萊 姆 （ Cramer） 法 則 1.5 數(shù) 域 本 章 的 主 要 內(nèi) 容 線 性 代 數(shù) 1.1 n階 行 列 式1.1.1 排 列 與 逆 序1.1.2 二 階 與 三 階 行 列 式1.1.3 n階 行 列 式 的 定 義 線 性 代 數(shù) 1.1.1 排 列 與 逆 序 定 義 1.1.1 由 自 然 數(shù) 1， 2， ， n組 成 的一 個 有 序 數(shù) 組 稱 為 一 個 n階 排 列 ， 記 為 j1,j2, ,jn 1， 2， ， n可 組 成 n！ 個 不 同 的 n階 排 列 按 數(shù) 字 的 自 然 順 序 由 小 到 大 的 排 列 稱 為 標(biāo) 準(zhǔn) 排 列 或 自然 排 列 . 線 性 代 數(shù) 定 義 1.1.2 在 一 個 排 列 中 ， 若 一 個 較 大 的 數(shù) 排 在一 個 較 小 的 數(shù) 的 前 面 ， 則 稱 這 兩 個 數(shù) 構(gòu) 成 一 個 逆 序 . 一 個 排 列 中 所 有 逆 序 的 總 數(shù) 稱 為 這 個 排 列 的 逆 序 數(shù) .用 (j1,j2, ,jn)表 示 排 列 j1,j2, ,jn的 逆 序 數(shù) . 逆 序 數(shù) 是 偶 數(shù) 的 排 列 稱 為 偶 排 列 ， 逆 序 數(shù) 是 奇 數(shù) 的排 列 稱 為 奇 排 列 . 對 一 個 n階 排 列 j 1,j2, ,jn ， 如 何 求 它 的 逆 序 數(shù) 呢 ？ 線 性 代 數(shù) 設(shè) 這 個 排 列 中 排 在 j后 面 比 j小 的 數(shù) 的 個 數(shù) 為 (j) ，則 排 列 j1,j2, ,jn的 逆 序 數(shù) 為 ( j1,j2,jn ) = (j1) + (j2) + + (jn-1) 例 1.1.1 求 排 列 32514與 n(n-1) 321的 逆 序 數(shù) . 線 性 代 數(shù) 定 義 1.1.3 把 一 個 排 列 中 某 兩 個 數(shù) 的 位 置 互 換 ， 而其 余 的 數(shù) 不 動 ， 就 得 到 一 個 新 的 排 列 ， 這 種 變 換 稱為 排 列 的 一 個 對 換 . 定 理 1.1.1 一 次 對 換 改 變 排 列 奇 偶 性 .推 論 任 何 一 個 n階 排 列 都 可 以 通 過 對 換 化 成 標(biāo)準(zhǔn) 排 列 ,并 且 所 作 對 換 的 次 數(shù) 的 奇 偶 性 與 該 排 列的 奇 偶 性 相 同 . 線 性 代 數(shù) 1.1.2 二 階 與 三 階 行 列 式設(shè) 二 元 一 次 線 性 方 程 組 .,2222121 1212111 bxaxa bxaxa （ 1.1.6） 用 消 元 法 去 解 此 方 程 組 ， 得 .,21122211 2112112 21122211 2122211 aaaa abbax aaaa baabx （ 1.1.7） 線 性 代 數(shù) 為 了 便 于 記 憶 ， 引 入 記 號2221 1211 aa aaD 21122211 aaaa (1.1.8) 式 (1.1.8) 稱 為 二 階 行 列 式 .D中 橫 寫 的 稱 為 行 ， 豎 寫的 稱 為 列 .數(shù) aij稱 為 行 列 式 的 元 素 ,它 的 第 一 個 下 標(biāo) i表 示 這 個 元素 所 在 的 行 ， 稱 為 行 指 標(biāo) ， 第 二 個 下 標(biāo) j表 示 這 個 元素 所 在 的 列 ， 稱 為 列 指 標(biāo) . 線 性 代 數(shù) 行 列 式 中 從 左 上 角 到 右 下 角 的 連 線 稱 為 主 對 角線 ， 從 右 上 角 到 左 下 角 的 連 線 稱 為 副 對 角 線 .由 (1.1.8)可 知 ， 二 階 行 列 式 的 值 是 主 對 角 線上 元 素 a11,a22的 乘 積 減 去 副 對 角 線 上 元 素a12,a21的 乘 積 .按 照 這 個 規(guī) 則 ， 我 們 有 222 1211 ab abD 212221 baab 221 1112 ba baD 211211 abba 二 元 線 性 方 程 組 （ 1.1.6） 的 解 可 用 二 階 行 列 式 表 示 成 DDx 11 DDx 22 線 性 代 數(shù) 同 理 ， 考 慮 三 元 一 次 線 性 方 程 組 .3333232131 2323222121 1313212111 ,bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa (1.1.9) 線 性 代 數(shù) 應(yīng) 用 消 元 法 先 后 消 去 x2和 x3， 得 到 332211( aaa 312312 aaa 322113 aaa322311 aaa 332112 aaa 1312213 )xaaa 322133231233221 ababaaaab 3222313321232213 ababababaa 把 x1的 系 數(shù) 記 為 式 (1.1.10）333231 232221 131211 aaa aaa aaaD 332211 aaa 312312 aaa 322113 aaa 322311 aaa 332112 aaa .312213 aaa 線 性 代 數(shù) 類 似 : 三 階 行 列 式對 角 線 法 則 :實 線 上 元 素 之 積 為 正 ,虛 線 上 元 素 之積 為 負(fù) . 133221312312332211333231 232221 131211 aaaaaaaaaaaa aaa aaa 312213332112322311 aaaaaaaaa 3231 2221 1211333231 232221 131211 aa aa aaaaa aaa aaa333231 232221 131211 aaa aaa aaa 線 性 代 數(shù) 由 于 D中 共 有 三 行 三 列 ,我 們 把 它 稱 為 三 階 行 列 式 .因為 它 由 方 程 組 (1.1.9)中 變 元 的 系 數(shù) 組 成 ,又 稱 其 為方 程 組 (1.1.9)的 系 數(shù) 行 列 式 .如 果 D 0,容 易 算 出方 程 組 (1.1.9)有 唯 一 解 :DDx 11 DDx 22 DDx 33 其 中 Dj(j=1,2,3)分 別 是 在 D中 把 第 j列 的 元 素 換 成 方程 組 (1.1.9)右 端 的 常 數(shù) 項 b1,b2,b3得 到 . 線 性 代 數(shù) 由 上 面 的 討 論 ,自 然 會 想 到 如 何 把 二 階 、 三 階 行 列式 推 廣 到 一 般 的 n階 行 列 式 ,并 用 它 來 表 達(dá) 由 n個未 知 量 n個 方 程 所 組 成 的 線 性 方 程 組 的 解 .通 過 觀察 二 階 、 三 階 行 列 式 ,發(fā) 現(xiàn) 它 們 有 以 下 特 點 ：(1) 二 階 、 三 階 行 列 式 的 每 一 項 都 是 取 自 不 同 行不 同 列 的 元 素 的 乘 積 ,其 代 數(shù) 和 即 為 該 行 列 式 之 值 . 二 階 行 列 式 有 2!項 ， 三 階 行 列 式 有 3!項 . 線 性 代 數(shù) (2) 代 數(shù) 和 中 每 一 項 前 的 符 號 有 以 下 規(guī) 律 ： 行 指 標(biāo)取 成 標(biāo) 準(zhǔn) 排 列 時 ， 由 列 指 標(biāo) 組 成 排 列 的 奇 偶 性 決 定每 項 前 的 正 負(fù) 號 ,偶 者 為 正 ,奇 者 為 負(fù) .綜 上 ,我 們 有 2221 1211 aa aa 21 2121 211jj jj)jj( aa)( 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 321 321321 3211jjj jjj)jjj( aaa)( 線 性 代 數(shù) 1.1.3 n階 行 列 式 的 定 義定 義 1.1.4 由 n2個 元 素 排 成 n行 n列 ,以 nnnn nnaaa aaa aaa 21 22221 11211記 之 ， 稱 其 為 n階 行 列 式 ,它 代 表 一 個 數(shù) 值 .此 數(shù) 值是 取 自 上 式 中 不 同 行 不 同 列 的 n個 元 素 nnjjj aaa 21 21乘 積 的 代 數(shù) 和 ， 其 中 j1,j2, ,jn是 數(shù) 字 1,2, ,n的某 一 個 排 列 ， 故 共 有 n!項 。 線 性 代 數(shù) 每 項 前 的 符 號 按 下 列 規(guī) 定 ： 當(dāng) j1,j2, ,jn為 偶 排列 時 取 正 號 ， 當(dāng) j1,j2, ,jn為 奇 排 列 時 取 負(fù) 號 ，即 nn n njjjjjj jjj nnnn nn aaa aaa aaa aaaD 2121 21 2121 22221 11211 1 (1.1.11) 表 示 對 1,2, ,n這 n個 數(shù) 組 成 的 所 有排 列 j1,j2, ,jn取 和 . 其 中 njjj 21 線 性 代 數(shù) 當(dāng) n=1時 , 即 為 一 階 行 列 式 ,我 們 規(guī) 定 |a|=a; n=2,3時 ,即 為 前 面 定 義 的 二 階 、 三 階 行 列 式 . 為 了 書 寫 方 便 ,n階 行 列 式 也 可 記 為 Dn=|aij|n.例 1.1.2 計 算 n階 下 三 角 形 行 列 式 nnnn aaa aaa 21 222111 000 線 性 代 數(shù) .000 2211222 11211 nnnnnn aaaaaa aaa 特 別 地 ,對 于 對 角 形 行 列 式 ,有 nddd 00 00 0021 nddd 21 線 性 代 數(shù) 例 1.1.3 計 算 n階 行 列 式 .aaa aa aD nnn,nn nn, nn 11 212 10 00 線 性 代 數(shù) 在 行 列 式 的 定 義 中 ,我 們 規(guī) 定 n個 元 素 相 乘 時 ,元素 的 行 指 標(biāo) 按 標(biāo) 準(zhǔn) 排 列 ,由 列 指 標(biāo) 排 列 的 逆 序 數(shù)決 定 各 項 前 的 正 負(fù) 號 .那 么 能 否 在 定 義 中 n個 元 素 的 相 乘 項 里 把 元 素 的列 指 標(biāo) 排 列 按 標(biāo) 準(zhǔn) 排 列 ,而 由 行 指 標(biāo) 排 列 的 逆 序數(shù) 決 定 各 項 前 的 正 負(fù) 號 呢 ？ 線 性 代 數(shù) 下 面 的 定 理 回 答 了 這 一 問 題定 理 1.1.2 n階 行 列 式 也 可 定 義 為 niiiiii iii nnnn nn nn n aaa aaa aaa aaaD 2121 22221 11211 2121 211 (1.1.12) 其 中 表 示 對 1,2, ,n這 n個 數(shù) 組 成的 所 有 排 列 i1,i2, ,in取 和 . niii 21 線 性 代 數(shù) 作 業(yè) Page 7 習(xí) 題 1.1： 4. （ 3） -（ 4） ； 6.