概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)華工版第3章

第 3章 隨 機(jī) 變 量隨 機(jī) 變 量 的 概 念一 維 隨 機(jī) 變 量 及 其 分 布一 維 離 散 型 隨 機(jī) 變 量一 維 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量正 態(tài) 分 布一 維 隨 機(jī) 變 量 函 數(shù) 的 分 布 3.1 隨 機(jī) 變 量 的 概 念要 求 問(wèn) 題 涉 及 的 隨 機(jī) 事 件 與 變 量 相關(guān) ， 這 樣 可 以 將 概 率 和 函 數(shù) 建 立 聯(lián) 系 。 定 義 稱 定 義 在 樣 本 空 間 上 的 實(shí) 函 數(shù) =()， ， 是 隨 機(jī) 變 量 ， 如 對(duì) 任 意 實(shí) 數(shù) x ， 集 合 () x 都 是 一 隨 機(jī) 事 件 。 注 ： 一 般 () 簡(jiǎn) 單 記 為 ， () x 記 為 x 隨 機(jī) 變 量 3.2 一 維 隨 機(jī) 變 量 及 其 分 布分 布 函 數(shù)設(shè) 是 一 個(gè) 隨 機(jī) 變 量 ， x是 任 意 實(shí) 數(shù) ， 函 數(shù)F(x)=P ()x稱 為 隨 機(jī) 變 量 的 分 布 函 數(shù) ，記 作 F(x)或 F(x)。 的 分 布 函 數(shù) 也 常 簡(jiǎn) 記 為 F (x)= Px 分 布 函 數(shù) 的 性 質(zhì)任 一 隨 機(jī) 變 量 的 分 布 函 數(shù) F(x)， x ( ， )，具 有 下 列 性 質(zhì) ： (1)單 調(diào) 不 減 性 若 x1x2， 則 F(x1) F(x2) 12 xx 根 據(jù) 概 率 的 性 質(zhì) ， 得 Px2 Px1 即 F(x2) F(x1) 證 明 ： 若 x1x2 ， 則 有 0lim FxFx 1lim FxFx 00 0 xFxF (2) 0F(x) 1 ， 且 (3) 左 連 續(xù) 性 對(duì) 任 意 實(shí) 數(shù) x0 ， 有 xFxF xx 0lim00其 中 v 如 某 實(shí) 函 數(shù) 具 有 上 述 3個(gè) 性 質(zhì) ， 則 它 可 作 為 某 隨 機(jī)變 量 的 分 布 函 數(shù)v 由 分 布 函 數(shù) ， 可 以 計(jì) 算 如 下 概 率 ： 01)( 1)( 0)( )(0)( aFaP aFaP aFaP aFaFaP 離 散 型 隨 機(jī) 變 量如 隨 機(jī) 變 量 的 取 值 只 有 有 限 個(gè) 或 可 列 多 個(gè) ，則 稱 它 為 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 。 3.3 一 維 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 隨 機(jī) 試 驗(yàn) ： 接 連 進(jìn) 行 兩 次 射 擊 ， 表 示 未 擊中 目 標(biāo) ， 表 示 擊 中 目 標(biāo) 。 樣 本 空 間 ： 1,1,0,1,1,0,0,0 4321 201 12 13 4現(xiàn) 在 我 們 設(shè) 定 隨 機(jī) 變 量 表 示 擊 中 目 標(biāo) 的 次 數(shù) ， 則 隨 機(jī) 試 驗(yàn) ： 觀 察 某 電 話 交 換 臺(tái) 單 位 時(shí) 間 內(nèi) 接到 的 呼 喚 次 數(shù) 。 樣 本 空 間 =0,1,2,， 以 表 示 接到 的 呼 喚 次 數(shù) ， 那 么 ， =()=， 是 離 散 型隨 機(jī) 變 量 。 設(shè) 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 的 全 部 取 值 為x1,x2,xn,且 P( =xi)=pi， i=1,2,則 稱 上 式 為 的 概 率 分 布 律 。 也 可 寫(xiě) 作 ：離 散 型 隨 機(jī) 變 量 的 分 布 列 稱 為 的分 布 列 , , 21 21 nnpppp xxx 顯 然 1)2( 2110)1( 1 i iip ip ， 在 試 驗(yàn) 1中 ， 假 設(shè) 兩 次 射 擊 是 相 互 獨(dú) 立 的 ， 且 命中 目 標(biāo) 的 概 率 為 0.6， 則 的 分 布 列 為0 1 2p 0.16 0.48 0.36例 退 化 分 布如 隨 機(jī) 變 量 只 取 常 數(shù) C， 則 稱 服 從 退 化 分布 。 顯 然 P(=C)=1退 化 分 布 也 稱 為 單 點(diǎn) 分 布 二 項(xiàng) 分 布二 項(xiàng) 概 率 公 式設(shè) 在 一 次 試 驗(yàn) 中 ， 事 件 出 現(xiàn) 的 概 率 為 p (0p0.999 故 nlg0.001/lg0.04=2.15 取 n=3， 即 需 要 發(fā) 射 3枚 導(dǎo) 彈 。 例 2 （ 漁 佬 問(wèn) 題 ） 漁 佬 想 知 道 自 己 承 包 的魚(yú) 塘 中 魚(yú) 的 條 數(shù) 。漁 佬 先 從 塘 中 網(wǎng) 起 100條 魚(yú) 做 上 記 號(hào) 后放 回 塘 里 ， 過(guò) 一 段 時(shí) 間 （ 使 其 均 勻 ） 再 從 中網(wǎng) 起 80條 ， 發(fā) 現(xiàn) 其 中 有 記 號(hào) 者 為 2條 ， 求 魚(yú) 的總 數(shù) N。 解 設(shè) 80條 魚(yú) 中 有 記 號(hào) 的 魚(yú) 的 條 數(shù) 為 ， 則 服 從 二 項(xiàng) 分 布 B(80， 100/N)。由 定 理 2， 80條 魚(yú) 中 撈 起 的 有 記 號(hào) 的 魚(yú)最 有 可 能 是 Int(n+1)p)條 ，因 此 (80+1) 100/N=2 由 此 解 得 N=4050（ 條 ） 若 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 的 分 布 律 為其 中 0是 常 數(shù) ， 則 稱 服 從 參 數(shù) 為 的 泊松 分 布 。 記 為 P() ， 稱 為 參 數(shù) 。 ,2,1,0! kekkP k 泊 松 分 布 因 為 0 ， 故 有 P(=k)0 。 (k=0,1,2, ) 0 !k kx kxe又 1! 000 eekeekkP k kk kk即 泊 松 分 布 的 分 布 律 ， 具 備 概 率 函 數(shù) 兩 性 質(zhì) 。 在 任 給 一 段 固 定 的 時(shí) 間 間 隔 內(nèi) ， 來(lái) 到 公 共 設(shè) 施（ 公 共 汽 車 站 、 商 店 、 電 話 交 換 臺(tái) 等 ） 要 求 給 予服 務(wù) 的 顧 客 個(gè) 數(shù) ； 炸 彈 爆 炸 后 落 在 平 面 上 某 區(qū) 域 的 碎 彈 片 個(gè) 數(shù) ； 落 在 顯 微 鏡 片 上 的 某 種 細(xì) 菌 個(gè) 數(shù)在 實(shí) 際 問(wèn) 題 中 ， 有 很 多 隨 機(jī) 變 量 都 近 似 服 從 泊 松 分布 。 例 如 : 由 定 理 知 ： 泊 松 分 布 是 二 項(xiàng) 分 布 的 極 限 分 布設(shè) 隨 機(jī) 變 量 n服 從 二 項(xiàng) 分 布 B(n,pn) (n=1,2, )，其 中 概 率 pn與 有 關(guān) ， 并 且 滿 足0lim nn np ,2,1,0,!1lim kekppC kknnknknn 則泊 松 定 理 證 明 ： npnp nnnn 即令 knnknknnknkn nnk knnnnppC 1! 1211 kn nknk nnnk nknn 1! 112111 knnkn nk nknn 1! 112111 其 中 為 一 個(gè) 定 數(shù) 。 對(duì) 任 意 固 定 的 非 負(fù) 整 數(shù) ， 有 1112111lim nknnn kknnknn np limlim eennn knnnnknnn nn 111lim1lim 故 得 ,2,1,0,!1lim kekppC kknnknknn 在 應(yīng) 用 中 ， 當(dāng) 很 大 （ n10 ） ， 很 小(0.1) ， 我 們 有 下 面 的 泊 松 近 似 公 式 nk ekqpCkP kknkkn ,2,1,0 ,! 其 中 =np 解 設(shè) 為 擊 中 目 標(biāo) 的 彈 數(shù) ，則 B(5000,0.001) ， 例 3 設(shè) 每 次 擊 中 目 標(biāo) 的 概 率 為 0.001， 且 各 次射 擊 是 否 中 目 標(biāo) 可 看 作 相 互 沒(méi) 有 影 響 ， 如 果 射擊 5000次 ， 試 求 ： ( )擊 中 12彈 的 概 率 ； ( )至少 擊 中 12彈 的 概 率 。下 面 用 近 似 公 式 計(jì) 算 。 其 中 =np=5000 0.001=5 （ ） 至 少 擊 中 12彈 的 概 率 為 ： 0055.0!5!12 500012 5500012 k kk k ekekP （ ） 擊 中 12彈 的 概 率 為 ： 0034.0!125!1212 51212 eeP 例 4 設(shè) 有 同 類 設(shè) 備 臺(tái) ， 各 臺(tái) 工 作 相 互 獨(dú) 立的 ， 發(fā) 生 故 障 的 概 率 都 是 0.01， 并 且 一 臺(tái) 設(shè) 備 的故 障 可 由 一 個(gè) 人 來(lái) 處 理 ， 試 求（ ） 一 個(gè) 人 負(fù) 責(zé) 維 修 臺(tái) 設(shè) 備 時(shí) ， 設(shè) 備 發(fā)生 故 障 而 不 能 及 時(shí) 維 修 的 概 率 ；（ ） 由 三 個(gè) 人 共 同 負(fù) 責(zé) 維 修 臺(tái) 設(shè) 備 時(shí) ，設(shè) 備 發(fā) 生 故 障 而 不 能 及 時(shí) 維 修 的 概 率 。 解 ： (1)設(shè) 表 示 同 一 時(shí) 刻 發(fā) 生 故 障 的 設(shè) 備 臺(tái) 數(shù) 。在 同 一 時(shí) 刻 至 少 有 臺(tái) 設(shè) 備 發(fā) 生 故 障 ， 便不 能 及 時(shí) 處 理 。 0169.0 99.001.02099.01 111 12 1920 19120200020202 20 ppCppC ppCP k knkk 若 用 泊 松 近 似 公 式 (=np=20 0.01=0.2) ，則 有 0176.0!2.0!2 20 2 2.0202 k kk k ekekP （ 2） 設(shè) 表 示 同 一 時(shí) 刻 發(fā) 生 故 障 的 設(shè) 備 數(shù) ， 則 B(80,0.01)。當(dāng) 同 一 時(shí) 刻 至 少 有 臺(tái) 設(shè) 備 發(fā) 生 故 障 時(shí) ，就 不 能 及 時(shí) 維 修 。用 泊 松 近 似 公 式 (=np=80 0.01=0.8) ，得 計(jì) 算 結(jié) 果 表 明 ， 由 三 人 共 同 負(fù) 責(zé) 維 修 臺(tái) ， 每 人 平 均 約 維 修 臺(tái) ， 比 一 個(gè) 單 獨(dú)維 修 臺(tái) 更 好 ， 既 節(jié) 約 了 人 力 又 提 高 了 工作 效 率 。 0091.0!8.0!4 804 8.0804 k kk k ekekP 例 5 某 商 店 由 過(guò) 去 的 銷 售 記 錄 表 明 ， 某 種商 品 每 月 的 銷 售 件 數(shù) 可 以 用 參 數(shù) =7的 泊 松分 布 來(lái) 描 述 ， 為 了 以 0.999以 上 的 把 握 保 證不 脫 銷 ， 問(wèn) 該 商 店 在 月 底 至 少 應(yīng) 進(jìn) 這 種 商 品多 少 件 ？ 解 ： 設(shè) 該 商 店 每 月 銷 售 件 ， 月 底 進(jìn) 貨 為 a件 ，則 當(dāng) a 時(shí) ， 就 不 會(huì) 脫 銷 。 根 據(jù) P(7) 得 7 1 !711 ekaPaP ak k 999.0!71 71 ekak k即 999.0aP 由 題 意 有 查 表 得 a+117即 a16 71 !7001.0 ekak k這 家 商 店 至 少 要 在 月 底 進(jìn) 16件 這 種 商 品 。 幾 何 分 布 在 “ 成 功 ” 概 率 是 p的 貝 努 利 試 驗(yàn) 中 ， 若以 記 首 次 出 現(xiàn) “ 成 功 ” 的 試 驗(yàn) 次 數(shù) 。 則 所服 從 的 分 布 便 是 幾 何 分 布 。 ,2,11),;()( 1 k pqpkgpqkP k 111);( 1 11 qppqpkg k kk顯 然 例 6 一 個(gè) 人 要 開(kāi) 門 ， 他 共 有 n把 鑰 匙 ， 其 中 僅 有 一把 是 能 開(kāi) 此 門 的 ， 現(xiàn) 隨 機(jī) 地 從 中 取 出 一 把 鑰 匙 來(lái) 試 開(kāi)門 ， 在 試 開(kāi) 時(shí) 每 一 把 鑰 匙 均 以 1/n的 概 率 被 取 用 ， 問(wèn)此 人 直 到 第 S次 試 開(kāi) 時(shí) 方 才 成 功 的 概 率 是 多 少 ？ 解 nAP 1)( nnn s 11 1 所 求 概 率A=試 開(kāi) 門 成 功 幾 何 分 布 具 有 如 下 特 征 ：如 的 分 布 律 為 g(k;p)， 則 對(duì) 任 意 正 整 數(shù) s、 t， 有P(s+t s)= P(t)稱 幾 何 分 布 具 有 “ 無(wú) 記 憶 ” 性 。下 面 證 明 上 式 。 )( 1 11 )( 1 11 11 1 tPstsP qqqppqtP qqq qqpq pq sP tsPstsP tt tk k ts tssk ktsk k 證 明 超 幾 何 分 布 例 7 在 一 箱 N件 裝 的 產(chǎn) 品 中 混 進(jìn) 了 M件 次 品 ， 今 從中 抽 取 n 件 (nM) ， 求 從 中 查 出 次 品 的 件 數(shù) 的 概 率分 布 . nk CCCkP nN kn MNkM ,2,1,0 ,)( 解 負(fù) 二 項(xiàng) 分 布 在 “ 成 功 ” 概 率 是 p的 貝 努 利 試 驗(yàn) 中 ， 出 現(xiàn)第 r次 成 功 時(shí) 所 作 的 試 驗(yàn) 次 數(shù) 所 服 從 的 分 布 稱 為負(fù) 二 項(xiàng) 分 布 . ,2,1, rrrk prkfqpCkP rkrrk ,;)( 11 pq 1 由 于 f(k;r,p)是 負(fù) 指 數(shù) 二 項(xiàng) 式展 開(kāi) 式 中 的 項(xiàng) ， 故 所 服 從 的 分 布 稱 為 負(fù) 二 項(xiàng) 分 布 。由 此 也 可 以 證 明 1,; rk prkf rpqp )1( l lrlll r C l lrrr l lrrrC 1)1( ! )1()1()1( ! )1()1( 其 中 1)1( )1(,; 00 1 1 11 rr l lrll rl lrr lr rk rkrrkrk qp qpCqpC qpCprkf證 明 例 8 兩 個(gè) 同 類 型 的 系 統(tǒng) ， 開(kāi) 始 時(shí) 各 有 N個(gè) 備件 ， 一 旦 出 現(xiàn) 故 障 ， 就 要 更 換 一 個(gè) 備 件 。 假定 兩 個(gè) 系 統(tǒng) 的 運(yùn) 行 條 件 相 同 ， 不 同 時(shí) 發(fā) 生 故障 。 試 求 當(dāng) 一 個(gè) 系 統(tǒng) 需 用 備 件 而 發(fā) 現(xiàn) 備 件 已用 光 時(shí) ， 另 一 系 統(tǒng) 尚 有 r個(gè) 備 件 的 概 率 Ur. (r=0,1, ,N) 解 只 考 慮 出 故 障 的 時(shí) 刻 第 一 個(gè) 系 統(tǒng) 出 故 障A 第 二 個(gè) 系 統(tǒng) 出 故 障A故 障 的 出 現(xiàn) 看 作 是 貝 努 利 試 驗(yàn) ， 有21)( APp 要 第 一 個(gè) 系 統(tǒng) 缺 備 件 而 第 二 個(gè) 系 統(tǒng) 剩 r件 ， 應(yīng) 該是 A出 現(xiàn) N 1次 （ 前 N次 用 去 所 有 N個(gè) 備 件 ， 最 后 一 次故 障 發(fā) 生 時(shí) 缺 乏 調(diào) 換 的 備 件 ） 而 A出 現(xiàn) N r次 ， 這 事件 的 概 率 為 ：對(duì) 于 第 二 個(gè) 系 統(tǒng) 先 缺 備 件 的 情 況 可 同 樣 考 慮 ，因 此 所 求 概 率 Ur為 ： 122 21 rNN rNC rNN rNC 22 21 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量定 義 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 的 分 布 函 數(shù) 為 F(x)， 若 存 在 非 負(fù)函 數(shù) f(x)， 使 得 對(duì) 一 切 實(shí) 數(shù) ， 關(guān) 系 式 x dttfxF 3.4 一 維 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量都 成 立 ， 則 稱 為 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量 ， f(x)稱 為 的 密度 函 數(shù) 。 可 以 證 明 ， 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量 的 分 布 函 數(shù) 是 連續(xù) 函 數(shù) 。 密 度 函 數(shù) f(x)具 有 下 列 性 質(zhì) ： 0 xf 1dxxf ba dxxfaFbFbaP （ 4） 若 f(x)在 點(diǎn) 的 某 鄰 域 內(nèi) 連 續(xù) ， 則 有（ 3）（ 2） xfxF )(（ 1） 證 明 （ ） 由 定 義 知 f(x) 0顯 然 。（ ） 由 分 布 函 數(shù) 性 質(zhì) 知 ， 1lim xFF x 1limlim FxFdttfdxxf xxx由 廣 義 積 分 概 念 與 定 義 知 ， aPbPbaP bab adxxf dxxfdxxf （ ） aFbF aPbPbaP 對(duì) 任 意 類 型 的隨 機(jī) 變 量 均 成 立 ( ) x dttfdttf x xFxxFxF xxxxx 00limlim xf x xxxf x dttfx xxxx 00limlim 例 ： 設(shè) 是 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量 ， c為 任 意 常 數(shù) ， 試 證P c 0證 明 hc c dxxhccPcP 0lim0 0 hcch dxxcP 故 0cP 即 。的 密 度 函 數(shù) 為設(shè) x 對(duì) 任 意 的 h ， 有 aFbF baP baP baP baP 注 ： 由 P c 0 ， 可 知 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量 有 n（ ） 求 常 數(shù) 、 ；n（ ） 判 斷 是 否 是 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量 ；n（ ） 求 P 11/2例 ： 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 的 分 布 函 數(shù) 為 0,31 0,31 2 xeB xeAxF xx 解 ： （ ） 由 分 布 函 數(shù) 性 質(zhì) 得 AeAxF xxx 31limlim0 BeBxF xxx 231limlim1（ ） 因 為 所 以 F(x)不 是 連 續(xù) 函 數(shù) ， 從 而 不 是 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量 。 31032lim 0 FxFx （ ） 1 11321 31311 12 1 211 e ee FFP 例 3 已 知 隨 機(jī) 變 量 的 密 度 函 數(shù) 是2a(x) ( x )1 x (1) 確 定 a的 值 ；(2) 求 的 分 布 函 數(shù) F(x)；(3) 求 概 率 P(2 1)。 解 ： (1)根 據(jù) 密 度 的 性 質(zhì) ， 有 a 0及注 ： 這 種 分 布 稱 為 柯 西 (Cauchy)分 布 。 1 )arctan(arctanlim 1 1)( 1)( 2 a aBAa dxxadxx dxxBA而 （ 2） 的 分 布 函 數(shù) 為 ： xx dxx dxxxPxF x xarctan121 )2(arctan1 1 11 )( 2 （ 3） 21 2.11 1 111 )(1 111 111 1 1 211 22 dxxdxxP PP 均 勻 分 布設(shè) a、 b為 有 限 數(shù) ， 且 as+t s)= P(t) 稱 指 數(shù) 分 布 具 有 “ 無(wú) 記 憶 ” 性 。指 數(shù) 分 布 是 唯 一 具 有 “ 無(wú) 記 憶 ” 性 的 連 續(xù) 型 分 布 。 例 5 設(shè) 到 某 服 務(wù) 窗 口 辦 事 ， 需 排 隊(duì) 等 候 。 若 等 待 的時(shí) 間 是 指 數(shù) 分 布 隨 機(jī) 變 量 （ 單 位 :min） ， 則 其 概率 密 度 為某 人 到 此 窗 口 辦 事 ， 在 等 待 15分 鐘 后 仍 未 能 得到 接 待 時(shí) ， 他 就 憤 然 離 去 ， 若 此 人 在 一 個(gè) 月 內(nèi) 共 去 該處 10次 。 00 0101)( 10 ttetf t 試 求 :（ 1） 有 2次 憤 然 離 去 的 概 率 ; （ 2） 最 多 有 2次 憤 然 離 去 的 概 率 ;（ 3） 至 少 有 2次 憤 然 離 去 的 概 率 。 解 首 先 可 求 出 他 在 任 一 次 排 隊(duì) 服 務(wù) 時(shí) ， 以 憤 然 離 去而 告 終 的 概 率 。 在 10次 排 隊(duì) 中 憤 然 離 去 的 次 數(shù) B（ 10， p） ，即 服 從 n=10， p=0.2231的 二 項(xiàng) 分 布 ， 于 是 所 求 的 概率 分 別 為 2231.0)( 10115 231510 15 10 ee dtePp t t 6238.0 101 212)3( PPPP 2937.0)1(2)1( 82210 ppCP 6735.0 )1()1(10)1( 2102)2( 82210910 ppCppp PPPP 3.5 正 態(tài) 分 布若 隨 機(jī) 變 量 的 分 布 密 度 22/2)(21)( xexf )( x其 中 、 0為 常 數(shù) ， 則 稱 服 從 參 數(shù) 為 、 的正 態(tài) 分 布 ， 簡(jiǎn) 記 為 N(, 2) 。 的 分 布 函 數(shù) 為 dtexF tx 22/2)(21)( 特 別 地 稱 N(0,1)為 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) 分 布 ， 其 概 率 密 度及 分 布 函 數(shù) 常 記 為 ： 2/221)( xex x t dtex 2/221)( ba x ba dxe dxxfbaP 2 22 )(21 )( 如 N(,2)， 有 )()( abbaP證 明 ： 時(shí) 也 成 立 。或結(jié) 論 當(dāng) ba命 題 1 )()( ab ba t dte 2221 ba x xde )(21 2 22 )( xt令 )(21)( ,2/2 xdtexF xba x t 有時(shí)，特 別 地 ， 當(dāng) )1,0( )( )()( )( N xxP xxF xPxPxF )1,0(),( 2 NN ， 則如證 明 ：命 題 2 例 ： 設(shè) N( 1， 4)， 求 P1x=0.1的 x。)(12 xxP 例 2解 ： 95.010.05.01211)( xPx x=1.645 例 3 設(shè) 已 知 測(cè) 量 誤 差 N（ 0， 102 ） ， 現(xiàn) 獨(dú) 立 重復(fù) 進(jìn) 行 100次 測(cè) 量 ， 求 誤 差 絕 對(duì) 值 超 過(guò) 19.6的 次 數(shù) 不 少于 3的 概 率 。 解 ： 第 一 步 :以 A表 示 一 次 測(cè) 量 中 “ 誤 差 絕 對(duì) 值 超 過(guò) 19.6”的 事 件 ， 則 有 05.0)96.1(2296.1101 6.1916.19)( P PPAP 第 二 步 :以 表 示 100次 獨(dú) 立 重 復(fù) 測(cè) 量 中 ， 事 件 A發(fā) 生的 次 數(shù) ， 則 B（ 100， 0.05） ， 所 求 概 率 是 P（ 3） =1 P（ 3） 8754.0!25!15!051 )2()1()0(1 )3(1)3( 525150 eee PPP PP 第 三 步 :由 于 n=100較 大 而 p=0.05很 小 ， 故 二 項(xiàng) 分 布可 用 =np=5的 泊 松 分 布 近 似 代 替 ， 查 泊 松 分 布 表 可得 例 4 公 共 汽 車 車 門 的 高 度 是 按 男 子 與 車 門 頂 碰 頭 的 機(jī)會(huì) 在 0.01以 下 來(lái) 設(shè) 計(jì) 的 ， 設(shè) 男 子 身 高 服 從 =170cm、 =6cm的 正 態(tài) 分 布 ， 即 N（ 170， 62 ） ， 試 確 定車 門 的 高 度 。 解 ： 設(shè) 車 門 的 高 度 為 hcm， 根 據(jù) 設(shè) 計(jì) 要 求 應(yīng) 有 99.0)( 01.0)(1 01.0)( hP hP hP 184 33.26170 99.09901.0)33.2( 99.0)6170()()( )6170( 2 hh hhPhP N得 查 正 態(tài) 分 布 表 得， 例 5： 從 南 郊 某 地 乘 車 前 往 北 區(qū) 火 車 站 搭 火車 有 兩 條 路 線 可 走 ， 第 一 條 穿 過(guò) 市 區(qū) ， 路 程較 短 ， 但 交 通 擁 擠 ， 所 需 時(shí) 間 （ 單 位 :分 鐘 ）服 從 正 態(tài) 分 布 N(50,100)， 第 二 條 沿 環(huán) 城 公 路走 ， 路 線 較 長(zhǎng) ， 但 意 外 堵 塞 較 少 ， 所 需 時(shí) 間（ 單 位 :分 鐘 ） 服 從 正 態(tài) 分 布 N(60,16)，（ 1） 如 有 70分 鐘 可 用 ， 問(wèn) 應(yīng) 走 哪 一 條 路 線 ？（ 2） 如 只 有 65分 鐘 可 用 ， 問(wèn) 應(yīng) 走 哪 一 條 路 線 ？ 解 ： 應(yīng) 走 第 二 條 路 線 。 的 概 率 為 ：走 第 二 條 路 線 及 時(shí) 趕 到 9938.0)46070(70P 9772.0)105070(70 70)1( P 的 概 率 為 ：走 第 一 條 路 線 及 時(shí) 趕 到分 鐘 可 用 時(shí)有表 示 行 車 時(shí) 間 。設(shè) 9332.0)105065(65 65)2( P 的 概 率 為 ：走 第 一 條 路 線 及 時(shí) 趕 到分 鐘 可 用 時(shí)有應(yīng) 走 第 一 條 路 線 。 的 概 率 為 ：走 第 二 條 路 線 及 時(shí) 趕 到 8944.0)46065(65P 3.6 一 維 隨 機(jī) 變 量 函 數(shù) 的 分 布 如 是 隨 機(jī) 變 量 ， 在 y=f(x)連 續(xù) 、 分 段連 續(xù) 或 單 調(diào) 時(shí) ， 則 =f() 也 是 隨 機(jī) 變 量 。 例 1 設(shè) 的 分 布 律 為 的 分 布 。試 求 出 12,2 2 1 0 1 2P 0.15 0.2 0.2 0.2 0.25 解 P 0.15 0.2 0.2 0.2 0.25 2 1 0 1 24 1 0 1 42 將 表 中 取 相 同 值 的 部 分 作 適 當(dāng) 并 項(xiàng) 得0.20 0.40.4P 41 2 P 0.15 0.2 0.2 0.2 0.25 2 1 0 1 22-1 5 3 1 1 3 將 表 中 取 相 同 值 的 部 分 作 適 當(dāng) 并 項(xiàng) 得P2-1 0.2530.210.20.20.15 1 3 5 例 2 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 具 有 連 續(xù) 的 分 布 密 度 (y)， 試 求 =a +b（ 其 中 a， b是 常 數(shù) ，并 且 a 0） 的 分 布 密 度 (y)。 解 ： 時(shí)當(dāng)?shù)?分 布 函 數(shù) 為設(shè) 0)1( )(a yF duabua dtta byP ybaPyPyF ybatu aby )(1 )( )( )(1)()( a byayFdydy duabua dtta byP ybaPyPyF ybatu aby )(1 )( )( 時(shí)當(dāng) 0)2( a )(1)()( a byayFdydy )(1)( a byay 綜 上 所 述 ， 例 3 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 服 從 正 態(tài) 分 布 N(, 2)， 求 的 分 布 密 度 (y)。 解 ： ba exN x1 21)( ),( 22 2/)(2 )1,0( 212 )()()( 2/2/)( 222N ee uya byy uya by yy 由 有例， 由 13351 Pba證 明 ： ),( ),( 222 abaN baN ， 則，例 4 2 )(exp2 1 21exp2 1 )(1)( 22 2 22 a baya a bya a byay ),( 22 abauN 作 業(yè) ：4、 5、 15、 18、 27 作 業(yè) 評(píng) 講1、 解 0)()1 )()( ,0 ,1 xF ax dttfxF bax baxabxf x則 的 密 度 函 數(shù) 為 ： bx bxa axab axxF dttfdttfdttfxF bx ab axab axdttfdttfxF bxa xbbaa xaa 10)( 1010 )()()()()3 0)()()()2 2、 解 0)( 0)3 21)( 10)2 1)( 1)1 xPxF x xxPxF x xPxFx 12、 解以 表 示 300臺(tái) 分 機(jī) 中 ， 向 總 機(jī) 要 外 線 的 分 機(jī) 數(shù) 。 %62.92!913 9,03.0,300 97.003.013 130 9130 300300 k kk kkk ekP nppn CP 利 用 近 似 公 式 計(jì) 算 。 14、 解 211 1 1111 11)22( 1 11 11 11 2 2 arctgx dxxP AAAarctgx dxxA 15、 解 104121)( 2)3 41214121)( 20)2 2121)( 0)1 )()( 2200 00 xt xt xx tx dtdtdtexF x xdtdtexF x edtexF x dttxF 16、 解 4.02)( 1002)()( 11)(lim)1( 7.03.07.03.0 1 xdxdxxf xxdxxdFxf AxF AFx 其 它 18、 解 323013010 3000301)( 10 3010 dxP xxf 其 它 分 鐘 。 則點(diǎn)設(shè) 公 共 汽 車 到 達(dá) 時(shí) 間 為 19、 解 %72.2)1(12 8.01081018.0 2 56 dxxx PP 23、 解 271)1()2 278)1(1 31100150 0333 3003 150100 2 ppC ppC dxxPp所 求 概 率 ） 所 求 概 率 表 示 電 子 管 的 壽 命 。設(shè) 25、 解 符 合 要 求 。 99.09973.0150)2 8665.0)11.1()18200180(1 1801180)1 P PP 27、 解 111210 8 )1(3)21(321 )(1)( 2112 12)1( 22 yy yy a byay ya byba 即 其 中 令 其 它 1108 )1(3)( 2 yyy 其 它故 即其 中 令 0 1023)( 10123)( 3 )()2( 2121 230 222 yyyf yy yyf ydxxyyP yPyPyF y 28、 解 0)(0 2 )(lnexp211)(ln )(ln)()( 0 )(lnln )( 2 2 yfy ayyyyf dy ydFdyydFyf y yFyP yePyPyF 時(shí) ，當(dāng) 時(shí)當(dāng) 29、 解 )(31 )()()( )( )( 332 333 3yy dy ydFdyydFyf yFyP yPyPyF 其 它其 它 10031)(31)( 1001)( 32332 yyyyyf xx 30、 解 yeyyf eeefe dyedFdyydFyf eFeP yPyPyF yeyyy y yy y)2exp(2)( 2)(21 )()()( )( ln2)( 2222 2 22 2 即