概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率統(tǒng)計

概 率 論 與 數(shù) 理 統(tǒng) 計 概 率 論 與 數(shù) 理 統(tǒng) 計 隨 機(jī) 事 件 及 其 概 率 隨 機(jī) 現(xiàn) 象 的 結(jié) 果 稱 為 事 件 .描 述 事 件 發(fā) 生 可 能 性 的 大 小 的數(shù) 稱 為 概 率 .概 率 論 就 是 研 究 隨 機(jī) 事 件 的 概 率 .如 何 求 隨 機(jī) 事 件 的 概 率 （ 二 ） 運(yùn) 用 概 率 模 型（ 一 ） 運(yùn) 用 頻 率 方 法 求 事 件 概 率 對 隨 機(jī) 現(xiàn) 象 進(jìn) 行 大 量 重 復(fù) 試 驗(yàn) ， 則 試 驗(yàn) 的 結(jié) 果 是 有 規(guī) 律 的試 驗(yàn) 者 拋 擲 次 數(shù) 正 面 次 數(shù) 正 面 頻 率Buffon 4040 2048 0.5069Pearson 12000 6019 0.5016Pearson 24000 12012 0.5005計 算 機(jī) 240000 119928 0 .4997計 算 機(jī) 2400000 1200065 0 .50002 概 率 論 與 數(shù) 理 統(tǒng) 計 正 面 概 率 ： 0.5Menu 概 率 論 與 數(shù) 理 統(tǒng) 計 當(dāng) 隨 機(jī) 試 驗(yàn) 的 每 一 種 可 能 出 現(xiàn) 的 結(jié) 果 出 現(xiàn) 的 可 能 性 相等 時 ， 那 么 關(guān) 于 該 試 驗(yàn) 的 事 件 的 概 率 容 易 確 定 。 Menu 古 典 概 型 （ 等 可 能 概 型 ）古 典 概 型 的 兩 個 基 本 特 點(diǎn) :（ 1） 所 有 可 能 的 結(jié) 果 只 有 有 限 個 ;（ 有 限 性 ）（ 2） 每 個 可 能 的 結(jié) 果 發(fā) 生 都 是 等 可 能 的 .（ 等 可 能 性 ）古 典 概 型 的 經(jīng) 典 案 例 ： 拋 硬 幣 、 拋 骰 子古 典 概 型 的 概 率 公 式 :P(A)=事 件 A包 含 的 結(jié) 果 數(shù) /試 驗(yàn) 可 能 出 現(xiàn) 的 所 有 結(jié) 果 數(shù) 排 列 數(shù) 與 組 合 數(shù) 概 率 論 與 數(shù) 理 統(tǒng) 計 Menu 從 n個 不 同 的 元 素 中 ， 任 取 k個 元 素 ， 按 照 一 定 的 順 序排 成 一 列 ， 叫 做 從 n個 不 同 的 元 素 中 取 出 k個 元 素 的 一 個 排 列 。 從 n 個 不 同 元 素 中 ， 任 取 k 個 元 素 并 成 一 組 ， 叫 做 從 n 個 不 同 元 素 中 取 出 m 個 元 素 的 一 個 組 合 寫 出 從 標(biāo) 記 有 a , b , c , d 四 個 球 中 任 取 三 個 球 的 所有 組 合 及 排 列 . 組 合 排 列abcabdacdbcd abc bac cabacb bca cbaabd bad dabadb bda dbaacd cad dacadc cda dcabcd cbd dbcbdc cdb dcb 概 率 論 與 數(shù) 理 統(tǒng) 計 Menu 如 果 每 個 事 件 發(fā) 生 的 概 率 只 與 構(gòu) 成 該 事 件 區(qū) 域 的 長 度(面 積 或 體 積 )成 比 例 ,則 稱 這 樣 的 概 率 模 型 為 幾 何 概 型 . 概 率 論 與 數(shù) 理 統(tǒng) 計 Menu 幾 何 概 型 一 海 豚 在 水 池 中 自 由 游 弋 ， 水 池 為 長 30m， 寬 為 20m的 長 方 形 。 求 此 海 豚 嘴 尖 離 岸 邊 不 超 過 2m的 概 率 .30m 2mA20m 概 率 論 與 數(shù) 理 統(tǒng) 計 現(xiàn) 在 假 如 有 人 看 了 一 眼 骰 子 ， 并 告 訴 你 ， 骰 子 出 現(xiàn) 的 點(diǎn)數(shù) 是 偶 數(shù) ， 這 信 息 對 你 的 判 斷 是 否 重 要 ？ 這 時 你 有 多 少 把握 斷 定 它 是 2點(diǎn) ？拋 擲 一 顆 質(zhì) 量 均 勻 的 骰 子 ， 那 么 押 中 2的 概 率 是 多 少 ？ Next 設(shè) A、 B是 兩 個 事 件 ， 且 P(A)0,則 稱 )( )()( APABPABP 為 在 事 件 A發(fā) 生 的 條 件 下 事 件 B發(fā) 生 的 條 件 概 率 。 概 率 論 與 數(shù) 理 統(tǒng) 計 Back 概 率 論 與 數(shù) 理 統(tǒng) 計 10件 產(chǎn) 品 中 有 7件 正 品 ， 3件 次 品 ， 7件 正 品 中 有 3件 一 等品 ， 4件 二 等 品 .現(xiàn) 從 這 10件 中 任 取 一 件 ,若 知 道 它 是 正 品 ，那 它 是 一 等 品 的 概 率 是 多 少 ？ 解 ： 記 A=取 到 一 等 品 ， B=取 到 正 品 ， 則P(A )=3/10，P(A|B )=P(AB)/P(B)=3/7. 概 率 論 與 數(shù) 理 統(tǒng) 計 由 條 件 概 率 的 定 義 ： )( )()|( BP ABPBAP 若 已 知 條 件 概 率 , 可 以 反 求 P(AB).即 若 P(B)0,則 P(AB)=P(B)P(A|B) (2)若 P(A)0 , 則 P(AB)=P(A)P(B|A) (3) (2)和 (3)式 都 稱 為 乘 法 公 式 , 利 用 它 們 可通 過 條 件 概 率 計 算 兩 個 事 件 同 時 發(fā) 生 的 概 率 . 一 場 精 彩 的 足 球 賽 將 要 舉 行 , 5個球 迷 好 不 容 易 才 搞 到 一 張 入 場 券 .大 家都 想 去 ,只 好 用 抽 簽 的 方 法 來 解 決 . 入 場券5張 同 樣 的 卡 片 ,只 有 一 張 上 寫 有 “ 入 場 券 ” ,其 余 的 什 么 也 沒寫 . 將 它 們 放 在 一 起 ,洗 勻 ,讓 5個 人 依 次 抽 取 .后 抽 比 先 抽 的 確 實(shí) 吃 虧 嗎 ？ “ 先 抽 的 人 當(dāng) 然 要 比 后 抽 的 人 抽 到 的 機(jī) 會 大 . ” 概 率 論 與 數(shù) 理 統(tǒng) 計 Next 到 底 誰 說 的 對 呢 ？ 讓 我 們 用 概 率論 的 知 識 來 計 算 一 下 ,每 個 人 抽 到 “入 場 券 ” 的 概 率 到 底 有 多 大 ?“ 大 家 不 必 爭 先 恐 后 ， 你 們 一 個 一 個按 次 序 來 ， 誰 抽 到 入 場 券 的 機(jī) 會 都一 樣 大 .”“ 先 抽 的 人 當(dāng) 然 要 比 后 抽 的 人 抽 到 的 機(jī) 會 大 。 ”概 率 論 與 數(shù) 理 統(tǒng) 計 我 們 用 Ai表 示 “ 第 i個 人 抽 到 入 場 券 ” i 1,2,3,4,5.顯 然 ， P(A1)=1/5， P( ) 4/51A第 1個 人 抽 到 入 場 券 的 概 率 是 1/5.也 就 是 說 ，iA則 表 示 “ 第 i個 人 未 抽 到 入 場 券 ” 概 率 論 與 數(shù) 理 統(tǒng) 計 因 為 若 第 2個 人 抽 到了 入 場 券 ， 第 1個 人肯 定 沒 抽 到 .也 就 是 要 想 第 2個 人 抽 到 入 場 券 ， 必 須 第 1個 人 未抽 到 ， )|()()( 1212 AAPAPAP 212 AAA 由 于由 乘 法 公 式 P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5計 算 得 ： 概 率 論 與 數(shù) 理 統(tǒng) 計 Back )|()|()()()( 2131213213 AAAPAAPAPAAAPAP 這 就 是 有 關(guān) 抽 簽 順 序 問 題 的 正 確 解 答 . 同 理 ， 第 3個 人 要 抽 到 “ 入 場 券 ” ， 必 須 第 1、第 2個 人 都 沒 有 抽 到 . 因 此=(4/5)(3/4)(1/3)=1/5 繼 續(xù) 做 下 去 就 會 發(fā) 現(xiàn) , 每 個 人 抽 到 “ 入 場 券 ” 的 概 率 都 是 1/5.也 就 是 說 ， 概 率 論 與 數(shù) 理 統(tǒng) 計抽 簽 不 必 爭 先 恐 后 某 一 事 件 A的 發(fā) 生 有 各 種 可 能 的 原 因Bi(i=1,2,n),如 果 A是 由 原 因 Bi所 引 起 ，則 A發(fā) 生 的 概 率 是 每 一 原 因 Bi都 可 能 導(dǎo) 致 A發(fā) 生 ， 故 A發(fā)生 的 概 率 是 各 原 因 引 起 A發(fā) 生 的 概 率 的 總和 ， 即 全 概 率 公 式 .全 概 率 公 式 ： ni ii BPBAPAP 1 )()()( )()()( iii BPBAPABP 概 率 論 與 數(shù) 理 統(tǒng) 計 為 了 了 解 一 只 股 票 在 一 定 時 期 內(nèi) 的 價 格 變 化 , 常常 會 去 分 析 影 響 價 格 的 基 本 因 素 , 如 利 率 的 變 化 。 假設(shè) 利 率 下 調(diào) 的 概 率 為 60 ,利 率 不 變 的 概 率 為 40 。 根據(jù) 經(jīng) 驗(yàn) ， 在 利 率 下 調(diào) 時 該 股 票 價 格 上 漲 的 概 率 為 80 , 在 利 率 不 變 時 該 股 票 價 格 上 漲 的 概 率 為 40 , 求 該 股票 上 漲 的 概 率 .解 ： 設(shè) A=利 率 下 調(diào) , B=股 票 價 格 上 漲 ,則 P(A)=0.6, P(B|A)=0.8.由 全 概 率 公 式 ， 得P(B)P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A) 0.60 0.80 0.40 0.40 ;0.64概 率 論 與 數(shù) 理 統(tǒng) 計 兩 個 事 件 的 獨(dú) 立 性 在 某 些 特 殊 情 形 ， 有 P（ B A） = P（ B） ， 即 事 件 A的 發(fā) 生與 否 并 不 影 響 到 B發(fā) 生 的 概 率 ， 有 一 種 “ 獨(dú) 立 ” 的 意 味 。為 此 ， 引 進(jìn) 事 件 的 獨(dú) 立 性 概 念 。 概 率 論 與 數(shù) 理 統(tǒng) 計 把 一 枚 硬 幣 任 意 的 拋 擲 兩 次 ， 事 件 A=“第 一 次 出 現(xiàn)正 面 ” ， 事 件 B=“第 二 次 出 現(xiàn) 正 面 ” 。 問 P(B|A)和 P(B)相 等 嗎 ？ 甲 、 乙 兩 人 向 同 一 目 標(biāo) 射 擊 ，問 P(B|A)和 P(B)相 等 嗎 ？ 若 兩 事 件 A、 B 滿 足 P(AB)= P(A)P(B) 則 稱 A、 B 相 互 獨(dú) 立 .在 實(shí) 際 應(yīng) 用 中 ,往 往 根 據(jù) 問 題 的 實(shí) 際 意 義 去 判 斷 兩 事 件 是 否 獨(dú) 立 . 概 率 論 與 數(shù) 理 統(tǒng) 計事 件 A 與 B 相 互 獨(dú) 立 ,是 指 事 件 A 的發(fā) 生 與 事 件 B 發(fā) 生 的 概 率 無 關(guān) . 炮 兵 營 的 兩 名 戰(zhàn) 士 同 時 向 敵 機(jī) 炮 擊 ,已 知甲 擊 中 敵 機(jī) 的 概 率 為 0.6, 乙 擊 中 敵 機(jī) 的 概 率 為0.5, 求 敵 機(jī) 被 擊 中 的 概 率 .解 設(shè) A= 甲 擊 中 敵 機(jī) B= 乙 擊 中 敵 機(jī) C=敵 機(jī) 被 擊 中 .BAC 則 依 題 設(shè) , 5.0)(,6.0)( BPAP 概 率 論 與 數(shù) 理 統(tǒng) 計 由 于 甲 ， 乙 同 時 射 擊 ， 甲 擊 中 敵 機(jī) 并 不 影響 乙 擊 中 敵 機(jī) 的 可 能 性 ， 所 以 A與 B獨(dú) 立 ,故 有 ( ) ( ) ( ) 0.6 0.5 0.3P AB P A P B ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P AB 0.6 0.5 0.30.8 概 率 論 與 數(shù) 理 統(tǒng) 計 多 個 事 件 的 獨(dú) 立 性 概 率 論 與 數(shù) 理 統(tǒng) 計 1 2, , , nA A A 1 2 n 1 2 n若 相 互 獨(dú) 立 ， 則P(A A A )=P(A )P(A ) P(A )從 直 觀 上 講 ,n個 事 件 相 互 獨(dú) 立 就 是 其 中 任 何 一 個 事 件出 現(xiàn) 的 概 率 不 受 其 余 一 個 或 幾 個 事 件 出 現(xiàn) 與 否 的 影 響 . 概 率 論 與 數(shù) 理 統(tǒng) 計 設(shè) 隨 機(jī) 試 驗(yàn) 只 有 兩 種 可 能 結(jié) 果 ： 事 件 A 發(fā) 生或 事 件 A不 發(fā) 生 ， 則 稱 這 樣 的 試 驗(yàn) 為 伯 努 利 試驗(yàn) .將 伯 努 利 試 驗(yàn) 在 相 同 條 件 下 獨(dú) 立 地 重 復(fù) 進(jìn) 行 n次 ， 稱 這 一 串 重 復(fù) 的 獨(dú) 立 試 驗(yàn) 為 n重 伯 努 利 試驗(yàn) （ 伯 努 利 概 型 ） . 拋 硬 幣 1000次 . 拋 骰 子 24次 ， 每 次 觀 察 1是 否 出 現(xiàn) . 如 果 在 一 次 試 驗(yàn) 中 ， 事 件 A出 現(xiàn)的 概 率 為 p (0p1), 則 在 n重 伯 努 利試 驗(yàn) 中 ， A恰 好 出 現(xiàn) k 次 的 概 率 為 ： 概 率 論 與 數(shù) 理 統(tǒng) 計 伯 努 利 定 理( ; , ) (1 ) ( 0,1, , )k k n k nb k n p C p p k n 現(xiàn) 在 拋 一 枚 質(zhì) 量 均 勻 的 硬 幣 3次 ， 求出 現(xiàn) 正 面 2次 的 概 率 。 概 率 論 與 數(shù) 理 統(tǒng) 計 一 個 醫(yī) 生 知 道 某 種 疾 病 患 者 自 然 痊 愈 率 為0.25， 為 試 驗(yàn) 一 種 新 藥 是 否 有 效 ， 把 它 給 10個 病人 服 用 ， 且 規(guī) 定 10個 病 人 中 至 少 有 4個 痊 愈 才 認(rèn)為 該 新 藥 有 效 。 求 雖 然 新 藥 有 效 ， 且 使 病 人 的 痊 愈 率 提 升 為0.35， 但 卻 被 試 驗(yàn) 否 定 的 概 率 . 新 藥 完 全 無 效 ， 但 通 過 試 驗(yàn) 被 認(rèn) 為 有 效 的概 率 . 作 業(yè) 題 :姚 明 罰 籃 的 命 中 率 為 80.9%,若 姚 明 在 某 次 比 中獲 得 4次 罰 球 機(jī) 會 ,假 設(shè) 每 次 投 籃 都 互 不 影 響 ,那 么 他 投 中 3次 的 可 能 性 有 多 大 ? 概 率 論 與 數(shù) 理 統(tǒng) 計 概 率 論 與 數(shù) 理 統(tǒng) 計