《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》概率論

2.3 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 及 其 分 布 函 數(shù) 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 X所 有 可 能 取 值 充 滿 一 個 區(qū)間 , 對 這 種 類 型 的 隨 機 變 量 , 不 能 象 離 散 型 隨 機變 量 那 樣 , 以 指 定 它 取 每 個 值 概 率 的 方 式 , 去 給出 其 概 率 分 布 , 而 是 通 過 給 出 所 謂 “ 概 率 密 度 函數(shù) ” 的 方 式 . 下 面 我 們 就 來 介 紹 對 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 的 描 述方 法 .2.3.1 定 義 與 基 本 概 念 則 稱 X為 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 , 稱 f (x) 為 X 的 概 率 密度函 數(shù) ， 簡 稱 為 概 率 密 度 .連續(xù)型隨機變量及其概率密度的定義 xF x f t dt有 ,使 得 對 任 意 實 數(shù) , x 對 于 隨 機 變 量 X 的 分 布 函 數(shù) F(x), 如 果 存 在 非 負可 積 函 數(shù) f (x) , ,x P X x 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 的 分 布 函 數(shù) 在 上 連 續(xù)R 概率密度的性質(zhì)1 o 0)( xf2 o 1)( dxxf 面 積 為 1這 兩 條 性 質(zhì) 是 判 定 一 個f(x)是 否 為 某 隨 機 變 量 X 的概 率 密 度 的 充 要 條 件 利 用 概 率 密 度 可 確定 隨 機 點 落 在 某 個范 圍 內(nèi) 的 概 率對 于 任 意 實 數(shù) x1 , x2 , (x1 0, 有 PX x0+ x | X x0=PX x該 性 質(zhì) 稱 為 無 記 憶 性 .指 數(shù) 分 布 在 可 靠 性 理 論 和 排 隊 論 中 有 廣 泛 的 運 用 . 例 3： 某 元 件 壽 命 （ 小 時 ） 服 從 的 指 數(shù) 分布 ， 某 報 警 系 統(tǒng) 內(nèi) 裝 有 個 這 樣 的 元 件 ， 已 知 ，他 們 獨 立 工 作 ， 且 若 要 系 統(tǒng) 正 常 工 作 ， 至 少 需 要不 少 于 個 元 件 正 常 工 作 ， 求 該 系 統(tǒng) 能 正 常 工 作1000小 時 的 概 率 。 2000 3. 正 態(tài) 分 布 (Normal Distribution) 若 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 X 的 概 率 密 度 為22( )21( ) ,2 xf x e x 記 作其 中 和 ( 0 )都 是 常 數(shù) , 則 稱 X服 從 參 數(shù) 為 和 的 正 態(tài) 分 布 或 高 斯 分 布 . 2( , )X N :性 質(zhì) 2 1;f x dx 1 0;f x 22( )21( ) ,2 xf x e x 函 數(shù) 在 上 單 調(diào) 增 加 ,在 上 f x 4 ( , , ) 單 調(diào) 減 少 ,在 取 得 最 大 值 ； 這 表 明 對 于 同 樣 長 度的 區(qū) 間 , 當 區(qū) 間 離 越 遠 , X 落 在 這 個 區(qū) 間 上 的 概 率 越小 . x 曲 線 關(guān) 于 軸 對 稱 ； f x 3 P h X P X h 0h22( )21( ) ,2 xf x e x (6)在 x = 處 曲 線 有 拐 點 . 曲 線 以 Ox 軸 為漸 近 線 .f (x) 以 x 軸 為 漸 近 線 5 當 x 時 ， f(x) 0. 決 定 了 圖 形 的 中 心 位 置 ， 決 定 了 圖 形 中峰 的 陡 峭 程 度 . 正 態(tài) 分 布 的 概 率 密 度 曲 線 圖 形 特 點2( , )N 設(shè) X , X 的 分 布 函 數(shù) 是正 態(tài) 分 布 的 分 布 函 數(shù) 22( )21 ,2 t x F x e dt x 2( , )N 2( , )N 正 態(tài) 分 布 由 它 的 兩 個 參 數(shù) 和 唯 一 確 定 ， 當 和不 同 時 ， 是 不 同 的 正 態(tài) 分 布 。 一 種 最 重 要 的 正 態(tài) 分 布 標 準 正 態(tài) 分 布0, 1 的 正 態(tài) 分 布 稱 為 標 準 正 態(tài) 分 布 ，記 作 其 密 度 函 數(shù) 和 分 布 函 數(shù) 常 用 和 表 示 ： ( )x( )x 221 ,2 txx e dt x 221 ,2 x x e x (0,1)N 性 質(zhì) : 1 0( ( ) 0 ;x x x 當 時 ， ） 2212 1 ;2 xx dx e dx （ ） ， 因 此 ， 為 偶 函 數(shù) ，圖 形 關(guān) 于 軸 對 稱 , x軸 為 曲 線 的 水 平 漸 近 線 ；當 x 0時 ， 有 最 大 值 當 時 ， 曲 線 上 對 應(yīng) 拐 點 ； x x x 10 ;2 1x )(x )(x 14 0 , 1 .2 x x 標 準 正 態(tài) 分 布 的 重 要 性 在 于 ， 任 何 一 個 一 般 的 正態(tài) 分 布 都 可 以 通 過 線 性 變 換 轉(zhuǎn) 化 為 標 準 正 態(tài) 分 布 .引 理 2 , , 0,1 .XX N Z N 若 則 1 2 2 12 1( ) ;(2) ( ) ( ) ( ) ( )X x xF x PP x X x x xF x F x 因 此 我 們 有(1) 通 常 ， 若 某 個 數(shù) 量 指 標 X是 很 多 隨 機 因 素 的 和 ，而 每 個 因 素 所 起 的 作 用 均 勻 微 小 ， 則 X為 服 從正 態(tài) 分 布 的 隨 機 變 量 。 如 ： 大 量 生 產(chǎn) 某 產(chǎn) 品 ，當 設(shè) 備 、 技 術(shù) 、 原 料 、 操 作 等 可 控 制 生 產(chǎn) 條 件都 相 對 穩(wěn) 定 且 不 存 在 產(chǎn) 生 系 統(tǒng) 誤 差 的 明 顯 因 素 ，則 產(chǎn) 品 的 質(zhì) 量 指 標 近 似 服 從 正 態(tài) 分 布 ；注 意 ： 正 態(tài) 分 布 也 是 許 多 概 率 分 布 的 極 限 分 布 。如 XB(n,p)， n充 分 大 ， p不 是 很 小 時 ， X近 似 服從 N(np,npq),則 221 ( ) ( )2 tX npP e dtnpq 書 末 附 有 標 準 正 態(tài) 分 布 函 數(shù) 數(shù) 值 表 ， 有 了 它 ， 可以 解 決 一 般 正 態(tài) 分 布 的 概 率 計 算 查 表 .正 態(tài) 分 布 表 ( ) 1 ( )x x 221( ) 2 txx e dt 當 x 0 時 , (x)的 值 . 2 ( , ),X N 若若 X N(0,1), ( )a bP Y ( )P a X b ( ) ( ) ( )P a X b b a ( ) ( )b a XY N(0,1) 則 例 4 設(shè) XN(0,1),求 P1X2.例 5 設(shè) XN(2.3,4), 求 P2Xxz =, 01,則 稱 點 z 為 標 準 正 態(tài) 分 布 的 上 分 位 點 .由 (x) 的 對 稱 性 知 z1 z 0.001 0.005 0.01 0.025 0.05 0.10z 3.090 2.576 2.327 1.960 1.645 1.282z