高中數(shù)學(xué) 第2講 證明不等式的基本方法高效整合課件 新人教A版選修4-5

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建 考綱考情點(diǎn)擊 比較法綜合法分析法課標(biāo)導(dǎo)航 反證法放縮法 1從內(nèi)容上看，本章為選修部分新增內(nèi)容，也是選考內(nèi)容，主要題型是證明不等式問(wèn)題，用比較法、綜合法、分析法證明簡(jiǎn)單的不等式，難度通常為中檔題2從能力要求上看主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和分析問(wèn)題的能力命題探究 熱點(diǎn)考點(diǎn)例析 作差比較法是證明不等式的基本方法，其依據(jù)是：不等式的意義及實(shí)數(shù)比較大小的充要條件證明的步驟大致是：作差恒等變形判斷結(jié)果的符號(hào)其中，變形是證明推理中一個(gè)承上啟下的關(guān)鍵，變形的目的在于判斷差的符號(hào)，而不是考慮差能否化簡(jiǎn)或值是多少，變形所用的方法要具體情況具體分析，可以配方，可以因式分解，也可以運(yùn)用一切有效的恒等變形的方法比較法證明不等式 已知a，b是正實(shí)數(shù)，n是正整數(shù)求證：(ab)(anbn)2(an1bn1)證明：(ab)(anbn)2(an1bn1)an1abnanbbn12an12bn1abnanban1bn1a(bnan)b(anbn)(ab)(bnan)當(dāng)ab0時(shí)，bnan0，ab0，此時(shí)(ab)(bnan)0； 當(dāng)ba0時(shí)，bnan0，ab0，此時(shí)(ab)(bnan)0；當(dāng)ab0時(shí)，bnan0，ab0，此時(shí)(ab)(bnan)0.綜上所述：(ab)(anbn)2(an1bn1)0.即：(ab)(anbn)2(an1bn1) 綜合法證明不等式的思維方向是“順推”，即由已知的不等式出發(fā)，逐步推出其必要條件(由因?qū)Ч?，最后推導(dǎo)出所要證明的不等式成立綜合法證明不等式的依據(jù)是：已知的不等式以及邏輯推證的基本理論證明時(shí)要注意的是：作為依據(jù)和出發(fā)點(diǎn)的幾個(gè)重要不等式(已知或已證)成立的條件往往不同，應(yīng)用時(shí)要先考慮是否具備應(yīng)有的條件，避免錯(cuò)誤，如一些帶等號(hào)的不等式，要清楚取等號(hào)的條件，即對(duì)重要不等式中“當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)”的理由要理解掌握綜合法證明不等式 已知a，b，c為ABC的三條邊，求證：a2b2c22(abbcca) 分析法證明不等式的依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)、已知的重要不等式和邏輯推理的基本理論分析法證明不等式的思維方向是“逆推”，即由待證的不等式出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件(執(zhí)果索因)，最后得到的充分條件是已知(或已證)的不等式當(dāng)要證的不等式不知如何入手時(shí)，可考慮用分析法去證明，特別是對(duì)于條件簡(jiǎn)單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往更為有效分析法證明不等式 由教材內(nèi)容可知，分析法是“執(zhí)果索因”，步步尋求上一步成立的充分條件，而綜合法是“由因?qū)Ч?，逐步推?dǎo)出不等式成立的必要條件，兩者是對(duì)立統(tǒng)一的兩種方法一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于較復(fù)雜的不等式，直接用綜合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索證明途徑，然后用綜合法加以證明，所以分析法和綜合法可結(jié)合使用 反證法和放縮法(1)反證法：先假設(shè)要證明的結(jié)論是不正確的，然后利用公理、已有的定義、定理、命題的條件逐步分析，得到和命題的條件(已有的定義、定理、公理等)矛盾的結(jié)論，以此說(shuō)明假設(shè)的結(jié)論不成立，從而原來(lái)的命題結(jié)論正確反證法和放縮法證明不等式 (2)放縮法：將需要證明的不等式的值適當(dāng)?shù)胤糯?或縮小)，使不等式由繁化簡(jiǎn)，以達(dá)到證明的目的運(yùn)用反證法、放縮法等等，證明不等式時(shí)既可探索新的證題方法，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)，也可一題多證，開(kāi)闊思路，活躍思維，目的是通過(guò)證明不等式發(fā)展邏輯思維能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng) 已知函數(shù)f(x)是(， )上的增函數(shù)，a，b R.(1)若ab0，求證：f(a)f(b)f(a)f(b)；(2)判斷(1)中命題的逆命題是否成立，并證明你的結(jié)論分析：(1)充分利用已知條件中函數(shù)的單調(diào)性并結(jié)合不等式的性質(zhì)推證(2)寫(xiě)出逆命題后，看一看能不能直接證若不能，則可考慮用反證法 化歸與轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常遇到一些問(wèn)題直接求解較為困難，通過(guò)觀察、分析、類(lèi)比、聯(lián)想等思維過(guò)程，選擇運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行變換，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)新問(wèn)題(相對(duì)來(lái)說(shuō)，對(duì)自己較熟悉的問(wèn)題)，通過(guò)新問(wèn)題的求解，達(dá)到解決原問(wèn)題的目的，這一思想方法我們稱(chēng)之為“化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法”不等式證明中的數(shù)學(xué)思想