高中數(shù)學(xué) 第1章 計數(shù)原理 1 分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理 第1課時 分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理課件 北師大版選修2-3

第 一 章 計數(shù)原理 1分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理第1課時分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理 課前預(yù)習(xí)學(xué)案 在填寫高考志愿表時，一名高中畢業(yè)生了解到，A、B兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強項專業(yè)，具體情況如下：A大學(xué)B大學(xué)生物學(xué)數(shù)學(xué)化學(xué)會計學(xué)醫(yī)學(xué)信息技術(shù)學(xué)物理學(xué)法學(xué)工程學(xué) 如果這名同學(xué)只能選一個專業(yè)，那么他共有多少種選擇呢？提示：由圖表可知，完成這件事可分兩類：第一類，從甲大學(xué)中選專業(yè)，共有5種選擇方法；第二類，從乙大學(xué)中選專業(yè)，共有4種選擇方法；根據(jù)分類加法計數(shù)原理，這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇共有N549種 (1)內(nèi)容：完成一件事，可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種方法，在第二類辦法中有m2種方法，在第n類辦法中有mn種方法那么，完成這件事共有N_種方法(也稱加法原理)(2)特點：完成一件事有若干種方法，這些方法可以分成n類；用每一類中的每一種方法都可以完成這件事；把各類的方法數(shù)_，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù)1分類加法計數(shù)原理m1m2mn相加 分類加法計數(shù)原理的集合表述形式做一件事，完成它的辦法用集合S表示，S被劃分成n類辦法分別用集合S1，S2，Sn表示，即SS1S2Sn，且SiSj (ij；i，j1,2，n)，S1，S2，Sn中分別有m1，m2，mn種不同的方法，即集合S1，S2，Sn中分別含有m1，m2，mn個元素，那么完成這件事共有的方法，即集合S中元素的個數(shù)為m1m2mn. 加法原理的Venn示意圖 (1)內(nèi)容：完成一件事需要經(jīng)過n個步驟，缺一不可，做第一步有m1種方法，做第二步有m2種方法，做第n步有mn種方法，那么，完成這件事共有N_種方法(也稱乘法原理)(2)特點：完成一件事需要經(jīng)過n個步驟，缺一不可；完成每一步有若干方法；把各個步驟的方法數(shù)_，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù)2分步乘法計數(shù)原理m1m2mn相乘 分步計數(shù)原理的圖形表示圖中的“”強調(diào)要依次完成各步驟才能完成要做的事件 1為了準(zhǔn)備晚飯，小張找出了3種不同的冷凍蔬菜和4種不同的新鮮蔬菜如果晚飯時小張只吃1種蔬菜，則選擇的種數(shù)為()A3B4C7 D12解析：選擇1種蔬菜有2類辦法：選冷凍蔬菜，有3種選法；選新鮮蔬菜，有4種選法，根據(jù)加法原理，選擇的種數(shù)為347.答案：C 2用1,2,3,4,5這五個數(shù)字可組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為()A125 B60C120 D100解析：組成一個三位數(shù)，可分為三個步驟，第一步先從5個數(shù)字中取出一個排在百位上，有5種方法，第二步再從余下的4個數(shù)字中取出一個放在十位上有4種方法，第三步從余下的3個數(shù)字中取出一個排在個位上，由乘法原理知，共有N54360.答案：B 3某班有男生26人，女生24人，現(xiàn)從中選一位同學(xué)為數(shù)學(xué)科代表，則不同的選法有_種解析：分兩類：第一類，從男生中選，有26種選法；第二類，從女生中選，有24種選法由加法原理知，共有262450種選法答案：50 4已知a 3,4,6，b 1,2,7,8，r 8,9，則方程(xa)2(yb)2r2可表示多少個不同的圓解析：按a、b、r取值順序分步考慮：第一步：a從3、4、6中任取一個數(shù)，有3種取法；第二步：b從1、2、7、8中任取一個數(shù)，有4種取法；第三步：r從8、9中任取一個數(shù)，有2種取法；由分步乘法計數(shù)原理知，表示的不同圓有N34224個 課堂互動講義 在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個？思路導(dǎo)引完成這件事可依據(jù)“個位數(shù)字大于十位數(shù)字”分成不同的類，故屬于分類加法計數(shù)原理先分類，再求和 分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用 邊聽邊記方法一：根據(jù)題意將十位上的數(shù)字分別是1,2,3,4,5,6,7,8的情況分成8類，在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別是8個，7個，6個，5個，4個，3個，2個，1個由分類加法計數(shù)原理，符合題意的兩位數(shù)的個數(shù)共有：8765432136個方法二：根據(jù)題意將個位上的數(shù)字分別是2,3,4,5,6,7,8,9的情況分成8類，在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別是1個，2個，3個，4個，5個，6個，7個，8個由分類加法計數(shù)原理，符合題意的兩位數(shù)的個數(shù)共有：1234567836個 利用分類加法計數(shù)原理要注意：(1)要準(zhǔn)確把握題意，依據(jù)題目中所提供的條件，確定分類標(biāo)準(zhǔn)；(2)分類時要做到“不重不漏”，即類與類之間要保證相互間的獨立性 1甲班有學(xué)生56人，其中男生36人；乙班有學(xué)生58人，其中女生36人；丙班有學(xué)生56人，其中男生35人(1)從這三個班中選一名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會主席，有多少種不同的選法？(2)從這三個班的男生中選一人擔(dān)任學(xué)生會體育部長，有多少種不同的選法？ 解析：(1)分3類：從甲班選一名，有56種不同選法；從乙班選一名，有58種不同選法；從丙班選一名，有56種不同選法每一種方法都能獨立完成“選一名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會主席”這件事，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有565856170種不同的選法(2)分3類：從甲班選一名男生，有36種不同選法；從乙班選一名男生，有583622種不同選法；從丙班選一名男生，有35種不同選法根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有36223593種不同的選法 要安排一份5天的值班表，每天有一個人值班，共有5個人，每個人可值多天或不值班，但相鄰兩天不準(zhǔn)由同一個人值班，此值班表共有多少種不同的排法？思路導(dǎo)引完成一件事是排值班表，因而需一天一天的排，用分步乘法計數(shù)原理，分步進行 分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用 解析：先排第一天，可排5人中任一人，有5種排法；再排第二天，此時不能排第一天已排的人，有4種排法；再排第三天，此時不能排第二天已排的人，有4種排法；同理，第四、五天各有4種排法由分步乘法計數(shù)原理可得值班表不同的排法共有：N544441 280種 利用分步乘法計數(shù)原理計數(shù)的一般思路是：首先將完成這件事的過程分步，然后再找出每一步中的方法有多少種，求其積要注意各步之間的相互聯(lián)系，都完成后，才能完成這件事 2若某人由廣州出差到北京，但途中必須到武漢辦一件事，而由廣州到武漢的理想路線共有12條(包括坐汽車、火車、飛機，以及不同的路線的組合)，由武漢到北京共有18條理想路線，則此人由廣州到北京共有多少條不同的理想路線？解析：完成這件事，分作兩步：第一步，從廣州到武漢，有12種走法；第二步，由武漢到北京，有18種走法，由分步乘法計數(shù)原理可知，由廣州到北京共有1218216種不同的理想走法 (12分)一個袋子里裝有10張不同的中國移動手機卡，另一個袋子里裝有12張不同的中國聯(lián)通手機卡(1)某人要從兩個袋子中任取一張手機卡自己使用，共有多少種不同的取法？(2)某人手機是雙卡雙待機，想得到一張移動卡和一張聯(lián)通卡供自己今后使用，問一共有多少種不同的取法？ 分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的綜合應(yīng)用 思路導(dǎo)引(1)從兩個袋子中任取一張卡有兩類取法，是分類加法計數(shù)原理(2)從兩個袋子中各取一張卡，要分兩步完成，是分步乘法計數(shù)原理 規(guī)范解答(1)從兩個袋子中任取一張卡有兩類情況：第一類：從第一個袋子中取一張移動手機卡，共有10種取法；2分第二類：從第二個袋子中取一張聯(lián)通手機卡，共有12種取法.4分根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有101222種取法.6分 (2)想得到一張移動卡和一張聯(lián)通卡可分兩步進行：第一步，從第一個袋子中任取一張移動手機卡，共有10種取法8分第二步，從第二個袋子中任取一張聯(lián)通手機卡，共有12種取法.10分根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有1012120種取法.12分 用兩個計數(shù)原理解決具體問題時，首先要分清是“分類”還是“分步”，其次要清楚“分類”或“分步”的具體標(biāo)準(zhǔn)，在“分類”時要做到“不重不漏”，在“分步”時要正確設(shè)計“分步”的程序，注意步與步之間的連續(xù)性 3某文藝小組有20人，每人至少會唱歌或跳舞中的一種，其中14人會唱歌，10人會跳舞從中選出會唱歌與會跳舞的各1人，有多少種不同的選法解析：只會唱歌的有10人，只會跳舞的有6人，既會唱歌又會跳舞的有4人這樣就可以分成四類完成：第一類，從只會唱歌和只會跳舞的人中各選1人，用分步乘法計數(shù)原理得10660(種)； 第二類，從只會唱歌和既會唱歌又會跳舞的人中各選1人，用分步乘法計數(shù)原理得10440(種)；第三類，從只會跳舞和既會唱歌又會跳舞的人中各選1人，用分步乘法計數(shù)原理得6424(種)；第四類，從既會唱歌又會跳舞的人中選2人，有6種方法根據(jù)分類加法計數(shù)原理，得選出會唱歌與會跳舞的各1人的選法共有6040246130(種) 3個班去旅游，每班均可從規(guī)定的5個景點中選擇1處游覽，共有多少種不同的旅游方案？【錯解】35243(種)【錯因】上述錯誤在于主體上的錯位，因為一個班選好景點，就不可能再去別的景點游覽，所以本題的事件是“班級選擇景點”，而不是“景點選擇班級” 【正解】要完成“班級選擇景點”這件事，應(yīng)分成三步，第一步，第一個班級選擇景點，有5種不同的選擇；第二步，第二個班級選擇景點，有5種不同的選擇；第三步，第三個班級選擇景點，有5種不同的選擇依分步計數(shù)原理共有53125種不同的旅游方案