高中數學 3_1_1 導數與函數的單調性課件 北師大版選修2-2

導 數 與 函 數 的 單 調 性 （ 4） 對 數 函 數 的 導 數 :.1)(ln)1( xx .ln1)(log)2( axxa （ 5） 指 數 函 數 的 導 數 :.)()1( xx ee ).1,0(ln)()2( aaaaa xx xx cos)(sin1 ）（ 3） 三 角 函 數 ： xx sin)(cos2 ）（ (1) 常函數: (C)/ 0, (c為常數)； (2) 冪函數 : (x n)/ nxn1 1.基 本 初 等 函 數 的 導 數 公 式 復習 2.導數的運算法 則（ 1） 函 數 的 和 或 差 的 導 數 (uv)/u/v/. （ 3） 函 數 的 商 的 導 數 （ ） / = (v0).uv 2 u v v uv（ 2） 函 數 的 積 的 導 數 (uv)/ u/v+v/u. 函數 y = f (x) 在給定區(qū)間 G 上，當 x 1,x 2 G 且 x 1 x 2 時y xo a b y xo a b1）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )，則 f ( x ) 在G 上是增函數；2）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )，則 f ( x ) 在G 上是減函數；若 f(x) 在G上是增函數或減函數，則 f(x) 在G上具有嚴格的單調性. G 稱為單調區(qū)間G = ( a , b ) 引入 (1) 函 數 的 單 調 性 也 叫 函 數 的 增 減 性 ； (2) 函 數 的 單 調 性 是 對 某 個 區(qū) 間 而 言 的 ， 它 是 個局 部 概 念 .這 個 區(qū) 間 是 定 義 域 的 子 集 .(3) 單 調 區(qū) 間 ： 針 對 自 變 量 x而 言 的 . 若 函 數 在 此 區(qū) 間 上 是 增 函 數 ， 則 為 單 調 遞 增 區(qū) 間 ； 若 函 數 在 此 區(qū) 間 上 是 減 函 數 ， 則 為 單 調 遞 減 區(qū) 間 . 以 前 ,我 們 用 定 義 來 判 斷 函 數 的 單 調 性 .在 假 設 x1x2的 前 提 下 ,比 較 f(x 1)0 時 ,函 數 y=f(x) 在區(qū) 間 (2, +)內 為 增 函 數 . y 在 區(qū) 間 (- ,2)內 ,切 線 的 斜率 為 負 ,函 數 y=f(x)的 值 隨 著 x的增 大 而 減 小 ,即 0 f (x)0, 那 么 函 數 y=f(x) 在 為 這 個 區(qū) 間 內 的 增 函 數 ;如 果 在 這 個 區(qū) 間 內 0,解 得 x1,因 此 ,當 時 ,f(x)是 增 函數 ; ),1( x令 2x-20,解 得 x0,解 得 x3或 x1,因 此 ,當 或 時 , f(x)是 增 函 數 . ),3( x )1,(x令 3x2-12x+90,解 得 1x0得 f(x)的 單 調 遞 增 區(qū) 間 ;解 不 等 式 0得 f(x)的 單 調 遞 減 區(qū) 間 . )(xf)(xf 例 1 確 定 下 列 函 數 的 單 調 區(qū) 間 : (1) f (x)=x/2+sinx;解 :(1)函 數 的 定 義 域 是 R, .cos21)( xxf 令 ,解 得0cos21 x ).(322322 Zkkxk 令 ,解 得0cos21 x ).(342322 Zkkxk 因 此 , f(x)的 遞 增 區(qū) 間 是 : 遞 減 區(qū) 間 是 : );)(322,322( Zkkk ).)( 342,322( Zkkk 應用 解 :函 數 的 定 義 域 是 (-1,+), .)1(2 11121)( xxxxf (2) f(x)=x/2-ln(1+x)+1由 即 得 x1.,0)1(2 10)( xxxf 注 意 到 函 數 的 定 義 域 是 (-1,+),故 f(x)的 遞 增 區(qū) 間 是 (1,+);由 解 得 -1x100,故 f(x)的 遞 減 區(qū) 間 是 (100,+). ,0)( xf說 明 :(1)由 于 f(x)在 x=0處 連 續(xù) ,所 以 遞 增 區(qū) 間 可 以 擴 大 到 0,100)(或 0,100).(2)雖 然 在 x=100處 導 數 為 零 ,但 在 寫 單 調 區(qū) 間 時 , 都 可 以 把 100包 含 在 內 . 練 習 2設 f(x)=ax3+x恰 有 三 個 單 調 區(qū) 間 ,試 確 定 a的 取 值 范 圍 ,并 求 其 單 調 區(qū) 間 .解 : .13)( 2 axxf若 a0, 對 一 切 實 數 恒 成 立 ,此 時 f(x)只 有 一個 單 調 區(qū) 間 ,矛 盾 .0)( xf若 a=0, 此 時 f(x)也 只 有 一 個 單 調 區(qū) 間 ,矛 盾 . ,01)( xf若 a0,則 ,易 知 此 時 f(x)恰 有 三 個 單 調 區(qū) 間 . )31)(31(3)( axaxaxf 故 a()0只 是 函 數 f(x)在 該 區(qū) 間 上 為 增 (減 )函 數 的 充 分 不 必 要 條 件 .)(xf 小結 6. 利 用 導 數 的 符 號 來 判 斷 函 數 的 單 調 區(qū) 間 ,是 導數 幾 何 意 義 在 研 究 曲 線 變 化 規(guī) 律 的 一 個 應 用 ,它充 分 體 現(xiàn) 了 數 形 結 合 的 思 想 .5. 若 函 數 f (x)在 開 區(qū) 間 (a, b)上 具 有 單 調 性 .則 當函 數 f (x) 在 閉 區(qū) 間 a, b上 連 續(xù) 時 ,那 么 單 調 區(qū) 間可 以 擴 大 到 閉 區(qū) 間 a, b上 .4. 利 用 求 導 的 方 法 可 以 證 明 不 等 式 ,首 先 要 根據 題 意 構 造 函 數 ,再 判 斷 所 設 函 數 的 單 調 性 ,利用 單 調 性 的 定 義 , 證 明 要 證 的 不 等 式 .當 函 數 的 單調 區(qū) 間 與 函 數 的 定 義 域 相 同 時 ,我 們 也 可 用 求 導的 方 法 求 函 數 的 值 域 .