概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第6章數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)

第 6章 數(shù) 理 統(tǒng) 計(jì) 基 礎(chǔ)6.1 總 體 和 樣 本6.2 統(tǒng) 計(jì) 量 與 抽 樣 分 布 第6章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ) 前 五 章 我 們 學(xué) 習(xí) 了 概 率 論 的 基 本 知 識(shí) ， 從 本章 開 始 將 學(xué) 習(xí) 數(shù) 理 統(tǒng) 計(jì) 的 基 本 知 識(shí) 、 理 論 和 方法 數(shù) 理 統(tǒng) 計(jì) 是 以 對(duì) 隨 機(jī) 現(xiàn) 象 觀 測 所 取 得 的 資 料（ 數(shù) 據(jù) ） 為 出 發(fā) 點(diǎn) ， 以 概 率 論 為 基 礎(chǔ) 來 研 究 隨 機(jī)現(xiàn) 象 的 一 門 學(xué) 科 概 率 論 中 ， 往 往 是 在 已 知 隨 機(jī) 變 量 分 布 的 條 件下 ， 去 研 究 它 的 性 質(zhì) 、 特 點(diǎn) 和 規(guī) 律 性 ， 比 如 求 隨機(jī) 變 量 取 某 些 特 定 值 的 概 率 、 求 隨 機(jī) 變 量 的 數(shù) 字特 征 、 研 究 多 個(gè) 隨 機(jī) 變 量 之 間 的 關(guān) 系 等 第6章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ) 在 數(shù) 理 統(tǒng) 計(jì) 中 ， 我 們 所 研 究 的 隨 機(jī) 變 量 的 分 布往 往 是 未 知 的 ， 通 過 對(duì) 隨 機(jī) 變 量 進(jìn) 行 多 次 獨(dú) 立 重復(fù) 的 試 驗(yàn) 和 觀 測 ， 獲 取 數(shù) 據(jù) ， 利 用 實(shí) 際 觀 測 數(shù) 據(jù)研 究 隨 機(jī) 變 量 的 分 布 ， 對(duì) 其 分 布 函 數(shù) 、 數(shù) 字 特 征等 進(jìn) 行 估 計(jì) 和 推 斷 本 章 作 為 數(shù) 理 統(tǒng) 計(jì) 基 礎(chǔ) ， 學(xué) 習(xí) 總 體 、 樣 本 、 統(tǒng)計(jì) 量 與 抽 樣 分 布 等 有 關(guān) 概 念 ， 以 及 有 關(guān) 正 態(tài) 總 體的 重 要 的 抽 樣 分 布 定 理 第6章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ) 【 數(shù) 理 統(tǒng) 計(jì) 簡 史 】 相對(duì)于其它許多數(shù)學(xué)分支而言，數(shù)理統(tǒng)計(jì)是一個(gè)比較年輕的數(shù)學(xué)分支多數(shù)人認(rèn)為20世紀(jì)40年代克拉美（H.Carmer）的著作統(tǒng)計(jì)學(xué)的數(shù)學(xué)方法，使得1945年以前25年間英、美統(tǒng)計(jì)學(xué)家在統(tǒng)計(jì)學(xué)方面的工作與法、俄數(shù)學(xué)家在概率論方面的工作結(jié)合起來，從而形成數(shù)理統(tǒng)計(jì)這門學(xué)科數(shù)理統(tǒng)計(jì)有很多分支，但其基本內(nèi)容為采集樣本和統(tǒng)計(jì)推斷兩大部分發(fā)展到今天的現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)，已經(jīng)歷了各種歷史變遷 1. 近代統(tǒng)計(jì)學(xué)時(shí)期 18世紀(jì)末到19世紀(jì)，是近代統(tǒng)計(jì)學(xué)時(shí)期這一時(shí)期的重大成就是大數(shù)定律和概率論被引入統(tǒng)計(jì)學(xué)之后最小二乘法、誤差理論和正態(tài)分布理論等相繼成為統(tǒng)計(jì)學(xué)的重要內(nèi)容這一時(shí)期有兩大學(xué)派：數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)派和社會(huì)統(tǒng)計(jì)學(xué)派【數(shù)理統(tǒng)計(jì)簡史】 【數(shù)理統(tǒng)計(jì)簡史】 數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)派始于19世紀(jì)中葉，代表人物是比利時(shí)的凱特萊（A.Quetelet，1796-1874），著有概率論書簡社會(huì)物理學(xué)等，他主張用研究自然科學(xué)的方法研究社會(huì)現(xiàn)象，正式把概率論引入統(tǒng)計(jì)學(xué)，并最先用大數(shù)定律證明了社會(huì)生活中隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性，提出了誤差理論凱特萊的貢獻(xiàn)，使統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展進(jìn)入個(gè)了一個(gè)新的階段 社會(huì)統(tǒng)計(jì)學(xué)派始于19世紀(jì)末，首創(chuàng)人物是德國的克尼斯（K. G. A. Knies），他認(rèn)為統(tǒng)計(jì)學(xué)是一個(gè)社會(huì)科學(xué)，是研究社會(huì)現(xiàn)象變動(dòng)原因和規(guī)律性的實(shí)質(zhì)性科學(xué)各國專家學(xué)者在社會(huì)經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)的設(shè)定與計(jì)算、指數(shù)的編制、統(tǒng)計(jì)調(diào)查的組織和實(shí)施、經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展評(píng)價(jià)和預(yù)測等方面取得了一系列的重要成果德國統(tǒng)計(jì)學(xué)家恩格爾（C.L.E.Engel，1821-1896）提出的“恩格爾”系數(shù)，美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家?guī)炱澞暮陀?jīng)濟(jì)學(xué)家斯通等人研究的國民收入和國內(nèi)生產(chǎn)總值的核算方法等，都是偉大的貢獻(xiàn)【數(shù)理統(tǒng)計(jì)簡史】 18世紀(jì)到19世紀(jì)初期，高斯從描述天文觀測的誤差而引進(jìn)正態(tài)分布，并使用最小二乘法作為估計(jì)方法，是近代數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)發(fā)展初期的重大事件，對(duì)社會(huì)發(fā)展有很大的影響【數(shù)理統(tǒng)計(jì)簡史】 用正態(tài)分布描述觀測數(shù)據(jù)的應(yīng)用是如此普遍，以至在19世紀(jì)相當(dāng)長的時(shí)期內(nèi)，包括高爾頓（Galton）在內(nèi)的一些學(xué)者，認(rèn)為這個(gè)分布可用于描述幾乎是一切常見的數(shù)據(jù)直到現(xiàn)在，有關(guān)正態(tài)分布的統(tǒng)計(jì)方法，仍占據(jù)著常用統(tǒng)計(jì)方法中很重要的一部分最小二乘法方面的工作，在20世紀(jì)初以來，經(jīng)過一些學(xué)者的發(fā)展，如今成了數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的主要方法【數(shù)理統(tǒng)計(jì)簡史】 2. 現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)時(shí)期 從19世紀(jì)末到現(xiàn)在，是現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)時(shí)期這一時(shí)期的顯著特點(diǎn)是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)由于同自然科學(xué)、工程技術(shù)科學(xué)緊密結(jié)合并被廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域而獲得迅速發(fā)展各種新的統(tǒng)計(jì)理論和方法、尤其是推斷統(tǒng)計(jì)理論與方法得以大量涌現(xiàn)【數(shù)理統(tǒng)計(jì)簡史】 例如英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家卡爾.皮爾遜（K.Pearson，1857-1936）的2分布理論，統(tǒng)計(jì)學(xué)家戈賽特（W.S.Gosset，1876-1937）的小樣本t分布理論，統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)歇爾（R.A.Fisher，1890-1962）的F分布理論和試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，波蘭統(tǒng)計(jì)學(xué)家尼曼（J . N e y m a n）和英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家皮爾遜（E.S.Pearson，1895-1980）的置信區(qū)間理論和假設(shè)檢驗(yàn)理論，以及非參數(shù)統(tǒng)計(jì)法、序貫抽樣法、多元統(tǒng)計(jì)分析法、時(shí)間序列跟蹤預(yù)測法都應(yīng)運(yùn)而生，并逐步成為現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)的主要內(nèi)容【數(shù)理統(tǒng)計(jì)簡史】 現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)時(shí)期是數(shù)理統(tǒng)計(jì)發(fā)展的輝煌時(shí)期，數(shù)理統(tǒng)計(jì)不僅在理論上取得重大進(jìn)展，其方法在生物、農(nóng)業(yè)、醫(yī)學(xué)、社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、工業(yè)和科技等方面得到愈來愈廣泛的應(yīng)用另外，計(jì)算機(jī)的應(yīng)用對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)的產(chǎn)生了巨大的影響，需要大量計(jì)算的統(tǒng)計(jì)方法，有了計(jì)算機(jī)，這一切都不成問題【數(shù)理統(tǒng)計(jì)簡史】 第6章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ) 【 質(zhì) 量 控 制 問 題 】 某食鹽廠用包裝機(jī)包裝的食鹽，每袋重量500g，通常在包裝機(jī)正常的情況下，袋裝食鹽的重量X服從正態(tài)分布，均值為500g，標(biāo)準(zhǔn)差為25g為進(jìn)行生產(chǎn)質(zhì)量控制，他們每天從當(dāng)天的產(chǎn)品中隨機(jī)抽出30袋進(jìn)行嚴(yán)格稱重，以檢驗(yàn)包裝機(jī)工作是否正常某日，該廠隨機(jī)抽取30袋鹽的重量分別為： 從這些數(shù)據(jù)看，包裝機(jī)的工作正常嗎？475 500 485 454 504 439 492 501 463 461464 494 512 451 434 511 513 490 521 514 449 467 499 484 508 478 479 499 529 480 6.1 總 體 和 樣 本6.1.1 總 體 與 個(gè) 體 總 體 或 母 體 指 我 們 研 究 對(duì) 象 的 全 體 構(gòu) 成 的 集 合 ，個(gè) 體 指 總 體 中 包 含 的 每 個(gè) 成 員 例 如 ， 在 研 究 某 高 校 學(xué) 生 生 活 消 費(fèi) 狀 況 時(shí) ，該 校 全 體 學(xué) 生 就 是 一 個(gè) 總 體 ， 其 中 每 一 個(gè) 學(xué) 生 是一 個(gè) 個(gè) 體 ； 在 人 口 普 查 中 ， 總 體 是 某 地 區(qū) 的 全 體人 口 ， 個(gè) 體 就 是 該 地 區(qū) 的 每 一 個(gè) 人 第6章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ) 6.1.1 總體與個(gè)體 我 們 研 究 總 體 時(shí) ， 所 關(guān) 心 的 往 往 是 總 體 某 方面 的 特 性 ， 這 些 特 性 又 常 常 可 以 用 一 個(gè) 或 多 個(gè) 數(shù)量 指 標(biāo) 來 反 映 例 如 ， 在 研 究 某 高 校 學(xué) 生 生 活 消 費(fèi) 狀 況 時(shí) ，關(guān) 心 的 可 能 是 學(xué) 生 們 每 月 的 生 活 消 費(fèi) 額 ， 在 研 究某 廠 生 產(chǎn) 的 燈 泡 的 質(zhì) 量 時(shí) ， 關(guān) 心 的 可 能 是 這 些 燈泡 的 壽 命 和 光 亮 度 等 這 時(shí) 總 體 指 一 個(gè) 或 多 個(gè) 數(shù) 量 指 標(biāo) ， 這 些 數(shù) 量 指標(biāo) 對(duì) 我 們 來 說 是 不 了 解 或 者 說 是 未 知 的 ， 我 們 可以 用 一 個(gè) 或 多 個(gè) 隨 機(jī) 變 量 來 表 示 它 們 因 此 ， 總 體 可 以 是 一 維 隨 機(jī) 變 量 ， 也 可 以 是 多維 隨 機(jī) 變 量 例 如 ， 在 研 究 某 高 校 學(xué) 生 生 活 消 費(fèi) 狀 況 時(shí) ， 可以 用 X表 示 月 生 活 消 費(fèi) 額 ， 在 研 究 某 廠 生 產(chǎn) 的 燈 泡的 質(zhì) 量 時(shí) ， 可 以 分 別 用 X， Y表 示 燈 泡 的 壽 命 和 光亮 度 ， 那 么 ， 對(duì) 上 面 兩 個(gè) 問 題 的 研 究 就 轉(zhuǎn) 化 為 對(duì)總 體 X和 總 體 (X， Y)的 研 究 了 6.1.1 總體與個(gè)體 根 據(jù) 總 體 中 包 含 個(gè) 體 的 數(shù) 量 ， 可 以 將 總 體 分為 有 限 總 體 和 無 限 總 體 ， 當(dāng) 總 體 中 包 含 個(gè) 體 的 數(shù)量 很 大 時(shí) ， 我 們 可 以 把 有 限 總 體 看 成 是 無 限 總體 例 如 ， 某 廠 某 天 生 產(chǎn) 的 燈 泡 可 以 看 作 是 有 限 總體 ， 而 該 廠 生 產(chǎn) 的 全 部 燈 泡 就 可 以 看 作 為 無 限 總體 ， 因 為 它 包 含 過 去 和 將 來 生 產(chǎn) 的 燈 泡 的 全 部 6.1.1 總體與個(gè)體 6.1.2 樣 本 與 抽 樣 實(shí) 際 應(yīng) 用 中 ， 為 了 研 究 總 體 的 特 性 ， 總 是 從總 體 中 抽 出 部 分 個(gè) 體 進(jìn) 行 觀 察 和 試 驗(yàn) ， 根 據(jù) 觀 察或 試 驗(yàn) 得 到 的 數(shù) 據(jù) 推 斷 總 體 的 性 質(zhì) 我 們 把 從 總 體 中 抽 出 的 部 分 個(gè) 體 稱 為 樣 本 ，把 樣 本 中 包 含 個(gè) 體 的 數(shù) 量 稱 為 樣 本 容 量 ，把 對(duì) 樣 本 的 觀 察 或 試 驗(yàn) 的 過 程 稱 為 抽 樣 ，把 觀 察 或 試 驗(yàn) 得 到 的 數(shù) 據(jù) 稱 為 樣 本 觀 測 值 （ 觀 測數(shù) 據(jù) ） ， 簡 稱 樣 本 值 例 如 ， 在 質(zhì) 量 檢 驗(yàn) 中 ， 隨 機(jī) 抽 出 n件 產(chǎn) 品 ， 測得 的 數(shù) 據(jù) x1， x2， .， xn， 就 稱 它 們 是 樣 本 觀 測值 在 抽 樣 前 ， 不 知 道 樣 本 觀 測 值 究 竟 取 何 值 ， 應(yīng)該 把 它 們 看 作 為 隨 機(jī) 變 量 ， 記 作 X1， X2， .， Xn，稱 其 為 容 量 為 n的 樣 本 . （ 在 不 會(huì) 混 淆 的 情 況 下 ， 有 時(shí) 我 們 也 將 觀 測 數(shù) 據(jù)x1， x2， .， xn稱 為 樣 本 ， 如 “ 質(zhì) 量 控 制 問 題 ” 中的 30個(gè) 數(shù) 據(jù) ， 也 可 以 說 成 是 一 個(gè) 容 量 為 30的 樣本 ） 6.1.2 樣本與抽樣 在 應(yīng) 用 中 ， 我 們 從 總 體 中 抽 出 的 個(gè) 體 必 須 具 有 代表 性 ， 樣 本 中 個(gè) 體 之 間 要 具 有 相 互 獨(dú) 立 性 ， 為 保 證這 兩 點(diǎn) ， 一 般 采 用 簡 單 隨 機(jī) 抽 樣 定 義 6. 1 一 種 抽 樣 方 法 若 滿 足 下 面 兩 點(diǎn) ， 稱 其 為簡 單 隨 機(jī) 抽 樣 ： (1) 總 體 中 每 個(gè) 個(gè) 體 被 抽 到 的 機(jī) 會(huì) 是 均 等 的 ； (2) 樣 本 中 的 個(gè) 體 相 互 獨(dú) 立 由 簡 單 隨 機(jī) 抽 樣 得 到 的 樣 本 稱 為 簡 單 隨 機(jī) 樣 本 如 果 沒 有 特 殊 說 明 ,以 后 所 說 樣 本 均 指 簡 單 隨 機(jī) 樣本 6.1.2 樣本與抽樣 設(shè) X1， X2， .， Xn是 從 總 體 X中 抽 出 的 簡 單 隨 機(jī) 樣本 ， 由 定 義 可 知 ， X1， X2， .， Xn有 下 面 兩 個(gè) 特 性 ： (1) 代 表 性 ： X1， X2， .， Xn均 與 X同 分 布 ， 即 若X F(x)， 則 對(duì) 每 一 個(gè) Xi都 有Xi F(xi)， i = 1， 2， ， n (2) 獨(dú) 立 性 ： X1， X2， .， Xn相 互 獨(dú) 立 .由 這 兩 個(gè) 特 性 可 知 ， 若 X的 分 布 函 數(shù) 為 F(x)， 則 X1，X2， .， Xn的 聯(lián) 合 分 布 函 數(shù) 為 F(x 1,x2,xn) = F(x1)F(x2)F(xn)若 X具 有 概 率 密 度 為 f(x)， 則 X1， X2， .， Xn的 聯(lián) 合 概率 密 度 為 f(x1,x2,xn) = f(x1) f(x2)f(xn) 6.1.2 樣本與抽樣往 往 是 未 知 或 不 完全 知 道 的 ， 是 需 要通 過 樣 本 來 進(jìn) 行 研究 和 推 斷 的 【 例 6.1】 設(shè) 總 體 X服 從 均 值 為 1/2的 指 數(shù) 分 布 ， X1，X2， X3， X4為 來 自 X的 樣 本 ， 求 X1， X2， X3， X4的聯(lián) 合 概 率 密 度 和 聯(lián) 合 分 布 函 數(shù) 解 ： X的 概 率 密 度 為其 分 布 函 數(shù) 為則 X1， X2， X3， X4的 聯(lián) 合 概 率 密 度 為 ：6.1.2 樣本與抽樣 0,0 0,2)( 2 xxexf x 0,0 0,1)( 2 xxexF x )()()()(),( 43214321 xfxfxfxfxxxxf 其 它,0 4,3,2,1,0,16 412 ixe ixi i 6.1.2 樣本與抽樣由 于 X的 分 布 函 數(shù) 為X1， X2， X3， X4的 聯(lián) 合 分 布 函 數(shù) 為 )()()()(),( 43214321 xFxFxFxFxxxxF 其 它,0 4,3,2,1,0)1(41 2 ixe ii xi 0,0 0,1)( 2 xxexF x 【 例 6.2】 已 知 總 體 X的 分 布 為 PX = i = 1/4，i = 0,1,2,3,抽 取 n=36的 簡 單 隨 機(jī) 樣 本 X1,X2,.,X36,求 大 于 50.4小 于 64.8的 概 率 解 ： 總 體 X的 均 值 和 方 差 分 別 為 6.1.2 樣本與抽樣 22 )()()( XEXEXD 361i iXY 23)3210(41)( XE 2 2222 23)3210(41 45 由 于 X1， X2， .， X36均 與 總 體 X同 分 布 ， 且 相 互 獨(dú)立 ， 所 以 ， Y的 均 值 和 方 差 分 別 為 又 因 為 n = 36較 大 ， 依 中 心 極 限 定 理 ， 近 似服 從 正 態(tài) 分 布 ， 所 以 6.1.2 樣本與抽樣,54)(36)()( 361 XEXEYE i i 454536)(36)()( 361 XDXDYD i i 361i iXY)45,54(N8.644.50 YP )54.0()61.1( 45548.64455445544.50 YP 6517.07054.019463.0 6.1 總體和樣本 6.1.3 直 方 圖 與 經(jīng) 驗(yàn) 分 布 函 數(shù) 如 前 所 述 ， 數(shù) 理 統(tǒng) 計(jì) 所 研 究 的 實(shí) 際 問 題 （ 總 體 ）的 分 布 一 般 來 說 是 未 知 的 ， 需 要 通 過 樣 本 來 推斷 但 如 果 對(duì) 總 體 一 無 所 知 ， 那 么 ， 做 出 推 斷 的可 信 度 一 般 也 極 為 有 限 在 很 多 情 況 下 ， 我 們 往往 可 以 通 過 具 體 的 應(yīng) 用 背 景 或 以 往 的 經(jīng) 驗(yàn) ， 再 通過 觀 察 樣 本 觀 測 值 的 分 布 情 況 ， 對(duì) 總 體 的 分 布 形式 有 個(gè) 大 致 了 解 觀 察 樣 本 觀 測 值 的 分 布 規(guī) 律 ，了 解 總 體 X的 概 率 密 度 和 分 布 函 數(shù) ， 常 用 直 方 圖和 經(jīng) 驗(yàn) 分 布 函 數(shù) . 1. 直方圖 直 方 圖 是 對(duì) 一 組 數(shù) 據(jù) x1， x2， .， xn的 分 布 情 況的 圖 形 描 述 將 數(shù) 據(jù) 的 取 值 范 圍 分 成 若 干 區(qū) 間 （ 一 般 是 等間 隔 的 ） ， 在 等 間 隔 的 情 況 ， 每 個(gè) 區(qū) 間 的 長 度 稱為 組 距 考 察 這 些 數(shù) 據(jù) 落 入 每 一 個(gè) 小 區(qū) 間 的 頻 數(shù)和 頻 率 ， 在 每 一 個(gè) 區(qū) 間 上 畫 一 個(gè) 矩 形 ， 它 的 寬 度是 組 距 ， 高 度 可 以 是 頻 數(shù) 、 頻 率或 頻 率 /組 距 ， 所 得 直 方 圖 分別 稱 為 頻 數(shù) 直 方 圖 、 頻 率 直方 圖 和 密 度 直 方 圖 6.1.3 直方圖與經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù) 圖 6-1 密 度 直 方 圖 如 果 數(shù) 據(jù) x1， x2， .， xn是 來 自 連 續(xù) 總 體 X的 樣 本觀 測 值 ， 其 密 度 直 方 圖 中 ， 每 一 個(gè) 矩 形 的 面 積 恰好 是 觀 測 數(shù) 據(jù) 落 入 對(duì) 應(yīng) 區(qū) 間 的 頻 率 ， 這 種 密 度 直方 圖 可 以 用 來 估 計(jì) 總 體 的 概 率 密 度 （ 用 密 度 直 方圖 的 頂 部 折 線 估 計(jì) X的 概 率 密 度 曲 線 ） 組 距 對(duì) 直方 圖 的 形 態(tài) 有 很 大 的 影 響 ， 組 距 太 小 或 太 大 ， 直方 圖 反 映 概 率 密 度 的 形 態(tài) 就 不 夠 準(zhǔn) 確 6.1.3 直方圖與經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù) 6.1.3 直方圖與經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù) 一 個(gè) 合 適 的 分 組 是 希 望 密 度 直 方 圖 的 形 態(tài) 接近 總 體 的 概 率 密 度 函 數(shù) 的 形 態(tài) 手 工 計(jì) 算 常 取組 數(shù) 等 于 左 右 ， 一 些 統(tǒng) 計(jì) 軟 件 會(huì) 根 據(jù) 樣 本 容量 和 樣 本 的 取 值 范 圍 自 動(dòng) 確 定 一 個(gè) 合 適 的 分 組方 式 ， 畫 出 各 種 漂 亮 的 直 方 圖 n 【實(shí)驗(yàn)6-1】從某高校一年學(xué)生的“高等數(shù)學(xué)”課程考試成績中，隨機(jī)抽取60名學(xué)生的成績?nèi)缦拢涸嚴(yán)肊xcel的“數(shù)據(jù)分析”功能作學(xué)生成績的密度直方圖，并通過直方圖了解學(xué)生成績的分布情況76 69 71 77 69 71 83 69 85 8586 77 74 95 66 87 66 51 68 7377 62 66 73 93 79 63 87 87 5480 57 72 72 58 76 72 76 69 7181 75 66 74 60 67 79 63 88 7885 72 58 90 61 70 77 68 80 796.1.3 直方圖與經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù) 實(shí) 驗(yàn) 步 驟 ：(1) 確定分組個(gè)數(shù)：因?yàn)?，取分組個(gè)數(shù)為8數(shù)據(jù)的最小值為51，最大值為95，為分組方便起見，考慮范圍從50到100，分為8個(gè)組，組距取50 / 8 = 6.25，分點(diǎn)分別為：50，56.25，62.5，68.75，75，81.25，87.5，93.75，100。整理學(xué)生成績數(shù)據(jù)，在“組上限”欄中填入各組的上限值，如圖6-2左所示75.760 圖 6-2 數(shù) 據(jù) 整 理 與 “ 直 方 圖 ” 對(duì) 話 框 (2)在Excel主菜單中選擇“工具”“數(shù)據(jù)分析”，打開“數(shù)據(jù)分析”對(duì)話框，在“分析工具”列表中選擇“直方圖”選項(xiàng)，單擊“確定”按鈕 (3) 在打開的“直方圖”對(duì)話框中，依次輸入（或用鼠標(biāo)拖動(dòng)選擇）“輸入?yún)^(qū)域”、“接收區(qū)域”和“輸出區(qū)域”，如圖6-2右所示，單擊“確定”按鈕得到頻率分布的結(jié)果如圖6-3左所示 圖 6-3 計(jì) 算 各 組 頻 率 與 密 度 (4) 計(jì)算密度：在單元格區(qū)域J2:J9中依次輸入組域名：50-56.25、56.25-62.5、62.5-68.75、68.75-75、75-81.25、81.25-87.5、87.5-93.75、93.75-100，然后在“密度”列的單元格K2中輸入公式：=I2/60/6.25，并將公式復(fù)制到K3K9中，如圖6-3右所示 (5) 畫密度直方圖：選中單元格區(qū)域J1:K9，單擊“圖表向?qū)А卑粹o，打開“圖表向?qū)А睂?duì)話框在“圖表類型”選擇中，取默認(rèn)的“柱形圖”向?qū)В苯訂螕簟巴瓿伞卑粹o，即可得到密度柱形圖，如圖6-4所示 圖 6-4 密 度 柱 形 圖 右鍵單擊圖中條形，在快捷菜單中選擇“數(shù)據(jù)系列格式”，打開“數(shù)據(jù)系列格式”對(duì)話框，在其中的“選項(xiàng)”選項(xiàng)卡中，修改“分類間距”為0，如圖6-5（左）所示，單擊“確定”按鈕，即可加寬條形，得到密度直方圖，進(jìn)一步修改圖形，得到密度直方圖，如圖6-5（右）所示 圖 6-5 密 度 直 方 圖從 學(xué) 生 成 績 的 密 度 直 方 圖 可 以 看 到 ， 學(xué) 生 成 績 在 平均 分 附 近 比 較 密 集 ， 較 低 或 較 高 分 數(shù) 學(xué) 生 比 較 少 ，學(xué) 生 成 績 的 分 布 呈 近 似 “ 鐘 形 ” 對(duì) 稱 ， 即 成 績 分 布近 似 正 態(tài) 分 布 類似的方法可以畫出學(xué)生成績的頻數(shù)直方圖和頻率直方圖，由于三種直方圖只是高度相差一定的倍數(shù)，所以在研究總體分布的形態(tài)時(shí)，三種直方圖具有同樣的作用 2. 經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù) 為 了 解 總 體 X的 分 布 形 式 ， 根 據(jù) 樣 本 觀 測 值 x1，x2， .， xn構(gòu) 造 一 個(gè) 函 數(shù) Fn(x)來 近 似 總 體 X的 分 布函 數(shù) ， 函 數(shù) Fn(x)稱 為 經(jīng) 驗(yàn) 分 布 函 數(shù) 它 的 構(gòu) 造 方法 是 這 樣 的 ， 將 樣 本 觀 測 值 x1， x2， .， xn按 從 小到 大 可 排 成 ， 定 義 6.1.3 直方圖與經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù) )()2()1( nxxx )( )1()( )1(,1 1,2,1,0)( n kkn xx nkxxxnk xxxF Fn(x)只 在 x = x(k)， （ k = 1， 2， ， n） 處 有 躍 度 為1/n的 間 斷 點(diǎn) ， 若 有 l個(gè) 觀 測 值 相 同 ， 則 Fn(x)在 此 觀測 值 處 的 躍 度 為 l/n 對(duì) 于 固 定 的 x， Fn(x)即 表 示 事件 X x在 n次 試 驗(yàn) 中 出 現(xiàn) 的 頻 率 ， 即 ， 其中 k為 落 在 (-， x)中 xi的 個(gè) 數(shù) 6.1.3 直方圖與經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù))()2()1( nxxx )( )1()( )1(,1 1,2,1,0)( n kkn xx nkxxxnk xxxF nkxFn )( 由 伯 努 利 大 數(shù) 定 理 知 F n(x)依 概 率 收 斂 于F(x) 實(shí) 際 上 ， Fn(x)還 一 致 地 收 斂 于 F(x)， 所 謂的 格 里 文 科 定 理 指 出 了 這 一 更 深 刻 的 結(jié) 論 ， 即 所 以 ， 當(dāng) n充 分 大 時(shí) 經(jīng) 驗(yàn) 分 布 函 數(shù) Fn(x)是 總 體 分布 函 數(shù) F(x)的 一 個(gè) 良 好 的 近 似 6.1.3 直方圖與經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)10)()(suplim xFxFP nxn 6.2 統(tǒng) 計(jì) 量 與 抽 樣 分 布 在 利 用 樣 本 推 斷 總 體 的 性 質(zhì) 時(shí) ， 往 往 不 能 直 接利 用 樣 本 ， 而 需 要 對(duì) 它 進(jìn) 行 一 定 的 加 工 ， 這 樣 才能 有 效 地 利 用 其 中 的 信 息 ， 否 則 ， 樣 本 只 是 呈 現(xiàn)為 一 堆 “ 雜 亂 無 章 ” 的 數(shù) 據(jù) 第6章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ) 【 例 6.3】 從 某 地 區(qū) 隨 機(jī) 抽 取 50戶 農(nóng) 民 ， 調(diào) 查 其 人均 年 收 入 情 況 ， 得 到 數(shù) 據(jù) （ 單 位 :元 ） 如 下 ：試 對(duì) 該 地 區(qū) 農(nóng) 民 收 入 的 水 平 和 貧 富 懸 殊 程 度 做個(gè) 大 致 分 析 924 800 916 704 870 1040 824 690 574 490972 988 1266 684 764 940 408 804 610 852602 754 788 962 704 712 854 888 768 848882 1192 820 878 614 846 746 828 792 872696 644 926 808 1010 728 742 850 864 738 6.2 統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布 解 ： 顯 然 ， 如 果 不 進(jìn) 行 加 工 ， 面 對(duì) 這 一 大 堆 大 小參 差 不 齊 的 數(shù) 據(jù) ， 很 難 得 出 什 么 印 象 但 是 可 以對(duì) 這 些 數(shù) 據(jù) 稍 事 加 工 ， 如 記 各 農(nóng) 戶 的 人 均 年 收 入分 別 為 x1， x2， .， x50， 計(jì) 算 得 到 這 樣 ， 就 可 以 了 解 到 該 地 區(qū) 農(nóng) 民 的 平 均 收 入 和該 地 區(qū) 農(nóng) 民 貧 富 懸 殊 的 大 致 情 況 ： 農(nóng) 民 的 年 人 均平 均 收 入 大 約 為 809.52元 ， 標(biāo) 準(zhǔn) 差 約 為 155.85元 ，貧 富 懸 殊 不 算 很 大 6.2 統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布,52.809501 50 1 i ixx 85.155)(1501 501 2 i i xxs 由 此 可 見 對(duì) 樣 本 的 加 工 是 十 分 重 要 的 對(duì) 樣 本加 工 ， 主 要 就 是 構(gòu) 造 統(tǒng) 計(jì) 量 6.2.1 統(tǒng) 計(jì) 量定 義 6. 2 設(shè) X1， X2， ， Xn為 來 自 總 體 X的 樣 本 ，稱 不 含 未 知 參 數(shù) 的 樣 本 的 函 數(shù) g(X1， X2， ， Xn)為 統(tǒng) 計(jì) 量 若 x1， x2， .， xn為 樣 本 觀 測 值 ， 則 稱g(x1， x2， .， xn)為 統(tǒng) 計(jì) 量 g(X1， X2， ， Xn)的 觀測 值 . 統(tǒng) 計(jì) 量 是 處 理 、 分 析 數(shù) 據(jù) 的 主 要 工 具 對(duì) 統(tǒng) 計(jì)量 的 一 個(gè) 最 基 本 的 要 求 就 是 可 以 將 樣 本 觀 測 值 代入 進(jìn) 行 計(jì) 算 ， 因 而 不 能 含 有 任 何 未 知 的 參 數(shù) 6.2 統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布 【 例 6.4】 設(shè) X1， X2， ， Xn是 來 自 總 體 X的 樣 本 ，X N(， 2)， 其 中 、 2為 未 知 參 數(shù) ， 則X1， min X1， X2， ， Xn 均 為 統(tǒng) 計(jì) 量 ，但 諸 如等 均 不 是 統(tǒng) 計(jì) 量 ， 因 它 含 有 未 知 參 數(shù) 或 常 用 的 統(tǒng) 計(jì) 量 有 如 下 幾 種 ： 6.2.1 統(tǒng)計(jì)量,3121 21 XX ,)(1 1 2 ni iXn 1X 1. 有關(guān)一維總體的統(tǒng)計(jì)量 設(shè) X1， X2， ， Xn為 總 體 X的 樣 本 ， x1， x2， .，xn為 樣 本 觀 測 值 ， (1) 樣 本 均 值 常 用 來 作 為 總 體 期 望 （ 均 值 ） 的 估 計(jì) 量 ， 其 觀 測值 為 6.2.1 統(tǒng)計(jì)量 ni iXnX 11 ni ixnx 11 (2) 樣 本 方 差 (3) 樣 本 標(biāo) 準(zhǔn) 差 樣 本 方 差 和 樣 本 標(biāo) 準(zhǔn) 差 刻 畫 了 樣 本 數(shù) 據(jù) 的 分 散程 度 ， 常 用 來 作 為 總 體 方 差 和 標(biāo) 準(zhǔn) 差 的 估 計(jì) 量 .觀 測 值 分 別 為 6.2.1 統(tǒng)計(jì)量 ni i XXnS 1 22 )(11 ,)( 11 1 22 ni i xxns 2SS ni i xxnss 1 22 )(11 ni i XnXn 1 2211 (4) 樣 本 k階 原 點(diǎn) 矩 （ 簡 稱 樣 本 k階 矩 ） ， (k = 1， 2， ) (5) 樣 本 k階 中 心 矩 ， (k = 2， 3， )顯 然Ak和 Bk的 觀 測 值 分 別 記 為 6.2.1 統(tǒng)計(jì)量 ni kik XnA 11 ni kik XXnB 1 )(1 , 1 XA ni i XXnB 1 22 )(1,1 1 ni kik xna ni kik xxnb 1 )(1 定 理 6. 1 設(shè) 總 體 X的 期 望 E(X) = ,方 差 D(X) = 2，X1， X2， ， Xn為 總 體 X的 樣 本 ， ， S2分 別 為 樣本 均 值 和 樣 本 方 差 ， 則 6.2.1 統(tǒng)計(jì)量 )()( XEXE nnXDXD 2)()( 22 )()( XDSE)( 2SE ni i XXnE 1 2)(11 ni i XnXnE 1 2211 ni i XnEXEn 1 22 )()(11 ni nnn 1 2222 )(11 2X 由 辛 欽 大 數(shù) 定 理 和 依 概 率 收 斂 的 性 質(zhì) 可 以 證 明定 理 6. 2 設(shè) 總 體 X的 k階 原 點(diǎn) 矩 E(X k) = k存 在 （ k = 1， 2， ， m） ， X1， X2， ， Xn為 總 體 X的 樣本 ， g(t1， t2， ， tm)是 m元 連 續(xù) 函 數(shù) ， 則特 別 有 6.2.1 統(tǒng)計(jì)量),.,2,1,()(1 1 mknXEXnA kkni Pkik )(),.,(),.,( 2121 ngAAAg nPn ),(XEX P 21221 21 22 )(1)(1 AAXnXnXXnB ni ini i ).(212 XDP 2. 有關(guān)二維總體的統(tǒng)計(jì)量 設(shè) (X1， Y1)， (X2， Y2)， ， (Xn， Yn)為 二 維 總體 (X， Y)的 樣 本 ， 其 觀 測 值 為 (x1， y1)， (x2，y2)， ， (xn， yn)， 則 下 列 各 量 為 統(tǒng) 計(jì) 量 ： (1) 樣 本 協(xié) 方 差 (2) 樣 本 相 關(guān) 系 數(shù)其 中S XY和 RXY常 分 別 用 來 作 為 總 體 X和 Y的 協(xié) 方 差Cov(X， Y)與 相 關(guān) 系 數(shù) XY的 估 計(jì) 量 6.2.1 統(tǒng)計(jì)量 ni iiXY YYXXnS 1 )(11 YXXYXY SSSR ,)(11 1 22 ni iX XXnS ni iY YYnS 1 22 )(11 【實(shí)驗(yàn)6.2】用Excel對(duì)例6-3中的數(shù)據(jù)計(jì)算統(tǒng)計(jì)量樣本均值、樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差的觀測值 實(shí) 驗(yàn) 準(zhǔn) 備 ： (1) 函數(shù)AVERAGE的使用格式： AVERAGE(number1, number2, .) 功能：計(jì)算給定樣本的算術(shù)平均值 (2) 函數(shù)VAR的使用格式： VAR(number1,number2,.) 功能：計(jì)算給定樣本的方差 (3) 函數(shù)STDEV的使用格式： STDEV(number1,number2,.)功能：計(jì)算給定樣本的標(biāo)準(zhǔn)差 6.2.1 統(tǒng)計(jì)量 實(shí) 驗(yàn) 方 法 一 ： (1) 輸入數(shù)據(jù)及統(tǒng)計(jì)量名，如圖6-7左所示 (2) 計(jì)算樣本均值，在單元格H2中輸入公式： = AVERAGE(A2:E11) (3) 計(jì)算樣本方差s2，在單元格H3中輸入公式： = VAR(A2:E11) (4) 計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差s，在單元格H4中輸入公式： = STDEV(A2:E11) 計(jì)算結(jié)果：、s 2 = 24288.91、s = 155.85，如圖6-7右所示 6.2.1 統(tǒng)計(jì)量 圖 6-7 計(jì) 算 統(tǒng) 計(jì) 量 6.2.1 統(tǒng)計(jì)量 實(shí) 驗(yàn) 方 法 二 ： (1) 輸入整理數(shù)據(jù)，如圖6-8左所示 (2) 在Excel主菜單中選擇“工具”“數(shù)據(jù)分析”，打開“數(shù)據(jù)分析”對(duì)話框，在“分析工具”列表中選擇“描述統(tǒng)計(jì)”選項(xiàng)，單擊“確定”按鈕 (3) 在打開的“描述統(tǒng)計(jì)”對(duì)話框中，依次輸入“輸入?yún)^(qū)域”和“輸出區(qū)域”，選中“標(biāo)志位于第一行”復(fù)選框，如圖6-8中所示，單擊“確定”按鈕 得到描述統(tǒng)計(jì)的結(jié)果如圖6-8右所示 6.2.1 統(tǒng)計(jì)量 圖 6-8 描 述 統(tǒng) 計(jì) 6.2.1 統(tǒng)計(jì)量 6.2 統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布6.2.2 抽 樣 分 布 統(tǒng) 計(jì) 量 的 分 布 稱 為 抽 樣 分 布 為 了 研 究 抽 樣 分布 ， 先 研 究 數(shù) 理 統(tǒng) 計(jì) 中 三 種 重 要 的 分 布 1. 2分布 定 義 6. 3 設(shè) X1， X2， ， Xn為 相 互 獨(dú) 立 的 隨 機(jī)變 量 ， 它 們 都 服 從 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) N(0， 1)分 布 ， 則 稱 隨機(jī) 變 量服 從 自 由 度 為 n的 2分 布 ， 記 為 2 2(n) 此 處 自 由 度 指 2中 包 含 獨(dú) 立 變 量 的 個(gè) 數(shù) 可 以 證 明 ， 2(n)的 概 率 密 度 為其 中 ()稱 為 伽 馬 函 數(shù) ， ni iX1 22 6.2.2 抽樣分布 0,0 0,)(2 1)( 212222 xxexxf xnnn0,)( 0 1 dxex x 2分布概率密度 圖 6-9 2(n)分 布 的 概 率 密 度 曲 線可 以 看 出 ， 隨 著 n的 增 大 ， 的 圖 形 趨 于 “ 平 緩 ” ，其 圖 形 下 區(qū) 域 的 重 心 亦 逐 漸 往 右 下 移 動(dòng) 6.2.2 抽樣分布 0,0 0,)(2 1)( 212222 xxexxf xnnn 2分 布 具 有 下 面 性 質(zhì) ： (1) (可 加 性 ) 設(shè) 是 兩 個(gè) 相 互 獨(dú) 立 的 隨 機(jī) 變 量 ，且 (2) 設(shè) 證 明 (1) 由 2分 布 的 定 義 易 得 證 明 (2) 因 為 存 在 相 互 獨(dú) 立 、 同 分 布 于N(0， 1)的 隨 機(jī) 變 量 X1， X2， ， Xn， 使則 6.2.2 抽樣分布2221, )(),(),( 212222122221221 nnnn 則 ni iX1 22)()( 1 22 ni iXEE .2)(,),( 2222 nDnEn ）（則),( 22 n ni iXE1 2)( ni i nXD1 )( 由 于 Xi獨(dú) 立 ， 且 注 意 到 N(0， 1)的 四 階 矩 為 3， 可 得 英 國 統(tǒng) 計(jì) 學(xué) 家 費(fèi) 歇 （ R.A.Fisher） 曾 證 明 ， 當(dāng) n較大 時(shí) ， 近 似 服 從 6.2.2 抽樣分布 ni iXDD 1 22 )()()(2 2 n ).1,12( nN ni ii XEXE1 224 )()( ni n1 2)13( 2. t分布定 義 6. 4 設(shè) X N(0， 1)， Y 2(n)， X與 Y獨(dú) 立 ，則 稱 隨 機(jī) 變 量 服 從 自 由 度 為 的 t分 布 ，又 稱 為 學(xué) 生 氏 分 布 (Student distribution)，記 為 T t(n)可 以 證 明 t(n)的 概 率 密 度 為 圖 6-10 t分 布 的 概 率 密 度 曲 線 6.2.2 抽樣分布nYXT x nxnn nxf nt ,1221)( 212 圖 6-10 t分 布 的 概 率 密 度 曲 線 顯 然 t分 布 的 概 率 密 度 是 x的 偶 函 數(shù) ， 圖 6-10描 繪了 n = 1， 3， 7時(shí) t(n)的 概 率 密 度 曲 線 作 為 比 較 ，還 描 繪 了 N(0， 1)的 概 率 密 度 曲 線 6.2.2 抽樣分布 x nxnn nxf nt ,1221)( 212 可 看 出 ， 隨 著 n的 增 大 ， t(n)的 概 率 密 度 曲 線 與N(0， 1)的 概 率 密 度 曲 線 越 來越 接 近 可 以 證 明 t分 布 具 有 下 面 性 質(zhì) ：即 當(dāng) n趨 向 無 窮 時(shí) ,t(n)近 似 于 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) 分 布 N(0,1) 一 般 地 ， 若 n 30， 就 可 認(rèn) 為 t(n)基 本 與 N(0， 1)相差 無 幾 了 6.2.2 抽樣分布 nexf x t ,21)( 22 3. F分布定 義 6. 5 設(shè) X 2(n1)， Y 2(n2)， 且 X與 Y獨(dú) 立 ，稱 隨 機(jī) 變 量 服 從 自 由 度 為 (n1， n2)的 F分 布 ，記 為 F F(n1， n2)可 以 證 明 的 概 率 密 度 函 數(shù) 為 6.2.2 抽樣分布21nY nXF 0,0 0,122 2)( 22121 1222121 2111 xxxnnnn xnnnnxf nnnnF 6.2.2 抽樣分布 圖 6-11 F分 布 的 概 率 密 度 曲 線 由 F分 布 的 定 義 容 易 看 出 ， 若 F F(n1， n2)， 則 1/F F(n2， n1)21nY nXF 4. 正態(tài)總體的抽樣分布定理 在 數(shù) 理 統(tǒng) 計(jì) 問 題 中 ， 正 態(tài) 分 布 占 據(jù) 著 十 分 重 要的 位 置 ， 一 方 面 因 為 在 應(yīng) 用 中 ， 許 多 隨 機(jī) 變 量 的分 布 或 者 是 正 態(tài) 分 布 ， 或 者 接 近 于 正 態(tài) 分 布 ； 另一 方 面 ， 正 態(tài) 分 布 有 許 多 優(yōu) 良 性 質(zhì) ， 便 于 進(jìn) 行 較深 入 的 理 論 研 究 因 此 ， 我 們 著 重 討 論 正 態(tài) 總 體下 的 抽 樣 分 布 ， 給 出 有 關(guān) 最 重 要 的 統(tǒng) 計(jì) 量 樣 本 均值 和 樣 本 方 差 S2的 抽 樣 分 布 定 理 6.2.2 抽樣分布 定 理 6. 3 設(shè) X1， X2， ， Xn為 來 自 總 體 N(， 2)的 樣 本 ， ， S 2分 別 為 樣 本 均 值 和 樣 本 方 差 ， 則 有 (1) (2) (3) 與 S 2相 互 獨(dú) 立 ； (4)證 明 ： 由 正 態(tài) 分 布 的 性 質(zhì) 容 易 得 到 (1),略 去 (2)和 (3)的 證 明 ,下 面 僅 證 明 4. 6.2.2 抽樣分布X );,( 2nNX ;1)1( 22 2 ）（ nSn X )1(/ ntnSX 證 明 (4):由 (1)知 ， 從 而 由 (2)(3)知 根 據(jù) t分 布 的 定 義 6.2.2 抽樣分布);,()1( 2nNX ;1)1()2( 22 2 ）（ nSn ,2相 互 獨(dú) 立與 SX )1(/)4( ntnSX ),( 2nNX ,1)1( 2 2 2 ）（ nSn )1,0(/ NnX )1(/)1()1( /2 2 ntnSXnSn nX 相 互 獨(dú) 立 ；與 2)3( SX 【 例 6.5】 某 廠 生 產(chǎn) 的 燈 泡 壽 命 近 似 服 從 正 態(tài) 分 布N(800， 402)， 抽 取 16個(gè) 燈 泡 的 樣 本 ， 求 平 均 壽 命小 于 775小 時(shí) 的 概 率 . 解 ： 設(shè) 燈 泡 壽 命 總 體 為 X， 因 為 X N(800,402),n=16, 所 以 樣 本 均 值 故 6.2.2 抽樣分布),1640,800( 2NX )100,800( NX即 1080077510800775 XPXP 0062.0)5.2(15.210800 XP 【 例 6.6】 設(shè) 總 體 X N(， 102)， 抽 取 容 量 為 n的 樣 本 ，樣 本 均 值 記 為 欲 使 與 的 偏 差 小 于 5的 概 率 大 于0.95， 樣 本 容 量 n至 少 應(yīng) 該 取 多 大 ？解 ： 依 題 令 ,即因 為 總 體 ， 從 而所 以即查 表 知 ， 由 于 單 調(diào) 不 減 ， 應(yīng) 有 故 n至 少 應(yīng) 該 取 為 16 6.2.2 抽樣分布X X 95.05 XP 95.055 XP)10,( 2NX )1,0(10 NnX 95.01051010 5 nnXnP ,95.022 nn ,95.0122 n 975.02 n 975.096.1 )(x,96.12 n .48.15n 【 例 6.7】 設(shè) X1， X2， ， Xn為 總 體 X N (， 2)的 樣 本 ， 求 樣 本 方 差的 均 值 和 方 差 解 ： 本 題 可 以 通 過 2分 布 的 均 值 和 方 差 簡 單 求出 由 定 理 6.3,所 以 有 于 是 6.2.2 抽樣分布 ni i XXnS 1 22 )(11 ）（ 1)1( 2 2 2 nSn ,1)1( 2 2 nSnE )1(2)1( 2 2 nSnD ,22 SE .12 42 nSD 6.2.3 分 位 數(shù) 設(shè) X為 一 隨 機(jī) 變 量 ， 我 們 知 道 對(duì) 于 給 定 的 實(shí) 數(shù) x，PX x是 事 件 X x的 概 率 在 統(tǒng) 計(jì) 中 ， 我 們 常常 需 要 對(duì) 給 定 事 件 X x的 概 率 ， 由 此 確 定 的 x取 是一 個(gè) 臨 界 點(diǎn) ,稱 為 分 位 數(shù) (點(diǎn) ),有 如 下 定 義 ： 定 義 6. 6 設(shè) X為 隨 機(jī) 變 量 ， 若 對(duì) 給 定 的 (0，1)， 存 在 x滿 足 PX x = ， 則 稱 x為 X的 上 分位 數(shù) (點(diǎn) ) 6.2 統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布 若 X具 有 密 度 f(x)，PX x = 說 明 分 位 數(shù) x右 邊 的 一 塊 陰 影 面 積 為 ，即 容 易 看 出 ， X的 上 分 位 數(shù) x是關(guān) 于 的 減 函 數(shù) ， 即 增 大 時(shí) x減 少 .下 面 給 出 幾 種 常 用 分 布 的 上 分 位 數(shù) 的 求 法 ： 6.2.3 分位數(shù) dttfx )( 1. 設(shè) Z N(0， 1)， 記 N(0， 1)的 上 分 位 數(shù) 為 z，即 有 PZ z = . 由 于 (z) = PZ z = 1 PZ z=1 ，由 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) 分 布 函 數(shù) 表 （ 附 表 2） 反 過 來 查 ， 即 可以 得 到 z的 值 . 為 使 用 方 便 ， 表 6-1列 出 了 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) 分 布 的 幾 個(gè)常 用 分 位 數(shù) z的 值 表 6-1 常 用 的 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) 分 布 的 分 位 數(shù) 0.001 0.005 0.01 0.025 0.05 0.10 z 3.090 2.576 2.326 1.960 1.645 1.282 6.2.3 分位數(shù) 由 N(0， 1)的 概 率 密 度 的 對(duì) 稱 性 （ 見 圖 6-13） 可 知所 以 z1- = z 圖 6-13 z 1-與 z 6.2.3 分位數(shù) 11 zZPzZPzZP 2. 設(shè) 2 2(n)， 記 2(n)的 上 分 位 數(shù) 為 2(n)， 即有 P2 2(n) = . 附 表 3中 給 出 了 時(shí) 2(n)的 值 ， 當(dāng) n40時(shí) ， 由2(n)的 漸 近 性 質(zhì) ， 有 6.2.3 分位數(shù)22 )12(21)( nzn 3.設(shè) T t(n)， 記 t(n)的 上 分 位 數(shù) 為 t(n)， 即 有PT t(n) = ；由 t(n)的 概 率 密 度 的 對(duì) 稱 性t1-(n) = t(n) 圖 6-14 t 1-(n)與 t(n) 附 表 4中 給 出 了 時(shí) t(n)的 值 ， 當(dāng) n40 時(shí) ， 由 于t(n)近 似 N(0， 1),所 以 t(n) z 6.2.3 分位數(shù) 40n 4. 設(shè) F F(n1， n2)， 記 F(n1， n2)的 上 分 位 數(shù) 為F(n1， n2)， 即 有 PF F(n1， n2) = 附 表 5中 給 出 部 分 F(n1， n2)的 值 . 另 外 ， 由 于 F F(n1,n2)時(shí) , 1/F F(n2,n1)，所 以故 6.2.3 分位數(shù) ),( 1 12 nnFFP ),( 1),( 12211 nnFnnF ),(1 12 nnFFP ),(11 12 nnFFP 1 【 例 6.8】 求 下 列 分 位 數(shù) ： (1) z0.025； 20.5 (20)； t0.1(25)； F0.05(10， 15)； (2) t0.975(4)； (3) t0.05(55)； (4) F0.9(14， 10)； (5) 20.975(200). 解 ： (1) 查 表 6-1知 z0.025 = 1.96也 可 由 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) 分 布 函 數(shù) 表 （ 附 表 2） ， 對(duì) 函 數(shù) 值(z 0.025) = 1 0.025 = 0.975反 查 表 得 z0.025 =1.96 6.2.3 分位數(shù) 分 別 查 附 表 3、 附 表 4、 附 表 5得 到 20.5(20)=31.4104、 t0.1(25)=1.3164、 F0.05(10， 15)=2.54; (2) 在 附 表 4中 沒 有 = 0.975， 可 先 查 出 t0.025(4) = 2.7764， 利 用 對(duì) 稱 性 得 到t0.975(4) = t0.025(4) = 2.7764 (3) 在 附 表 4中 查 不 到 t0.05(55)， 用 近 似 公 式t 0.05(55) z0.05 = 1.645 6.2.3 分位數(shù) (4) 在 附 表 5中 ， 查 不 到 F0.9(14， 10)， 但 可 查 出F0.1(10， 14) = 2.10，故(5) 在 附 表 3表 中 查 不 到 20.975(200)， 先 查 出z0.975 = z0.025 = 1.96，再 作 如 下 近 似 計(jì) 算 27.162)1200296.1(21 )12002(21)200( 2 2975.02975.0 z 6.2.3 分位數(shù).476.010.21)14,10(1)10,14( 1.09.0 FF 【實(shí)驗(yàn)6.3】用Excel計(jì)算例6-8中的分位數(shù): (1) z0.025； (2) t0.975(4)； (3) t0.05(55)； (4) F0.9(14， 10)； (5) 20.975(200). 實(shí) 驗(yàn) 準(zhǔn) 備 ： (1) 函數(shù)NORMSINV的使用格式：NORMSINV(probability) 功能：返回標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)的反函數(shù)值 6.2.3 分位數(shù) (2) 函數(shù)TINV的使用格式：TINV(probability, degrees_freedom) 功能：返回給定自由度的t-分布的上/2分位數(shù)其中=probability為t-分布的雙尾概率，degrees_freedom為分布的自由度 (3) 函數(shù)FINV的使用格式：FINV(probability, degrees_freedom1, degrees_freedom2) 功能：返回F分布的上分位數(shù)，其中= probability為F分布的單尾概率，degrees_freedom1和degrees_freedom2為兩個(gè)自由度 6.2.3 分位數(shù) (4) 函數(shù)CHIINV的使用格式：CHIINV(probability, degrees_freedom) 功能：返回2分布的上分位數(shù)其中 = p r o b a b i l i t y為 2分布的單尾概率，Degrees_freedom為自由度 6.2.3 分位數(shù) 實(shí) 驗(yàn) 步 驟 ： (1) 計(jì)算z0.025，在單元格B2中輸入公式： = NORMSINV(0.975) (2) 計(jì)算t0.975(4)，由于t0.975(4) = - t0.025(4)，在單元格B3中輸入公式: = -TINV(2*0.025,4) (3) 計(jì)算t0.05(55)，在單元格B4中輸入公式： = TINV(2*0.05,55) 6.2.3 分位數(shù) (4) 計(jì)算F0.9(14，10)，在單元格B5中輸入公式：= FINV(0.9,14,10) (5) 計(jì)算20.975(200)，在單元格B6中輸入公式：= CHIINV(0.975,200) 計(jì)算結(jié)果如圖所示 6.2.3 分位數(shù) 【 例 6.9】 設(shè) X1， X2是 總 體 X N(1， 2)的 樣 本 ， 試求 概 率 P(X1 X2)2 20.08 解 法 一 ： 因 為 X N(1， 2)， 所 以 Xi N(1， 2)，i=1,2， 從 而記 ， 所 以查 表 知 ， 即 所 以 6.2.3 分位數(shù)),1,0(2 21 NXX )1(2 2221 XX2 212 2 XX 02.508.20)( 2221 PXXP 02.51 2 P02.5)1(2025.0 ,025.002.5 2 P 975.0025.0108.20)( 221 XXP 【 例 6.9】 設(shè) X1， X2是 總 體 X N(1， 2)的 樣 本 ， 試求 概 率 P(X1 X2)2 20.08 解 法 二 ： 因 X N(1， 2)， 所 以從 而 6.2.3 分位數(shù))1,0(2 21 NXX 02.5208.20)( 21221 XXPXXP 975.019875.021)241.2(2 由 定 理 6.3容 易 證 明 下 述 有 關(guān) 兩 個(gè) 總 體 的 抽 樣 分布 定 理 定 理 6. 4 設(shè) ， 分 別 為 來 自N(1,12)和 N(2,22)的 樣 本 ， 且 它 們 相 互 獨(dú) 立 ，設(shè) ， S12， ， S22， 分 別 為 相 應(yīng) 樣 本 的 樣 本 均 值 和樣 本 方 差 ， 則 (1) (2) 1, 21 nXXX 2, 21 nYYY X Y )1,0()( 222121 21 NnnYX )1,1(/ 212222 2121 nnFSS 6.2.3 分位數(shù) (3) 當(dāng) 時(shí) ，其 中 22221 )2(11 )()( 2121 21 nntnnSYX w 221 2222112 ,2 )1()1( www SSnn SnSnS 6.2.3 分位數(shù) 證 ： (1) 由 于 , ，又 與 獨(dú) 立 ， 故 由 正 態(tài) 分 布 的 性