《極限存在準(zhǔn)則》PPT課件

第 六 節(jié) 極 限 存 在 準(zhǔn) 則 與 兩 個 重 要 極 限一 、 極 限 存 在 準(zhǔn) 則二 、 兩 個 重 要 極 限 一 、 極 限 存 在 準(zhǔn) 則1.迫 斂 性 準(zhǔn) 則 (夾 逼 準(zhǔn) 則 )準(zhǔn) 則 滿 足 下 列 條 件 ：若 數(shù) 列 111 )(,)(,)( nnnnnn zyx ),3,2,1()1( nzxy nnn ,lim,lim)2( azay nnnn .lim,)( 1 axx nnnn 且的 極 限 存 在則 數(shù) 列 準(zhǔn) 則 I和 準(zhǔn) 則 I 稱 為 迫 斂 性 準(zhǔn) 則 .)()()( xhxfxg AxhAxg xx )(lim,)(lim)2( .)(lim,)(lim Axfxf xx 且存 在則 有時或當(dāng) 。 ,)|(),()1( 0 MxrxUx 準(zhǔn) 則 ( ), ( ), ( ) f x g x h x設(shè) 函 數(shù) 滿 足 如 下 條 件 ：上 述 數(shù) 列 極 限 存 在 的 準(zhǔn) 則 可 以 推 廣 到 函 數(shù) 的 極 限 例 1 ).12111(lim 222 nnnnn 求 2 2 2 2 21 1 1 .1 2 1n nn n n n n n n 證 明 ： 例 1 ).12111(lim 222 nnnnn 求 2 2 2 2 21 1 1 .1 2 1n nn n n n n n n 證 明 ： 2 2 21lim =lim 11 n1 lim =lim 11 1 nn nn nnn nnn 又 =1，=1， 例 1 ).12111(lim 222 nnnnn 求 2 2 2 2 21 1 1 .1 2 1n nn n n n n n n 證 明 ： 2 2 21lim =lim 11 n1 lim =lim 11 1 nn nn nnn nnn 又 =1，=1，2 2 21 1 1lim( ) 11 2n n n n n 例 2 證 明 下 列 重 要 極 限 1sinlim0 xxx AC)20( tansin xxxx先 證 ,OAB OACOABS S S 扇 形 xo BD證 明 ： ,tan2121sin21 xxx ,1sincos xxx即 .02 也 成 立上 式 對 于 x,1coslim0 xx ,11lim0 x.1sinlim0 xxx )0)(lim( .1)( )(sinlim 00 xx x xxxx 其 中可 推 廣 為 .tanlim 1 0 x xx求例 .tanlim 1 0 x xx求例 0 0tan sin 1lim lim cos x xx xx x x 解 ： .tanlim 1 0 x xx求例 0 0 0 0tan sin 1lim lim cossin 1 lim lim =1cosx xx xx xx x xxx x 解 ： ； .cos1lim 2 20 x xx 求例 .cos1lim 2 20 x xx 求例 2 2 22 20 0 02sin sin1 cos 12 2lim lim lim2 2 x x xx xxx x x 解 ： .cos1lim 2 20 x xx 求例 2 2 22 20 0 0 202sin sin1 cos 12 2lim lim lim2 2sin1 12 lim .2 22x x xx x xxx x xxx 解 ： 0 arcsin3 lim .x xx例 求 arcsin 0 0u x x u 解 ： 令 ,利 當(dāng) 時 ，用 復(fù) 合 函 數(shù) 求 極 限 , 0 arcsin3 lim .x xx例 求 0 0 arcsin 0 0arcsin lim =lim 1.sinx uu x x ux ux u 解 ： 令 ,當(dāng) 時 ， ,所利 用 復(fù) 合 函 數(shù) 有求 極 限 以 .nnn 1lim證明 例 4 1, 1. 1 ( 0).nn n nn nn 證 明 ： 不 妨 設(shè)令 1, 1. 1 ( 0).nn n nn nn 證 明 ： 不 妨 設(shè)令 1 1 . n nn （ *） 1, 1. 1 ( 0).nn n nn nn 證 明 ： 不 妨 設(shè)令 1 1 . n nn （ *）lim 0 .nn 只 要 證 即 可 1, 1. 1 ( 0).nn n nn nn 證 明 ： 不 妨 設(shè)令 1 1 . n nn （ *）lim 0 .nn 只 要 證 即 可 1 (1 ) .nn n nn n ， 1, 1. 1 ( 0).nn n nn nn 證 明 ： 不 妨 設(shè)令 1 1 . n nn （ *）lim 0 .nn 只 要 證 即 可 1 (1 ) .nn n nn n ， 2 2( 1) ( 1)1 .2 2nn n n nn n n nn n 展 開 得 1, 1. 1 ( 0).nn n nn nn 證 明 ： 不 妨 設(shè)令 1 1 . n nn （ *）lim 0 .nn 只 要 證 即 可 1 (1 ) .nn n nn n ， 2 2( 1) ( 1)1 .2 2nn n n nn n n nn n 展 開 得2 2 2 .( 1) 1n nn n n 1, 1. 1 ( 0).nn n nn nn 證 明 ： 不 妨 設(shè)令 1 1 . n nn （ *）lim 0 .nn 只 要 證 即 可 1 (1 ) .nn n nn n ， 2 2( 1) ( 1)1 .2 2nn n n nn n n nn n 展 開 得2 2 2 .( 1) 1n nn n n 20 .1n n 1, 1. 1 ( 0).nn n nn nn 證 明 ： 不 妨 設(shè)令 1 1 . n nn （ *）lim 0 .nn 只 要 證 即 可 1 (1 ) .nn n nn n ， 2 2( 1) ( 1)1 .2 2nn n n nn n n nn n 展 開 得2 2 2 .( 1) 1n nn n n 20 .1n n 2lim0 0,lim 0,1n n n 1, 1. 1 ( 0).nn n nn nn 證 明 ： 不 妨 設(shè)令 1 1 . n nn （ *）lim 0 .nn 只 要 證 即 可 1 (1 ) .nn n nn n ， 2 2( 1) ( 1)1 .2 2nn n n nn n n nn n 展 開 得2 2 2 .( 1) 1n nn n n 20 .1n n 2lim0 0,lim 0,1n n n lim =0. . nn 由 夾 逼 準(zhǔn) 則 得 證 畢 )( 1lim )0( 1lim 1留 作 練 習(xí) 是 常 數(shù)注 ： .x a.axx nn .lim, 321321 n nnnn aaaaaa 為 正 實(shí) 數(shù) ， 求設(shè)例 5 1 2 31 2 3 3 3,n n n n n nn nna a a a a a a 解 ： 設(shè) a=maxa ,a ,a , 則 .lim, 321321 n nnnn aaaaaa 為 正 實(shí) 數(shù) ， 求設(shè)例 5 1 2 31 2 3 3 3,n n n n n nn nna a a a a a a 解 ： 設(shè) a=maxa ,a ,a , 則 1 2 3lim 3 1, lim = .n n nn nn n a a a a 而 所 以 x1x 2x 3x 1nxnx2.單 調(diào) 有 界 收 斂 準(zhǔn) 則滿 足 條 件如 果 數(shù) 列 nx ,121 nn xxxx 單 調(diào) 增 加,121 nn xxxx 單 調(diào) 減 少 單 調(diào) 數(shù) 列幾 何 解 釋 : A M準(zhǔn) 則 單 調(diào) 有 界 數(shù) 列 必 有 極 限 . 準(zhǔn) 則 II實(shí) 際 上 包 含 兩 點(diǎn) ：1） 若 單 調(diào) 增 加 且 有 上 界 ， 則 必 有 極 限 . nx nx2） 若 單 調(diào) 減 少 且 有 下 界 ， 則 必 有 極 限 . nx nx證 明 省 略 例 1 .)(333 的 極 限重 根 式求 數(shù) 列 nxn 證 ,331 x ,3kx假 定kk xx 31則 有 33 ,3 ;是 有 上 界 的nx .lim 存 在nn x333 12 xx又 2)3( 3 ,1x,1 kk xx 假 定 112 33 kkkk xxxx則 有 .是 單 調(diào) 遞 增 的nx ,lim Axnn 設(shè) ,31 nn xx ,32 1 nn xx ),3(limlim 2 1 nnnn xx ,32 AA 2 131,2 131 AA解 得 (舍 去 ).2 131lim nn x 重 要 極 限 ex xx )11(lim定 義 en nn )11(lim . ,)11( 0 iinninnn bainbanx ）注 意 （設(shè) 21!2 )1(1!11 nnnnn展 開 ， 得 ).11()21)(11(!1)11(!2111 nnnnnn nnn nnnn 1! )1()1( ).11()221)(111()!1( 1 )111()221)(111(!1 )111(!21111 nnnnn nnnnn nxn 類 似 地 , ).11()221)(111()!1( 1 )111()221)(111(!1)111(!2111 ),11()21)(11(!1)11(!21111 nnnnn nnnnnnx nnnnnnxnn , 1 nn xx ;1 是 單 調(diào) 遞 增 的 nnx!1!2111 nxn 1212111 n1213 n ,3 ; 1 是 有 界 的 nnx.lim 存 在nn x en nn )11(lim記 為 )71828.2( e e=2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475945713821785251664274274663919320030599218174135966290435729003342952605956307381323286279434907632338298807531952510190115738341879307021540891499348841675092447614606680822648001684774118537423454424371075390777449920695517027618386062613313845830007520449338265602976067371132007093287091274437470472306969772093101416928368190255151086574637721112523897844250569536967707854499699679468644549059879316368892300987931277361782154249992295763514822082698951936680331825288693984964651058209392398294887933203625094431173012381970684161403970198376793206832823764648042953118023287825098194558153017567173613320698112509961818815930416903515988885193458072738667385894228792284998920868058257492796 ex xx )11(lim下 面 證 明 ,1 . )1( xx 不 妨 設(shè)時當(dāng)證 明 ： ,1 xxx有 ,)11()11()1 11( 1 xxx xxx )11(lim)11(lim)11(lim 1 xxx xxxxx 而 ,e11 )1 11(lim)1 11(lim )1 11(lim xxx xxx xx ,e.)11(lim ex xx , . )2( xtx 令時當(dāng) ttxx tx )11(lim)11(lim則 tt t )111(lim )111()111(lim 1 tt tt .eex xx )11(lim)2(),1( 得由可 推 廣 為 )0)(lim( .)(1lim )(1 xex xxx 其 中或由 復(fù) 合 函 數(shù) 極 限 運(yùn) 算 法 則 ， 可 得 ex xx 10 )1(lim特 別 地 ， )(lim( .)(11lim )( xex xxx 其 中 .)11(lim1 xx x求例解 xx x )11( 1lim1)11(lim xx x原 式 .1e.)23(lim2 2xx xx求例 解 422 )211()211(lim xx xx原 式 .2e ( )lim ( ) 0 lim ( ) ,lim ( ) .x xg x Bxf x A g x Bf x A 如 果 ， 則 ( ) ( )ln ( )lim ( ) lim g x g x f xx xf x e證 明 ： ( ) ( )ln ( )lim ( ) lnlim ( )lim ( ) lim x xg x g x f xx x g x f xf x ee證 明 ： ( ) ( )ln ( )lim ( ) lnlim ( )lnlim ( ) lim x xg x g x f xx x g x f xB A Bf x eee A 證 明 ： .)1(lim3 sin20 xx x求例 .)31(lim4 10 xx x求例 .)tan31(lim5 2cot20 xx x求例 .)11(lim6 2 xx xx求例 17 lim (1 ) .xx x 例 求 三 、 小 結(jié)1.兩 個 準(zhǔn) 則2.兩 個 重 要 極 限夾 逼 準(zhǔn) 則 ; 單 調(diào) 有 界 準(zhǔn) 則 .;1sinlim10 某 過 程 .)1(lim2 10 e 某 過 程 ,為 某 過 程 中 的 無 窮 小設(shè) 思 考 題求 極 限 xxxx 193lim 思 考 題 解 答 xxxx 193lim xxxxx 11 1319lim xxx xx 3 13311lim9 99 0 e ._3cotlim4 0 xxx、一 、 填 空 題 : ._sinlim1 0 x xx 、 ._3sin 2sinlim2 0 xxx、 ._2sinlim5 xxx、 ._)1(lim6 10 xx x、 練 習(xí) 題 ._cotlim3 0 x xx、 arc xx x 2tan4 )(tanlim2 、 ._)1(lim7 2 xx xx、 ._)11(lim8 xx x、 xx xx sin 2cos1lim1 0 、 xx ax ax )(lim3 、二 、 求 下 列 各 極 限 :nn nn )11(lim4 2、 5、 nnnn 1)321(lim 三 、 利 用 極 限 存 在 準(zhǔn) 則 證 明 數(shù) 列 ,.222,22,2 的 極 限 存 在 ， 并 求出 該 極 限 . 一 、 1、 ； 2、 32； 3、 1； 4、 31 ； 5、 0； 6、 e； 7、 2e ； 8、 e1 ； 二 、 1、 2； 2、 e1； 3、 ae2 ； 4、 1e ； 5、 3. 三 、 2lim nx x . 練 習(xí) 題 答 案