空間平面與平面的位置關(guān)系

b 不 同 在 任 何 一 個(gè) 平 面 內(nèi) 的 兩 條 直 線 叫 做 異 面 直 線 。異 面 直 線 的 定 義 : 相 交 直 線 平 行 直 線異 面 直 線空 間 兩 直 線 的 位 置 關(guān) 系上 節(jié) 回 顧 ：公 理 ： 在 空 間 平 行 于 同 一 條 直 線 的 兩 條 直 線 互 相 平 行 異 面 直 線 的 求 法 : 一 作 (找 )二 證 三 求空 間 中 ， 如 果 兩 個(gè) 角 的 兩 邊 分 別 對(duì) 應(yīng) 平 行 ， 那 么 這 兩 個(gè) 角 相 等 或 互 補(bǔ) 等 角 定 理 ：異 面 直 線 的 畫 法 用 平 面 來(lái) 襯 托異 面 直 線 所 成 的 角 平 移 ， 轉(zhuǎn) 化 為 相 交 直 線 所 成 的 角 3、 如 何 用 符 號(hào) 語(yǔ) 言 表 示 直 線 與 平 面 的 位 置 關(guān) 系 。 直 線 a在 平 面 內(nèi) ， 記 作 a ； 直 線 a與 平 面 相 交 于 A點(diǎn) ， 記 作 a=A； 直 線 a與 平 面 平 行 ， 記 作 a ； 第 一 、 二 層 的 底 面 無(wú)論 怎 樣 延 伸 都 沒(méi) 有 公 共 點(diǎn) ； 前 、 后 兩 面 房 頂 則有 一 條 交 線 AB A B二 層 樓 房 示 意 圖探 究 平 面 與 平 面 之 間 的 位 置 關(guān) 系 （ 1） 兩 個(gè) 平 面 平 行 如 果 兩 個(gè) 平 面 沒(méi) 有 公 共 點(diǎn) ， 我 們 就 說(shuō)這 兩 個(gè) 平 面 互 相 平 行 （ 2） 兩 個(gè) 平 面 相 交 如 果 兩 個(gè) 平 面 有 公 共 點(diǎn) ， 它 們 就 相 交 于一 條 過(guò) 該 公 共 點(diǎn) 的 直 線 ， 我 們 就 說(shuō) 這 兩 個(gè) 平面 相 交 （ 3） 兩 個(gè) 平 面 的 位 置 關(guān) 系 只 有 兩 種 兩 個(gè) 平 面 平 行 沒(méi) 有 公 共 點(diǎn) ； 記 為 / 兩 個(gè) 平 面 相 交 有 一 條 公 共 直 線 ,記 為 a 兩 個(gè) 平 面 的 位 置 關(guān) 系兩 平 面 平 行沒(méi) 有 公 共 點(diǎn) 有 一 條 公 共 直 線兩 平 面 相 交 =a位 置 關(guān) 系公 共 點(diǎn)符 號(hào) 表 示圖 形 表 示 畫 兩 個(gè) 互 相 平 行 的 平 面 時(shí) ， 要 注 意 使 表 示平 面 的 兩 個(gè) 平 行 四 邊 形 的 對(duì) 應(yīng) 邊 平 行 ， 如 圖 1，而 不 應(yīng) 畫 成 圖 2那 樣 （ 4） 兩 個(gè) 平 面 平 行 的 畫 法圖 1 圖 2 1.一 個(gè) 平 面 內(nèi) 的 一 條直 線 平 行 于 另 一 個(gè) 平面 ,能 否 推 出 這 兩 個(gè) 平面 平 行 ?2.一 個(gè) 平 面 內(nèi) 的 兩 條直 線 平 行 于 另 一 個(gè) 平面 ,能 否 推 出 這 兩 個(gè) 平面 平 行 ?3.無(wú) 數(shù) 條 呢 ?(不 能 )(不 能 )(不 能 ) 如 果 一 個(gè) 平 面 內(nèi) 有 兩 條 相 交直 線 都 平 行 于 另 一 個(gè) 平 面 ， 那 么 這 兩 個(gè) 平 面 平 行 /b/aAbaba ，已 知 ： /求 證 ：證 明 ： 用 反 證 法 . :.1 1 111111DBC DABDCBAABCD平 行 于 截 面 中 的 截 面長(zhǎng) 方 體求 證例 1A 1D 1C1BA D B C 說(shuō) 明 定 理 可 以 簡(jiǎn) 記 為平 面 與 平 面 平 行 的 判 定.21.要 證 明 平 面 與 平 面 平 行 ,關(guān) 鍵 要 證 明線 面 平 行 ,而 這 又 取 決 于 線 線 平 行 ,因此 在 平 行 關(guān) 系 中 線 線 平 行 是 基 礎(chǔ) .面 面 平 行 ”線 面 平 行“ 線 線 平 行 練 習(xí) ）（，）（ ）（，）（ ）（，）（ ）（，）（ ）（，）（ 判 斷 ： /5 /4 /3 /2 /1.1 baba baba aa aa aa 練 習(xí) /: /,/ ,.2求 證且 ，是 異 面 直 線已 知 ： ba baba ab 1.一 個(gè) 結(jié) 論 根 據(jù) 兩 個(gè) 平 面 平 行 及 直 線 和 平 面 平 行 的 定 義 ， 容易 得 出 下 面 的 結(jié) 論 ：如 果 兩 個(gè) 平 面 平 行 ， 那 么 其 中 一 個(gè) 平 面 內(nèi) 的 任 意 一條 直 線 平 行 于 另 一 個(gè) 平 面 /,/ aa a線 面 平 行 ”簡(jiǎn) 記 為 “ 面 面 平 行 2.兩 個(gè) 平 面 平 行 的 性 質(zhì) 定 理 面 面 平 行 的 性 質(zhì) 定 理 ： 如 果 兩 個(gè)平 行 平 面 同 時(shí) 和 第 三 個(gè) 平 面 相 交 ，那 么 它 們 的 交 線 平 行 即 ： baba / 如 何 證 明 ? 線 線 平 行 ”簡(jiǎn) 記 為 “ 面 面 平 行 ab線 線 平 行 線 面 平 行 面 面 平 行 a A1A BB1 CD C1D1.21 .2 111111） 求 截 面 面 積（ 形 ；） 求 證 ： 截 面 是 等 腰 梯（ 作 平 面 截 正 方 體 和 點(diǎn)的 中 點(diǎn) ， 經(jīng) 過(guò) 對(duì) 角 線為 棱點(diǎn) ，的 棱 長(zhǎng) 為已 知 正 方 體例 EDBADE aDCBAABCD FE 練 習(xí)求 證 :夾 在 兩 個(gè) 平 行 平 面 之 間 的 平 行 線 段 相 等 . AB CD已 知 :求 證 : CDABDB CA /, ,/ CDAB 平 面 與 平 面 平 行 的 性 質(zhì) 的 面 積求 ： 三 角 形 的 面 積 為， ，、于 點(diǎn)、分 別 交 平 面線 段 、于 點(diǎn)、分 別 交 平 面， 線 段、于 點(diǎn) 、分 別 交 平 面， 線 段平 面、 已 知 平 面例 BED AFCBHAB GAEFHF DCGDBA GH361612 9/3 F C G BE D H A 2.在 鐵 路 、 公 路 旁 ， 為 防 止 山 體 滑 坡 ， 常 用 石塊 修 筑 護(hù) 坡 斜 面 ， 并 使 護(hù) 坡 斜 面 與 水 平 面 成 適 當(dāng)?shù)?角 度 ； 修 筑 水 壩 時(shí) ， 為 了 使 水 壩 堅(jiān) 固 耐 用 ， 必須 使 水 壩 面 與 水 平 面 成 適 當(dāng) 的 角 度 ， 如 何 從 數(shù) 學(xué)的 觀 點(diǎn) 認(rèn) 識(shí) 這 種 現(xiàn) 象 ？ 公 路四 、 平 面 的 相 交 問(wèn) 題1、 在 平 面 幾 何 中 “ 角 ” 是 怎 樣 定 義 的 ？答 ： 從 平 面 內(nèi) 一 點(diǎn) 出 發(fā) 的 兩 條射 線 所 組 成 的 圖 形 叫 做 角 。2、 定 理 1？ o答 ： 如 果 一 個(gè) 角 的 兩 邊 和 另 一個(gè) 角 的 兩 邊 分 別 平 行 ， 那 么 這兩 個(gè) 角 相 等 或 互 補(bǔ) 。 A B 想 一 想 AO BBBBBB B 角 兩 個(gè) 面 組 成 的 圖 形 ? 平 面 內(nèi) 的 一 條 直 線 ， 把 這 個(gè) 平 面 分 成兩 部 分 ， 每 一 部 分 都 叫 做 半 平 面 。從 一 條 直 線 引 出 的 兩 個(gè) 半 平 面 所 組 成 的 圖形 叫 做 二 面 角 。 這 條 直 線 叫 做 二 面 角 的 棱 ，這 兩 個(gè) 半 平 面 叫 做 二 面 角 的 面 。l1、 半 平 面 ：2、 二 面 角 ：半 平 面 及 二 面 角 的 定 義 l棱 面面半平面半平面 1、 二 面 角 的 畫 法 ：（ 1） 平 臥 式（ 2） 直 立 式二 面 角 的 畫 法 與 記 法 2、 二 面 角 的 記 法 ：（ 1） 、 以 直 線 為 棱 ， 以 為 半 平 面 的 二 面 角 記為 ： l l, （ 2） 、 以 直 線 AB 為 棱 ，以 為 半 平 面 的 二 面 角 記為 ： , ABl A B二 面 角 的 畫 法 與 記 法 CD DABC 或 記 作 1、 二 面 角 的 平 面 角 ： 以 二 面 角 的 棱 上 任 意 一 點(diǎn) 為 端 點(diǎn) ， 在 兩 個(gè) 面 內(nèi)分 別 作 垂 直 于 棱 的 兩 條 射 線 ， 這 兩 條 射 線 所 成 的 角叫 做 二 面 角 的 平 面 角 。OO ABA B AOB = BOA ? 等 角 定 理 ： 如 果 一 個(gè) 角 的 兩 邊 和 另一 個(gè) 角 的 兩 邊 分 別 平 行 ， 并 且 方 向 相同 ， 那 么 這 兩 個(gè) 角 相 等 。 ）注 :（ 1） 二 面 角 的 平 面 角 與 點(diǎn) 的 位 置 無(wú) 關(guān) ， 只 與 二 面 角 的 張 角 大 小 有 關(guān) 。 （ 2） 二 面 角 是 用 它 的 平 面 角 來(lái) 度 量 的 ， 一 個(gè) 二 面 角 的 平 面 角 多 大 ， 就 說(shuō) 這 個(gè) 二 面 角 是 多 少 度 的 二 面 角 。 （ 3） 平 面 角 是 直 角 的 二 面 角 叫 做 直 二 面 角 。 （ 4） 二 面 角 的 取 值 范 圍 一 般 規(guī) 定 為 0, 。二 面 角 的 平 面 角 的 定 義 、 范 圍 及 作 法l 2、 二 面 角 的 平 面 角 的 作 法 ：1、 定 義 法 ：根 據(jù) 定 義 作 出 來(lái) 。2、 作 垂 面 ：作 與 棱 垂 直 的 平 面 與 兩 半 平 面的 交 線 得 到 。 (二 面 角 平 面 角 所 在 平 面是 與 棱 l垂 直 的 ) 注 意 ： 二 面 角 的 平 面 角 必 須 滿 足 ： （ 1） 角 的 頂 點(diǎn) 在 棱 上 。 （ 2） 角 的 兩 邊 分 別 在 兩 個(gè) 面 內(nèi) 。 （ 3） 角 的 邊 都 要 垂 直 于 二 面 角 的 棱 。 o A B o Ao A BB二 面 角 的 平 面 角 的 定 義 、 范 圍 及 作 法 l l ll 角 BAO 邊 邊頂 點(diǎn)從 一 點(diǎn) 出 發(fā) 的 兩 條 射 線所 組 成 的 圖 形 叫 做 角 。定 義構(gòu) 成 邊 點(diǎn) 邊 (射 線 )(頂 點(diǎn) )(射 線 )表 示 法 AOB 二 面 角AB 面面棱 a 從 一 條 直 線 出 發(fā) 的 兩 個(gè)半 平 面 所 組 成 的 圖 形 叫做 二 面 角 。面 直 線 面(半 平 面 )（ 棱 ） (半 平 面 )二 面 角 l或 二 面 角 AB圖 形角 與 二 面 角 的 比 較 A .O 解 ： sin ADO= 23432 ADO=60 . 二 面 角 l 的 大 小 為 60 . 例 1、 已 知 二 面 角 l ， A為 面 內(nèi) 一 點(diǎn) ， A到 的距 離 為 2 ， 到 l 的 距 離 為 4。 求 二 面 角 l 的 大 小 。 lD 分 析 ： 首 先 應(yīng) 找 到 或 作 出 二 面 角 的 平 面 角 ,然 后 證 明 這 個(gè)角 就 是 所 求 的 二 面 角 平 面 角 , 最 后 求 出 這 個(gè) 角 的 大 小 。3二 面 角 的 應(yīng) 用 舉 例 1 lAO DlODOAO 由 定 理 得 于，于作 的 平 面 角二 面 角 lADO中 ，AODRt 二 面 角 的 應(yīng) 用 舉 例 2例 2、 如 圖 ， 山 坡 傾 斜 度 是 60度 ， 山 坡 上 一條 路 CD和 坡 底 線 AB成 30度 角 .沿 這 條 路 向上 走 100米 ,升 高 了 多 少 ?（ 精 確 到 . 米 ） A DC G HBA C BG DH l PAB 解 ： PA lPA PABl 平 面的 大 小求 為 垂 足 ，等 于已 知 ： 二 面 角例 APB: , 120.3 BAPBPA l lO AO lPB同 理 ， OBPAB OAPAB 平 面 ，設(shè) 平 面 lAO lBO 同 理 ， 的 平 面 角為 二 面 角 lAOB 作 棱 的 垂 直 截 面 法 1、 二 面 角 的 定 義 ：2、 二 面 角 的 畫 法 和 記 法 ：3、 二 面 角 的 平 面 角 ：4、 二 面 角 的 平 面 角 的 作 法 ：畫 法 ： 直 立 式 和 平 臥 式記 法 ： 二 面 角 AB 二 面 角 l 二 面 角 C AB D1、 根 據(jù) 定 義 作 出 來(lái)2、 利 用 作 棱 的 垂 面 法 作 出 來(lái)3、 應(yīng) 用 三 垂 線 定 理 或 其 逆 定 理 作 出 來(lái)從 一 條 直 線 出 發(fā) 的 兩 個(gè) 半平 面 所 組 成 的 圖 形 叫 做 二面 角 。 這 條 直 線 叫 做 二 面角 的 棱 。 這 兩 個(gè) 半 平 面 叫做 二 面 角 的 面 。 1、 二 面 角 的 平 面 角 的 大 小 與 其 頂 點(diǎn) 在 棱 上 的 位 置 無(wú) 關(guān)2、 二 面 角 的 大 小 用 它 的 平 面 角 的 大 小 來(lái) 度 量 課 堂 小 結(jié) 思 考 題 AB CD如 圖 ， 將 等 腰 直 角 三 角 形 紙 片 沿斜 線 BC上 的 高 AD折 成 直 二 面 角 . 060, BACCDBD求 證 ： 解 :(略 ) 例 .山 坡 的 傾 斜 度 （ 坡 面 與 水 平 面 所 成 的 二面 角 的 度 數(shù) ） 是 ， 山 坡 上 有 一 條 直 道 CD，它 和 坡 腳 的 水 平 線 AB的 夾 角 是 ， 沿 這 條山 路 上 山 ， 行 走 100米 后 升 高 多 少 米 ？60 30 60A C D B HG它就是這個(gè)二面角的平面角30 DCA B 解 ： 如 圖 所 示 ， DH垂 直 于 過(guò) AB的 水 平 平 面 ， 垂足 為 H， 線 段 DH的 長(zhǎng) 度 就 是 所 求 的 高 度 。在 平 面 ABH內(nèi) ， 過(guò) 點(diǎn) H作 HG BC， 垂 足 是 G，連 接 GD。 由 三 垂 線 定 理 GD BC.因 此 ， DGH就 是 坡 面 DGC和 水 平 平 面 BCH的 二 面 角 的 平 面 角 ， DGH= 60DH=DGsin600=CDsin300sin600=100sin300sin60043.3(米 )答 ： 沿 直 道 前 進(jìn) 100米 ，升 高 約 43.3米H GA BDC30 600 0100m 四 、 平 面 和 平 面 垂 直 AB BAB AB 1 平 面 與 平 面 垂 直 的 定 義定 義 兩 個(gè) 平 面 相 交 ， 如 果 所 成 的 二 面 角 是 直 二 面 角 ， 那 么 就 稱這 個(gè) 兩 個(gè) 平 面 互 相 垂 直 ,平 面 和 垂 直 ， 記 作畫 兩 個(gè) 平 面 互 相 垂 直 時(shí) ， 一 般 把 直 面 的 豎 邊 畫 成 與 水 平 平 面 的橫 邊 垂 直 。如 圖 9-48 所 示2 兩 個(gè) 平 面 垂 直 的 判 定 定 理如 果 一 個(gè) 平 面 經(jīng) 過(guò) 另 一 個(gè) 平 面 的 一 條 垂 線 ， 那 么 這 兩 個(gè)平 面 互 相 垂 直 .如 圖 9-49所 示 ， 如 果 ， 那 么建 筑 工 人 在 砌 墻 時(shí) ， 常 用 一 端 系 有 鉛 墜 的 線 來(lái) 檢 查 所 砌 的 墻 面 是 否 和 地 面 垂 直 。若 下 垂 的 線 緊 貼 墻 面 ， 便 知 所 砌 的 墻 面 和 地 面 垂 直 ， 即 依 據(jù) 為 上 面 的 判 定 定 理 。 如 果 一 個(gè) 平 面 經(jīng) 過(guò) 另 一 個(gè) 平 面 的 一條 垂 線 ， 那 么 這 兩 個(gè) 平 面 互 相 垂 直l l 面 面 垂 直 的 判 定 定 理符 號(hào) 表 示 ： lA BC D線 面垂 直 面 面垂 直線 線垂 直 例 1 如圖，AB是 O的直徑， PA垂直于 O所在的平面，C是圓周上不同于A, B的任意一點(diǎn)，求證：平面PAC平面PBC. 線 線 垂 直線 面 垂 直面 面 垂 直 PA BOC 練 習(xí) 1：探究如 圖 9-50所 示 ， A是 直 角 三 角 形 BCD所 在 平 面 外一 點(diǎn) ， ， 平 面 ABC,(1) 四個(gè)面的形狀怎樣？(2) 有哪些直線與平面垂直？(3) 任意兩個(gè)平面所成的二面角的平面角 如何確定？AB C D090C PA