概率論與數(shù)理統(tǒng)計復(fù)習(xí)

1、 隨 機 事 件 的 表 示 ，由 簡 單 事 件 的 運 算 表 達 復(fù) 雜 事 件 ；2、 概 率 的 運 算 性 質(zhì) ， 如 加 法 公 式 ， 減法 公 式 ， 乘 法 公 式 等 ；3、 條 件 概 率 公 式 ， 全 概 率 公 式 ， 貝 葉斯 公 式 ；4、 事 件 獨 立 性 定 義 例 . 試 用 A、 B、 C 表 示 下 列 事 件 ： A 出 現(xiàn) ； 僅 A 出 現(xiàn) ； 恰 有 一 個 出 現(xiàn) ； 至 少 有 一 個 出 現(xiàn) ； 至 多 有 一 個 出 現(xiàn) ； 都 不 出 現(xiàn) ； 不 都 出 現(xiàn) ； 至 少 有 兩 個 出 現(xiàn) ； ABC ABC ABC ABC A B C ABC ABC ABC ABCABC ABC A B C AB AC BCA )()()()( ABPBPAPBAP )()()()()(, BPAPBPAPBAPBA 獨 立若 )()()(, BPAPBAPBA 不 相 容若 )()()( ABPAPBAP 加 法 公 式減 法 公 式 例 、 P(A)=0.4， P(B)=0.3， P(AB)=0.6， 求 P(AB). )()()()()( 0)(,)( )()( APABPBPBAPABP BPBPABPBAP in iini i BBBB BPBPBAPAP兩 兩 不 相 容 ， 且全 概 率 公 式, ,0)(),()()(21 1 ni ii iii BPBAP BPBAPABP 1 )()( )()()(貝 葉 斯 公 式 條 件 概 率乘 法 公 式 11 1a n b na b n m a b n m 1、 會 由 隨 機 變 量 的 已 知 分 布 律 或 密 度 函 數(shù) 求 出其 分 布 函 數(shù) ；2、 六 種 重 要 分 布 的 分 布 律 和 密 度 函 數(shù) ；3、 有 關(guān) 正 態(tài) 分 布 的 概 率 計 算 ；4、 會 求 隨 機 變 量 函 數(shù) 的 分 布 ； xxx idxxf xXPxXPxF i )( )()()( ( )( ) ( ) ( ) ( )ib ix aba P X xP a X b F b F a f x dx 一 、 分 布 函 數(shù) 、 分 布 律 、 密 度 函 數(shù) 、 概 率 之 間 關(guān) 系 例 X 0 1 2P 1/3 1/6 1/2 求 X 的 分 布 函 數(shù) .0, 01/3, 0 1( ) 1/2, 1 21, 2 x xF x xx解 ： 例 設(shè) X 1 , 1 0( ) 1 , 0 1 0, x xf x x x 其 它 求 F(x). 22 0, 11, 1 02 2( ) 1, 0 12 21, 1 xx x xF x x x xx解 ： 離 散 型 隨 機 變 量 ：（ 0-1） 分 布 ： PX=1=p, PX=0=1-p 二 項 分 布 ： X B (n， p)： ( ) (1 ) ,0,1, , k k n knP X k C p pk n 泊 松 分 布 :X P () ： ,( 0) 0,1,2,! keP X k kk 二 、 幾 種 重 要 分 布 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 ：均 勻 分 布 ： XU(a,b), 1 ,( ) 0, a x bf x b a else, 0( ) 0 xe xf x ， else，指 數(shù) 分 布 ： XExp() 22( )21( ) ,2 xf x e x R 正 態(tài) 分 布 ： XN(,2)標 準 正 態(tài) 分 布 ： 221( ) d ,2 txx e t x 一 般 正 態(tài) 分 布 的 標 準 化定 理 設(shè) X N(, 2), ,XY 則 Y N(0, 1).結(jié) 論 : 若 X N(, 2), 則 ( ) xF x 設(shè) X N(10, 4), 求 P(10X13), P(|X10|2).解 : P(10X13) = (1.5)(0)= 0.9332 0.5P(|X10|2) = P(8X0, 令則 有 E(Y)=0, Var(Y)=1. ( )Var( )X E XXY 稱 Y 為 X 的 標 準 化 . 常 見 分 布 的 數(shù) 學(xué) 期 望 和 方 差分 布 期 望參 數(shù) 為 p 的 0-1分 布 pb(n,p) npP() 方 差p(1p)np(1p) 分 布 期 望區(qū) 間 (a,b)上 的均 勻 分 布 2baExp() 1N(, 2) 12 )( 2ab 方 差21 2 第 4章 多 維 隨 機 變 量 及 其 分 布1、 二 維 隨 機 變 量 聯(lián) 合 分 布 律 和 聯(lián) 合密 度 函 數(shù) 的 基 本 性 質(zhì) ；2、 由 聯(lián) 合 分 布 律 或 聯(lián) 合 密 度 函 數(shù) 計算 有 關(guān) 二 維 隨 機 變 量 的 某 個 概 率 ；3、 由 聯(lián) 合 分 布 求 邊 緣 分 布 ；會 判 斷 兩 個 隨 機 變 量 的 獨 立 性 ；4、 兩 個 隨 機 變 量 和 及 最 大 值 最 小 值的 分 布 計 算 公 式 ；5、 協(xié) 方 差 ， 相 關(guān) 系 數(shù) 公 式 ； Gyx jiGyx dxdyyxf yYxXPGYXP ji ),( ),( ),( ),(),(一 、 聯(lián) 合 分 布 函 數(shù) （ 分 布 律 ， 密 度 函 數(shù) ） 、 概 率 若 (X, Y) (2 3 )6 , 0, 0( , ) 0,x ye x yf x y 其 它試 求 P(X, Y)D, 其 中 D為 2x+3y6. dxyxfyfdyyxfxf YX ),()(,),()(二 、 邊 際 分 布 與 獨 立 性 )()(),(, )()( ),(, yfxfyxfyx yYPxXP yYxXPyxYX YX ji jiji 對 任 意對 任 意 相 互 獨 立 ， 當 且 僅 當與 已 知 (X, Y) 的 聯(lián) 合 密 度 為 , 0, 0;( , ) 0, .x ye x yf x y 其 他問 X 與 Y 是 否 獨 立 ？ ( )0 d 0( ) 0 0 x y xe y e xf x x , 0( ) 0, 0ye yf y y 所 以 X 與 Y 獨 立 。 注 意 ： f(x, y) 可 分 離 變 量 .解 : 邊 緣 密 度 函 數(shù) 分 別 為 : 2 21 2 1 2, , , , 則 X N ( )，21 1, Y N ( ).22 2, 2、 二 維 均 勻 分 布 的 邊 際 分 布 不 一 定 是 一 維 均 勻 分 布 .3、 若 (X, Y) 服 從 二 元 正 態(tài) N ( ) 則 X與 Y 獨 立 的 充 要 條 件 是 = 0. 2 21 2 1 2, , , , 設(shè) 連 續(xù) 隨 機 變 量 X與 Y 獨 立 ， 則 Z=X+ Y 的 密 度 函 數(shù) 為( ) ( ) ( )d = ( ) ( )dZ X YX Yf z f x f z x xf z y f y y 三 、 兩 個 隨 機 變 量 和 的 分 布 的 計 算 dyyyzfzf dxxzxfzfZZ ),()( ),()(或 設(shè) 離 散 隨 機 變 量 X 與 Y 獨 立 ，則 Z=X+ Y 的 分 布 列 為11) ( ) ( ) ( ) ( )( = l i l ii l j jj P X x P Y z xP X z y P Y yP Z z 若 X b(n1, p)， Y b(n2, p)，注 意 ： 若 Xi b(1, p)， 且 獨 立 ， 則 Z = X1 + X2 + + Xn b(n, p).且 獨 立 ，則 Z = X+ Y b(n1+n2, p). 若 X P(1) ， Y P(2)， 且 獨 立 ，則 Z = X+ Y P(1+2). 若 X N( )， Y N( ) ，注 意 ： X Y 不 服 從 N( ).21 1, 22 2, 則 Z = X Y N( ).2 21 2 1 2, 2 21 2 1 2, X Y N( ).2 21 2 1 2, Xi N(i, i2), i =1, 2, . n. 且 Xi 間 相 互 獨 立 , 實 數(shù) a1, a2, ., an 不 全 為 零 , 則 2 21 11 , i i in nii in i ii a aa X N ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )i j i ji j g x y P X x Y yE g X Y g x y f x y dxdy 四 、 多 維 隨 機 變 量 的 特 征 數(shù) ( ) ( ) ( ),( ) ( ) ( ) 2 ( , )( ) ( )E XY E X E YVar X Y Var X Var Y Cov X YVar X Var Y 獨 立獨 立 , ( , ) ( ( )( ( )( ) ( ) ( )( , )( ) ( )X YCov X Y E X E X Y E YE XY E X E YCov X YVar X Var Y 第 五 章 大 數(shù) 定 律 和 中 心 極 限 定 理1、 掌 握 chebyshev不 等 式 ，2、 知 道 大 數(shù) 定 律 的 基 本 結(jié) 論 ，3、 會 用 中 心 極 限 定 理 求 概 率 的 近 似 值 。 定 理 1（ 獨 立 同 分 布 下 的 中 心 極 限 定 理 ）設(shè) X1,X2, 是 獨 立 同 分 布 的 隨 機變 量 序 列 ， 且 E(Xi)= D(Xi)= ，i=1,2,， 則 2 分 布近 似 服 從 )1,0( 21 Nn nXY ni in 定 理 2(棣 莫 佛 拉 普 拉 斯 定 理 ）n 分 布近 似 服 從 )1,0()1( Npnp npY n n 都 是 兩 點 分 布 。每 個 ini in XX ,1 已 知 某 種 疾 病 的 發(fā) 病 率 為 0.001， 某 單 位 共 有 5000人 ， (1)試 用 中 心 極 限 定 理 （ 即 二 項 分 布 的 正 態(tài) 近似 ） ， 求 該 單 位 患 這 種 疾 病 的 人 數(shù) X不 超 過 5的 概率 的 近 似 值 。(2)試 用 切 比 雪 夫 不 等 式 給 出 P(|X-5|3)的 下 界