概率論與數(shù)理統(tǒng)計第5章

1SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN 第 5章 大 數(shù) 定 律 和 中 心 極 限 定 理5.1 大 數(shù) 定 律5.2 中 心 極 限 定 理 2SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN 概 率 論 與 數(shù) 理 統(tǒng) 計 是 研 究 隨 機 現(xiàn) 象 統(tǒng) 計規(guī) 律 性 的 學 科 . 隨 機 現(xiàn) 象 的 規(guī) 律 性 只 有 在 相同 的 條 件 下 進 行 大 量 重 復 試 驗 時 才 會 呈 現(xiàn) 出來 . 也 就 是 說 ， 要 從 隨 機 現(xiàn) 象 中 去 尋 求 必 然的 法 則 ， 應 該 研 究 大 量 隨 機 現(xiàn) 象 . 3SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN 研 究 大 量 的 隨 機 現(xiàn) 象 ， 常 常 采 用 極 限形 式 ， 由 此 導 致 對 極 限 定 理 進 行 研 究 . 極限 定 理 的 內 容 很 廣 泛 ， 其 中 最 重 要 的 有 兩種 : 與大 數(shù) 定 律 中 心 極 限 定 理 SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN 5.1 大 數(shù) 定 律一 、 依 概 率 收 斂 的 概 念二 、 切 比 雪 夫 不 等 式三 、 切 比 雪 夫 大 數(shù) 定 律四 、 伯 努 利 大 數(shù) 定 律五 、 辛 欽 大 數(shù) 定 律 5SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN 定 義一 、 依 概 率 收 斂 的 概 念依 概 率 收 斂 不 是 通 常 微 積 分 中 的 收 斂 0的 附 近 的 概 率 的 極 限 為不 穩(wěn) 定 在它 表 明 aY n 1的 附 近 的 概 率 的 極 限 為穩(wěn) 定 在即 aYn 1|lim aYP nn因 此 6SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN 設 隨 機 變 量 的 期 望 值 方 差X ,)( XE,)( 2XD 則 對 于 任 意 給 定 的 正 數(shù) , 有. 22 XP二 、 切 比 雪 夫 不 等 式注 : (1)切 比 雪 夫 不 等 式 也 可 以 寫 成 .1 22 XP(2)切 比 雪 夫 不 等 式 表 明 ：則 事 件 X 發(fā) 生 的 概 率 越 大 ，即 ， 隨 機 變 量 X集 中 在 期 望 附 近 的 可 能 性 越 大 .隨 機 變 量 X的 方 差 越 小 ， 7SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN (3)在 方 差 已 知 的 情 況 下 ，它 的 期 望 的 偏 差 不 小 于 的 概 率 的 估 計 式 .如 取 ,3 則 有 切 比 雪 夫 不 等 式 給 出 了 X 與,111.093 22 XP故 對 任 給 的 分 布 ， 只 要 期 望 和 方 差 存 在 ， 則 隨 機 變量 X 取 值 偏 離 超 過 3倍 均 方 差 的 概 率 小 于 .111.0 8SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN 例 1 已 知 正 常 男 性 成 人 血 液 中 , 每 一 毫 升 白 細 胞數(shù) 平 均 是 7300, 均 方 差 是 700. 利 用 切 比 雪 夫 不等 式 估 計 每 毫 升 白 細 胞 數(shù) 在 5200 9400 之 間 的概 率 .解 設 每 毫 升 白 細 胞 數(shù) 為 ,X 依 題 意 ,7300 ,70022 所 求 概 率 為 94005200 XP 73009400730073005200 XP 21002100 XP .2100| XP 9SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN 由 切 比 雪 夫 不 等 式 22 )2100/(12100| XP即 每 毫 升 白 細 胞 數(shù) 在 5200 9400 之 間 的 概 率 不小 于 8/9. ,9/89/11 2)2100/700(1 10SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN 例 2 在 每 次 試 驗 中 , 事 件 A 發(fā) 生 的 概 率 為 0.75,利 用 切 比 雪 夫 不 等 式 求 : 獨 立 試 驗 次 數(shù) n最 小 取何 值 時 ,事 件 A出 現(xiàn) 的 頻 率 在 0.74 0.76 之 間 的概 率 至 少 為 0.90?解 設 X為 n次 試 驗 中 , 事 件 A出 現(xiàn) 的 次 數(shù) , 則)75.0,( nBX,75.0 nEX ,1875.025.075.0 nnDX 01.0| nEXXP 76.074.0 nXnP 01.075.001.0 nnXnP 11SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN 在 切 比 雪 夫 不 等 式 中 取 ,01.0 n 則76.0/74.0 nXP 20001.0/1875.01 nn n/1875101.0| nEXXP 2)01.0/(1 nDX 01.0| nEXXP 76.074.0 nXnP 依 題 意 , 取 n使 ,9.0/18751 n 解 得,18750)9.01/(1875 n即 n取 18750 時 , 可 以 使 得 在 n次 獨 立 重 復 試 驗中 , 事 件 A出 現(xiàn) 的 頻 率 在 76.074.0 之 間 的 概 率至 少 為 0.90. 12SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN 111lim ,0, , , 1121 ni ini in i iin EXnXnP cDXc DXEXXXX 都 有則 對 于 任 意使 得常 數(shù) 且 存 在都 存 在和 方 差數(shù) 學 期 望序 列 為 相 互 獨 立 的 隨 機 變 量設 三 、 切 比 雪 夫 大 數(shù) 定 律 切 比 雪 夫 13SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN 切 比 雪 夫 大 數(shù) 定 律 說 明 ： 在 定 理 的 條 件 下 ， 當 n充分 大 時 ， n個 獨 立 隨 機 變 量 的 平 均 數(shù) 這 個 隨 機 變 量的 離 散 程 度 是 很 小 的 .這 意 味 著 只 要 n充 分 大 ， 盡管 n個 隨 機 變 量 可 以 各 有 其 分 布 ， 但 其 算 術 平 均 以后 得 到 的 隨 機 變 量 將 比 較 密 地 聚 集 在 它的 數(shù) 學 期 望 的 附 近 ， 不 再 為 個 別 隨 機 變量 所 左 右 .作 為 切 比 雪 夫 大 數(shù) 定 律 的 特 例 ， 我 們 有下 面 的 推 論 . ni iXn 11ni iEXn 11 14SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN 11lim ,0, , 1 2 ni in ii n XnPDXEX X 都 有則 對 于 任 意且 隨 機 變 量 序 列為 相 互 獨 立 且 同 分 布 的設推 論這 一 推 論 使 算 術 平 均 值 的 法 則 有 了 理 論 根 據(jù) 15SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN 四 、 伯 努 利 大 數(shù) 定 律切 比 雪 夫 大 數(shù) 定 律 的 另 一 個 推 論 通 常 稱 為 伯 努利 大 數(shù) 定 律 n重 伯 努 利 試 驗 中 事 件 A發(fā) 生 n次 , 每 次 試 驗 A發(fā) 生 的 概 率 為 p， 則 對 任 意 0, 有1lim pnP nn 伯 努 利 大 數(shù) 定 律 表 明 事 件 發(fā) 生 的 頻 率 依 概 率收 斂 于 事 件 的 概 率 。 由 實 際 推 斷 原 理 ,在 實 際 應 用中 , 當 試 驗 次 數(shù) 很 大 時 ,可 以 用 事 件 發(fā) 生 的 頻 率 來代 替 事 件 的 概 率 。 16SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN 進 一 步 研 究 表 明 ， 切 比 雪 夫 大 數(shù) 定 律 推 論 中 的 方差 存 在 這 個 條 件 并 不 是 必 要 的 ， 下 面 給 出 一 個 獨立 同 分 布 場 合 下 的 辛 欽 大 數(shù) 定 律 。 11lim ,0, , 1 ni inin XnPEXX 都 有則 對 于 任 意且 隨 機 變 量 序 列為 相 互 獨 立 且 同 分 布 的設 17SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN 作 業(yè)P139 練 習 5.1 1. 2. SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN 5.2 中 心 極 限 定 理一 、 萊 維 中 心 極 限 定 理二 、 棣 莫 佛 拉 普 拉 斯 中 心 極 限 定 理 19SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN 在 實 際 問 題 中 ， 常 常 需 要 考 慮 許 多 隨 機 因 素所 產(chǎn) 生 總 影 響 .例 如 ： 炮 彈 射 擊 的 落 點 與 目 標 的 偏 差 ， 就 受 著 許 多隨 機 因 素 的 影 響 .重 要 的 是 這 些 隨 機 因 素 的 總 影 響 . 如 瞄 準 時 的 誤 差 ， 空 氣 阻 力 所 產(chǎn)生 的 誤 差 ， 炮 彈 或 炮 身 結 構 所 引 起 的 誤 差 等 等 . 20SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN 研 究 獨 立 隨 機 變 量 之 和 所 特 有 的 規(guī) 律 性 問 題當 n無 限 增 大 時 ， 這 個 和 的 分 布 是 什 么 ？本 節(jié) 內 容 21SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN 觀 察 表 明 ， 如 果 一 個 量 是 由 大 量 相 互 獨 立 的 隨機 因 素 的 影 響 所 造 成 ， 而 每 一 個 別 因 素 在 總 影 響 中所 起 的 作 用 不 大 . 則 這 種 量 一 般 都 服 從 或 近 似 服 從正 態(tài) 分 布 . 自 從 高 斯 指 出 測 量 誤 差 服 從 正 態(tài) 分 布之 后 ， 人 們 發(fā) 現(xiàn) ， 正 態(tài) 分 布 在 自 然 界 中極 為 常 見 . 22SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN )(21lim ,0, , 21 221 2 xdtexn nXP RxDXEX XXX txni in ii n 有則且 量 序 列為 獨 立 同 分 布 的 隨 機 變設 一 、 萊 維 中 心 極 限 定 理 的 標 準 化 隨 機 變 量為則 ni in XY 1 n nXY ni in 1記 211 , nXDnXE ni ini i )1,0( NYn 即 ),( 21 nnNXni i ., 1準 正 態(tài) 分 布 的 分 布 函 數(shù)量 的 分 布 函 數(shù) 收 斂 于 標 的 標 準 化 隨 機 變隨 機 變 量 序 列當萊 維 中 心 極 限 定 理 表 明 ni iXn 23SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN )(21lim ,0, , 21 221 2 xdtexn nXP RxDXEX XXX txni in ii n 有則且 量 序 列為 獨 立 同 分 布 的 隨 機 變設 一 、 萊 維 中 心 極 限 定 理 的 標 準 化 隨 機 變 量為則 ni in XY 1 n nXY ni in 1記 )1,0( NYn 即 ),( 21 nnNXni i 24SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN 例 1 設 有 30個 電 子 元 件 ,它 們 的 壽 命 均 服 從 參 數(shù) 為0.1的 指 數(shù) 分 布 (單 位 :小 時 ),每 個 元 件 工 作 相 互獨 立 ,求 他 們 的 壽 命 之 和 超 過 350小 時 的 概 率 .解 為 壽 命 之 和個 元 件 的 壽 命為 第設 TiiTi ,30,2,1, 30.,2,1),1.0( iET i且 301i iTTiET 101 iDT 10012 相 互 獨 立顯 然 3021 , TTT DTETT 由 萊 維 中 心 極 限 定 理 10030 1030 T )1,0(N 25SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN 350TP 30003003503000300TP 30003003501 )91.0(1 1814.08186.01 即 他 們 的 壽 命 之 和 超 過 350小 時 的 概 率 為 0.1814標 準 正 態(tài) 分 布 表他 們 的 壽 命 之 和 超 過 350小 時 )1,0(10030 1030 NT 300030035030003001 TP 26SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN 201k kVV 2012/100 5202012/100 52020 1 VVZ k k 例 2 一 加 法 器 同 時 收 到 20個 噪 聲 電 器 Vk(k=1,2,20),設 它 們 是 相 互 獨 立 的 隨 機 變 量 ， 且 都 在 區(qū) 間 (0,10)上服 從 均 勻 分 布 。 記 求 PV105的 近 似 值解 E(Vk) = 5 , D(Vk) = 100/12 ( k=1,2,20 ).近 似 服 從 正 態(tài) 分 布 N(0,1),由 萊 維 中 心 極 限 定 理 27SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN 39.020)1210( 1001 VP 39.020)1210( 100VP 2012/100 5201052012/100 520VP 105VP )39.0(1 3483.0105 VP所 以 3483.06517.01 )1,0(2012/100 520 NV 28SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN 1001k kXX 例 3 對 敵 人 的 防 御 地 段 進 行 100次 炮 擊 , 在 每 次炮 擊 中 , 炮 彈 命 中 顆 數(shù) 的 數(shù) 學 期 望 為 2, 均 方 差 為 1.5, 求 在 100次 炮 擊 中 ,有 180顆 到 220顆 炮 彈 命 中 目 標 的概 率 .解 設 Xk為 第 k次 炮 擊 炮 彈 命 中 的 顆 數(shù) (k=1,2,100),在 100次 炮 擊 中 炮 彈 命 中 的 總 顆 數(shù)Xk相 互 獨 立 ， 且 E(Xk)=2, D(Xk)=1.52 (k=1,2,100) )200(1515.1100 21001001 XXk k )1,0( N由 萊 維 中 心 極 限 定 理 29SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN 220180 XP 1)33.1(2 有 180顆 到 220顆 炮 彈 命 中 目 標 的 概 率 )1,0()200(151 NX 33.11520033.1 XP 19082.02 8164.0 1)(2|,)1,0( xxXPNX 30SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN 二 、 棣 莫 佛 拉 普 拉 斯 中 心 極 限 定 理證 明 由 于 , 1 nk kn XX則分 布 律 為分 布 的 隨 機 變 量 一是 相 互 獨 立 的 、 服 從 同其 中 ,)10( , 21 nXXX .1,0,)1( 1 ippiXP iik ),( pnBXn 31SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN,)( pXE k ),2,1()1()( nkppXD k xpnp npXP nn )1(lim xpnp npXP nk kn )1(lim 1 ,1 nk kn XX 分 布 律 為分 布 的 隨 機 變 量 一是 相 互 獨 立 的 、 服 從 同其 中 ,)10( , 21 nXXX .1,0,)1( 1 ippiXP iik根 據(jù) 萊 維 中 心 極 限 定 理 得 dtexn nXP txni in 21 221lim x t xt ).(de21 22 32SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN,)( pXE k ),2,1()1()( nkppXD k xpnp npXP nn )1(lim xpnp npXP nk kn )1(lim 1 ,1 nk kn XX 分 布 律 為分 布 的 隨 機 變 量 一是 相 互 獨 立 的 、 服 從 同其 中 ,)10( , 21 nXXX .1,0,)1( 1 ippiXP iik根 據(jù) 萊 維 中 心 極 限 定 理 得 x t xt ).(de21 22 33SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN x t xt ).(de21 22 棣 莫 佛 拉 普 拉 斯 中 心 極 限 定 理 表 明 :當 n充 分 大 時 , )1,0()1( Npnp npXn xpnp npXP nn )1(lim )1(,( pnpnpNX n 即 ),( pnBXn 34SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN 正 態(tài) 分 布 是 二 項 分 布 的 極 限 分 布 ,當 n充 分大 時 , 可 以 利 用 下 面 公 式 計 算 二 項 分 布 的 概 率 )( 21 mXmP n )1()1()1( 21 pnp npmpnp npXpnp npmP n )1()1(2 pnp npmpnp npm ),( pnBXn 35SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN 例 4 某 工 廠 有 200臺 同 類 型 的 機 器 ,每 臺 機 器 工 作 時 需要 的 電 功 率 為 Q千 瓦 ,由 于 工 藝 等 原 因 ,每 臺 機 器 的 實際 工 作 時 間 只 占 全 部 工 作 的 75%,各 臺 機 器 工 作 是 相 互獨 立 的 ,求 :(1)任 一 時 刻 有 144至 160臺 機 器 正 在 工 作 的 概 率 .(2)需 要 供 應 多 少 電 功 率 可 以 保 證 所 有 機 器 正 常 工 作的 概 率 不 少 于 0.99.解 (1)設 隨 機 變 量 X表 示 200臺 任 一 時 刻 正 在 工 作 的 機器 的 臺 數(shù) ， 則 X B(200,0.75) .由 棣 莫 佛 拉 普 拉 斯 中 心 極 限 定 理 , 有n =200,p =0.75,q =0.25,np =150,npq =37.5 )5.37,150( NX 36SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN 5.371501445.37150160160144 Xp )98.1()63.1( 1)98.1()63.1( 197615.094845.0 9246.0(1)任 一 時 刻 有 144至 160臺 機 器 正 在 工 作 的 概 率 . )5.37,150( NX )(1)(),1,0( xxNX 37SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN (2)設 任 一 時 刻 正 在 工 作 的 機 器 的 臺 數(shù) 不 超 過 m,則 99.00 mXP 99.05.3715005.37150 m 5.245.37150 99.05.37150 m9901.0)33.2( 33.2 5.37150m3.164m 165m )5.37,150( NX 由 3 原 則 知 ， 0)(3 aa 時 0查 標 準 正 態(tài) 函 數(shù) 分 布 表 ， 得 33.25.37150 m 38SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN 例 4 某 工 廠 有 200臺 同 類 型 的 機 器 ,每 臺 機 器 工 作 時 需要 的 電 功 率 為 Q千 瓦 ,由 于 工 藝 等 原 因 ,每 臺 機 器 的 實際 工 作 時 間 只 占 全 部 工 作 的 75%,各 臺 機 器 工 作 是 相 互獨 立 的 ,求 :(1)任 一 時 刻 有 144至 160臺 機 器 正 在 工 作 的 概 率 .(2)需 要 供 應 多 少 電 功 率 可 以 保 證 所 有 機 器 正 常 工 作的 概 率 不 少 于 0.99.解 (1)設 隨 機 變 量 X表 示 200臺 任 一 時 刻 正 在 工 作 的 機器 的 臺 數(shù) ， 則 X B(200,0.75) .由 棣 莫 佛 拉 普 拉 斯 中 心 極 限 定 理 , 有 )5.37,150( NX 39SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN 5.371501445.37150160160144 Xp )98.1()63.1( 1)98.1()63.1( 197615.094845.0 9246.0(1)任 一 時 刻 有 144至 160臺 機 器 正 在 工 作 的 概 率 . 40SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN查 標 準 正 態(tài) 函 數(shù) 分 布 表 ， 得 (2)設 任 一 時 刻 正 在 工 作 的 機 器 的 臺 數(shù) 不 超 過 m,則 99.00 mXP 99.05.3715005.37150 m 5.245.37150 99.05.37150 m9901.0)33.2( 33.2 5.37150m3.164m 165m 0 41SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN 思 考 題 對 于 一 個 學 生 而 言 ， 來 參 加 家 長 會 的 家 長 人數(shù) 是 一 個 隨 機 變 量 ， 設 一 個 學 生 無 家 長 、 1名 家 長 、2名 家 長 來 參 加 會 議 的 概 率 分 別 為 0.05、 0.8、 0.15.若學 校 共 有 400名 學 生 ,設 各 學 生 參 加 會 議 的 家 長 數(shù) 相 互獨 立 ,且 服 從 同 一 分 布 .(1)求 參 加 會 議 的 家 長 數(shù) X超 過 450的 概 率 .(2) 求 有 1名 家 長 來 參 加 會 議 的 學 生 數(shù) 不 多 于 340的 概 率 . 42SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN 解 (1) 以 Xk ( k=1,2,400 )記 第 k個 學 生 來 參 加 會 議的 家 長 數(shù) ,其 分 布 律 為pk 0.050 1 20.8 0.15Xk 1.1)( kXE .400,.,2,119.0)( kXD k 4001k kXX令Xk 相 互 獨 立 地 服 從 同 一 分 布19.0400 1.14004001 k kX 近 似 服 從 標 準 正 態(tài) 分 布則 隨 機 變 量 43SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN 450XP 1257.0)147.1(1 19.0400 1.140045019.0400 1.14001 XP 19.0400 1.140045019.0400 1.1400XP 147.119.0400 1.14001 XP 44SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN (2) 以 Y表 示 有 一 名 家 長 來 參 加 會 議 的 學 生 數(shù) , 則YB(400, 0.8) 5.22.08.0400 8.0400YP )5.2( 9938.0 2.08.0400 8.04003402.08.0400 8.0400YP 340YP由 棣 莫 佛 拉 普 拉 斯 中 心 極 限 定 理 , 有 45SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN 作 業(yè)P145 練 習 5.2 1. 2. 3. 4.P145習 題 五