桿件結構的有限元法

有 限 元 理 論 與 應 用 第 一 篇 有 限 元 法 第 一 篇 有 限 元 法第 二 章 桿 件 結 構 的 有 限 元 法 當 結 構 長 度 尺 寸 比 兩 個 截 面 方 向 的 尺寸 大 得 多 時 ， 這 類 結 構 稱 為 桿 件 。 工 程 中常 見 得 軸 、 支 柱 、 螺 栓 、 加 強 肋 以 及 各 類型 鋼 等 都 屬 于 桿 件 。 桿 件 結 構 可 分 為 珩 桿 和 梁 兩 種 。和 其 他 結 構 采 用 鉸 連 接 的 桿 稱 為 珩 桿 。 珩 桿 的 連 接 處 可 以 自 由 轉(zhuǎn) 動 ，因 此 這 類 結 構 只 承 受 拉 壓 作 用 ， 內(nèi) 部 應 力 為 拉 壓 應 力 。 影 響 應 力 的幾 何 因 素 主 要 是 截 面 面 積 ， 與 截 面 形 狀 無 關 。和 其 他 結 構 采 用 固 定 連 接 的 桿 稱 為 梁 。 鏈 的 連 接 處 不 能 自 由 轉(zhuǎn) 動 ，因 此 梁 不 僅 能 夠 承 受 拉 壓 ， 而 且 能 承 受 彎 曲 和 扭 轉(zhuǎn) 作 用 。 這 類 桿 件的 內(nèi) 部 應 力 狀 態(tài) 比 較 復 雜 ， 應 力 大 小 和 分 布 不 僅 與 截 面 大 小 有 關 ，而 且 與 截 面 形 狀 和 方 位 有 很 大 關 系 。建 立 有 限 元 模 型 時 ， 這 兩 類 桿 件 結 構 可 用 相 應 的 桿 單 元 和 梁 單 元 離 散 。 由 桿 件 組 成 的 機 構 體 系 稱 為 桿 系 ， 如 起 重 機 、 橋 梁 等 。由 珩 桿 組 成 的 桿 系 稱 為 珩 架 ， 由 梁 組 成 的 桿 系 稱 為 剛 架 。 奧 運 會 場 館 鳥 巢空 間 立 體 網(wǎng) 架 工 程 中 最 簡 單 的 結 構 可 以 認 為 是 鉸 支 的 桿 件 。 它 的 性 質(zhì) 完 全 類 似 于 彈 簧 。彈 簧 系 統(tǒng) 力 F與 彈 簧 伸 長 量 （ 位 移 ） 之 間 關系 由 胡 克 定 律 有 kF 式 中 k為 彈 簧 的 剛 度 ， 是 彈 簧 的 固 有 參 數(shù) 。 它 對 應 于力 位 移 圖 中 F- 關 系 直 線 的 斜 率 。當 k和 力 F已 知 時 ， 可 由 下 式 求 出 彈 簧 伸 長 量 彈 簧 力 位 移 間 關 系 Fk1 (41) 2-1 引 言 當 處 理 比 較 復 雜 的 鉸 支 桿 系 統(tǒng) 時 ， 要 確 定 系 統(tǒng) 在 力 P的 作 用 下 ， 節(jié) 點 B、C、 D和 E處 的 變 形 。 以 便 計 算 各 桿 件 的 內(nèi) 應 力 及 各 桿 所 受 的 軸 向 力 ， 可假 設 整 個 桿 件 系 統(tǒng) 也 具 有 像 式 (41)中 k值 一 樣 的 剛 度 ， 這 樣 在 力 P的 作用 下 各 點 的 位 移 就 可 以 用 類 似 式 (41)的 公 式 計 算 了 ， 不 過 這 時 的 系 統(tǒng)剛 度 應 采 用 一 個 矩 陣 來 表 示 ， 即 ， 同 理 ， 各 點 的 位 移 也 應 采 用 一 個矩 陣 來 表 示 ， 即 ， 再 加 上 矩 陣 ， 就 構 成 了 KF K F K 稱 為 對 應 于 施 加 存 系 統(tǒng) 上 各 節(jié) 點 力 的 剛 度 矩 陣 。 問 題 ： 1、 復 雜 結 構 其 剛 度 矩 陣 是 多 少 階 的 ？ 2、 如 何 求 出 ？ 3、 為 什 么 著 重 討 論 系 統(tǒng) 的 剛 度 矩 陣 ？ 系 統(tǒng) 的 整 體 剛 度 矩 陣 求 出 所 受 外 力 作用 下 各 桿 件 節(jié) 點 處 的 位 移 計 算 各 桿 件 的受 力 和 應 力 212221 121121 uukk kkFF 21FF 21uu ku1,F1 u2,F2彈 簧 的 作 用 力 向 量 為位 移 向 量 為 從 而 這 個 彈 簧 的 剛 度 矩 陣 是 2x 2階 的 。為 求 出 它 們 ， 將 圖 24所 示 彈 簧 系 統(tǒng) 看 作 兩 個 簡 單 的 系 統(tǒng) ， 然 后 合 成 。 一 、 單 個 彈 簧 的 剛 度 矩 陣2-2 彈 簧 系 統(tǒng) 的 剛 度 矩 陣 2121 222 111 uukk kkFF FFF FFF ba ba 11 kuF a 112 21 0 kuFF FF aa aa 由 力 的 平 衡 有 ku1F1a F2aA A (a) u2=0ku1=0F1b F2bu2B B(b)ku1F 1 u2 F2A A B B 1)只 有 節(jié) 點 1可 以 變 形 ,點 2固 定2)只 有 節(jié) 點 2可 以 變 形 ,點 1固 定 bb FkuF 122 3)根 據(jù) 線 彈 性 系 統(tǒng) 的 疊 加 原 理 ， 疊 加 1) 2)兩 種 情 況 ， 就 得 到 與 原 始 問 題 一 樣的 結 構 ， 如 圖 （ c） ， 疊 加 結 果 為 ： (c)作 用 于 節(jié) 點 1上 的 合 力作 用 于 節(jié) 點 2上 的 合 力 kk kkKe剛 度 矩 陣對 成 、 奇 異 矩 陣 （ 2 5） （ 2 6） 11 ukF aa 112 ukFF aaa 22 ukkF bab 二 、 組 合 彈 簧 的 剛 度 矩 陣ka kbu1,F1 u2,F2 u3,F31 2 33u1,F1a ka F2a F3akbu 2 0 u3 0F1b ka kbu2,F2b F3bu1 0 u3 0F 1c ka kbF2c u3,F3cu1 0 u2 0(a)(b)(c) 1) 只 允 許 節(jié) 點 1有 位 移 u1， 力 F1a與 位 移 u1之 間 的 關 系由 于 u1 u2 0， 沒 有 力 作 用 于 節(jié) 點 3， 因 此 ，考 慮 彈 簧 1-2， 由 靜 力 平 衡 條 件 有03 aF2) 只 允 許 節(jié) 點 2有 位 移 u2， 這 時 由 于 位 移 的 連 續(xù) 性 ， 每 個彈 簧 在 節(jié) 點 2要 求 有 相 同 的 位 移 ， 即 ， 彈 簧 1-2的 伸 長 量 與彈 簧 2-3的 縮 短 量 相 等 。 對 彈 簧 1-2 有 拉 力 kau2， 對 彈 簧2-3 有 壓 力 kbu2分 別 對 兩 彈 簧 求 靜 力 平 衡 ， 有 2321 , ukFukF bbab 3) 只 允 許 節(jié) 點 3有 位 移 u3， 類 似 于 情 況 1） ， 有33233 , ukFFukF bccbc 由 于 節(jié) 點 1、 2無 位 移 ， 有01 cF 321333231 232221 131211321 uuukkk kkk kkkFFF組 合 彈 簧 的 剛 度 矩 陣4) 合 成 。 對 整 個 系 統(tǒng) 來 說 有 3個 節(jié) 點 ， 每 個 節(jié) 點 只 有 一 個方 向 的 位 移 。 因 此 方 程 式 應 用 如 下 形 式 ：利 用 線 彈 性 系 統(tǒng) 的 疊 加 原 理 ， 找 出 3 3階 剛 度 矩 陣 各 元 素的 表 達 式 323 32212 211 0 0ukukF ukukukukF ukukF bb bbaa aa bb bbaa aa kk kkkk kkK 0 0節(jié) 點 1處 的 合 力節(jié) 點 2處 的 合 力節(jié) 點 3處 的 合 力 對 成 、 奇 異 矩 陣 （ 2 8） 用 同 樣 的 方 法 可 以 求 解 具 有 更 多 個 彈 簧的 串 連 系 統(tǒng) ， 推 導 過 程 乏 味 。 知 道 單 個 彈 簧 的 剛 度 矩 陣 直 接 疊 加出 多 個 串 聯(lián) 系 統(tǒng) 的 總 剛 度 矩 陣 。 32322121 uukk kkFFuukk kkFF bb bbaa aa知 道 單 個 彈 簧 單 元 的 剛 度 矩 陣 ， 直 接 疊 加 出 總 剛 度 矩 陣對 整 個 系 統(tǒng) 來 說 有 3個 節(jié) 點 ， 將 上 述 方 程 擴 大 成 3階 方 程 ：整 個 系 統(tǒng) 有 3個 節(jié) 點 （ 位 移 ） ， 將 上 述 方 程 擴 大 成 3階 方 程 ， 321321 0 0 uuukk kkkk kkFFF bb bbaa aa 321321 321321 00 000 000 00 uuukk kkFFF uuukk kkFFF bb bb aa aa按 矩 陣 相 加 原 理 將 兩 式 疊 加 ， （ 2 9）矩 陣 擴 大 辦 法單 元 數(shù) 量 增 多 時 ， 相 應 擴 大 后 的 矩 陣就 相 當 大 ， 擴 大 后 的 非 零 元 素 在 矩 陣的 什 么 位 置 ， 概 念 上 就 不 很 清 楚 了 。 按 節(jié) 點 號 將 相 應 單 元 的 剛 度 矩 陣 中 元 素 kij寫 到 總 剛度 矩 陣 中 的 辦 法 來 疊 加 。 aa aae kk kkK 1 000 00 122121 112111 kk kk以 上 面 兩 個 彈 簧 系 統(tǒng) 為 例 ， 系 統(tǒng) 共 三 個 節(jié) 點 ， 每 個 節(jié) 點 有 一 個 自 由 度 ， 因 此 ， 該 系統(tǒng) 總 剛 度 矩 陣 應 該 是 3 3階 的 矩 陣 。 第 1個 單 元 的 節(jié) 點 號 為 1和 2， 則 單 元 剛 度 矩 陣中 的 元 素 在 總 剛 度 矩 陣 中 應 在 位 置 第 1行 、 第 2行 的 第 1列 ， 第 2列第 2個 單 元 的 節(jié) 點 號 為 2和 3， 則 單 元 剛 度 矩 陣 疊 加 到 總 剛 度 矩 陣的 第 2行 、 第 3行 的 第 2列 、 第 3列 元 素 上 233232 22322200 000 kk kk 三 、 方 程 求 解 （ 約 束 條 件 的 引 入 ）由 式 （ 2 6） 和 式 （ 2 8） 可 知 ， 剛 度 矩 陣 是 一 個 奇 異 陣 ， 即 它 的 行 列式 的 值 為 零 ， 矩 陣 的 逆 不 存 在 。對 應 線 性 代 數(shù) 方 程 組 式 （ 2 7） 和 式 （ 2 9） 無 定 解 。物 理 概 念 解 釋 ： 對 整 個 系 統(tǒng) 的 位 移 u1、 u2和 u3， 沒 有 加 以 限 制 ， 從 而 在任 何 外 力 的 作 用 下 系 統(tǒng) 會 發(fā) 生 剛 體 運 動 。u1 u2 u3 u,且 u沒 有 定 值 ， 所 以 方 程 無 定 解 。為 使 方 程 組 有 定 解 ， 只 需 給 系 統(tǒng) 加 上 一 定 的 約 束 （ 稱 為 約 束 條 件 或 邊 界 條 件 ）例 如 ： 兩 彈 簧 系 統(tǒng) ， 節(jié) 點 1固 定 不 動 ， 有 u 1 0， 則 式 （ 2 9） 成 為 321321 00 0 uuukk kkkk kkFFF bb bbaa aa從 而 可 得 到 定 解 。 通 過 解 上 述 方 程 可 得 到 各 個 節(jié) 點 的 位 移 ， 利 用 已 求 得 的 位移 就 可 計 算 出 每 個 彈 簧 所 受 力 的 大 小 。 彈 簧 1 2受 力 pa ka （ 彈 簧 1 2長 度 的 變 化 量 ） pa ka （ u2-u1） K kk kkKe有 限 元 方 法 求 解 彈 簧 系 統(tǒng) 受 力 問 題 的 基 本 步 驟 ： 形 成 每 個 單 元 的 剛 度 矩 陣 各 個 單 元 的 剛 度 矩 陣 按 節(jié) 點 號 疊 加 成 整 體 系 統(tǒng) 的 剛 度 矩 陣 引 入 約 束 條 件 以 節(jié) 點 位 移 為 未 知 量 求 解 線 性 代 數(shù) 方 程 組 用 每 個 單 元 的 力 位 移 關 系 求 得 單 元 力 。 KF 2 3 桿 件 系 統(tǒng) 的 有 限 元 法 一 、 鉸 支 桿 系 統(tǒng) 的 有 限 元 計 算 格 式上 面 求 解 彈 簧 系 統(tǒng) 的 有 限 元 方 法 可 以 直 接 用 力 求 解 受 軸 向 力 的 桿 件 系 統(tǒng) 。均 質(zhì) 等 截 面 鉸 支 桿 ， 剛 度 值 可 由 材 料 力 學 中 力 與 變 形 的 關 系 中 獲 得11 uLAEF LAEk 2121 11 11 uuLAEFF均 質(zhì) 等 截 面 鉸 支 桿 的 力 位 移 方 程 可 寫 為 坐 標 變 換為 建 立 整 個 結 構 的 剛 度 矩 陣 ， 需 要 在 一 個 共 同 的 統(tǒng) 一 坐 標 系（ 即 總 體 坐 標 系 ） 中 建 立 平 衡 方 程 。 由 于 剛 架 各 單 元 的 空 間位 置 不 同 ， 各 個 單 元 的 局 部 坐 標 系 一 般 也 不 相 同 。實 際 桿 件 系 統(tǒng) 都 是 互 相 成 一 定 角 度 排 列 的 桿 件 連 接 在 一 起 的每 個 桿 件 的 單 元 坐 標 系 統(tǒng) 所 有 桿 件 的 都 適 用 的 整 體 坐 標 系 統(tǒng) 1 2o ux vy ux vyyx, 對 應 局 部 坐 標 ， x， y對 應 整 體 坐 標 系 統(tǒng)yx FFvu , 對 應 局 部 坐 標 系 的 位 移 和 作 用 力 ，yx FFvu , 對 應 整 體 坐 標 系 的 位 移 和 作 用 力 。注 意 ： (1)圖 中 角 是 從 整 體 坐 標 系 x軸 正 向 起 算 逆 時 針 轉(zhuǎn) 到 桿 件 方 向 。（ 2） 鉸 支 連 接 的 桿 中 能 承 受 軸 向 力 和 產(chǎn) 生 軸 向 位 移 ,因 此 局 部坐 標 系 下 ， 。 xF u0yF 0v 22112211 0000 0101 0000 0101 vuvuLAEFFFFyxyx方 便 矩 陣 運 算 ， 將 力 和 位 移 的 矩 陣 用 四 階 方 程 表 示 ： cossin sincos 111 111 yxy yxx FFF FFF將 上 式 從 局 部 坐 標 系 轉(zhuǎn) 換 到 整 體 坐 標 系 ， 表 示 為 ：類 似 地 可 寫 出 節(jié) 點 2處 的 表 達 式 。 令 ， ， 則 節(jié) 點 力 的 變 換 關 系 為 22112211 00 00 00 00 yxyxyxyx FFFFFFFF sin cos （ 2 13）或 FTF T 稱 為 變 換 矩 陣 。與 力 的 坐 標 變 換 式 類 似 ， 斜 桿 在 兩 節(jié) 點 的 位 移 有 同 樣 的 坐 標 變 換 式 T （ 2 14） 利 用 式 （ 2 13） 和 式 （ 2 14） 可 以 把 局 部 坐 標 系 下 方 程 （ 2 12） 表 示 成整 體 坐 標 系 下 的 方 程 。 整 體 坐 標 系 下 單 元 的 剛 度 矩 陣 。 TTT 1 用 左 乘 上 式 兩 邊 TKTK eTe eT KTF eK eeT KTKTF （ 2 15）再 將 式 （ 2 14） 代 入 式 （ 2 15） ， 有 eKFT 1T單 元 剛 度 矩 陣 在 整 體 坐 標 系 下 的 表 達 式 可 以 用 局 部 坐 標 系 下 的 表 達 式 求 出 ， eT KTFTT 1 （ 2 16） 將 式 （ 2 13） 代 入 式 （ 2 12） 有有 ee eee kk kkLAELAEK 22 22 22 22 KF 求 解 整 體 坐 標 系 下 結 構 受 力 與 位 移 方 程 組 ji jiijij vv uuLAEp ,可 得 到 各 節(jié) 點 的 位 移 。 從 而 可 求 出 每 根 桿 的 受 力 。i， j整 體 坐 標 系 中 任 一 桿 單 元 的 兩 個 節(jié) 點 號 。 二 、 剛 陣 存 儲 與 節(jié) 點 排 列n根 桿 件 的 桁 架 ， 剛 度 矩 陣 的 階 次 就 是 2n 2n階 。壓 縮 剛 度 矩 陣 的 存 儲 。稀 疏 性 大 量 零 元 素 不 存 入 計 算 機對 稱 性 、 帶 狀 分 布 只 存 帶 狀 區(qū) 域 內(nèi) 的 元 素 等 帶 寬 存 儲減 小 最 大 半 帶 寬 可 以 減 小 等 帶 寬存 儲 的 剛 度 矩 陣 存 儲 量 ， 而 半 帶寬 與 單 元 節(jié) 點 號 的 編 號 差 有 關 。 剛 度 矩 陣 的 最 大 半 帶 寬 節(jié) 點 自 由 度 數(shù) （ 單 元 中 節(jié) 點 最 大 編 號 差 1）