由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得

機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 ),(),( yxfyxxf xyxfx ),(),(),( yxfyyxf yyxfy ),( 二元函數(shù)對x和對y的偏微分 二元函數(shù)對x和對y的偏增量 由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得一、全微分的定義 如果函數(shù)),( yxfz 在點(diǎn)),( yx的某鄰域內(nèi)有定義，并設(shè)),( yyxxP 為這鄰域內(nèi)的 任意一點(diǎn)，則稱這兩點(diǎn)的函數(shù)值之差 ),(),( yxfyyxxf 為函數(shù)在點(diǎn)P對應(yīng)于自變量增量yx ,的全增 量，記為z， 即 z = ),(),( yxfyyxxf 全 增 量 的 概 念 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 如 果 函 數(shù) ),( yxfz 在 點(diǎn) ),( yx 的 全 增 量),(),( yxfyyxxfz 可 以 表 示 為)(oyBxAz ， 其 中 BA, 不 依 賴 于yx , 而 僅 與 yx, 有 關(guān) ， 22 )()( yx ，則 稱 函 數(shù) ),( yxfz 在 點(diǎn) ),( yx 可 微 分 ，yBxA 稱 為 函 數(shù) ),( yxfz 在 點(diǎn) ),( yx 的全 微 分 ， 記 為 dz， 即 dz= yBxA . 全 微 分 的 定 義 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 函數(shù)若在某區(qū)域D內(nèi)各點(diǎn)處處可微分，則稱這函數(shù)在D內(nèi)可微分. 如果函數(shù)),( yxfz 在點(diǎn)),( yx可微分, 則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù).事實(shí)上),(oyBxAz ,0lim0 z),(lim00 yyxxfyx ),(lim0 zyxf ),( yxf 故函數(shù)),( yxfz 在點(diǎn)),( yx處連續(xù).機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 二、可微的條件 定 理 1（ 必 要 條 件 ） 如 果 函 數(shù) ),( yxfz 在 點(diǎn)),( yx 可 微 分 ， 則 該 函 數(shù) 在 點(diǎn) ),( yx 的 偏 導(dǎo) 數(shù) xz 、yz 必 存 在 ， 且 函 數(shù) ),( yxfz 在 點(diǎn) ),( yx 的 全 微 分為 yyzxxzdz 證 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 一元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在 微分存在多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在 全微分存在例如，.00 0),( 22 2222 yx yxyxxyyxf說明：多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全 微分存在， 定 理 （ 充 分 條 件 ） 如 果 函 數(shù) ),( yxfz 的 偏導(dǎo) 數(shù) xz 、 yz 在 點(diǎn) ),( yx 連 續(xù) ， 則 該 函 數(shù) 在 點(diǎn) ),( yx 可 微 分 證 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù).dzzudyyudxxudu 疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況 例 1 計(jì)算函數(shù)xyez 在點(diǎn))1,2(處的全微分.解 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 例 2 求函數(shù))2cos( yxyz ，當(dāng)4x，y，4dx ，dy時的全微分.解 例 3 計(jì)算函數(shù)yzeyxu 2sin的全微分.解 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 例 4 試證函數(shù) )0,0(),(,0 )0,0(),(,1sin),( 22 yx yxyxxyyxf 在 點(diǎn))0,0(連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在，但偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn))0,0(不連續(xù)，而f在點(diǎn))0,0(可微. 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 多 元 函 數(shù) 連 續(xù) 、 可 導(dǎo) 、 可 微 的 關(guān) 系函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo) 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 全 微 分 在 近 似 計(jì) 算 中 的 應(yīng) 用都較小時，有近似等式連續(xù)，且個偏導(dǎo)數(shù)的兩在點(diǎn)當(dāng)二元函數(shù)yxyxfyxf yxPyxfz yx ,),(),( ),(),( .),(),( yyxfxyxfdzz yx 也可寫成.),(),(),( ),( yyxfxyxfyxf yyxxf yx 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 例 5 計(jì)算02.2)04.1(的近似值. 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束