極限存在準(zhǔn)則兩個重要極限

第 六 節(jié) 極 限 存 在 準(zhǔn) 則 兩 個 重 要 極 限一 、 極 限 存 在 準(zhǔn) 則二 、 兩 個 重 要 極 限三 、 小 結(jié) 一 、 極 限 存 在 準(zhǔn) 則1.夾 逼 準(zhǔn) 則 準(zhǔn) 則 如 果 數(shù) 列 nn yx , 及 nz 滿 足 下 列 條 件 :,lim,lim)2( )3,2,1()1( azay nzxy nnnn nnn 那 末 數(shù) 列 nx 的 極 限 存 在 , 且 axnn lim . 準(zhǔn) 則 如 果 當(dāng) )( 00 xUx (或 Mx )時 , 有,)(lim,)(lim)2( ),()()()1( )()( 00 AxhAxg xhxfxg x xxx xx 那 末 )(lim)( 0 xfx xx 存 在 , 且 等 于 A.注 意 : ,.n n n n y zy z利 用 夾 逼 準(zhǔn) 則 求 極 限 關(guān) 鍵 是 構(gòu) 造 出 與并 且 與 的 極 限 相 等 且 是 容 易 求 的準(zhǔn) 則 1和 準(zhǔn) 則 1稱 為 夾 逼 準(zhǔn) 則 . 例 1 ).12111(lim 222 nnnnn 求解 ,1111 2222 nnnnnnnn nnnn nn 111limlim 2 又 ,122 11 1lim1lim nnn nn ,1 由 夾 逼 定 理 得.1)12111(lim 222 nnnnn x1x 2x 3x 1nxnx2.單 調(diào) 有 界 準(zhǔn) 則滿 足 條 件如 果 數(shù) 列 nx ,121 nn xxxx 單 調(diào) 增 加,121 nn xxxx 單 調(diào) 減 少 單 調(diào) 數(shù) 列準(zhǔn) 則 單 調(diào) 有 界 數(shù) 列 必 有 極 限 .幾 何 解 釋 : A M AC二 、 兩 個 重 要 極 限(1) 1sinlim0 xxx )20(, xxAOBO 圓 心 角設(shè) 單 位 圓 ,tan,sin ACxABxBDx 弧于 是 有 xo BD.ACO， 得作 單 位 圓 的 切 線 ,xOAB的 圓 心 角 為扇 形 ,BDOAB的 高 為 ,tansin xxx ,1sincos xxx即,1coslim0 xx ,11lim0 x又.1sinlim0 xxx 1)( )(sinlim 0)( x xx 說明: 一般的， 例1. 求.tanlim0 x xx解: x xx tanlim0 xx xx cos1sinlim0 x xx sinlim0 xx cos1lim0 1 例 2 .cos1lim 20 x xx 求解 220 2sin2lim x xx原 式 220 )2( 2sinlim21 x xx20 )22sin(lim21 xxx 2121 .21 例3. 求.arcsinlim0 x xx解: 令,arcsin xt 則,sintx 因此原式ttt sinlim0 1lim0 t t tsin 1練 習(xí) ： P56 1（ 2） （ 6） (2) ex xx )11(lim ttxx tx )11(lim)1(lim 10 ,1xt 令 .eex xx 10 )1(lim ,e)1(lim )()(1)( xxx 說明 ：一般的， 例 4 .)11(lim xx x求解 xx x )11( 1lim1)11(lim xx x原 式 .1e例 5 .)23(lim 2xx xx求解 422 )211()211(lim xx xx原 式 .2e練 習(xí) ： P56 2、 （ 3） （ 4） 三 、 小 結(jié)1.兩 個 準(zhǔn) 則2.兩 個 重 要 極 限夾 逼 準(zhǔn) 則 ; 單 調(diào) 有 界 準(zhǔn) 則 .;1sinlim10 某 過 程 .)1(lim2 10 e 某 過 程 ,為 某 過 程 中 的 無 窮 小設(shè) 作 業(yè)P56 習(xí) 題 1-6 1.(1)(3)(5) 2.(1)(2)(3) ._3cotlim4 0 xxx、一 、 填 空 題 : ._sinlim1 0 x xx 、 ._3sin2sinlim2 0 xxx、 ._cotlim3 0 x xarcx、 ._2sinlim5 xxx、 ._)1(lim6 10 xx x、 練 習(xí) 題 xx x 2tan4 )(tanlim2 、 ._)1(lim7 2 xx xx、 ._)11(lim8 xx x、 xx xx sin 2cos1lim1 0 、 xx ax ax )(lim3 、二 、 求 下 列 各 極 限 :nn nn )11(lim4 2、 5、 nnnn 1)321(lim 三 、 利 用 極 限 存 在 準(zhǔn) 則 證 明 數(shù) 列 ,.222,22,2 的 極 限 存 在 ， 并 求出 該 極 限 . 一 、 1、 ； 2、 32； 3、 1； 4、 31 ； 5、 0； 6、 e； 7、 2e ； 8、 e1 ； 二 、 1、 2； 2、 e1； 3、 ae2 ； 4、 1e ； 5、 3. 三 、 2lim nx x . 練 習(xí) 題 答 案