一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分.ppt

反 射 光 線 的 方 向 取 決 于 入 射 點 和 該 點 處 的 切 線 . 從 橢 圓 的 一 個 焦 點 發(fā) 出 的 光 線 經(jīng) 橢 圓 反 射 后 必 經(jīng) 過 另 一 個 焦 點 . 1. 切 線 問 題零 .引 例 因 而 切 線 MT的 斜 率 為 0 0)()(tan xx xfxf ,)()(limtan 0 00 xx xfxfxx .limtan 0 xyx 取 割 線 MN, 當 xx0時 , 割 線 MN切 線 MT,即 其 斜 率 為平 面 曲 線 C在 其 上 點 M的 切 線 的 斜 率 :即 x = x x0 0時 , 2.速 度 問 題 公 路 (包 括 高 速 公 路 )上 為 了 保 證 行 車 安 全 ,交 通 管理 部 門 在 許 多 路 段 規(guī) 定 行 車 速 度 .利 用 測 控 技 術(shù) ,交 通警 察 實 時 監(jiān) 測 各 通 行 車 輛 的 行 車 速 度 . 物 理 原 理 是 什 么 ?如 何 計 算 ? 設(shè) 質(zhì) 點 作 直 線 運 動 ,其 所 走 路 程 s與 時 間 t的 函 數(shù) 關(guān)系 為 s=f(t),求 質(zhì) 點 運 動 的 速 度 (的 大 小 )v=v(t). 如 果 質(zhì) 點 作 勻 速 直 線 運 動 ,則 問 題 簡 單 v=v(t)=s(t)/t. 對 于 一 般 的 直 線 運 動 ,質(zhì) 點 在 時 刻 t0到 t0+t這段 時 間 所 走 路 程 為 s=f(t 0+t)-f(t0) 于 是 ,質(zhì) 點 在 時 刻 t0附 近 的 平 均 速 度 為t tfttfts )()( 00 由 極 限 的 思 想 ,質(zhì) 點 在 時 刻 t0的 (瞬 時 )速 度 為t tfttfts tt )()(limlim 0000從 而 質(zhì) 點 在 時 刻 t的 (瞬 時 )速 度 為 t tfttfts tt )()(limlim 00 在 自 然 科 學 、 工 程 技 術(shù) 和 社 會 科 學 中 還 有 很 多 問題 ， 如 比 熱 、 密 度 、 增 長 率 等 問 題 都 可 歸 結(jié) 為 求 函 數(shù)y=f(x)在 點 x0形 如 以 下 形 式 的 極 限 問 題x xfxxfxy xx )()(limlim 0000這 是 數(shù) 學 抽 象 ！ 即 不 考慮 問 題 的 實 際 意 義 ， 只考 慮 數(shù) 量 關(guān) 系 ！ 1、 定 義 （ 1） 設(shè) y = f(x)定 義 在 (x0-r,x0+r)內(nèi) . 若 極 限 x xfxxfx )()(lim 000),( 0 xf ,| 0 xxy ,dd 0 xxxy 或 .d )(d 0 xxxxf 即 x xfxxfxyxf xx )()(limlim)( 00000 一 . 導(dǎo) 數(shù) 的 概 念 存 在 ,則 稱 函 數(shù) y = f(x)在 點 x0處 ,并 稱 此 極 限 值 為 y = f(x)在 點 x0處 的 . 記 為 .)()(lim 0 00 xx xfxfxx （ 3） 利 用 單 側(cè) 極 限 可 以 定 義則 稱 函 數(shù) y = f(x)在 點 x0處 .特 別 地 ,若 極 限 值 為 ,則 稱 函 數(shù) y = f(x)在 點 x0處 的 ,記 為 f(x)=.（ 2） 若 極 限 不 存 在 ,xyx 0lim ).( 0 xf)( 0 xf 與易 見 函 數(shù) y = f(x)在 點 x0可 導(dǎo) )( 0 xf)( 0 xf 與 均 存 在 且 相 等 . 你 能 寫 出 嗎 ？ ！為 什 么 ？ （ 4） 若 函 數(shù) y = f(x)在 區(qū) 間 (a, b)內(nèi) 的 每 一 點 處 都可 導(dǎo) , 則 稱 函 數(shù) y = f(x) .若 函 數(shù) y = f(x)在 (a, b)內(nèi) 可 導(dǎo) ,且 在 x = a處 右可 導(dǎo) ,在 x = b處 左 可 導(dǎo) ,則 稱 函 數(shù) y = f(x). 其 它 區(qū) 間 ？（ 5） 若 函 數(shù) y = f(x)在 區(qū) 間 I內(nèi) 可 導(dǎo) , 則 xI, 有唯 一 確 定 的 f(x)與 之 對 應(yīng) , 于 是 得 到 一 個定 義 在 I上 的 函 數(shù) , 稱 之 為 函 數(shù) y = f(x)在 I上的 , 簡 稱 為 . 記 為 xfdd .ddxy或 2. 幾 何 意 義 與 物 理 意 義（ 1） 幾 何 意 義 若 函 數(shù) y = f(x)在 點 x0處 可 導(dǎo) , 則 曲 線 y = f(x) 在 點 (x0, f(x0) 處有 不 垂 直 于 x軸 的 切 線 , 且 f(x0)表示 該 切 線 的 斜 率 , 于 是 曲 線 y = f(x)在 該 點 處 的 切 線 方 程 為y f(x0) = f(x0) (x x0),若 f(x0)0, 則 進 一 步 可 得 法 線 方 程 為).()(1)( 000 xxxfxfy 若 f (x0)=0, 則 切 線 方 程 為 y = f(x0), 法 線 方 程 為x = x0. 如 y = (x2)2+1在 x = 2處 .若 f (x0)=, 則 曲 線 y = f(x)在 點 x0處 有 垂 直 于 x軸 的 切 線 , 此 時 切 線 方 程 為 x = x0, 法 線 方 程 為y = f(x0). 如 在 x = 1處 . 213 xy （ 2） 物 理 意 義 設(shè) 質(zhì) 點 經(jīng) 過 時 間 t的 運 動 路 程 為 s=f(t). 函 數(shù) s=f(t)在 點 t0的 導(dǎo) 數(shù) f(t0), 表 示 質(zhì) 點 在時 刻 t0的 (瞬 時 )速 度 。 而 函 數(shù) s=f(t)在 點 t的 導(dǎo) 數(shù) f(t), 表 示 質(zhì) 點 在任 意 時 刻 t的 (瞬 時 )速 度 v(t)。 對 于 速 度 函 數(shù) v=v(t)在 點 t的 導(dǎo) 數(shù) v(t), 表示 質(zhì) 點 在 任 意 時 刻 t的 (瞬 時 ) 加 速 度 a(t)。 例 題(1) 基 本 初 等 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù)(C) = 0, (x) = x 1 (R), (sinx) = cosx,(cosx) = sinx,(ax) = axlna (a0, a 1),(ex) = ex. : x(0, +), 有(2) 求 f(x)=log a x的 導(dǎo) 數(shù) .特 別 地 , x xxxxf aax log)(loglim)( 0 x xxax )1(loglim0 .1)(ln xx .ln1ax xxx xxax )1(loglim0 (3) 求 分 段 函 數(shù) 1 13 10 01 1 232 xx xx xx xxy 的 導(dǎo) 數(shù) .: 令 f(x)=x+2, g(x)=x2, h(x)=x3, (x)=3x1.則 f (x)=1, g(x)=2x, h(x)=3x2, (x)=3 (xR).當 x(, 1)時 , y = f(x), 故 y= f (x)=1;y(1)= f(1) =1; 當 x 1, 0)時 , y = g(x), 故 y= g(x)= 2x;當 x 0, 1 時 , y = h(x), 故 y= h(x)= 3x2;當 x 1, +)時 , y = (x), 故 y= (x)=3.y+(1)= g+(1) = 2;y (0)= g(0)=0; y+(0)= h+(0)= 0;y(1)= +, 故 y在 x = 1處 不 可 導(dǎo) . 綜 上 所 述 , 1 3 10 3 01 2 1 1 2 x xx xx xy : 可 見 , 分 段 函 數(shù) 在分 段 點 處 的 分 析 性 質(zhì) 須慎 重 對 待 . 幾 種 情 況 都 可 能 出 現(xiàn) . (i) 不 連 續(xù) ; (ii) 連 續(xù) 但 不 可 導(dǎo) ;(iii) 可 導(dǎo) . 1 13 10 01 1 232 xx xx xx xxy ,lim)( 00 xyxf x .0lim)()(limlim 0000 xxfxxyy xxx若 y = f(x)在 點 x0處 可 導(dǎo) , 則 有由 極 限 的 運 算 法 則 得 ,因 此 , 若 y = f(x)在 點 x0處 可 導(dǎo) , 則 y = f(x)在 點x0處 連 續(xù) . 反 之 未 必 .3. 可 導(dǎo) 與 連 續(xù) 的 關(guān) 系 00 0sin)( 1 xxxxf x xx fxff xx 1sinlim)0()0(lim)0( 00 ,0)0()(lim)(lim 00 fxfxf xx 例 如 : 函 數(shù)在 點 x = 0處 連 續(xù) 但 不 可 導(dǎo) .事 實 上 ,但不 存 在 .: 存 在 僅 在 一 點 處 可 導(dǎo) 的 函 數(shù) . 例 如 為 無 理 數(shù)當 為 有 理 數(shù)當 xx xxh ,0)( 2而 在 x = 0處 , 0 h(x) -h(0) (x)2, 從 而,)0()(0 xxhxh 由 夾 逼 原 理 可 得 .0)0()(lim)0( 0 xhxhh x: 存 在 處 處 連 續(xù) , 但 處 處 不 可 導(dǎo) 的 函 數(shù) . 事 實 上 h(x)在 其 它 點 處 不 連 續(xù) , 當 然 不 可 導(dǎo) ,僅 在 x = 0處 可 導(dǎo) . .)( )()()()()( )( 2/ xv xvxuxvxuxv xu .)( )()(1 2/ xu xuxu 1. 函 數(shù) 四 則 運 算 的 求 導(dǎo) 法 則 (3) 特 別 地 , cu(x)= cu(x), (其 中 cR為 常 數(shù) ), (2) u(x)v(x)= u(x)v(x) + u(x)v(x). (1) u(x)v(x)= u(x)v(x). 例 如 : 一 些 基 本 初 等 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) 公 式(tanx) = sec2x, (cotx) = csc2x, (secx) = secxtanx, (cscx) = cscxcotx.2. 反 函 數(shù) 的 求 導(dǎo) 法 則 設(shè) 定 義 在 區(qū) 間 I上 的 嚴 格 單 調(diào) 連 續(xù) 函 數(shù)則 其 反 函 數(shù) y = f -1(x)在 對 應(yīng) 的 點 x處 ,)(1)()( 1 yfxf .1dd ddyxxy即x = f( y)在 點 y處 可 導(dǎo) , 且 f ( y) 0,可 導(dǎo) , 且 )(sin1)(arcsin yx ,1 1tan1 1sec1)(tan1)(arctan 222 xyyyx 例 如 : ,11sin1)(cos1)(arccos 2xyyx ycos1 ,11 2x .1 1cot1 1csc1)(cot1)cot(arc 222 xyyyx ),()( uufuy xyxy x 0limdd 設(shè) u =(x)在 點 x處 可 導(dǎo) , y = f(u)在 對 應(yīng) 的 點u=(x)處 可 導(dǎo) . 設(shè) 自 變 量 x 的 增 量 為 x時 , u的 增 量 為 u, y 對 應(yīng) 的 增 量 為 y.)(lim0 ufuyu 得 ,由 .0)(lim 0 uu 其 中 .)()( uuuufy 從 而 xuuxuuf xx )(lim)(lim 00 于 是 3. 復(fù) 合 函 數(shù) y = f(x)的 求 導(dǎo) 法 則 ).()( xuf 設(shè) 函 數(shù) u =(x)在 點 x處 可 導(dǎo) , 函 數(shù) y = f(u)且 即),()(dd xufxy .dddddd xuuyxy 在 對 應(yīng) 的 點 u =(x)處 可 導(dǎo) , 則 復(fù) 合 函 數(shù)y = f(x)在 點 x處 可 導(dǎo) ,例 如 : (1) .1)|(ln xx axxa ln1)|(log (a0, a 1), （ 2） y=sinlnx,求 y.（ 3） y=arctanex,求 y.（ 5） y=ax,求 y.（ 6） y=x,求 y.4. 基 本 初 等 函 數(shù) 的 求 導(dǎo) 公 式 1、 導(dǎo) 數(shù) 的 物 理 意 義 復(fù) 習 與 問 題 的 提 出 設(shè) 質(zhì) 點 經(jīng) 過 時 間 t的 運 動 路 程 為 s=f(t). 函 數(shù) s=f(t)在 點 t0的 導(dǎo) 數(shù) f(t0), 表 示 質(zhì) 點 在時 刻 t0的 (瞬 時 )速 度 。 而 函 數(shù) s=f(t)在 點 t的 導(dǎo) 數(shù) f(t), 表 示 質(zhì) 點 在任 意 時 刻 t的 (瞬 時 )速 度 v(t)。 對 于 速 度 函 數(shù) v=v(t)在 點 t的 導(dǎo) 數(shù) v(t), 表示 質(zhì) 點 在 任 意 時 刻 t的 (瞬 時 ) 加 速 度 a(t)。 不 難 看 出 dtdsdtda 或 )(sa 這 種 導(dǎo) 數(shù) 是 什 么 ?這 是 下 面 要 學 的 二 階 導(dǎo) 數(shù) . 2. 定 義 (1) 設(shè) 函 數(shù) f(x)在 區(qū) 間 I上 可 導(dǎo) ,若 導(dǎo) 函 數(shù) f (x)在 點 xI處 可 導(dǎo) ,則 稱 f(x)在 x處 ,記 為 f (x), ,dd 22xy .)()(lim)( 0 x xfxxfxf x .d )(d 22 x xf或即并 稱 f (x)為 f(x)在 x處 的 , (2) 如 果 f (x)在 區(qū) 間 I上 處 處 可 導(dǎo) , 則 稱 f(x)在 I上, 稱 f (x) (xI )為 f(x)在 區(qū) 間 I上 的. 簡 稱 為 f(x)的 .(3) 一 般 地 , 若 f(x)的 n1階 導(dǎo) 函 數(shù) f (n1)(x)在 點xI處 可 導(dǎo) , 則 稱 f(x)在 點 xI處 .f(x)的 . 記 為 ),()( xf n .d )(d nn x xf或,dd nnxyf (n1)(x)在 點 xI處 的 導(dǎo) 數(shù) f (n1)(x)稱 為 (4) 若 f(x)在 區(qū) 間 I上 處 處 n階 可 導(dǎo) ,則 稱 f(x)在 I上 ,稱 f (n)(x) (xI)為 f(x) 在 I上 的 . 則 稱 f(x)在 I上 , . )(nICf若 nN+, ,)(nICf簡 稱 為 f(x)的 .(5) 若 f (n)(x)在 I上 連 續(xù) , 則 稱 f(x)在 I上 n階 連 續(xù)可 導(dǎo) , 記 為 . ICf記 為3. 例 子例 1 求 下 列 初 等 函 數(shù) 的 n階 導(dǎo) 數(shù) : (1) xey ,一 般 地 xay .(2) xy sin ; .xy cos(3) xy , 特 別 nxy .baxy 1(4) .例 2 求 下 列 初 等 函 數(shù) 的 高 階 導(dǎo) 數(shù) :(1) xexy 2 ,求 )3(y ;(2) )1ln()( 2 xxxfy ,求 )0()2(f . 若 存 在 一 個 定 義 在 某 個 區(qū) 間 上 的 函 數(shù)y = f(x), 使 得 F(x, f(x)0, 則 稱 y = f(x)為 由 方 程 F(x, y)=0所 確 定 的 . 由 方 程 F(x, y)=0常 常 難 以 得 到 隱 函 數(shù) y = f(x). 對 函 數(shù) y = f(x), 人 們 感 興 趣 的 是 導(dǎo) 數(shù) f(x), 而 不 是 函 數(shù) y = f(x)的 表 達 式 。 因 此 ， 通 過 F(x, y)=0來 求 得 f(x)成 為 必 然 的 選擇 。 （ 3） 隱 函 數(shù) 的 求 導(dǎo) 法 則 exy+y2=cosx, 求 y.: 等 式 兩 邊 對 x求 導(dǎo) 得 : exy(xy)即 exy(y+xy)+2yy = sinx,整 理 得 (xexy+2y)y = (yexy+sinx).于 是 .2sinyxe xyey xyxy +2yy= sinx, 隱 函 數(shù) 的 求 導(dǎo) 法 則 ： 在 方 程 F(x, y)=0兩 邊 關(guān) 于 x求 導(dǎo) ， 使 用 四 則 求 導(dǎo) 法 則 與 復(fù) 合 求 導(dǎo) 法 則 ， 遇 到 y時 先對 y求 導(dǎo) 并 乘 以 y 。 .dd 22xy ,1 )(2 2yyy xe yxeyey .)2( )3(dd 3222 y yexy y y = 1+xey, 求: 等 式 兩 邊 對 x求 導(dǎo) 得 整 理 得 再 在 y = ey+xey y兩 邊 對 x求 導(dǎo) 得解 出 y 得將 ( )代 入 上 式 并 利 用 xey = y1化 簡 得 y = ey y + ey y + xey y y+ xey y ,.1 yyxeey ( )y = ey+xey y, xx xx xey ln2 arctansin ),ln(arctanln2)ln(sinlnln xxxxxy )ln(arctanln2)ln(sin11 xxxxxyy xx xx xey ln2arctansin 求 的 導(dǎo) 數(shù) .: 1lnx xxcossin1 x2 .1 1arctan1 2xx .)arctan1( lnln)cot1(arctansinln11 24 xx xxxxx xx 設(shè) 函 數(shù) y = f(x)由 參 數(shù) 方 程 確 定 . )( )(ty tx x =(t)有 連 續(xù) 的 嚴 格 單 調(diào) 的 反 函 數(shù) t =1(x),且 (t)0, 則 y= (t)= (1(x). 故 xttyxy dddddd 因 此 y = f(x)的 導(dǎo) 函 數(shù) 由 參 數(shù) 方 程 )( )()( tx tyy tx 確 定 .x =(t), y = (t) 在 區(qū) 間 , 上 可 導(dǎo) ,txty dddd .)( )(tx ty 52 arctan2 tetyy tx,11dd 2ttx ,0dd2dd2 2 tetytyyty .)1(2dd 2 tyeyty t .)1(2 )1)(dddddddddd 22 ty teytxtyxttyxy t 設(shè) 函 數(shù) y = f(x)由 確 定 , : 由 隱 函 數(shù) 求 導(dǎo) 法 則 得即.ddxy求因 而 )()( )( tftfty tfx,dd 22xy ),(dd tftx )(dd tftty .dddddd ttxtyxy txy tfxdd )( 求 由 確 定 的 函 數(shù) 的 二 階 導(dǎo) 數(shù)其 中 f (t)存 在 , 而 且 f (t)0.: 即 y(x)由 參 數(shù) 方 程 確 定 . .)(1ddd )(ddd dd22 tftxtxy xy 于 是 一 . 微 分 的 概 念 1. 引 例 : 1.100 的 近 似 值 . (1) 用 10100 作 為 1.100 的 近 似 值 . (2) 用 005.101.020110 作 為 1.100的 近 似 值 . (3) 用 計 算 器 算 得 的 近 似 值 為 : 10.004998750624609648232582877001 xyx 0lim ),( xAxy 2. 引 例 的 兩 點 啟 示(1) f(x)在 x0處 可 導(dǎo) 存 在 (記 為 f (x0)=A)(其 中 (x)0(x0) ).(2) 若 f(x)在 x0處 可 導(dǎo) , 則 當 |x|充 分 小 時 , y f (x0)x,從 而 f(x0+x) f(x0)+ f (x0)x. y = Ax+o(x). 或0d xxy .)(d 0 xf3. 定 義 由 自 變 量 的 改 變 量 x得 到 的 相 應(yīng) 的 函 數(shù) 值的 改 變 量 y = f(x0+x) f(x0)可 以 表 示 為其 中 A與 x無 關(guān) , o(x)為 x0時 比 x高 階 的 無 窮 小 量 . 則 稱 函 數(shù) y = f(x)在 x0處 ,并 稱 Ax為f(x)在 x0處 的 (y的 ), 記 為y = Ax+o(x).(1) 設(shè) 函 數(shù) y = f(x)在 x0的 某 一 個 鄰 域 內(nèi) 有 定 義 , 則 稱 f(x) . (2) 設(shè) y = f(x)在 區(qū) 間 I上 的 每 一 點 處 都 可 微 , 因 此 導(dǎo) 數(shù) 又 稱 為 . 4. 可 微 與 可 導(dǎo) 的 關(guān) 系: 函 數(shù) y = f(x)在 x0處 可 微 f(x)在 x0處 可 導(dǎo) (d f (x0) = f (x0)x ).5. 微 商 :注 意 到 dx = (x)x = x, 即 自 變 量 的 微 分等 于 自 變 量 的 改 變 量 , 于 是 dy = f (x)dx, .)(dd xfxy 從 而 dx有 關(guān) , 而 x與 dx又 是 相 互 獨 立 的 兩 個 變 量 . 注 由 dy = f (x)dx可 見 微 分 dy既 與 x有 關(guān) , 又 與2 ,0)2(cos)(sind 22 xxxy xx .0d 2 xy 6. 例 子 : 求 y = sinx在 x = 0和 x =: dy|x=0 =(sinx) |x=0 dx = (cos0)dx =dx, 故 x = 0.01時 , dy|x=0 = 0.01.并 求 dx = 0.01時 的 微 分 . 處 的 微 分 ,故 x = 0.01時 , 曲 線 y = f(x)在 點 (x0, f(x0) 處 的 切 線 的 斜 率 為在 PNT中 ,即 dy表 示 曲 線 在 點 P處 切 線 的 縱 坐 標 的 改 變 量 .7. 幾 何 意 義tan = f (x0),NT = tan PN = f (x0)dx = dy ).0(dd)d( 2 vv vuuvvu二 . 微 分 法 則1. 四 則 運 算d(u v)= du dv,d(uv)= vdu+udv, 2. 復(fù) 合 運 算設(shè) 函 數(shù) y = f g(x)由 可 微 函 數(shù) y = f(u)與 u = g(x)復(fù) 合 而 成 , 則 有 dy = f (u)du, du = g(x)dx,另 一 方 面 , 這 就 是 說 , 不 論 u是 自 變 量 還 是 中 間 變 量 , 函 數(shù)y = f(u)的 微 分 在 形 式 上 都 是 dy = f (u)du.我 們 把 這 一 性 質(zhì) 稱 為 一 元 函 數(shù) 的dy = f(g(x)dx = f (u)g(x)dx = f (u)du. .ddxy,d)sin(d2)(d xxyyxyexy ,d)sin(d2)dd( xxyyyxxyexy .d)sin(d)2( xxyeyyxe xyxy ,d2sind xyxe xyey xyxy .2sindd yxe xyexy xyxy 3. 例 子設(shè) 函 數(shù) y = f(x)由 exy+y2 =cosx確 定 , 求 dy以 及: 等 式 兩 邊 求 微 分 得 :即于 是 整 理 得 三 . 微 分 在 近 似 計 算 中 的 應(yīng) 用當 |x|充 分 小 時 , f(x0+x) f(x0)+ f (x0)x. 設(shè) y = esinx，dy = esinxd(sinx) = esinxcosxdx. 引 例 解 答 : 1.100 的 近 似 值 . 取 f(x)=x1/2 , x0=100， x=0 . 1， 則 由 f(x0+x) f(x0)+ f (x0)x有 005.101.01002 11001.100 設(shè) 函 數(shù) f (x)定 義 在 區(qū) 間 I上 , x0 I, 若 存 在 0, 使 得 x N(x0, )I, 恒 有 則 稱 f(x)在 x0處 取 得 ( ) f(x0). f(x)的 極 大 值 與 極 小 值 統(tǒng) 稱 為 f(x)的 . 使 f(x)取 得 極 值 的 點 x0稱 為 f(x)的 . f(x) f(x0) ( f(x) f(x0), : 極 值 是 一 個 局 部 概 念 . 即(1)最 大 的 極 大 值 不 一 定 是 最 大 值 ;(2)最 小 的 極 小 值 不 一 定 是 最 小 值 ;(3) 極 大 值 不 一 定 大 于 極 小 值 . 二 . 設(shè) 函 數(shù) f(x)在 x0的 某 個 鄰 域 N(x0)內(nèi) 有 定 義 , 在 x0處 取 得 極 值 , 且 在 x0處 可 導(dǎo) , 則 f (x0) = 0.0)()(lim)( 0 00 0 xx xfxfxf xx ).()()( 000 xfxfxf 設(shè) f(x)在 x0處 取 得 極 大 值 , 則 0, 使 得若 f 在 x0處 可 導(dǎo) , 則由 于 因 此 f (x0) = 0.xN(x0, )恒 有 f(x) f(x0).0)()(lim)( 0 00 0 xx xfxfxf xx 且 在 點 (x0, f(x0)處 具 有 切 線 , 則 切 線 必 為 水 平 線 . 如 果 曲 線 y = f(x)在 x0處 取 得 極 值 , 設(shè) 函 數(shù) f(x)在 x0的 某 個 鄰 域N(x0)內(nèi) 有 定 義 , 且 f (x0) = 0, 則 稱 x0為 f 的 . 四 . 設(shè) 函 數(shù) f(x)滿 足 下 列 條 件 :(1) f(x)在 a,b上 連 續(xù) , (2) f (x)在 (a, b)內(nèi) 可 導(dǎo) , (3) f(a) = f (b).則 至 少 存 在 一 點 (a, b),使 得 f ( ) = 0. 如 果 曲 線 y = f(x)在 a, b上 連 續(xù) , 在 (a, b)內(nèi) 的每 一 點 處 都 具 有 切 線 , 且 端 點 處 的 高 度 相 等 ,則 曲 線 上 至 少 有 一 點 處 的 切 線 為 水 平 線 . 如 果 函 數(shù) y = f(x)在 a, b上 連 續(xù) , 在 (a, b)內(nèi)的 可 導(dǎo) , 且 f(a)=f(b),則 方 程 f(x)=0在 (a, b)內(nèi) 至 少 有 一 實 根 . 設(shè) 函 數(shù) f(x)是 定 義 在 區(qū) 間 I上 的 可 微 函 數(shù) . 則 f(x)的 兩 個 零 點 之 間 至 少 有 一 個 駐 點 . : 羅 爾 中 值 定 理 的 三 個 條 件 中 有 一 個 不 滿 足 時 , 結(jié) 論 都 有 可 能 不 成 立 . 如 : ,2,0(,02)( xx xxfg(x)=|x| (x 1, 1), h(x) = x (x 0, 2).條 件 是 充 分 的 !請 舉 例說 明 條 件 不 是 必 要 的 . 設(shè) y = f(x)在 0, 1上 可 導(dǎo) , 且 f(1) = 0.證 明 : 存 在 (0, 1), 使 得f()+ f ( ) = 0.: 令 F(x) = xf(x). 則 F(x)在 0, 1上 滿 足 羅 爾 中 值 定 理 的 條 件 , 說 明 條 件 為什 么 滿 足 !故 存 在 (0, 1), 使 得F ( ) = 0, 即 f()+ f ( ) = 0.: 上 述 函 數(shù) F(x)常 被 稱 為 . 構(gòu) 造 適 當 的 輔 助 函 數(shù) 是 解 決 類 似 問 題 的 常 用 方 法 . 設(shè) 函 數(shù) f(x)在 區(qū) 間 a, b上 連 續(xù) , 在 (a, b)內(nèi) 可 導(dǎo) .假 如 f(a) f(b)?請 同 學 們 課 后 思 考 !應(yīng) 當 有 同 樣 的 結(jié) 論 . 五 . 設(shè) 函 數(shù) f(x)滿 足 下 列 條 件 :(1) f(x在 a,b上 連 續(xù) ,(2) f(x)在 (a, b)內(nèi) 可 導(dǎo) .則 至 少 存 在 一 點 (a, b),使 得 f(b)f(a) = f ( )(ba). 如 果 曲 線 y = f(x)在 a, b上 連 續(xù) ,在 (a, b)內(nèi) 的 每 一 點 處 都 具 有 切 線 , 則 曲 線 上至 少 有 一 點 處 的 切 線 平 行 于 兩 端 點 的 連 線 .: 還 可 以 構(gòu) 造 F(x) = f(b)f(a)x f(x)(ba). 設(shè) 函 數(shù) f(x)在 (a, b)內(nèi) 滿 足 f (x)0 f(x)在 (a, b)內(nèi) 為 常 值 函 數(shù) . 設(shè) f(x), g(x)在 (a, b)內(nèi) 滿 足 f (x) = g(x),則 常 數(shù) C, s.t.得 f(x) = g(x)+C, x(a,b).: 在 拉 格 朗 日 中 值 定 理 的 條 件 下 , 我 們 只 知 道 存 在 一 點 (a, b), 使 得 f(b)f(a) = f ( )(ba), 一 般 并 不 知 道 的 值 究 竟 是 多 少 . 有 時 我 們 可 以 進 一 步 去 求 的 值 , 有 時 我 們 根 本 不 關(guān) 心 的 具 體 值 . 于 是 .11)1ln( x x而 ,11111 x故 存 在 (0, x), 使 得 f(x)f(0) = f ()x.利 用 拉 格 朗 日 公 式 解 決 下 列 問 題 :(1) 設(shè) x 0, 證 明 : x/(1+x) ln(1+x) x. : 令 f(t)=ln(1+t), ,取 x =1/n, 則 有 1/(1+n) ln(1+1/n) 1/n.由 此 可 得 x/(1+x) ln(1+x) x.則 f(t) C0, x, 且 f(t)在 (0, x)內(nèi) 可 導(dǎo) . : 令 f(t)=arctan t, 則 與 上 例 類 似 , .1 1arctan 2x x而 ,11 11 1 22 x證 明 : ).()(2)()(lim 20 afh afhafhafh 存 在 (0, x), 使 得 f(x)f(0) = f ()x, 即于 是 x/(1+x2) arctan x 0, 證 明 : x/(1+x2) arctan x 0, 函 數(shù) f(x) Ca, b, 且 在 (a, b)內(nèi) 可 導(dǎo) . 證 明 : 存 在 (a, b), 使 得 f(b)f(a) = .ln)( abf 型00一 .(x0, x0+) ( 0)內(nèi) 滿 足 下 列 條 件 : 設(shè) 函 數(shù) f(x)與 g(x)在 區(qū) 間,0)(lim)(lim 00 xgxf xxxx Axg xfxx )( )(lim0 .)( )(lim)( )(lim 00 Axg xfxg xf xxxx (1) (2) f, g在 (x0, x0+)內(nèi) 可 導(dǎo) , 且 g(x) 0, (3) (A為 有 限 數(shù) 或 ). 則 該 定 理 對 于 x x0, x x0的 情 形有 相 應(yīng) 的 結(jié) 論 成 立 ,對 于 x , x , x + 的 情 形可 通 過 變 量 代 換 x = 1/t化 為 t 0的 情 形 . 由 于 使 用 洛 必 達 法 則 要 經(jīng) 過 求 導(dǎo) 的 過 程 , 有 時 單 獨 使 用 洛 必 達 法 則 比 較 繁 瑣 ,需 要 與 其 他 方 法 結(jié) 合 起 來 使 用 效 果 更 佳 . 比 如 說 先 進 行 無 窮 小 代 換 或 有 理 化 , 化 簡 以 后 再 用 洛 必 達 法 則 . 例 如 )1( sin1)1ln(1lim0 xx ex xx sin1)1ln(1)1( sin)1ln(lim0 xxex xxxx 分 子 有 理 化 .)1( sin)1ln(limsin1)1ln(1 1lim 00 xxx ex xxxx 分 出 已 知 極 限 . 20 sin)1ln(lim21 x xxx x xxx coslim41 110 利 用 等 價 無窮 小 .x xxxx xx coscos1lim11lim41 00 )sincos(sinlim41 0 xxxxx .41 .)( )(xg xf )( )()()()()( )( 2 xg xgxfxgxfxg xf 使 用 洛 必 達 法 則 要 分 別 的 對 分 子 分 母 求 導(dǎo) ,即混 淆 . 不 要 把 它 與 商 的 求 導(dǎo) 法 則 二 、 型定 理 設(shè) 函 數(shù) f(x)與 g(x)在 區(qū) 間 (x0, x0+ ) ( 0)內(nèi) 滿 足 下 列 條 件 : (1) ,)(lim)(lim 00 xgxf xxxx(2) f, g在 (x0, x0+ )內(nèi) 可 導(dǎo) , 且 g(x) 0,(A為 有 限 數(shù) 或 ).Axg xfxx )( )(lim0(3)則 .)( )(lim)( )(lim 00 Axg xfxg xf xxxx (1) =1.xxx 2sinln sinlnlim xx xxx 2sin2cos2 sincoslim xx xxxx sin2cos2 cossin2coslim xxx 2coscoslim 2或 xx xx x 2sin2cos2 sincoslimxxx 2sinln sinlnlim xxxx xx sin2sinlim2cos2coslim xxx sin2sinlim21 xxx cos2cos2lim21 =1. (2) 設(shè) 常 數(shù) a, b0, 計 算 .)(lnlim b ax xx: b ax xx)(lnlim 11 1)(lnlim bax bx xxa .)(lnlim 1b ax xxba 若 a1, 則 上 式 右 端 極 限 值 為 0. 若 a為 大 于 1的 整 數(shù) , 則 b ax xxba 1)(lnlim bax xxbaa 22 )(lnlim)1( bxa xba 1lim! = =0. 若 a大 于 1但 不 是 整 數(shù) , 則0)(lnlim b ax xx b ax xx 1)(lnlim .0)(lnlim b ax xx再 用 夾 逼 原 理 便 得 .0)(lnlim b ax xx綜 上 所 述 , 當 常 數(shù) a, b0時 , 三 . 其 他 未 定 型(1) 0 xx x lnlim0 x xx lnlim0 10 1lim xxx xx 0lim設(shè) 0, 則 = 0.(2) = + . 1lim xexe xxx )1(lim xx exx 12lim xexx2lim x x e 210 sinlim xx xx xxxx e sinln10 2lim xxxx sinln1lim 20 x xxx 2 1cotlim0 xx xxxx sin2 sincoslim 20 30 2 sincoslim x xxxx 20 6sinlim x xxx .61 210 sinlim xx xx .16 e (3) 1因 此 ,sinln1lim 20 xxxxe xx x sin0 cotlim ,cotlnsinlim0 xxxe xxx cotlnsinlim0 xxx csccotlnlim0 xx xxx cotcsc tancsclim 20 xxx 20 cossinlim .1cotlim sin0 xx x (4) 0 = 0. 因 此 xx xsin0lim ,lnsinlim0 xxxe xxx lnsinlim0 xxx csclnlim0 xxxx cotcsc1lim0 xx xx cossinlim 20 .1lim sin0 xx x (5) 00 = 0. 因 此 21lim1 xxx x xxx sinlim xx xxx ee ee lim ,21lim1 xxx ,32 ,sinlim x xxx )sin1(lim xxx .lim xx xxx ee ee xxx ee 2211lim 四 . 不 可 用 洛 必 達 法 則 的 情 形 .(1) (2) (3)事 實 上 , =1,=1. .)1ln(1)(lim 30 x xxxfx 30 )1ln(1)(lim x xxxfx 3 22332 0 )(o211)(olim x xxxxxxxxx .23)(o23lim 3 330 x xxx 例 設(shè) 函 數(shù) f(x)四 階 可 導(dǎo) , 且 f(0) = 0, f (0) = 1,f (0) = 2, f (0) = 6, 求: ,)( )( ,nbaCxf ,)( )1( ) ,( n baCxf knk k xxk xf )(! )( 00 0)( 設(shè) 函 數(shù) 且 x, x0a, b, 則 f(x)=記 g(x)=(xx0)n+1, 則 10)( )( nnxx xr g(x0)=g(x0)=g(n)(x0)=0, g(n+1)(x)= (n+1)!,r(x0)=r(x0)=r(n)(x0)=0, r(n+1)(x0)= f (n+1)(x). + rn(x).)()( )()( 010 0 xgxx xrxr n nn nn xn r )(1( )( 011 .)!1( )()1( nf n )()(1( )()( 001 01 xgxn xrr nnn 1022 )()1( )( nn xnn r ,)( )( ,nbaCxf ,)( )1( ) ,( n baCxfknk k xxk xf )(! )( 00 0)( 10)1( )()!1( )( nn xxnf 設(shè) 函 數(shù) 且則 x, x0a, b, 有f(x)=其 中 介 于 x與 x0之 間 . 特 殊 情 形 :(i) n = 0時 , f(x)= f(x0)+ f ()(xx0).(ii) x0=0時 , 帶 拉 格 朗 日 余 項 的 knk k xkfxf 0 )( ! )0()( ,)!1( )( 1)1( nn xn xf 其 中 0 1. 由 拉 格 朗 日 中 值 定 理 得 , f(x2)f(x1) = f ()(x2x1) , (x1, x2). 1.設(shè) 函 數(shù) f(x)在 (a,b)內(nèi) 可 導(dǎo) , 任 取 x10 ( f (x)0), 則 f(x)在 (a, b)內(nèi) 嚴 格 單 調(diào) 增 (減 ). 定 理 中 的 區(qū) 間 (a, b)換 成 其 他 各 種 類 型 的區(qū) 間 (包 括 無 窮 區(qū) 間 )結(jié) 論 也 成 立 . 應(yīng) 用 該 定 理 求 函 數(shù) f(x)的 單 調(diào) 區(qū) 間 時 , 應(yīng) 先 求 出 f(x)的 駐 點 及 導(dǎo) 數(shù) 不 存 在 的 點 , 將 f(x)的 定 義 域 分 成 若 干 個 子 區(qū) 間 , 然 后 再 根 據(jù) f (x)在 這 些 子 區(qū) 間 上 的 符 號 , 判 斷 f(x)在 各 子 區(qū) 間 上 的 單 調(diào) 性 . 2. 應(yīng) 用 舉 例 01 00 xxx x(1) 討 論 f(x) =的 單 調(diào) 性 . .11)( 2xxf : D(f )=R, 并 且 x0時 ,D(f ) ( , 1) 1 (1, 0) 0 (0, 1) 1 (1, + )f (x) + 0 不 存 在 0 +f(x) 由 上 表 可 見 f(x)在 ( , 1)和 (1, + )內(nèi) 嚴 格 單 調(diào) 增 , 在 (1, 0)和 (0, 1)內(nèi) 嚴 格 單 調(diào) 減 .f(x)的 圖 形 如 上 . 211xex .222xex,2xex 4 )2()( xxxexf x 21 1xex 222xex(2) 設(shè) 0 x1 x22. 試 比 較 和 的 大 小 .: 令 f(x) = 則 f(x)在 (0, 2)內(nèi) 連 續(xù) , 可 導(dǎo) , 且0 (0 x 2).故 f(x)在 (0, 2)內(nèi) 嚴 格 單 調(diào) 減 ,所 以 當 0 x1 x20, 而 x (x0, x0+)時 , f (x)0, 則 f(x)在 點 x0處 取 得 極 大 值 ;(2) 若 x (x0, x0)時 , f (x)0, 則 f(x)在 點 x0處 取 得 極 小 值 ; oN(3) 若 x (x0, )時 , f (x)的 符 號 保 持 不 變 ,則 f(x)在 點 x0處 不 取 極 值 . oN(x0, )內(nèi) 可 導(dǎo) .連 續(xù) , 在 設(shè) 函 數(shù) f(x)在 區(qū) 間 I上 連 續(xù) , 除 了 個 別 點 以 外處 處 可 導(dǎo) , 則 可 按 下 述 步 驟 求 極 值 :求 駐 點 , 不 可 導(dǎo) 點考 察 這 些 點 兩 邊 f (x)的 符 號計 算 極 值 .按 第 一 充 分 條 件 判 斷2. 第 二 充 分 條 件 : 設(shè) f(x)在 駐 點 x0處 二 階 可 導(dǎo) , 且 f (x0) 0. 若 f (x0) 0,則 f(x)在 點 x0處 取 得 極 小 值 . 0 0)()(lim0 xx xfxfxx 0)(lim0 xx xfxx ,0)( 0 xx xf: 對 于 f (x0)0的 情 形 :故 當 =|xx0|充 分 小 且 x x0時 , 有因 為 = f (x0) 0,于 是 x (x0 , x0)時 , f (x)0,由 第 一 充 分 條 件 知 f(x)在 點 x0處 取 得 極 小 值 . 在 x = 1處 取 得 極 小 值 2. 01 00 xxx x32)( xxf 3. 應(yīng) 用 舉 例(1) 對 于 f(x) =有 (x 0) ,故 f (1)= 2 0. 因 此 f(x)在 x = 1處 取 得 極 大 值 2,D(f ) ( , 1) 1 (1, 0) 0 (0, 1) 1 (1, + )f (x) + 0 不 存 在 0 +f(x) 2 2 f (x) 不 存 在 + 1)2( 134 xx xx 1)2(3 14)( 23 xx xxxf(2) 求 f(x) = 的 極 值 .: f (1)不 存 在 .由 f (x) = 0得 x = 0或 2.當 x 0時 , f (x)0.故 f(x)在 x = 0處 取 得 極 小 值 f(0) = 0.當 x (1, 2)時 , f (x)0, 故 f(x)在 x = 1處 取 得 極 大 值 f(1) = 1.當 x (2, + )時 , f (x)0, 故 x =2不 是 f(x)的 極 值 點 . f (0)= 0 = f (2), 不 能 用 第 二 充 分 條 件 . 1)2(6 112)( 2 xx xxxf 這 里 判 斷 有 無 最 值求 可 能 的 極 值計 算 端 點 值經(jīng) 比 較 得 最 值 最 小 值 為 f(3) = 1. 3,1()2( 1,134 xx xx 求 f(x) = 的 最 值 .: f(x) C1, 3, 故 有 最 大 值 與 最 小 值 .由 上 例 可 知 f(x) 在 x = 0處 取 得 極 小 值 0, 在 x = 1處 取 得 極 大 值 f(1) = 1. 所 以 f(x)在 1, 3上 的最 大 值 為 f(1) = f(1) = 1,又 因 為 f(1) = 1, f(3) = 1. (1) 若 f Ca, b, 且 f在 a, b上 單 調(diào) 函 數(shù) , 則 f(x)的 最 值 必 在 端 點 處 取 得 .(2) 若 f Ca,b, f在 (a,b)內(nèi) 可 導(dǎo) , 且 f在 (a,b)內(nèi) 有唯 一 的 駐 點 x0, 則 當 f(x0)為 極 大 (小 )值 時 , f(x0)就 是 f(x) 的 最 大 (小 )值 .(3) 在 實 際 問 題 中 , 若 函 數(shù) f Ca, b, f 在 (a, b)內(nèi) 可 導(dǎo) , 且 f 在 (a, b)內(nèi) 有 唯 一 的 駐 點 x0, 又 根 據(jù) 問 題 的 實 際 意 義 可 知 f(x)的 最 值 在(a, b)內(nèi) 部 取 得 , 則 x 0就 是 f(x) 的 最 值 點 . .272)6( 3aaV 在 一 塊 邊 長 為 a的 正 方 形 紙 板 上 截 去 四 個全 等 的 小 正 方 形 , 做 成 一 個 無 蓋 的 盒 子 , 問 截 去多 大 的 小 正 方 形 能 使 盒 子 的 容 量 最 大 ?: 設(shè) 截 去 的 正 方 形 的 邊 長 為 x, 盒 子 的 容 量 為 V,則 V = x(a2x)2, x (0, 由 V = (a2x)(a6x) = 0及 x (0, a/2)得 唯 一 的 駐 點 x = a/6.顯 然 V的 最 大 值 在 (0, a/2)的 內(nèi) 部 取 得 ,因 而 V max = ).2a 前 面 我 們 學 習 了 函 數(shù) 的 單 調(diào) 性 及 其 判 定 。我 們 知 道 函 數(shù) 在 某 區(qū) 間 上 的 單 調(diào) 性 ， 自 然 地 提出 問 題 ： 能 否 由 單 調(diào) 性 大 致 作 出 函 數(shù) 在 此 區(qū) 間上 的 圖 形 ？ 很 多 同 學 認 為 ， 區(qū) 間 太 長 有 問 題 ，而 區(qū) 間 較 短 時 沒 有 問 題 。 情 況 是 這 這 樣 嗎 ？ 請看 下 例 ： O xy 1x 2x在 xoy面 上作 y=f(x)在區(qū) 間 x1,x2上 的 圖 形 y=f(x)在 區(qū)間 x1,x2上的 圖 形 可 以是 黃 線 圖 形 ，也 可 以 是 藍線 圖 形 （ 1） 觀 察 由 此 可 見 ， 僅 僅 知 道 函 數(shù) 的 單 調(diào) 性 ， 仍然 不 能 準 確 的 作 出 函 數(shù) 的 圖 形 。 或 者 說 ， 在 知 道 函 數(shù) 的 單 調(diào) 性 時 ， 必 須知 道 其 圖 形 是 形 如 上 圖 中 還 是 形如 上 圖 中 ？ 向 上 凹 的 曲 線 ； 向 上 凸 的 曲 線 。 本 節(jié) 的 主 要 任 務(wù) 是 研 究 曲 線 的 凹 凸 性 。 為 此 ， 先 觀 察 凹 凸 曲 線 的 特 性 。 設(shè) 曲 線 y=f(x)在 區(qū) 間 a,b上 向 上 凹 ， 在 區(qū) 間 a,b上任 取 兩 點 x1和 x2。 通 過 下 圖 研 究 這 兩 點 中 點 ( x1+x2 )/2處 的 函 數(shù) 值 與點 x1、 x2處 函 數(shù) 值 的 關(guān) 系 . xyO 1x 2x2 21 xx )( 1xf )( 2xf)2( 21 xxf 2 )()( 21 xfxf 曲 線 y=f(x)在 區(qū) 間 a,b上 向 上 凹 ， 對 于 a,b上任 意 兩 點 x1和 x2,總 有 2 )()()2( 2121 xfxfxxf 曲 線 y=f(x)在 區(qū) 間 a,b上 向 上 凸 ， 對 于 a,b上任 意 兩 點 x1和 x2,總 有 2 )()()2( 2121 xfxfxxf （ 2） : 設(shè) 函 數(shù) f(x)定 義 在 區(qū) 間 I上 , 若 x1, x2 I, 總 有 2 )()()2( 2121 xfxfxxf 則 稱 曲 線 y=f(x)在 區(qū) 間 I上 .若 x1, x2 I, 總 有 2 )()()2( 2121 xfxfxxf 則 稱 曲 線 y=f(x)在 區(qū) 間 I上 .（ 3） 幾 何 意 義 : 曲 線 y = f(x)在 區(qū) 間 I上 向 上 凹 (凸 )x1, x2 I, 以 A(x1, f(x1), B(x2, f(x2)為 端 點 的弦 位 于 弧 的 上 (下 )方 . 用 一 階 導(dǎo) 數(shù) 判 定設(shè) 函 數(shù) f(x)在 區(qū) 間 I內(nèi) 可 導(dǎo) , 且 導(dǎo) 數(shù) f (x)(嚴 格 )單 調(diào) 增 (減 ), 則 曲 線 y=f(x)在 區(qū)間 I上 向 上 凹 (凸 ).若 曲 線 上 各 點 的 斜 率 是單 調(diào) 遞 減 (增 )的 , 則 該曲 線 是 向 上 凸 (凹 )的 . 21 設(shè) f (x)單 調(diào) 減 , x1, x2 I (不 妨 設(shè) x1 x2), 令 x0 =(x1+x2)/2,則 x1 x0 x2.分 別 在 x1, x0與 x0 , x2上 使 用 拉 格 朗 日 中 值 定 理 得 :f(x1) = f(x0)+ f (1)(x1x0)f(x0)+ f (x0)(x1x0),f(x2) = f(x0)+ f (2)(x2 x0)f(x0)+ f (x0)(x2x0),其 中 1 (x1, x0), 2 (x0 , x2),于 是 f(x1) +f(x2) /2 f(x0) = f(x1+x2)/2).其 它 情 形 可 以 類 似 地 證 明 .所 以 曲 線 y=f(x)在 區(qū) 間 I上 向 上 凸 . 21 (2) 用 二 階 導(dǎo) 數(shù) 判 定 設(shè) f(x)在 區(qū) 間 I內(nèi) 二 階 可 導(dǎo) , 且 x I, f (x)0 ( f (x) 0),則 曲 線 y=f(x)在 區(qū) 間 I上 向 上 凹 (凸 ). 設(shè) f (x)0 ( f (x) 0)于 區(qū) 間 I,則 由 定 理 1可 知 f (x)在 區(qū) 間 I上 單 調(diào) 增 (減 ), 于 是 由 定 理 4知 曲 線 y=f(x)在 區(qū) 間 I上 向 上 凹 (凸 ).4. 例 子 :討 論 ),0()1( 0,2()1(11 2,4)3(11)( 3 22 xx xx xxxf 的 凹 凸 性 . ),0()1(3 )0,2()1(1)1( )2,4()3(1)3()(