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《工程流體力學(xué)》電子教案第四至七章

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《工程流體力學(xué)》電子教案第四至七章

工程 流體力學(xué) (第四至七章) 周 云龍 洪文鵬 合編 開(kāi) 始 第四章 不可壓縮流體的有旋流 動(dòng)和二維無(wú)旋流動(dòng) 第一節(jié) 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析 第二節(jié) 有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng) 第三節(jié) 無(wú)旋流動(dòng)的速度勢(shì)函數(shù) 第四節(jié) 二維平面流動(dòng)的流函數(shù) 第五節(jié) 基本的平面有勢(shì)流動(dòng) 第六節(jié) 平面勢(shì)流的疊加流動(dòng) 歡 迎 進(jìn) 入 第 四 章 的 學(xué) 習(xí) 流體由于具有易變形的特性(易流動(dòng)性),因此流體 的運(yùn)動(dòng)要比工程力學(xué)中的剛體的運(yùn)動(dòng)復(fù)雜得多。在流體運(yùn) 動(dòng)中,有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)是流體運(yùn)動(dòng)的兩種類(lèi)型。由流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析可知,有旋流動(dòng)是指流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度 的流動(dòng),無(wú)旋流動(dòng)是指 的流動(dòng)。 實(shí)際上,黏性流體的流動(dòng)大多數(shù)是有旋流動(dòng),而且有 時(shí)是以明顯的旋渦形式出現(xiàn)的,如橋墩背流面的旋渦區(qū), 船只運(yùn)動(dòng)時(shí)船尾后形成的旋渦,大氣中形成的龍卷風(fēng)等等。 但在更多的情況下,流體運(yùn)動(dòng)的有旋性并不是一眼就能看 得出來(lái)的,如當(dāng)流體繞流物體時(shí),在物體表面附近形成的 速度梯度很大的薄層內(nèi),每一點(diǎn)都有旋渦,而這些旋渦肉 眼卻是觀察不到的。至于工程中大量存在著的紊流運(yùn)動(dòng),更是充滿(mǎn)著尺度不同的大小旋渦。 0 0 流體的無(wú)旋流動(dòng)雖然在工程上出現(xiàn)得較少,但 無(wú)旋流動(dòng)比有旋流動(dòng)在數(shù)學(xué)處理上簡(jiǎn)單 得多,因 此,對(duì)二維平面勢(shì)流在理論研究方面較成熟。對(duì) 工程中的某些問(wèn)題,在特定條件下對(duì)黏性較小的 流體運(yùn)動(dòng)進(jìn)行無(wú)旋處理,用勢(shì)流理論去研究其運(yùn) 動(dòng)規(guī)律,特別是繞流物體的流動(dòng)規(guī)律,對(duì)工程實(shí) 踐具有指導(dǎo)意義和應(yīng)用價(jià)值。因此,本章先闡述 有旋流動(dòng)的基本概念及基本性質(zhì),然后再介紹二 維平面勢(shì)流理論。 第一節(jié) 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析 剛體的一般運(yùn)動(dòng)可以分解為移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng) 兩部分。流體與剛體的主要不同在于它具 有流 動(dòng)性,極易變形。因此,任一流體微 團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不但與剛體一樣可以移動(dòng) 和轉(zhuǎn)動(dòng),而且還會(huì)發(fā)生變形運(yùn)動(dòng)。所以, 在一般情況下流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)可以分解為 移動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和變形運(yùn)動(dòng)三部分。 一、表示流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)特征的速度表達(dá)式 在運(yùn)動(dòng)流體中,在時(shí)刻 t 任取一正交六面體流體微團(tuán),其邊長(zhǎng)分別為 d x 、 d y 、 d z , 如圖 4 - 1 所示。當(dāng)選取該流體微團(tuán)上的 F( x , y , z ) 點(diǎn)為參考點(diǎn)時(shí),則該點(diǎn)的速度分 量分別為 u ( x , y , z ) 、 v ( x , y , z ) 、 w ( x , y , z ) ,其他各點(diǎn)的速度均可利用泰勒級(jí) 數(shù)展開(kāi)并略去二階及以上無(wú)窮小量得到。因此 C( x +d x , y + d y , z + d z ) 點(diǎn)的速度分 量可表示為 zzuyyuxxuuu c ddd zzvyyvxxvvv c ddd zzwyywxxwww c ddd 圖 4-1 分析流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)用圖 為了把流體微團(tuán)的速度進(jìn)行分解,并以數(shù)學(xué) 形式表達(dá)出來(lái),現(xiàn)將上式進(jìn)行改造。在第一 式右邊 y x v d 2 1 、 z x w d 2 1 ,在第二式右邊 x y u d 2 1 、 z y w d 2 1 , 在第三式右邊 x z u d 2 1 、 y z v d 2 1 ,重新整理后可得 到 yyuxvzxwzuzxwzuyxvyuxxuuu c d21d21d21d21d zzvywxyuxvzywzvxyuxvyvvv c d21d21d21d21dy xxwzuzzvywyzvywxzuxwzzwww c d21d21d21d21d 剪切變形速率 、 、 、 、 、 , 引入記號(hào),并賦予運(yùn)動(dòng)特征名稱(chēng): 線變形速率 、 、 , xx 、 yy 、 zz , z w y v x u zzyyxx , xy yx yz zy xz zx x w z u z v y w y u x v xzzx zyyz yxxy 2 1 2 1 2 1 ( 4-1) ( 4-2) 于是可得到表示流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)特征的速度表達(dá)式為 旋轉(zhuǎn)角速度 、 、 , x y z y u x v x w z u z v y w z y x 2 1 2 1 2 1 ( 4-3) xyyxzww zxzxyvv yzzyxuu yxzyzxzzc xzyzyxyyc zyxzxyxxc ddddd ddddd ddddd ( 4-4) 式 (4 - 4) 表明,在一般情況下,流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)可分解為三部分:以流體微團(tuán)中 某點(diǎn)的速度作整體平移運(yùn)動(dòng) ( u 、 v 、 w ) ;繞通過(guò)該點(diǎn)軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng) ( x 、 y 、 z ) ; 微團(tuán)本身的變形運(yùn)動(dòng) ( 線變形 xx 、 yy 、 zz 和剪切變形 xy 、 yz 、 zx ) 。 二、流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分解 為進(jìn)一步分析流體微團(tuán)的分解運(yùn)動(dòng)及其幾何特 征,對(duì)式 (4-4)有較深刻的理解,現(xiàn)在分別說(shuō)明流 體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所呈現(xiàn)出的平移運(yùn)動(dòng)、線變 形運(yùn)動(dòng)、角變形運(yùn)動(dòng)和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。 為簡(jiǎn)化分析,僅討論在 平面上流體微團(tuán)的運(yùn) 動(dòng)。假設(shè)在時(shí)刻 ,流體微團(tuán) ABCD為矩形,其上 各點(diǎn)的速度分量如圖 4-2所示。由于微團(tuán)上各點(diǎn)的 速度不同,經(jīng)過(guò)時(shí)間 ,勢(shì)必發(fā)生不同的運(yùn)動(dòng), 微團(tuán)的位置和形狀都將發(fā)生變化,現(xiàn)分析如下。 xoy t td 1平移運(yùn)動(dòng) 由圖 4 - 2 可知,微團(tuán)上 A 、 B 、 C 、 D 各點(diǎn)的速度 分量中均有 u 和 v 兩項(xiàng),在經(jīng)過(guò) d t 時(shí)間后,矩形微團(tuán) A B C D 向右、向上分別移動(dòng) u d t 、 v d t 距離,即平移到 新位置,形狀不變,如圖 4 - 3( ) 所示。式 (4 - 4) 中 的第一項(xiàng)即為該流體微團(tuán)平移運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)速度。 圖 4-2 分析流體微團(tuán)平面運(yùn)動(dòng)用圖 a 2線變形運(yùn)動(dòng) 在圖 4 - 2 中,比較 B 與 A 、 C 與 D 點(diǎn)在 x 方向及 D 與 A 、 C 與 B 點(diǎn)在 y 方向的速度差可 得: x x u uu dAB , x x u uu dDC ; y y v vv d AD , y y v vv d BC 。由此可知,流體線段 AB 和 DC 在 d t 時(shí)間內(nèi)將伸長(zhǎng) ( 或縮短 ) tx x u dd ,同樣, AB 和 BC 線段將伸長(zhǎng) ( 或縮短 ) ty y v dd 。 定義單位時(shí)間內(nèi)單位長(zhǎng)度流體線段的伸長(zhǎng) ( 或縮短 ) 量為流體微團(tuán)的線變形速 率,則沿 x 軸方向的線變形速率為 xx x u txtx x u )d(ddd 同理可得流體微團(tuán)沿 y 軸方向和沿 z 軸方向的線變形速率分別為 y v yy , z w zz 上述即為式 (4 - 1) 及其物理意義。式 (4 - 4) 中的第二項(xiàng)所表示的便是該線變形運(yùn)動(dòng)所 引起的速度變化。 將 x 、 y 、 z 方向的線變形速率加在一起,有 z w y v x u zzyyxx ( 4 - 5 ) 對(duì)于不可壓縮流體,上式等于零,是不可壓縮流體的連續(xù)性方程,表明流體微團(tuán)在運(yùn) 動(dòng)中體積不變。而三個(gè)方向的線變形速率之和所反映的實(shí)質(zhì)是流體微團(tuán)體積在單位時(shí) 間的相對(duì)變化,稱(chēng)為流體微團(tuán)的體積膨脹速率。因此,不可壓縮流體的連續(xù)性方程也 是流體不可壓縮的條件。在圖 4 - 3( ) 中示出了該流體微團(tuán)的平面線變形。 b 圖 4-3 流體微團(tuán)平面運(yùn)動(dòng)的分解 (a) 返回 圖 4-3 流體微團(tuán)平面運(yùn)動(dòng)的分解 (b) 返回 圖 4-3 流體微團(tuán)平面運(yùn)動(dòng)的分解 (c) 返回 圖 4-3 流體微團(tuán)平面運(yùn)動(dòng)的分解 (d) 返回 3角變形運(yùn)動(dòng) 在圖 4 - 2 中,比較 D 和 A 、 C 和 B 在 x 方向及 B 和 A 、 C 和 D 在 y 方向的速度 差可得: y y u uu d AD , y y u uu d BC ; x x v vv d AB , x x v vv d DC 。由此可知,若速度增量 均為正值,流體微團(tuán)在 d t 時(shí)間內(nèi)則發(fā)生圖 4 - 3( ) 所示的角變形運(yùn)動(dòng)。由圖可 見(jiàn),由于 D 點(diǎn)和 A 點(diǎn)、 C 點(diǎn)和 B 點(diǎn)在 x 方向的運(yùn)動(dòng)速度不同,致使 AD 流體邊在 d t 時(shí) 間內(nèi)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)了 d 角度;由于 B 點(diǎn)和 A 點(diǎn)、 C 點(diǎn)和 D 點(diǎn)在 y 方向的速度不同, 致使 AB 流體邊在 d t 時(shí)間內(nèi)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)了 d 角度。于是,兩正交流體邊 AB 和 AD 在 d t 時(shí)間內(nèi)變化了 ( d + d ) 角度。顯然,微元角度 d 和 d 可由下列公式求得 t x v xtx x v ddddt g dd t y u yty y u ddddtgdd c 通常把兩正交微元流體邊的夾角在單位時(shí)間內(nèi)的變化量定義為角變形 速度,而把該夾 角變化的平均值在單位時(shí)間內(nèi)的變化量 ( 角變形速度的平 均值 ) 定義為剪切變形速率。則在 xy 平面上,將流體微團(tuán)的剪切變形速率記 為 xy ( yxxy ) ,因此有 同理,也可得到 yz 平面和 zx 平面上的剪切變形速率 yz 和 zx 。于是,過(guò)流體微 團(tuán)任一點(diǎn) A 的三個(gè)正交微元流體面上的剪切變形速率分別為 上述即為式 (4 - 2) 及其物理含義。式 (4 - 4) 中的第三、第四項(xiàng)所表示的便是 由該剪切變形所引起的速度變化。 y u x v tyxxy 2 1 d ) / 2dd( yuxvyxxy 21 zvywzyyz 21 xwzuxzzx 21 4旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng) 由圖 4 - 3 ( c ) 可知,流體微團(tuán)在 d t 時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)了角變 形運(yùn)動(dòng)。若微元角度 d = d ,則流體微團(tuán)只發(fā)生角變形; 若 d = - d ,即 yuxv ,則流體微團(tuán)只發(fā)生旋轉(zhuǎn),不發(fā)生 角變形,如圖 4 - 3( ) 所示。一般情況下, dd ,流體 微團(tuán)在發(fā)生角變形的同時(shí),還要發(fā)生旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。 d 在旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)中,用符號(hào) 表示流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度的 大小,其定義為:過(guò)流體微團(tuán)上 A 點(diǎn)的任兩條正交微元 流體邊在其所在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)角速度的平均值,稱(chēng)作 A 點(diǎn) 流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度在垂直該平面方向的分量。如圖 4 - 3 ( c ) 所示,在 xy 平面上,過(guò) A 點(diǎn)的兩正交流體邊 AB 和 AD , AB 邊在 d t 時(shí)間內(nèi)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了微元角度 d , AD 邊在 d t 時(shí)間 內(nèi)順時(shí)針旋 轉(zhuǎn)了微元角度 d ,通常規(guī)定以逆時(shí)針旋 轉(zhuǎn)為正,則該兩條正交微元流體 邊在 xy 平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)角 速度的平均值為 ,于是得流體微團(tuán)沿 z 軸方向 的旋 轉(zhuǎn)角速度分量為 y u x v tz 2 1 d d-d 2 1 td d/)-d(21 同理可求得流體微團(tuán)沿 x 軸方向和 y 軸方向旋轉(zhuǎn)角速度的分量 和 。 于是,以流體微團(tuán) A 點(diǎn)為軸的旋轉(zhuǎn)角速度 的三個(gè)分量分別為 (4 - 6) 寫(xiě)成矢量形式為 ( 4 - 7 ) 上述即為式 (4 - 3) 及其物理含義。式 (4 - 4) 中的第五、第六項(xiàng)所表示的便 是由該旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)所引起的速度變化。 y u x v x w z u z v y w z y x 2 1 2 1 2 1 222 zyx )(21 Vkji zyx x y 綜上所述,在一般情況下,流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)總是可 以分解成:整體平移運(yùn)動(dòng)、旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)、線變形運(yùn)動(dòng)及角變 形運(yùn)動(dòng),與此相對(duì)應(yīng)的是平移速度、旋轉(zhuǎn)角速度、線變形 速率和剪切變形速率。 第二節(jié) 有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng) 一、有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)的定義 二、速度環(huán)量和旋渦強(qiáng)度 一、有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)的定義 流體的流動(dòng)是有旋還是無(wú)旋,是由流體微團(tuán)本身是否旋轉(zhuǎn) 來(lái)決定的。流體在流動(dòng)中,如果流場(chǎng)中有若干處流體微團(tuán)具 有繞通過(guò)其自身軸線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng),則稱(chēng)為有旋流動(dòng)。如果在 整個(gè)流場(chǎng)中各處的流體微團(tuán)均不繞自身軸線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng),則 稱(chēng)為無(wú)旋流動(dòng)。這里需要說(shuō)明的是,判斷流體流動(dòng)是有旋流 動(dòng)還是無(wú)旋流動(dòng),僅僅由流體微團(tuán)本身是否繞自身軸線的旋 轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)來(lái)決定,而與流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)軌跡無(wú)關(guān),在圖 4-4(a)中, 雖然流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)軌跡是圓形,但由于微團(tuán)本身不旋轉(zhuǎn),故 它是無(wú)旋流動(dòng);在圖 4-4(b)中,雖然流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)軌跡是直線, 但微團(tuán)繞自身軸線旋轉(zhuǎn),故它是有旋流動(dòng)。在日常生活中也 有類(lèi)似的例子,例如兒童玩的活動(dòng)轉(zhuǎn)椅,當(dāng)轉(zhuǎn)輪繞水平軸旋 轉(zhuǎn)時(shí),每個(gè)兒童坐的椅子都繞水平軸作圓周運(yùn)動(dòng),但是每個(gè) 兒童始終是頭向上,臉朝著一個(gè)方向,即兒童對(duì)地來(lái)說(shuō)沒(méi)有 旋轉(zhuǎn)。 圖 4-4 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng) 無(wú)旋流動(dòng) 有旋流動(dòng) 判斷流體微團(tuán)無(wú)旋流動(dòng)的條件是:流體中每一個(gè)流體微團(tuán)都滿(mǎn)足 根據(jù)式( 4-3),則有 0 zyx ,zvyw , x w z u y u x v ( 4-8) 二、速度環(huán)量和旋渦強(qiáng)度 1速度環(huán)量 為了進(jìn)一步了解流場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)性質(zhì),引入流體力 學(xué)中重要的基本概念之一 速度環(huán)量。 在流場(chǎng)中任取封閉曲線 k,如 圖 4-5所示。速度 沿該封閉曲線的線積分稱(chēng)為速度沿封閉曲線 k的環(huán) 量,簡(jiǎn)稱(chēng)速度環(huán)量,用 表示,即 式中 在封閉曲線上的速度矢量; 速度與該點(diǎn)上切線之間的夾角。 速度環(huán)量是個(gè)標(biāo)量,但具有正負(fù)號(hào)。 V K K svsV dc o sd ( 4-9) V 圖 4-5 沿封閉曲線的速度環(huán)量 在封閉曲線 k 上的速度矢 量 速度 與該點(diǎn) 上切線之間 的夾角 V 速度環(huán)量的正負(fù)不僅與速度方向有關(guān),而且與積分時(shí)所 取的繞行方向有關(guān)。通常規(guī)定逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)?K的正方向, 即封閉曲線所包圍的面積總在前進(jìn)方向的左側(cè),如圖 4-5 所示。當(dāng)沿順時(shí)針?lè)较蚶@行時(shí),式( 4-9)應(yīng)加一負(fù)號(hào)。 實(shí)際上,速度環(huán)量所表征的是流體質(zhì)點(diǎn)沿封閉曲線 K運(yùn)動(dòng) 的總的趨勢(shì)的大小,或者說(shuō)所反映的是流體的有旋性。 由于 和 ,則 kwjviuV kzjyixs dddd zwyvxusV dddd 代入式( 4-9),得 K K zwyvxusV )ddd(d ( 4-10) 2旋渦強(qiáng)度 沿封閉曲線 的速度環(huán)量與有旋流動(dòng)之間有一個(gè)重要 的關(guān)系,現(xiàn)僅以平面流動(dòng)為例找出這個(gè)關(guān)系。如圖 4- 6所示,在平面 上取一微元矩形封閉曲線,其面 積 , 流體在 A點(diǎn)的速度分量為 和 , 則 B、 C和 D點(diǎn)的速度分量分別為: XOY yxA ddd u v xxuuu dB xxvvv dB yyuxxuuu ddC yyvxxvvv ddC yyuuu dD yyvvv dD 圖 4-6 沿微元矩形的速度環(huán)量 xxuu d xxvv d yyuxxuu dd yyvxxvv dd yyuu d yyvv d 于是,沿封閉曲線反時(shí)針?lè)较?ABCDA的速度環(huán)量 將 、 、 、 和 、 、 、 各值代入上式,略去高于一階的 無(wú)窮小各項(xiàng),再將式( 4-3)的第三式代入后,得 然后將式( 4-11)對(duì)面積積分,得 yvvxuuyvvxuu d2d2d2d2d ADDCCBBA Au Bu Cu Du Av Bv Cv Dv Ayxyuxv z d2ddd ( 4-11) A z d2 ( 4-12) 于是得到速度環(huán)量與旋轉(zhuǎn)角速度之間關(guān)系的斯托克斯定理: 沿封閉曲線的速度環(huán)量等于該封閉周線內(nèi)所有的旋轉(zhuǎn)角速 度的面積積分的二倍,稱(chēng)之為旋渦強(qiáng)度 I,即 和 式中 在微元面積 的外法線 上的分量。 AI n d2d AI n d2 ( 4-13) n Ad n 由式( 4-11)可導(dǎo)出另一個(gè)表示有旋流動(dòng)的量, 稱(chēng)為渦量,以 表示之。它定義為單位面積上的速 度環(huán)量,是一個(gè)矢量。它在 Z軸方向的分量為 對(duì)于流體的空間流動(dòng),同樣可求得 X和 Y軸方向渦 量的分量 和 。于是得 即 zz y u x v A 2 d d zz yy xx y u x v x w z u z v y w 2 2 2 V 2 ( 4-14) ( 4-15) 也就是說(shuō),在有旋流動(dòng)中,流體運(yùn)動(dòng)速度 的旋度稱(chēng)為 渦量。 由此可見(jiàn),在流體流動(dòng)中,如果渦量的三個(gè)分量中有一 個(gè)不等于零,即為有旋流動(dòng)。如果在一個(gè)流動(dòng)區(qū)域內(nèi)各處 的渦量或它的分量都等于零,也就是沿任何封閉曲線的速 度環(huán)量都等于零,則在這個(gè)區(qū)域內(nèi)的流動(dòng)一定是無(wú)旋流動(dòng)。 下面舉兩個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)說(shuō)明速度環(huán)量和旋渦強(qiáng)度的物 理意義,以及有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)的區(qū)別。 V 【 例 4-1】 一個(gè)以角速度 按反時(shí)針?lè)较蜃飨駝傮w一 樣的旋轉(zhuǎn)的流動(dòng),如 圖 4-7所示。試求在這個(gè)流場(chǎng) 中沿封閉曲線的速度環(huán)量,并證明它是有旋流動(dòng) . (解 ) 【 例 4-2】 一個(gè)流體繞 O點(diǎn)作同心圓的平面流動(dòng),流 場(chǎng)中各點(diǎn)的圓周速度的大小與該 點(diǎn)半徑成反比, 即 ,其中 C為常數(shù),如 圖 4-8所示。試求在流 場(chǎng)中沿封閉曲線的速度環(huán)量,并分析它的流動(dòng)情 況。 (解 ) rCV 【 解 】 在流場(chǎng)中對(duì)應(yīng)于任意兩個(gè)半徑 和 的圓周速 度各為 和 ,沿圖中畫(huà)斜線扇形部分的周 界 ABCDA的速度環(huán)量 可見(jiàn),在這個(gè)區(qū)域內(nèi)是有旋流動(dòng)。又由于扇形面積 于是 上式正是斯托克斯定理的一個(gè)例證。 以上結(jié)論可推廣適用于圓內(nèi)任意區(qū)域內(nèi)。 1r 2r 11 rV 22 rV )()( 212211221122DACDBCABA B C D A rrrVrVrVrV )(2d 21222 1 rrrrA r r A 2AB C D A 返回例題 圖 4-7 有旋流動(dòng)中速度環(huán)量的計(jì)算 圖 4-8 無(wú)旋流動(dòng)中速度環(huán)量的計(jì)算 返回例題 【 解 】 沿扇形面積周界的速度環(huán)量 可見(jiàn),在這區(qū)域內(nèi)是無(wú)旋流動(dòng)。這結(jié)論可推廣適用于任何 不包圍圓心 O的區(qū)域內(nèi),例如 。若包有圓心 ( ),該 處速度等于無(wú)限大,應(yīng)作例外來(lái)處理?,F(xiàn)在求沿半徑 的 圓周封閉曲線的速度環(huán)量 上式說(shuō)明,繞任何一個(gè)圓周的流場(chǎng)中,速度環(huán)量都不等 于零,并保持一個(gè)常數(shù),所以是有 旋流動(dòng)。但凡是繞不 包括圓心在內(nèi)的任何圓周的速度環(huán)量必等于零,故在圓心 O點(diǎn)處必有旋渦存在,圓心是一個(gè)孤立渦點(diǎn),稱(chēng)為奇點(diǎn)。 01 1 2 2 DACDBCABA B C D A rr Cr r C ADCBA 0r 2 0 2d 常數(shù)CrrC 返回例題 第三節(jié) 無(wú)旋流動(dòng)的速度勢(shì)函數(shù) 如前所述,在流場(chǎng)中流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度 在任意時(shí) 刻處處為零,即滿(mǎn)足 的流動(dòng)為無(wú)旋流動(dòng),無(wú)旋流動(dòng)也 稱(chēng)為有勢(shì)流動(dòng)。 一、速度勢(shì)函數(shù)引入 二 、速度勢(shì)函數(shù)的性質(zhì) 0 V 一、速度勢(shì)函數(shù)引入 由數(shù)學(xué)分析可知, 是 成為某一標(biāo)量函數(shù) 全微分的充分必要條件。則函數(shù) 稱(chēng)為速度勢(shì)函數(shù)。因此, 也可以說(shuō),存在速度勢(shì)函數(shù) 的流動(dòng)為有勢(shì)流動(dòng),簡(jiǎn)稱(chēng)勢(shì) 流。根據(jù)全微分理論,勢(shì)函數(shù) 的全微分可寫(xiě)成 于是得 0 V zwyvxu ddd )( tzyx , zzyyxx dddd zwyvxu , ( 4-16) 按矢量分析 對(duì)于圓柱坐標(biāo)系,則有 于是 從以上分析可知,不論是可壓縮流體還是不可 壓縮流體,也不論是定常流動(dòng)還是非定常流動(dòng), 只要滿(mǎn)足無(wú)旋流動(dòng)條件,必然存在速度勢(shì)函數(shù)。 g r a d kzjyixkwjviuV zvrvrv zr , 1 zvrvrv zr dddd ( 4-17) ( 4-18) 二、速度勢(shì)函數(shù)的性質(zhì) ( 1)不可壓縮流體的有勢(shì)流動(dòng)中,勢(shì)函數(shù) 滿(mǎn)足拉普拉斯 方程,勢(shì)函數(shù) 是調(diào)和函數(shù)。 將式( 4-16)代入到不可壓縮流體的連續(xù)性方程( 3-28) 中,則有 式中 為拉普拉斯算子,式( 4-19)稱(chēng)為拉普拉 斯方程,所以在不可壓流體的有勢(shì)流動(dòng)中,速度勢(shì)必定滿(mǎn) 足拉普拉斯方程,而凡是滿(mǎn)足拉普拉斯方程的函數(shù),在數(shù) 學(xué)分析中稱(chēng)為調(diào)和函數(shù),所以速度勢(shì)函數(shù)是一個(gè)調(diào)和函數(shù)。 022 2 2 2 2 2 zyx (4-19) 2 2 2 2 2 22 zyx 0 zwyvxu 從上可見(jiàn),在不可壓流體的有勢(shì)流動(dòng)中,拉普拉斯方 程實(shí)質(zhì)是連續(xù)方程的一種特殊形 式,這樣把求解無(wú)旋 流動(dòng)的問(wèn)題,就變?yōu)榍蠼鉂M(mǎn)足一定邊界條件下的拉普拉 斯方程的問(wèn)題。 ( 2)任意曲線上的速度環(huán)量等于曲線兩端點(diǎn)上速度勢(shì)函 數(shù) 值之差。而與曲線的形狀無(wú)關(guān)。 根據(jù)速度環(huán)量的定義,沿任意曲線 AB的線積分 這樣,將求環(huán)量問(wèn)題,變?yōu)榍笏俣葎?shì)函數(shù)值之差的問(wèn)題。 對(duì)于任意封閉曲線,若 A點(diǎn)和 B點(diǎn)重合,速度勢(shì)函數(shù)是單值 且連續(xù)的,則流場(chǎng)中沿任一條封閉曲線的速度環(huán)量等于零, 即 。 AB B A B A B A AB dw d zv d yudxsdV )( 0AB 第四節(jié) 二維平面流動(dòng)的流函數(shù) 一、流函數(shù)的引入 對(duì)于流體的平面流動(dòng),其流線的微分方程為 ,將其改寫(xiě)成下列形式 ( 4-20) 在不可壓縮流體的平面流動(dòng)中,速度場(chǎng)必須滿(mǎn)足不可壓縮流體的連續(xù)性方程, 即 或 ( 4-21) 由數(shù)學(xué)分析可知,式( 4-21)是( )成為某函數(shù)全微分的充分必要條 件,以 表示該函數(shù),則有 ( 4-22) 函數(shù)稱(chēng)為流場(chǎng)的流函數(shù)。由式( 4-22)可得 ( 4-23) vyux dd 0dd yuxv 0 yvxu y v x u yuxv dd yuxvyyxx ddddd ),( yx xvyu , 由式 (4-22),令 ,即 常數(shù),可得流線微分方程式 (4-20)。由 此可見(jiàn) , 常數(shù)的曲線即為流線,若給定一組常數(shù)值,就可得到流 線簇?;蛘哒f(shuō),只要給定流場(chǎng)中某一固定點(diǎn)的坐標(biāo)( )代入流函 數(shù) ,便可得到一條過(guò)該點(diǎn)的確定的流線。因此,借助流函數(shù)可以形 象地描述不可壓縮平面流場(chǎng)。 對(duì)于極坐標(biāo)系,可寫(xiě)成 ( 4-24) ( 4-25) 在已知速度分布的情況下,流函數(shù)的求法與速度勢(shì)函數(shù)一樣,可由曲 線積分得出。 至此可看到,在不可壓縮平面流動(dòng)中,只要求出了流函數(shù) ,由 式( 4-23)或式( 4-24)就可求出速度分布。反之,只要流動(dòng)滿(mǎn)足不 可壓縮流體的連續(xù)性方程,不論流場(chǎng)是否有旋,流動(dòng)是否定常,流體 是理想流體還是黏性流體,必然存在流函數(shù) 。 這里需說(shuō)明,等流函數(shù)線與流線等同,僅在平面流動(dòng)時(shí)成立。對(duì) 于三維流動(dòng),不存在流函數(shù),也就不存在等流函數(shù)線,但流線還是存 在的。 0d ),( yx 00 yx, rvr 1 rv ddd rvrv r ),( yx 二、流函數(shù)的性質(zhì) ( 1)對(duì)于不可壓縮流體的平面流動(dòng),流函數(shù) 永遠(yuǎn) 滿(mǎn)足 連續(xù)性方程。 將式( 4-23)代入式( 4-21)得 即流函數(shù)永遠(yuǎn)滿(mǎn)足連續(xù)性方程。 ( 2)對(duì)于不可壓縮流體的平面勢(shì)流,流函數(shù) 滿(mǎn)足拉普 拉斯方程,流函數(shù)也是調(diào)和函數(shù)。 對(duì)于平面無(wú)旋流動(dòng), ,則 將式( 4-23)代入上式 因此,不可壓縮流體平面無(wú)旋流動(dòng)的流函數(shù)也滿(mǎn)足拉普拉 斯方程,也是一個(gè)調(diào)和函數(shù)。 因此,在平面不可壓縮流體的有勢(shì)流場(chǎng)中的求解問(wèn)題,可 以轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)滿(mǎn)足邊界條件的 的拉普拉斯方程 . yxxy 22 0z 0 yuxv 022222 yx ( 3)平面流動(dòng)中,通過(guò)兩條流線間任一 曲線單位厚度的體積流量等于兩條流線的 流函數(shù)之差。這就是流函數(shù) 的物理意義。 如圖 4-9所示,在兩流線間任一曲線 AB,則通過(guò)單位厚度的體積流量為 ( 4-26) 由式( 4-26)可知,平面流動(dòng)中兩條流線 間通過(guò)的流量等于這兩條流線上的流函數(shù) 之差。 圖 4-9 說(shuō)明流函數(shù)物理意義用圖 2 1 2 1 2 1 2 1 dd)d(d x x y y x x y y V xxyyxvyuq 12 , ),( 22 11 d yx yx 三、 和 的關(guān)系 ( 1)滿(mǎn)足柯西 -黎曼條件 如果是不可壓縮流體的平面無(wú)旋流動(dòng),必然同時(shí)存在著速 度勢(shì)和流函數(shù),比較式( 4-16)和式( 4-23),可得到速度 勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)之間存在的如下關(guān)系 ( 4-27) ( 4-28) 這是一對(duì)非常重要的關(guān)系式,在高等數(shù)學(xué)中稱(chēng)作柯西 -黎曼 條件。因此, 和 互為共軛調(diào)和函數(shù),這就有可能使我們利 用復(fù)變函數(shù)這樣一種有力的工具求解此類(lèi)問(wèn)題。 當(dāng)勢(shì)函數(shù) 和 流函數(shù)二者知其一時(shí),另一個(gè)則可利用 式( 4-27)的關(guān)系求出,而至多相差一任意常數(shù)。 xyyx , 0 yyxx ( 2)流線與等勢(shì)線正交。 式( 4-28)是等勢(shì)線簇 常數(shù) 和流線簇 常數(shù) 互相正交的條 件,若在同一流場(chǎng)中繪出相應(yīng)的一 系列流線和等勢(shì)線,則它們必然構(gòu) 成正交網(wǎng)格,稱(chēng)為流網(wǎng),如圖 4-10 所示。 ),( yx ),( yx 圖 4-10 流網(wǎng) 0 yyxx 【 例 4-3】 有一不可壓流體平面流動(dòng)的速度分布 為 。該平面流動(dòng)是否存在流函數(shù)和速度 勢(shì)函數(shù);若存在,試求出其表達(dá)式;若在流場(chǎng)中 A ( 1m, 1m) 處的絕對(duì)壓強(qiáng)為 1.4 105Pa,流體的密度 1.2kg/m3,則 B( 2m, 5m) 處的絕對(duì)壓強(qiáng)是多少? 【 解 】 ( 1)由不可壓流體平面流動(dòng)的連續(xù)性方程 該流動(dòng)滿(mǎn)足連續(xù)性方程,流動(dòng)是存在的,存在流函數(shù)。 由于是平面流動(dòng) 該流動(dòng)無(wú)旋,存在速度勢(shì)函數(shù)。 yvxu 44 , 0)4()4( yyxxyvxu 0 yx 044 2 1 2 1 y x x y y u x v z ( 2)由流函數(shù)的全微分得: 積分 由速度勢(shì)函數(shù)的全微分得: 積分 ( 3)由于 ,因此, A和 B處的速度分別為 由伯努里方程 可得 yxxyyuxvyyxx d4d4ddddd Cxy 4 yyxxyvxuyyxx d4d4ddddd Cyx )(2 22 222 vuV )(32)14()14( 22222A smV )(4 6 4)54()24( 22222B smV 2BB2AA 2121 VpVp )(8.13 97 40)46 432(2.121104.1)(21 52B2AAB PaVVpp 第五節(jié) 基本的平面有勢(shì)流動(dòng) 流體的平面有勢(shì)流動(dòng)是相當(dāng)復(fù)雜的,很多復(fù)雜 的平面有勢(shì)流動(dòng)可以由一些簡(jiǎn)單的有勢(shì) 流動(dòng)疊加 而成。所以,我們首先介紹幾種基本的平面有勢(shì) 流動(dòng),它包括 均勻直線流動(dòng) , 點(diǎn)源和點(diǎn)匯 、點(diǎn)渦 等 一、均勻直線流動(dòng) 流體作均勻直線流動(dòng)時(shí),流場(chǎng)中各點(diǎn)速度的大小相等,方 向相同,即 和 。由 式 ( 4-16) 和式 ( 4-23) ,得 于是速度勢(shì)和流函數(shù)各為 以上兩式中的積分常數(shù) 和 可以任意選取,而不影響流體 的流動(dòng)圖形(稱(chēng)為流譜)。 0uu 0vv 00 , vxyvuyxu 10000 dddd Cyvxuyvxuyyxx 20000 d)d(dd Cyuxvyuxvyyxx 1C 2C 若令 ,即得均勻直線流動(dòng)的速度勢(shì)和流函數(shù)各為 ( 4-29) ( 4-30) 由式 ( 4-29) 和式 ( 4-30) 可知,等勢(shì)線簇( 常 數(shù))和流線簇( =常數(shù))互相垂直,如 圖 4-11 所示。各流線與軸的夾 角等于 。 由于流場(chǎng)中各點(diǎn)的速度都相等,根據(jù)伯努里方程( 3-41), 得 常數(shù) 如果均勻直線流動(dòng)在水平面上,或流體為氣體,一般可以忽 略重力的影響,于是 常數(shù) 即流場(chǎng)中壓強(qiáng)處處相等。 021 CC yvxu 00 yuxv 00 yvxu 00 yuxv 00 001-tg uv gpz p 圖 4-11 均勻直線流的流譜 二、平面點(diǎn)源和點(diǎn)匯 如果在無(wú)限平面上流體不斷從一點(diǎn)沿徑向直線均勻地向 各方流出,則這種流動(dòng)稱(chēng)為點(diǎn)源,這個(gè)點(diǎn)稱(chēng)為源點(diǎn) ( 圖 4-12, a) ;若流體不斷沿徑向直線均勻地從各方流入一點(diǎn),則這 種流動(dòng)稱(chēng)為點(diǎn)匯,這個(gè)點(diǎn)稱(chēng)為匯點(diǎn) ( 圖 4-12, b) 。顯然,這兩 種流動(dòng)的流線都是從原點(diǎn) O發(fā)出的放射線,即從源點(diǎn)流出和 向匯點(diǎn)流入都只有徑向速度 ?,F(xiàn)將極坐標(biāo)的原點(diǎn)作為源點(diǎn) 或匯點(diǎn),則 rv r rv 0v rv r dd 圖 4-12 點(diǎn)源和點(diǎn)匯的流譜 點(diǎn)源 點(diǎn)匯 back 根據(jù)流動(dòng)的連續(xù)性條件,流體每秒通過(guò)任一半徑為 的單位長(zhǎng)度圓柱 面上的流量 都應(yīng)該相等,即 常數(shù) 由此得 ( 4-31) 式中 是點(diǎn)源或點(diǎn)匯在每秒內(nèi)流出或流入的流量,稱(chēng)為點(diǎn)源強(qiáng) 度或點(diǎn)匯強(qiáng)度。對(duì)于點(diǎn)源, 與 同向, 取正號(hào);對(duì)于點(diǎn)匯, 與 異向, 取負(fù)號(hào),于是 積分得 式中積分常數(shù) 是任意給定的,現(xiàn)令 。又由于 ,于是得 速度勢(shì) ( 4-32) 當(dāng) 時(shí),速度勢(shì) 和 速度都變成無(wú)窮大,源點(diǎn)和匯點(diǎn)都是奇點(diǎn)。所 以速度勢(shì) 和速度 的表達(dá)式( 4-31)和式( 4-32)只有在源點(diǎn)和匯點(diǎn) 以外才能應(yīng)用。 r Vq Vr qrv 12 r qv V r 2 Vq rv rvr rVq Vq r rq V d 2d Crq V ln2 C 0C 22 yxr 22ln2ln2 yxqrq VV 0r rv rv 現(xiàn)在求流函數(shù),由式( 4-25) 積分得 (令式中的積分常數(shù)為零 ) ( 4-33) 等勢(shì)線簇( 常數(shù),即 常數(shù))是同心圓簇(在 圖 4-12中 用虛線表示)與流線簇( 常數(shù),即 常數(shù))成正交。而 且除源點(diǎn)或匯點(diǎn)外,整個(gè)平面上都是有勢(shì)流動(dòng)。 如果 平面是無(wú)限水平面,則根據(jù)伯努里方程( 341) 式中 為 在處的流體壓強(qiáng),該處的速度為零。 將式( 4-31)代入上式,得 ( 4-34) 由式( 4-34)可知,壓強(qiáng) 隨著半徑 的減小而降低。當(dāng) 時(shí), 。 圖 4-13表示當(dāng) 時(shí),點(diǎn)匯沿 半徑 的壓強(qiáng)分布。 d2dddd Vrr qrvrvrv x yqq VV 1-tg 22 r XOY g p g v g p r 2 2 p r 22 2 1 8 r qpp V p r 2/1220 )8/( pqrr V rr00p r 圖 4-13 點(diǎn)匯沿半徑的壓強(qiáng)分布 三、點(diǎn)渦 設(shè)有一旋渦強(qiáng)度為 的無(wú)限長(zhǎng)直線渦束,該渦束以等角 速度 繞自身軸旋轉(zhuǎn),并帶動(dòng)渦束周?chē)牧黧w繞其環(huán)流。由 于直線渦束為無(wú)限長(zhǎng),所以可以認(rèn)為與渦束垂直的所有平面 上的流動(dòng)情況都一樣。也就是說(shuō),這種繞無(wú)限長(zhǎng)直線渦束的 流動(dòng)可以作為平面流動(dòng)來(lái)處理。由渦束所誘導(dǎo)出的環(huán)流的流 線是許多同心圓,如 圖 4-14所示。根據(jù)斯托克斯定理可知, 沿任一同心圓周流線的速度環(huán)量等于渦束的旋渦強(qiáng)度,即 常數(shù) 于是 ( 4-35) 因此渦束外的速度與半徑成反比。若渦束的半徑 ,則 成為一條渦線,這樣的流動(dòng)稱(chēng)為點(diǎn)渦,又稱(chēng)為純環(huán)流。但當(dāng) 時(shí), ,所以渦點(diǎn)是一個(gè)奇點(diǎn)。 I Irv 2 02 rvrv , 00 r 00 r v 圖 4-14 點(diǎn)渦的流譜 現(xiàn)在求點(diǎn)渦的速度勢(shì)和流函數(shù)。由于 由 積分后得速度勢(shì) ( 4-36) 又由于 由 積分后得流函數(shù) ( 4-37) 當(dāng) 時(shí),環(huán)流為反時(shí)針?lè)较?,?圖 4-14所示;當(dāng) 時(shí),環(huán)流 為順時(shí)針?lè)较颉?由式( 4-36)和式( 4-37)可知,點(diǎn)渦的等勢(shì)線簇是經(jīng)過(guò)渦點(diǎn)的放射 線,而流線簇是同心圓。而且除渦點(diǎn)外,整個(gè)平面上都是有勢(shì)流動(dòng)。 rrvrv r 2 10 , d2d1dd rrrr x y1-tg 22 rrvrv r 20 1 , rrrrrr d2d1dd rln2 0 0 設(shè)渦束的半徑為 ,渦束邊緣上的速度為 ,壓強(qiáng) 為 ; 時(shí)的速度顯然為零,而壓強(qiáng)為 。代入伯努里 方程( 3-41),得渦束外區(qū)域內(nèi)的壓強(qiáng) 分布為 ( 4-38) 由式( 4-38)可知,在渦束外區(qū)域內(nèi)的壓強(qiáng)隨著半徑的減小 而降低,渦束外緣上的壓強(qiáng)為 或 ( 4-39) 所以渦束外區(qū)域內(nèi)從渦束邊緣到無(wú)窮遠(yuǎn)處的壓強(qiáng)降是一個(gè)常 數(shù)。又由式( 4-38)可知,在 處,壓強(qiáng) ,顯然這 是不可能的。所以在渦束內(nèi)確實(shí)存在如同剛體一樣以等角速 度旋轉(zhuǎn)的旋渦區(qū)域,稱(chēng)為渦核區(qū)。由式( 4-39)可得渦核的 半徑 0r 00 2 rv 0p r p 22 22 1 82 rp vpp 202 220 0 1 82 rp vpp 202 22 00 1 82 1 rvpp 0r p 常數(shù) gVgpz 2 2 由于渦核內(nèi)是有旋流動(dòng),故流體的壓強(qiáng)可以根據(jù)歐拉運(yùn)動(dòng)微 分方程求得。平面定常流動(dòng)的歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程為 將渦核內(nèi)任一點(diǎn)的速度 和 代入上兩式,得 以 和 分別乘以上兩式,然后相加,得 或 積分得 x p y uv x uu 1 y p y vv x vu 1 yu xv x px 12 y py 12 xd yd yypxxpyyxx dd1)dd(2 pyx d1d2 22 2 )( CvCrCyxp 222222 212121 )( 在 處, ,代入上式,得 最后得渦核區(qū)域內(nèi)的壓強(qiáng)分布為 ( 4-40) 或 ( 4-40a) 于是渦核中心的壓強(qiáng) 而渦核邊緣的壓強(qiáng) 所以 可見(jiàn),渦核內(nèi)、外的壓強(qiáng)降相等,都等于用渦核邊緣速度計(jì) 算的動(dòng)壓頭。渦核內(nèi)、外的速度分布和壓強(qiáng)分布如 圖 4-15所 示。 0rr 00 vvpp 、 2020200200 2121 vpvvpvpC 220 21 vvpp 22202 21 rrpp 20220 rpvpp c 2 0 22 00 2 1 2 1 rpvpp 2 0 22 000 2 1 2 1 2 1 rvpppppp cc )( 圖 5-14 渦流中渦核內(nèi)、外的速度和壓強(qiáng)分布 第六節(jié) 平面勢(shì)流的疊加流動(dòng) 從上節(jié)可以看到,只有對(duì)一些簡(jiǎn)單的有勢(shì)流動(dòng), 才能求出它們流函數(shù)和勢(shì)函數(shù),但當(dāng)流動(dòng)較復(fù)雜時(shí), 根據(jù)流動(dòng)直接求解流函數(shù)和勢(shì)函數(shù)往往十分困難。 我們可以將一些簡(jiǎn)單有勢(shì)流動(dòng)進(jìn)行疊加,得到較復(fù) 雜的流動(dòng),這樣一來(lái),為求解流動(dòng)復(fù)雜的流場(chǎng)提供 了一個(gè)有力的工具。因此,本節(jié)先介紹勢(shì)流的疊加 原理,然后再介紹幾種典型的有實(shí)際意義的疊加流 動(dòng)。 一、勢(shì)流疊加原理 前面我們知道,速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)都滿(mǎn)足拉普拉斯方 程。凡是滿(mǎn)足拉普拉斯方程的函數(shù),在數(shù)學(xué)分析上都稱(chēng)為調(diào) 和函數(shù),所以速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)都是調(diào)和函數(shù)。根據(jù)調(diào)和 函數(shù)的性質(zhì),即若干個(gè)調(diào)和函數(shù)的線性組合仍然是調(diào)和函 數(shù),可將若干個(gè)速度勢(shì)函數(shù) (或流函數(shù) )線性組合成一個(gè)代表 某一有勢(shì)流動(dòng)的速度勢(shì)函數(shù) (或流函數(shù) )?,F(xiàn)將若干個(gè)速度勢(shì) 函數(shù) 、 、 、 疊加,得 ( 4-41) 而 ( 4-42) 顯然,疊加后新的速度勢(shì)函數(shù)也滿(mǎn)足拉普拉斯方程。同樣, 疊加后新的流函數(shù)也滿(mǎn)足拉普拉斯方程,即 ( 4-43) 1 2 3 321 0)( 32221232122 03222122 這個(gè)疊加原理方法簡(jiǎn)單,在實(shí)際應(yīng)用上有很大意義,可 以應(yīng)用這個(gè)原理把上一節(jié)所討論的幾個(gè)簡(jiǎn)單的基本平面有勢(shì) 流動(dòng)疊加成所需要的復(fù)雜有勢(shì)流動(dòng)。 將新的速度勢(shì)函數(shù) 分別對(duì) 、 和 取偏導(dǎo)數(shù),就等于 新的有勢(shì)流動(dòng)的速度分別在 、 和 軸方向上的分量: ( 4-44) 或 ( 4-45) 即 ( 4-46) x y z zzzz yyyy xxxx 321 321 321 321 321 321 wwww vvvv uuuu X Y Z 321 VVVV 由此可見(jiàn),疊加后所得的復(fù)雜有勢(shì)流動(dòng)的 速度為疊加前原來(lái)的有勢(shì)流動(dòng)速度的矢量 和。 由此,可得出一個(gè)重要結(jié)論:疊加兩個(gè)或多個(gè)不 可壓平面勢(shì)流流動(dòng)組成一個(gè)新的復(fù)合流動(dòng),只要把 各原始流動(dòng)的勢(shì)函數(shù)或流函數(shù)簡(jiǎn)單地代數(shù)相加,就 可得到該復(fù)合流動(dòng)的勢(shì)函數(shù)或流函數(shù)。該結(jié)論稱(chēng)為 勢(shì)流的疊加原理。 二、螺旋流 螺旋流是點(diǎn)渦和點(diǎn)匯的疊加。將式( 4-36)和式 ( 4-32) 相加以及將式( 4-37)和式( 4-33)相加即得新的有勢(shì)流動(dòng) 的速度勢(shì)和流函數(shù) ( 4-47) ( 4-48) 式中 取反時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎S谑堑玫葎?shì)線方程 常數(shù) 或 ( 4-49) 流線方程為 常數(shù) 或 ( 4-50) 顯然,等勢(shì)線簇和流線簇是兩組互相正交的對(duì)數(shù)螺旋線簇 (圖 4-16) ,稱(chēng)為螺旋流。流體從四周向中心流動(dòng)。 )( rq V ln21 )( Vqr ln21 rq V ln Vq Cr e1 Vqr ln q VCr e 2 圖 4-16 螺旋流的流譜 研究螺旋流在工程上有重要意義。例如旋流燃燒室、旋 風(fēng)除塵設(shè)備及多級(jí)離心泵反導(dǎo)葉中的旋轉(zhuǎn)氣流即可看成是這 種螺旋流。 螺旋流的速度分布為 ( 4-51) ( 4-52) ( 4-53) 代入伯努里方程( 3-41),得流場(chǎng)的壓強(qiáng)分布 ( 4-54) r rv 2 1 r q rv V r 2 22 22 222 4 r qvvV V r 2 2 2 1 22 221 11 8 rr qpp V )( 三、偶極流 將流量各為 的點(diǎn)源和 的點(diǎn)匯相距 2a距離放在 X軸 上,疊加后的流動(dòng)圖形如 圖 4-17所示,它的速度勢(shì)和流函數(shù) 各為 ( 4-55) ( 4-56) 由流線方程( 4-56) 常數(shù),得 常數(shù),所以流線是經(jīng) 過(guò)源點(diǎn) A和匯點(diǎn) B的圓簇,而且從源點(diǎn)流出的流量全部流入?yún)R 點(diǎn)。 222221 lnln2lnln2 yaxyax qrrq VV )()()( 22 22 ln4 yax yaxq V )( )( 22 21 VV qq )( Vq Vq 圖 4-17 點(diǎn)源和點(diǎn)匯的疊加 常數(shù) 現(xiàn)在分析一種在點(diǎn)源和點(diǎn)匯無(wú)限接近的同時(shí),流量無(wú)限增 大(即 ),以至使 保持一個(gè)有限常數(shù)值 的 極限情況。在這種極限情況下的流動(dòng)稱(chēng)為偶極流, 稱(chēng)為偶 極矩或偶極強(qiáng)度。偶極流是有方向的,一般規(guī)定由點(diǎn)源指向 點(diǎn)匯的方向?yàn)檎?。?圖 4-18所示,偶極流指向 軸方向, 這時(shí)的偶極矩 取正值。 偶極流的速度勢(shì)可由式( 4-55)根據(jù)上述極限條件求得, 將式( 4-55)改寫(xiě)成 Vqa ,02 Vaq2 M M M X 2 21 2 1 21 1ln2ln2lnln2 r rrq r rqrrq VVV )( 常數(shù) 常數(shù) 圖 4-18 偶極流的流譜 從 圖 4-19中可知,當(dāng) A點(diǎn)和 B點(diǎn)向原點(diǎn) O無(wú)限接近 時(shí), ,而且當(dāng) , 時(shí) , , ,又由于 當(dāng) 為無(wú)窮小時(shí),可以略去高階項(xiàng),得 。因 此,偶極流的速度勢(shì) 或 ( 4-57) 121 c o s2 arr 02 a Vq Maq V 2 rrr 21 021 4321ln 432 )( )1ln ( 2 1 022 1 02 co s2 2lim co s21ln 2lim r aq r aq V q a V q a VV 2 co s 22 co s r rM r M 222 22 yx xM r xM 圖 4-19 推導(dǎo)偶極流用圖 在圖 4-19中, BC為從 B點(diǎn)向 AP所作的垂線,則 又當(dāng) , , ,所以 ,代入式 ( 4-56) 得偶極流的流函數(shù) 或 ( 4-58) 令式( 4-58)等于常數(shù) ,于是得流線方程 ( 4-59) 即流線簇是半徑為 、圓心為( 0, ),且與軸在原 點(diǎn)相切的圓簇,如圖 4-18中實(shí)線所示。 又令式( 4-57)等于常數(shù),得等勢(shì)線方程 ( 4-60) 即等勢(shì)線簇是半徑為 、圓心為( , 0)且與軸在原 點(diǎn)相切的圓簇,如圖 4-18中虛線所示。 12 s i n2s i nBC ar 02 a 0a sin s in2 ar 20202 s i n 2 s i n2 2lim2lim r rM r aqq V q a V q a VV 222 22 yx yM r yM 1C 2 1 2 1 2 44 C M C Myx 14C M 14 C M 2 2 2 2 2 44 C My C Mx 24C M 24 C M 四、繞圓柱體無(wú)環(huán)量流動(dòng) 將均勻直線流與偶極流疊加,可以得到繞圓柱體無(wú)環(huán)量 流動(dòng)。設(shè)有一在無(wú)窮遠(yuǎn)處速度 為 、平行于 X軸、由左向右 流的均勻直線流,與在坐標(biāo)原點(diǎn) O上偶極矩為 M、方向與 X軸 相反的偶極流疊加,如 圖 4-20所示,組合流動(dòng)的流函數(shù)為 ( 4-61) 流線方程 ( 4-62) 選取不同的常數(shù)值 ,可得到如圖 4-20所示的流動(dòng)圖形。對(duì) 的所謂零流線的方程為 或 , V 2222 1 212 yxV MyV yx yMyV Cyx yMyV 222 C 0 C 0121 22 yxV MyV 0y VMyx 222 圖 4-20 均勻流繞圓柱體無(wú)環(huán)量流動(dòng) 由此可知,零流線是一個(gè)以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心、半徑 的 圓周與正負(fù) X軸 和 所構(gòu)成的圖形。該流線到 A點(diǎn)處分為 兩段,沿上、下兩個(gè)半圓周流到 B點(diǎn),又重新匯合。這個(gè)平 面組合流動(dòng)的流函數(shù)為 (4-63) 同樣,也可得到它的速度勢(shì) (4-64) 以上兩式中, ,這是因?yàn)?的圓柱體內(nèi)的流動(dòng)沒(méi)有實(shí) 際意義。 VMr 20 BB AA s i n11 2 2 0 22 2 0 r r rV yx ryV 22 2 0 22 12 yx rxV yx xMxV c o s1 2 2 0 r r rV r 0r 0rr 流場(chǎng)中任一點(diǎn)的速度分量為 (4-65) 在 , 處, , 。這表示,在離開(kāi)圓柱體無(wú)窮 遠(yuǎn)處是速度為 的均勻直線流動(dòng)。在 圖 4-20中的 A點(diǎn)( , 0)和 B點(diǎn) ( , 0)處, , A點(diǎn)為前駐點(diǎn), B點(diǎn)為后駐 點(diǎn)。 用極坐標(biāo)表示的速度分量為 ( 4-66) 2s i n )( 2 2c o s1 )( )( 1 2 2 0 222 2 0 2 2 0 222 222 0 r r V yx xy rV y v r r V yx yxr V x u x y Vu 0v V 0r 0r 0 vu s i n1 1 co s1 2 2 0 2 2 0 r r V r v r r V r v r 沿包圍圓柱體圓周的速度環(huán)量為 所以,均勻直線流繞圓柱體的平面流動(dòng)是沒(méi)有速度環(huán)量的。 因此,一個(gè)速度為 的均勻直線流繞半徑為 的圓柱體無(wú) 環(huán)量的平面流動(dòng),可以用由這個(gè)均勻直線流與偶極矩 的偶極流疊加而成的平面組合流動(dòng)來(lái)代替。 當(dāng) ,在圓柱面上 ( 4-67) 這說(shuō)明,流體在圓柱面上各點(diǎn)的速度都是沿切線方向的,也 就是說(shuō)理想流體繞圓柱體無(wú)環(huán)量的平面流動(dòng)不會(huì)與圓柱面發(fā) 生分離。 2 0 2 2 0 0ds i n1d r rrVsv V 0r 202 rVM 0rr s in2 0 Vv v r 由式( 4-67)可知,在圓柱面上的速度是按照正弦曲線 規(guī)律分布的,如 圖 4-21所示。在 (圖 4-20中的 B點(diǎn))和 (圖 4-20中的 A點(diǎn))處, ;在 處,達(dá)到 最大值 ,與圓柱體的半徑無(wú)關(guān),而等于無(wú)窮遠(yuǎn)處速 度的兩倍。 由伯努里方程( 3-41)可求得不可壓縮理想流體的圓柱 面上壓強(qiáng)分布的公式,即 將式( 4-67)代入上式,得 (4-68) 在工程上常用無(wú)量綱的壓強(qiáng)系數(shù)來(lái)表示流體的壓強(qiáng)分布,它 定義為 (4-69) 將式( 4-68)代入上式,得 (4-70) 0 180 0 v 90 Vv 2m a x 22 2 1 2 1 Vpvp )s i n41(21 22 Vpp 2 2 1 2 1 V v V ppC p 222 s i n41)180(s i n41s i n41 pC 無(wú)窮遠(yuǎn)處流 體的壓強(qiáng) 圖 4-21 均直流繞圓柱體無(wú)環(huán)量 流動(dòng)中圓柱面上的速度分布 根據(jù)式( 4-70)計(jì)算出理論無(wú)量綱壓強(qiáng)系數(shù)曲線如 圖 4-22 中實(shí)線所示。注意 :在計(jì)算時(shí), 角是從前駐點(diǎn) A( )起 沿順時(shí)針?lè)较蛟黾印T谇榜v點(diǎn) A( )上,速度等于零, 壓強(qiáng)達(dá)到最大值, ;垂直于來(lái)流方向的最大截面 ( ) 上,速度增加到最大值,壓強(qiáng)降到最小值, ;在后駐 點(diǎn) B( )上,速度又降到零,壓強(qiáng)又回升到最大 值 , 。這種流動(dòng)在圓柱面上的壓強(qiáng)分布上下、前后都是 對(duì)稱(chēng)的,因此流體作用在圓柱面上的壓強(qiáng)合力等于零。由于 流體作用在圓柱面上的壓強(qiáng)合力可分為與來(lái)流方向垂直的升 力和與來(lái)流方向平行的阻力。因此,無(wú)黏性的理想流體繞圓 柱體無(wú)環(huán)量流動(dòng)時(shí),圓柱體上既不承受升力,也不承受阻 力。不承受升力與實(shí)際情況是相符合的,但是不承受阻力則 與實(shí)際情況大不相符 ,這就是著名的達(dá)朗伯 ( J R dAlembert) 疑題 0 0 1pC 90 3pC 180 1pC 事實(shí)上,有黏性的實(shí)際流體繞圓柱體無(wú)環(huán)量流動(dòng)時(shí),在 圓柱面上流動(dòng)方向的壓強(qiáng)分布是不對(duì)稱(chēng)的。這是由于實(shí)際流 體存在著黏性,當(dāng)流體繞流圓柱體時(shí),從前駐點(diǎn)開(kāi)始在圓柱 面上逐漸形成一層邊界層(在第五章中講述)。流體在圓柱 體的前半部的流動(dòng)是降壓增速,邊界層處于較穩(wěn)定狀態(tài)。到 圓柱體的后半部變?yōu)樯龎簻p速流動(dòng),容易發(fā)生邊界層分離, 在圓柱體后面形成尾渦區(qū),壓強(qiáng)下降。破壞了圓柱體面上前 后壓強(qiáng)分布的對(duì)稱(chēng)性,使圓柱體前后產(chǎn)生壓強(qiáng)差,形成壓差 阻力。 圖 4-22中所示的實(shí)驗(yàn)所得的亞臨界雷諾數(shù)下(層流) 的壓強(qiáng)分布曲線(虛線)比超臨界雷諾數(shù)下(紊流)的壓強(qiáng) 分布曲線(點(diǎn)劃線)更遠(yuǎn)離理論曲線。根據(jù)實(shí)驗(yàn)所得,在亞 臨界雷諾數(shù)下層流邊界層的分離和超臨界雷諾數(shù)下紊流邊界 層的分離分別發(fā)生在大約 和 附近。 84 120 圖 4-22 壓強(qiáng)系數(shù)沿圓柱面的分布 理論線 超臨界 亞臨界 5107.6 Re 51086.1 Re 第五章 不可壓縮流體二維邊界層概述 第一節(jié) 邊界層的基本概念 第二節(jié) 邊界層的動(dòng)量積分方程 第三節(jié) 曲面邊界層分離現(xiàn)象 卡門(mén)渦街 第四節(jié) 繞流阻力和阻力系數(shù) 在本世紀(jì)初之前,流體力學(xué)的研究分為兩個(gè) 分支:一是研究流體運(yùn)動(dòng)時(shí)不考慮黏性,運(yùn)用數(shù) 學(xué)工具分析流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。另一個(gè)是不用數(shù)學(xué) 理論而完全建立在實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上對(duì)流體運(yùn)動(dòng)進(jìn)行研 究,解決了技術(shù)發(fā)展中許多重要問(wèn)題,但其結(jié)果 常受實(shí)驗(yàn)條件限制。這兩個(gè)分支的研究方法完全 不同,這種理論和實(shí)驗(yàn)分離的現(xiàn)象持續(xù)了 150多年, 直到本世紀(jì)初普朗特提出了邊界層理論為止。由 于邊界層理論具有廣泛的理論和實(shí)用意義,因此 得到了迅速發(fā)展,成為黏性流體動(dòng)力學(xué)的一個(gè)重 要領(lǐng)域。本章介紹邊界層的基本概念及研究方法 第一節(jié) 邊界層的基本概念 一、邊界層的概念 1904年,在德國(guó)舉行的第三屆國(guó)際數(shù)學(xué)家學(xué)會(huì)上,德 國(guó)著名的力學(xué)家普朗特第一次提出了邊界層的概念。他認(rèn) 為對(duì)于水和空氣等黏度很小的流體,在大雷諾數(shù)下繞物體 流動(dòng)時(shí),黏性對(duì)流動(dòng)的影響僅限于緊貼物體壁面的薄層中, 而在這一薄層外黏性影響很小,完全可以忽略不計(jì),這一 薄層稱(chēng)為邊界層。普朗特的這一理論,在流體力學(xué)的發(fā)展 史上有劃時(shí)代的意義。 圖 5-1所示為大雷諾數(shù)下黏性流體繞流翼型的二維流動(dòng), 根據(jù)普朗特邊界層理論,把大雷諾數(shù)下均勻繞流物體表面 的流場(chǎng)劃分為三個(gè)區(qū)域,即邊界層、外部勢(shì)流和尾渦區(qū)。 圖 5-1 翼型上的邊界層 II尾部流區(qū)域 I邊界層 邊界層外邊界 邊界層外邊界 在邊界層和尾渦區(qū)內(nèi),黏性力作用顯著,黏性力和慣性力 有相同的數(shù)量級(jí),屬于黏性流體的有旋流動(dòng)區(qū);在邊界層和尾 渦區(qū)外,流體的運(yùn)動(dòng)速度幾乎相同,速度梯度很小,邊界層外 部的流動(dòng)不受固體壁面的影響,即使黏度較大的流體,黏性力 也很小,主要是慣性力。所以可將這個(gè)區(qū)域看作是理想流體勢(shì) 流區(qū),可以利用前面介紹的勢(shì)流理論和理想流體伯努里方程來(lái) 研究流場(chǎng)的速度分布。普朗特邊界層理論開(kāi)辟了用理想流體理 論和黏性流體理論聯(lián)合研究的一條新途徑。實(shí)際上邊界層內(nèi)、 外區(qū)域并沒(méi)有明顯的分界面,一般將壁面流速為零與流速達(dá)到 來(lái)流速度的 99處之間的距離定義為邊界層厚度。邊界層厚度 沿著流體流動(dòng)方向逐漸增厚,這是由于邊界層中流體質(zhì)點(diǎn)受到 摩擦阻力的作用,沿著流體流動(dòng)方向速度逐漸減小,因此,只 有離壁面逐漸遠(yuǎn)些,也就是邊界層厚度逐漸大些才能達(dá)到來(lái)流 速度。 根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知 , 同管流一樣 , 邊界層內(nèi)也存在著層 流和紊流兩種流動(dòng)狀態(tài) , 若全部邊界層內(nèi)部都是層流 , 稱(chēng)為 層流邊界層 , 若在邊界層起始部分內(nèi)是層流 , 而在其余部分 內(nèi)是紊流 , 稱(chēng)為混合邊界層 , 如圖 5-2所示 , 在層流變?yōu)槲闪?之間有一過(guò)渡區(qū) 。 在紊流邊界層內(nèi)緊靠壁面處也有一層極薄 的層流底層 。 判別邊界層的層流和紊流的準(zhǔn)則數(shù)仍為雷諾數(shù) , 但雷諾數(shù)中的特征尺寸用離前緣點(diǎn)的距離 x表示之 , 特征速度 取邊界層外邊界上的速度 , 即 V xVRe x (5-1) 圖 5-2 平板上的混合邊界層 層流邊界層 過(guò)渡區(qū)域 紊流邊界層 層流底層 對(duì)平板的邊界層 , 層流轉(zhuǎn)變?yōu)槲闪鞯呐R界雷諾數(shù) 為 。 臨界雷諾數(shù)的大小與物體壁面的粗糙度 、 層外流體的紊流度等因素有關(guān) 。 增加壁面粗糙度或?qū)油饬黧w 的紊流度都會(huì)降低臨界雷諾數(shù)的數(shù)值 , 使層流邊界層提前轉(zhuǎn) 變?yōu)槲闪鬟吔鐚?。 二 、 邊界層的基本特征 (1) 與物體的特征長(zhǎng)度相比 , 邊界層的厚度很小 , . (2) 邊界層內(nèi)沿厚度方向,存在很大的速度梯度。 (3) 邊界層厚度沿流體流動(dòng)方向是增加的,由于邊界 層內(nèi)流體質(zhì)點(diǎn)受到黏性力的作用,流動(dòng)速度降低,所 以要達(dá)到外部勢(shì)流速度,邊界層厚度必然逐漸增加。 x 65 103105 xRe (4) 由于邊界層很薄,可以近似認(rèn)為邊界層中各截面上的 壓強(qiáng)等于同一截面上邊界層外邊界上的壓強(qiáng)值。 (5) 在邊界層內(nèi),黏性力與慣性力同一數(shù)量級(jí)。 (6) 邊界層內(nèi)的流態(tài),也有層流和紊流兩種流態(tài)。 第二節(jié) 邊界層的動(dòng)量積分方程 邊界層內(nèi)的流體是黏性流體的運(yùn)動(dòng),理論上可以用 N-S方程 來(lái)研究其運(yùn)動(dòng)規(guī)律。但由此得到的邊界層微分方程中,非 線性項(xiàng)仍存在,因此即使對(duì)于外形很簡(jiǎn)單的繞流物體求解 也是很復(fù)雜的,目前只能對(duì)平板、楔形體繞流層流邊界層 進(jìn)行理論計(jì)算求得其解析解。但工程上遇到的很多問(wèn)題, 如任意翼型的繞流問(wèn)題和紊流邊界層,一

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