數(shù)字信號處理-數(shù)字信號習(xí)題

第三章習(xí)題講解 1, 0 4() 0, nnxn n 其 他3設(shè) 4( ) ( 2)hn R n 令 ， ， 6( ) ( )x n x n 6( ) ( )h n h n 試求 與 的周期卷積并作圖。 ()xn ()hn 解： 1 0 ( ) ( ) ( ) N m y n x m h n m 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 4 5 0 3 4 5 0 6 7 0 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 nm /x n m hm 1hm 2hm 3hm 4hm 5hm /h n m 14 12 10 8 6 10 ()yn 4. 已知 如圖 P3-4（ a）所示，為 ，試 畫出 ， ， ， ， ， 等各序列。 1,1,3,2()xn 5( )xn 66( ) ( )x n R n 33( ) ( )x R n 6( )xn 55( 3) ( )x n R n 77( ) ( )x n R n 5( )xn 6( )xn 66( ) ( )x n R n 55( 3) ( )x n R n 33( ) ( )x n R n 77( ) ( )x n R n 5. 試求以下有限長序列的 點(diǎn) （閉合形式表 達(dá)式）： N DFT 0() cos( ) ()Nxn a nR n(1) 1 0 ( ) ( ) ( ) N nk NN n X k x n W R k 解： 00 21 0 1 ( ) ( ) 2 N j nk j n j n N N n a e e e R k 21 0 0 cos( ) ( ) N j nk N N n a n e R k 00 2211( ) ( ) 00 1 () 2 NN j k n j k n NN N nn a e e R k 00 00 22 ( ) ( ) 1 1 1 () 2 11 j N j N N j k j k NN ee a R k ee 0 0 0 0 0 0 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 ( ) 2 () N N N j j j j k j k j k N N N e e e a e e e 0 0 0 0 0 0 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 () () () N N N j j j N j k j k j k N N N e e e Rk e e e 00 11 22 00 sin( ) sin( )1 22 () 112 sin( ) sin( ) 22 NN j k j j k j NN N NN a e e R k kk NN 21 0 () N j n k n N N n a e R k (2) ( ) ( )n Nx n a R n 1 0 ( ) ( ) ( ) N nk NN n X k x n W R k 解： 2 1 () 1 N Njk N a Rk ae 21 0 () nN jk N N n a e R k 21 0 ( ) ( ) N j n k N N n x n e R k 21 0 0 ( ) ( ) N j nk N N n n n e R k 0 2 ()j n k N Ne R k (3) 0( ) ( )xn n n 00 nN 1 0 ( ) ( ) ( ) N nk NN n X k x n W R k 解： 1 ( 2 / ) 0 1( ) ( )N j N n k k x n X k eN 6. 如圖 P3-6（ a）畫出了幾個(gè)周期序列 ，這 些序列可以表示成傅里葉級數(shù) ()xn （ 1）哪些序列能夠通過選擇時(shí)間原點(diǎn)使所有的 成為實(shí)數(shù)？ ()Xk （ 2） 哪些序列能夠通過選擇時(shí)間原點(diǎn)使所有的 （除 外）成為虛數(shù)？ ()Xk ( 0 )X （ 3） 哪些序列能做到 ， ( ) 0Xk 2, 4, 6,.k 為共軛對稱序列，即滿足實(shí)部偶對稱，虛部 奇對稱（以 為軸）。 ()xn 0n 即 是以 為對稱軸的偶對稱 ()xn 0n 解 : （ 1）要使 為實(shí)數(shù)，根據(jù) DFT的性質(zhì) : ()Xk() () Re ()exn x n Xk() 0 Im () 0 ox n j Xk ()xn ()xn( ) ( )x n x n又由圖知， 為實(shí)序列，虛部為零，故 應(yīng) 滿足偶對稱： 故第二個(gè)序列滿足這個(gè)條件 為共軛反對稱序列，即滿足實(shí)部奇對稱，虛 部偶對稱（以 為軸）。 ()xn 0n 即 是以 對稱軸的奇對稱 ()xn 0n （ 2）要使 為虛數(shù)，根據(jù) DFT的性質(zhì) : ()Xk() 0 Re () 0 ex n Xk() () Im ()oxn x n j Xk ()xn ()xn( ) ( )xn x n 又由圖知， 為實(shí)序列，虛部為零，故 應(yīng) 滿足奇對稱： 故這三個(gè)序列都不滿足這個(gè)條件 （ 3）由于是 8點(diǎn)周期序列，其 DFS: 2 3 8 1 0 44 1 1 ( 1)() 11 j k kj nk j k j kn eX k e ee 當(dāng) 時(shí)， 2, 4, 6,.k1( ) 0Xk 序列 2: 3 2 4 4 2 0 4 1 () 1 jk j n k jkn e X k e e 217 8 00 ( ) ( ) ( ) N j nk nk N nn X k x n W x n e 序列 1: 當(dāng) 時(shí)， 2, 4, 6,.k1( ) 0Xk 序列 3: 3 1 1() () ( 4)x n x n x n 根據(jù)序列移位性質(zhì)可知 3 1 1 4 1 ( 1)X ( ) X ( ) X ( ) (1 ) 1 k jk jk jk k k e k e e 當(dāng) 時(shí)， 2, 4, 6,.k3 ( ) 0Xk 綜上所得，第一個(gè)和第三個(gè)序列滿足 ( ) 0Xk 2, 4,.k 8. 下圖表示一個(gè) 5點(diǎn)序列 。 ()xn （ 1）試畫出 ； ( ) ( )x n x n （ 2）試畫出 ； ()xn ()xn （ 3）試畫出 ； ()xn ()xn ( ) ( )x n x n ()xn ()xn ()xn ()xn 9. 設(shè)有兩個(gè)序列 ( ), 0 5 () 0,x n nxn n 其 他( ), 0 1 4 () 0,y n nyn n 其 他 各作 15點(diǎn)的 DFT，然后將兩個(gè) DFT相乘，再求 乘積的 IDFT，設(shè)所得結(jié)果為 ，問 的 哪些點(diǎn)（用序號 表示）對應(yīng)于 應(yīng) 該得到的點(diǎn)。 ()fn ()fn n ( ) ( )x n y n 解 : 序列 的點(diǎn)數(shù)為 ， 的點(diǎn)數(shù)為 ， 故 的點(diǎn)數(shù)應(yīng)為 ()xn 1 6N ()yn 2 15N ( ) ( )x n y n 12 1 20N N N 0n 4( 1)n N L 0 19( 1)N ()fn ()xn ()yn又 為 與 的 15點(diǎn)的圓周卷積，即 L 15。 是線性卷積以 15為周期周期延拓后取主值序列 混疊點(diǎn)數(shù)為 N L 20 15 5 ()fn 5n 14n ( ) ( )x n y n故 中只有 到 的點(diǎn)對應(yīng)于 應(yīng)該得到的點(diǎn)。 15 4( 1)LN ()L 15 34( 1)LN ()L 10. 已知兩個(gè)有限長序列為 1, 0 3 () 0 , 4 6nnxn n 1, 0 4 () 1, 5 6nyn n 試用作圖表示 ， 以及 。 ()xn ()yn ( ) ( )f n x n ()yn -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 0 0 0 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 nm /x n m /y n m 77y m R n 771y mR n 772y m R n 773y m R n 774y m R n 775y m R n 7ym 7ym 776y m R n 0 4 -2 -10 -10 -8 ()fn -4 11.已知 是 N點(diǎn)有限長序列， 。 現(xiàn)將長度變成 rN點(diǎn)的有限長序列 ()xn ( ) ( )X k DFT xn ()yn ( ), 0 1() 0, 1 x n n Nyn N n rN 試求 rN點(diǎn) 與 的關(guān)系。 ()DFT y n ()Xk 解：由 21 0 ( ) ( ) ( ) ,0 1 N j nk N n X k DFT x n x n e k N 得 1 0 ( ) ( ) ( ) rN nk rN n Y k DFT y n y n W 21 0 () kN jn Nr n x n e 1 0 () N nk rN n x n W , 0,1,., 1k lrl N kX r 21 0 () N j n k rN n x n e 在一個(gè)周期內(nèi)， Y (k)的抽 樣點(diǎn)數(shù)是 X (k)的 r倍 ( Y (k) 的周期為 Nr)，相當(dāng)于在 X (k)的每兩個(gè)值之間插 入 r-1個(gè)其他值（不一定 為零），而當(dāng) k為 r的整數(shù) l倍時(shí)， Y (k)與 X (k / r)相 等。 相當(dāng)于頻域插值 21 0 ( ) ( ) 0 1 N j nk N n X k x n e k N , 0,1,., 1k lrl N () kY k X r 12. 已知 是 N點(diǎn)的有限長序列， ， 現(xiàn)將 的每兩點(diǎn)之間補(bǔ)進(jìn) 個(gè)零值點(diǎn)，得到 一個(gè) rN點(diǎn)的有限長序列 ()xn ( ) ( )Xk DFTxn ()xn 1r ()yn ( ), , 0,1,., 1() 0, x n r n ir i Nyn n 其他 試求 rN點(diǎn) 與 的關(guān)系。 ( )DFT y n ()Xk 解：由 1 0 ( ) ( ) ( ) ,0 1 N nk N n X k DFT x n x n W k N 1 0 ( ) ( ) ( ) rN nk rN n Y k DFT y n y n W 得 1 0 () N ir k rN i x ir r W 01k rN 1 0 () N ik N i x i W 故 ( ) ( ) ( )N rNYk X k R k 離散時(shí)域每兩點(diǎn)間插 入 r -1個(gè)零值點(diǎn)，相 當(dāng)于頻域以 N為周期 延拓 r次，即 Y(k)周期 為 rN。 1 0 ( ) ( ) 0 1 N nk N n X k x n W k N 01k rN 1 0 ( ) ( ) N ik N i Y k x i W 14.設(shè)有一譜分析用的信號處理器，抽樣點(diǎn)數(shù)必須 為 2的整數(shù)冪，假定沒有采用任何特殊數(shù)據(jù)處理 措施，要求頻率分辨力 ，如果采用的抽 樣時(shí)間間隔為 0.1ms，試確定：（ 1）最小記錄長 度；（ 2）所允許處理的信號的最高頻率；（ 3） 在一個(gè)記錄中的最少點(diǎn)數(shù)。 10Hz 解 : （ 1）因?yàn)?，而 ，所以 0 0 1T F 0 10F Hz 0 1 10Ts 即最小記錄長度為 0.1s。 （ 2）因?yàn)?，而 311 10 10 0.1sf kH zT 2shff 1 5 2hsf f k H z 即允許處理的信號的最高頻率為 。 5kHz 又因 N必須為 2的整數(shù)冪，所以一個(gè)記錄中的 最少點(diǎn)數(shù)為 30 0.13 10 1000 0.1 TN T （） 102 1024N 19. 復(fù)數(shù)有限長序列 是由兩個(gè)實(shí)有限長序列 和 組成的， 且已知 有以下兩種表達(dá)式： fn xn 01y n n N fn x n jy n F k DFT f n 111 11 NN kk NN abF k j aW bW 21F k jN 其中 為實(shí)數(shù)。試用 求 ,ab Fk ,X k DFT x n ,Y k DFT y n ,xn yn 111 11 NN kk NN abF k j aW bW ( ) ( ) ( ) ( )F k DFT f n DFT x n jy n 解：由DFT的線性性 () ()DFTxn jDFTyn ( ) ( )Xk jYk() () Re()Xk DFTxn DFT fn ()epFk *1 ( ) ( ) ( ) 2 NNF k F N k R k 由共軛對稱性得 * 1 1 1 1 1 () 2 1 1 1 1 N N N N Nk k N k N k N N N N a b a bj j R k aW bW aW bW * 1 1 1 1 1 () 2 1 1 11 N N N N Nkk kk NN NN a b a b j j R k aW bW a W b W *1( ) ( ) ( ) ( ) 2 NNX k F k F N k R k 1 () 1 N Nk N a Rk aW 1 0 () N n k n NN n a W R k 1 () 1 Nk N Nk N aW Rk aW ( ) ( )n Nx n a R n () () Im()Yk DFTyn DFT fn 1 () opFkj *1 ( ) ( ) ( ) 2 NNF k F N k R kj * 1 1 1 1 1 () 2 1 1 1 1 N N N N Nk k N k N k N N N N a b a bj j R k j aW bW aW bW * 1 1 1 1 1 () 2 1 1 11 N N N N Nkk kk NN NN a b a bj j R k j aW bW a W b W 1 () 1 N Nk N b Rk bW 1 0 () N n k n NN n b W R k 1 () 1 Nk N Nk N bW Rk bW ( ) ( )n Ny n b R n *1 1 1 ( )2 NjN jN R k 1 1 1 ( )2 NjN jN R k ()NRk ( ) ( )x n n () () Re()Xk DFTxn DFT fn ()epFk *1 ( ) ( ) ( ) 2 NNF k F N k R k 21F k jN *1 1 1 ( )2 NjN jN R kj 1 1 1 ( )2 NjN jN R kj ()NNR k ( ) ( )yn N n () () Im()Yk DFTyn DFT fn 1 () opFkj *1 ( ) ( ) ( ) 2 NNF k F N k R k 20. 已知序列 現(xiàn)對于 x(n) 的 變換在單位圓上 等分抽樣，抽樣值為 試求有限長序列 , 點(diǎn)。 IDFT Xk ,0 1,nx na u a z N 2 jkk NNz W e X k X z N () (), 0 1nxn aun a 解：由 1 0 1( ) ( ) 1 n n X z x n z az 得 1 1( ) ( ) 1kN k N zW zW X k X z az 1 1 kNaW 11 11 N N k N Nk N aW a a W 1 0 1 1 N n k NN n aWa 1 0 1 1 N n n k NN n aWa 1 ( ) ( )1 n NNIDFT X k a R na ( ) ( ( ) ( ) ) k N nk NzW n Xk N W z n X X z x 對在單位圓上點(diǎn)等間隔抽樣，得周期序列： ()X k IDFS的：( ) ( ) N r x n x n rN ( ) ( ) ( )NN Xk XkR k點(diǎn) () ()x n IDFTXk 1 () 1 n NN a R na ( ) ( )NNx n R n ( ) ( )n rN N r a u n rN R n 0 ()n r N N r a R n 0 ()rnN N r a a R n 26. 研究一個(gè)離散時(shí)間序列 ，由 形成兩個(gè) 新序列 和 ，其中 相當(dāng)于以抽樣 周期為 2對 抽樣而得到，而 則是以 2對 進(jìn)行抽取而得到，即 xn xn pxn dxn pxn xn dxn xn , 0, 2, 4, 0, 1, 3,p x n n xn n 2dx n x n (a)若 如圖 P3 26 (a)所示，畫出 和 。 xn pxn dxn (b) 如圖 P3 26 (b)所示， 畫出 及 jX e DTFT x n j ppX e DTFT x n j ddX e DTFT x n ()jXe , 0, 2, 4, 0, 1, 3,p x n n xn n 2dx n x n 1 () 0 1( ) ( )sD jkj p k X e X eD ( ) ( )jj DdpX e X e ()jXe 3 4 5 4 2 2 3 4 5 4 22 3 2 3 2 ()jdXe 2 3 4 2 ()jpXe 3 4