大學(xué)物理 第三章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

1 習(xí)題精解 3-1 某剛體 繞定軸做勻 速轉(zhuǎn)動(dòng)， 對(duì) 剛體 上距轉(zhuǎn)軸為 r 處的任 意質(zhì)元的法 向加速度為 和切線 加 速度來(lái) 正確的是（ ） A. ， 大小 均 隨 時(shí) 間 變 化 B. ， 大小 均 保 持 不 變 n a a n a a C. 的大小 變化， 的大小 保持不變 D. 大小保 持不變， 的大小 變化 n a a n a a 解 剛體繞 定軸做勻變 速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)， 因 為 ， 而 為恒量 ， 所 以 ， 2 , n a r a r = = 0 t = + 故 。 可 見(jiàn)： 的大小 變化， 的大小 保持恒定， 本 題答案為 C. ( ) 2 0 , n a r t a r = + = n a a 3-2 一飛輪以的角 速度 轉(zhuǎn)動(dòng) ，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 ，現(xiàn)施加一恒 定的 制動(dòng) 1 300 min r ad 2 5k g m 力矩， 使飛輪在 2s 內(nèi)停止 轉(zhuǎn)動(dòng)，則該 恒定制動(dòng)力 矩的大小為_(kāi). 解 飛輪轉(zhuǎn) 動(dòng)的角速度 為 所以該 恒定制 ( ) 2 0 0 0 1 300 2.5 2 2 60 r ad s t = = = = 動(dòng)力矩 大小為 。 ( ) 5 2.5 12.5 M J N m = = = 3-3 一飛輪 半徑 ， 以 轉(zhuǎn)速 轉(zhuǎn)動(dòng)， 受 制動(dòng) 均勻減速， 經(jīng) 后靜 1 r m = 1 1500 min n r = 50 t s = 止 ， 試 求 ： （1 ）角 速 度 和從 制 動(dòng) 開(kāi) 始 到 靜 止 這 段 時(shí) 間 飛 輪 轉(zhuǎn) 過(guò) 的 轉(zhuǎn) 數(shù)； （2 ）制 動(dòng) 開(kāi) 始 后時(shí)飛 輪的角速度 ； （ 3 ）在時(shí) 飛輪邊緣上 一點(diǎn)的速度 和加速度。 25 t s = 解 （1）角加 速度 ( ) 2 0 1500 2 3.14 0 2 60 3.14 50 50 n r ad s t = = = = 從制動(dòng) 開(kāi)始到靜止 這段時(shí)間飛 輪轉(zhuǎn)過(guò)的轉(zhuǎn) 數(shù) ( ) 2 2 0 1500 1 1 2 3.14 50 3.14 50 60 2 2 625 2 2 2 3.14 t t N + = = = = 圈 （2）制動(dòng) 開(kāi)始后 時(shí)飛輪 的角速度 25 t s = ( ) 2 0 1500 2 2 3.14 3.14 25 78.5 60 t n t r ad s = + = + = = （3）在 是飛輪 邊緣上一點(diǎn) 的速度和加 速度分別為 25 t s = ( ) ( ) ( ) 1 78.5 1 78.5 v r m s = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 78.5 1 3.14 6.16 10 3.14 n a a n a r n r n r n m s = + = + = + = 3-4 有 A、B 兩個(gè)半 徑相同、質(zhì) 量也相同的 細(xì)圓環(huán)，其中 A 環(huán)的質(zhì) 量分布均勻 ，而 B 環(huán)的質(zhì)2 量分布 不均勻。若 兩環(huán)對(duì)過(guò)環(huán) 心且與環(huán)面 垂直軸的轉(zhuǎn) 動(dòng)慣量分別 為 和 ，則有 （） A J B J A. B. C. D. 無(wú)法確 定 和 的相對(duì) 大小。 A B J J A B J J A B J J = A J B J 解 因?yàn)檗D(zhuǎn)動(dòng)慣量 , 對(duì)于細(xì)圓環(huán)而言，各質(zhì)元 到轉(zhuǎn)軸的距離均為圓環(huán)的半徑， 2 m J r dm = d m 即 ， 所以 。故 A,B 兩個(gè)半 徑相同、 質(zhì)量 也相同的細(xì) 圓環(huán)， 不 論 r = 恒量 2 2 m J r dm m r = = 其質(zhì)量 在圓環(huán)上如 何分布， 兩 環(huán) 對(duì)過(guò)環(huán)心且 與環(huán)面垂直 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣 量 ， 本 題答案 為 A B J J = C 。 3-5 剛體的 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量取 決于_ 、_ 和_ 等 3 各因素 。_ 解 干體的 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量取 決于：剛體 的總質(zhì)量、 質(zhì)量的分布 和轉(zhuǎn)軸的位置 3 個(gè)元素 。 3-6 如圖 3.4 所示，細(xì)棒的長(zhǎng)為 。設(shè)轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒上離中心距離為 d 的一點(diǎn)并與棒垂直，求 l 棒對(duì)此軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 。試說(shuō)明這一轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與 棒對(duì)過(guò)棒中心并與此軸平行的轉(zhuǎn)軸的 O J O J 轉(zhuǎn)動(dòng)慣 量 之間的 關(guān)系（此為 平行軸定理 ） 。 O J 解 如圖 3.4 所示， 以過(guò) 點(diǎn)垂直 于棒的直線 為軸，沿棒 長(zhǎng)方向?yàn)?軸，原 點(diǎn)在 O x O 處，在 棒上取一原 長(zhǎng)度元 ，則 dx ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 1 2 1 12 d O d m m J x dm x dx m l m d l + = = = + 所以 與 之間的 關(guān)系為 O J O J 2 O O J J m d = + 3-7 一輕繩 在具有水平 轉(zhuǎn)軸的定滑 輪上， 繩 下掛一 物體， 物 體的質(zhì) 量為 m ， 此 時(shí)滑輪的 角 加 速度為 ， 若 將物體 取下， 而 用大小 等于 ， 方 向向下 的拉繩子， 則 滑 輪的角加速 度將 （ ） m g A. 變大 B. 不變 C. 變小 D. 無(wú)法確 定 解 設(shè)滑輪 的半徑為 ,轉(zhuǎn)動(dòng)慣 量為 ，如圖 3.5 所示。 使用大小等 于 ，方向 向下的力拉 R J m g 繩子時(shí) ，如圖 3.5 （a ）,滑輪產(chǎn) 生的角加速 度為 。 m gR J = 繩下段 掛一質(zhì)量為 m 的物體 時(shí)，如圖 3.5（b） ， 若 設(shè)繩子此時(shí) 的拉力為 T ，則 對(duì)物體 有： m g T m R = 對(duì)滑輪 有： T R J = 此時(shí)滑 輪產(chǎn)生的角 加速度為 2 m gR J m R = + 比較可知，用大小等于 ，方向向下的拉力拉繩子時(shí)，滑輪產(chǎn)生的角加速度變大，本題 m g3 答案為 A. 3-8 力矩、 功和能量的 單位量綱相 同，它們的 物理意義有 什么不同？ 解 雖然力 矩、功和 能量的單位 量綱相同， 同為 , 但物理 量的量綱相 同，并不 意味 著 2 2 L M T 這些物 理量的物理 意義相同， 力 矩 為矢量 ， 而 功 和能量 均為標(biāo)量。 力 矩通 過(guò)做功的過(guò) 程使 物 體的轉(zhuǎn) 動(dòng)狀態(tài)發(fā)生 變化，以改 變物體所具 有的能量。 3-9 如圖 3.6 所示 ， 兩 物 體 的 質(zhì) 量 分 別 為 和 ，滑 輪 的 轉(zhuǎn) 動(dòng) 慣 量 為 ，半 徑 為 r 。若 1 m 2 m J 與桌面 的摩擦系數(shù) 為 ， 設(shè) 繩子與 滑動(dòng)間無(wú)相 對(duì)滑動(dòng)， 試 求系 統(tǒng)的加速度 a 的大小 及 繩 2 m 子中張 力 和 的大小 。 1 T 2 T 解 分析受 力如圖 3.6 所示。 和 可視為 質(zhì)點(diǎn)， 設(shè)其加 速度分別為 和 ， 則由牛頓 運(yùn) 1 m 2 m 1 a 2 a 動(dòng)定律 得 1 1 1 1 2 2 2 2 m g T m a T m g m a = = 滑輪作 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)， 則由轉(zhuǎn)動(dòng)定 律有 1 2 T r T r J = 由于繩 子與滑輪間 無(wú)相對(duì)滑動(dòng) ，所以 1 2 a a a r = = = 聯(lián)立以上 4 個(gè)方程 可得，系統(tǒng) 的加速度 的大小 及繩子中張 力 和 的大小 分別為 a 1 T 2 T 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 , , J J m m m m m m r r a g T m g T m g J J J m m m m m m r r r + + = = = + + + + + + 3-10 如圖 3.7 所示。 兩 個(gè) 半 徑不 同 的 同 軸滑 輪 固 定 在一 起 ， 兩 滑輪 的 半 徑 分別 為 和 ， 1 r 2 r 兩個(gè)滑 輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣 量分別為 和 ，繩子 的兩端分別 懸掛著兩個(gè) 質(zhì)量分別為 和 的物 1 J 2 J 1 m 2 m 體， 設(shè) 滑 輪與軸之間 的摩擦力忽 略不計(jì)， 滑 輪 與繩子之間 無(wú)相對(duì)滑動(dòng) ， 繩 子的 質(zhì)量也忽略 不 計(jì)，且 繩子不可伸 長(zhǎng)。試求兩 物體的加速 度的大小和 繩子中張力 的大小。 解 分析受 力如圖 3.7 所示。 和 可視為 質(zhì)點(diǎn)，設(shè)其 受繩子的拉 力分別為 和 ，加速 1 m 2 m 1 T 2 T 度分別 為 和 ，則由 牛頓第二運(yùn) 動(dòng)定律得 1 a 2 a 1 1 1 1 2 2 2 2 m g T m a T m g m a = = 滑輪作 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)， 則有轉(zhuǎn)動(dòng)定 律有4 ( ) 1 1 2 2 1 2 T r T r J J = + 由于繩 子與滑輪間 無(wú)相對(duì)滑動(dòng) ，所以 1 1 2 2 , a r a r = = 聯(lián)立以上 5 個(gè)方程 可得，兩物 體的加速度 和繩子中的 張力分別為 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 m r m r r g a J J m r m r m r m r r g a J J m r m r J J m r m r r m g T J J m r m r J J m r m r r m g T J J m r m r = + + + = + + + + + + = + + + + + + = + + + 3-11 如圖 3.8 所示， 質(zhì) 量為 m ， 長(zhǎng) 為 的均勻 細(xì)桿， 可 繞通過(guò) 其一端 O 的水平 軸轉(zhuǎn)動(dòng)， 桿 的 l 另一端與質(zhì)量為 m 的小球固連在一起，當(dāng)該系統(tǒng)從水平位置有靜止轉(zhuǎn)動(dòng) 角時(shí)，系統(tǒng)的角 速度 _ 、動(dòng)能 _, 此過(guò)程 中力矩所做 的功 _. = k E = W = 解 在任意 位置時(shí)，受 力分析如圖 3.8 所示。 系統(tǒng)所受的 合外力矩為 3 cos cos cos 2 2 l M m g m gl m gl = + = 則在此 過(guò)程中合外 力矩所做的 功為 0 0 3 3 cos sin 2 2 W M d m gl d m gl = = = 系統(tǒng)的 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 2 2 2 1 4 3 3 J m l m l m l = + = 于是剛 體定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 的動(dòng)能定理 可寫(xiě)為 2 2 3 1 4 sin 2 2 3 m gl m l = 所以系 統(tǒng)的角速度 為 ，系統(tǒng) 的動(dòng)能為 3 sin 2 g l = 2 1 3 sin 2 2 k E J m gl = = 3-12 一個(gè)張開(kāi)雙臂手握啞鈴坐在轉(zhuǎn)椅上，讓轉(zhuǎn)椅轉(zhuǎn)動(dòng)起來(lái)，若此后無(wú)外力矩作用，則當(dāng)此 人收回 雙臂時(shí)，人 和轉(zhuǎn)椅這一 系統(tǒng)的（ ） 。 A. 轉(zhuǎn)速加 大，轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng) 能不變 B. 角動(dòng)量 加大 C. 轉(zhuǎn)速和 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能變 化不清楚 D. 角動(dòng)量 保持不變 解 因?yàn)橄到y(tǒng) 無(wú) 外力 矩的 作 用， 所以 系 統(tǒng)的 角動(dòng) 量 守恒 ，及 ，當(dāng)人收 回 雙臂 時(shí)， 0 J J = 轉(zhuǎn)動(dòng)系 統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣 量減少，即 ，所以 ，故轉(zhuǎn) 速增大。 0 J J 5 又因?yàn)?，所 以 。因此 轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)動(dòng) 動(dòng)能都增大 ， 2 0 0 0 0 0 0 0 2 1 2 1 2 k K J E J E J J = = = 0 k k E E 求角動(dòng) 量守恒。所 以本題的正 確答案為 D 3-13 如圖 3.9 所示。 有一半徑為 R ，質(zhì)量為 M 的勻質(zhì) 盤(pán)水平放置 ，可繞通過(guò) 盤(pán)心的豎直 軸 作定 軸 轉(zhuǎn) 動(dòng) ， 圓 盤(pán) 對(duì) 軸 的 轉(zhuǎn) 動(dòng) 慣 量 。當(dāng) 圓 盤(pán) 以 角 速 度 轉(zhuǎn)動(dòng) 時(shí) ， 有 一 質(zhì) 量為 2 1 2 J M R = 0 的橡皮泥（可視為質(zhì)點(diǎn)）豎直落在圓盤(pán)上，并粘在距轉(zhuǎn)軸 處，如圖所示。那么橡皮 m 1 2 R 泥和盤(pán) 共同角速度 _. = 解 對(duì)于圓 盤(pán)和橡皮泥 組成的系統(tǒng) 而言， 所 受的 合外力矩為 零， 所 以系統(tǒng) 的角動(dòng)量守 恒， 于 是有 2 0 1 2 J J m R = + 因?yàn)閳A 盤(pán)對(duì)軸的轉(zhuǎn) 動(dòng)慣量 2 1 2 J M R = 所以橡 皮泥和盤(pán)的 共同角速度 為 0 2 2 M M m = + 3-14 如圖 3.10 所示。 以 質(zhì) 量為 的小球 由一繩子系 著， 以 角 速度 在無(wú)摩 擦的水平面 上 ， m 0 繞圓心 O 作半徑 為 的圓周 運(yùn)動(dòng)。 若 在 通過(guò)圓心 O 的繩子 端作用一豎 直向下的拉 力 ， 小 0 r F 球則作 半徑為 的 圓 周 運(yùn) 動(dòng) 。 試 求 ： （1）小球 新的角速度 ； （ 2）拉力 所做的 功。 0 2 r F 解 （1）在拉 力 拉小球 的過(guò)程中， 由于拉力 通過(guò)了 軸心，因此 小球在水平 面上轉(zhuǎn)動(dòng)的 F F 過(guò)程中 不受外力矩 的作用，故 其角動(dòng)量守 恒。于是有 0 0 J J = 即 ( ) 2 2 0 0 0 1 2 m r m r = 小球新 的角速度 。 0 4 = （2 ） 隨 著小 球轉(zhuǎn)動(dòng)角速 度的增加， 其 轉(zhuǎn) 動(dòng)動(dòng)能 也在增加， 這 正 是拉力 做功的 結(jié)果。 于 是 F 有定軸 轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng) 定理得拉力 所做的 功為 F 6 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 3 4 2 2 2 2 2 2 W J J m r m r m r = = = 3-15 如圖 3.11 所示。A 與 B 兩個(gè)飛 輪的軸桿可 由摩擦嚙合 器使之連接 ，A 輪的轉(zhuǎn) 動(dòng)慣量 為 ， 開(kāi) 始時(shí) B 輪靜止 ， A 輪以 的轉(zhuǎn)速 轉(zhuǎn)動(dòng)， 然 后時(shí) A 與B 2 10.0 A J k g m = 1 600 min A n r = 連接， 因而 B 輪得到 加速度而 A 輪減速 ，直到兩 輪的轉(zhuǎn)速都 等于 為止 。 1 200 min A B n r = 求 ： （1）B 輪的轉(zhuǎn) 動(dòng)慣量 ； （ 2 ）在嚙 合過(guò)程中損 失的機(jī)械能 。 B J 解 （1） 兩 飛 輪在軸方向 嚙和時(shí)， 軸 向 受的力 不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng) 力矩， 所 以兩飛 輪構(gòu)成的系 統(tǒng)角 動(dòng) 量守恒 。于是有 ( ) A A A B A B J J J = + 所以 B 輪的轉(zhuǎn) 動(dòng)慣量為 ( ) 2 20.0 A A B A A B B A A A B A B n n J J J k g m n = = = （2）有兩 飛輪在嚙和 前后轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng) 能的變化可 得嚙和過(guò)程 中系統(tǒng)損失 的機(jī)械能為 ( ) ( ) 2 2 4 1 1 1.31 10 2 2 A A A B A B E J J J J = + = 3-16 質(zhì)量為 ， 長(zhǎng) 為 的均勻 細(xì)棒， 可 繞垂直與 棒的一端的 水平軸無(wú)摩 擦的轉(zhuǎn)動(dòng) 。 0.06 k g 0.2 m 若將此 棒放在水平 位置， 然 后任其開(kāi) 始轉(zhuǎn)動(dòng)， 試 求： （1）開(kāi) 始 轉(zhuǎn) 動(dòng) 時(shí) 的 角 加 速 度 ； （2） 落 到 豎 直 位 置 時(shí) 的 動(dòng) 能 ； （3）落至 豎直位置時(shí) 對(duì)轉(zhuǎn)軸的角 動(dòng)量。 解 根據(jù)題 意作圖 3.12. （1）開(kāi)始 轉(zhuǎn)動(dòng)是角加 速度為 ( ) 2 2 3 2 73.5 1 2 3 l m g M g r ad s J l m l = = = = （2）在下 落過(guò)程中， 系統(tǒng)（棒和 地球）受的 重力為保守 力，軸的支 持力始終不 做功，因此 系統(tǒng)的 機(jī)械能守恒 ，所以落到 豎直位置時(shí) 的動(dòng)能為 ( ) 2 1 0.06 2 2 l E J m g J = = = （3）因?yàn)?，所以落至豎直位置時(shí)對(duì)轉(zhuǎn)軸的角速度為 ，故落至豎 2 1 2 2 l J m g = m gl J = 直位置 是對(duì)轉(zhuǎn)軸的 角動(dòng)量 ( ) 2 3 2 3 2 1 1 9.7 10 3 3 m gl L J J m gl m l m gl k g m s = = = = = 3-17 如圖 3.13 所示。 一均勻細(xì)棒 長(zhǎng)為 ，質(zhì)量為 m ，可繞 通過(guò)端點(diǎn) 的水平 軸在豎直平 面 l O 內(nèi)無(wú)摩 擦的轉(zhuǎn)動(dòng)。 棒 在 水平位 置時(shí)釋放， 當(dāng) 它 落到豎 直位置時(shí)與 放在地面上 一靜止的物 體 碰7 撞。該物體與地面之間的摩 擦系數(shù)為 ，其質(zhì)量也為 m ，物體滑行 s 距離后停止。求碰撞 后桿的 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能。 解 根據(jù)題 意可知此題 包含 3 個(gè)物理 過(guò)程。 第一過(guò) 程為均勻細(xì) 棒的下落過(guò) 程。 在 此過(guò)程 中， 以 棒和地 球構(gòu)成的系 統(tǒng)為研究對(duì) 象， 棒 受 的 重力為 保守力，軸 對(duì)棒的支持 力始終不做 功，所以系 統(tǒng)的機(jī)械能 守恒，則 2 2 1 1 2 2 3 l m g m l = 第二過(guò) 程為均勻細(xì) 棒與物體的 碰撞過(guò)程。 在此過(guò)程中 ，以棒和物 體構(gòu)成的系 統(tǒng)為研究對(duì) 象， 物體所 受的摩擦力 對(duì)轉(zhuǎn)軸 的力矩 與碰撞的沖 力矩相比較 可忽略， 所 以系統(tǒng)的 角動(dòng)量守恒 ， O 則 2 2 1 1 3 3 m l m l m v l = + 其中 為碰撞 后瞬時(shí)棒的 角速度， 為碰撞 后瞬時(shí)物體 與棒分離時(shí) 物體的速率 。 v 第三過(guò) 程為分離以 后的過(guò)程。 對(duì)于棒而言 ，棒以角速 度 繼續(xù)轉(zhuǎn) 動(dòng)；對(duì)于物 體而言，物 體在水 平面內(nèi)僅受 摩擦力的作 用，由質(zhì)點(diǎn) 的動(dòng)能定律 得 2 1 2 m v m gs = 聯(lián)立以上 3 個(gè)方程 可得碰撞后 桿的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng) 能為 ( ) 2 2 2 1 1 1 3 3 2 2 3 6 k E m l m gl gs = = 3-18 如圖 3.14 所示， 一勁度系數(shù)為 k 的輕彈 簧與一輕柔 繩相連，該 跨過(guò)一半徑為 R ，轉(zhuǎn)動(dòng) 慣量為 J 的定滑輪，繩的另一端懸掛 一質(zhì)量 為 m 的物體，開(kāi)始時(shí)彈簧無(wú)伸長(zhǎng) ，物體由靜止 釋放。 滑 輪 與軸之 間的摩擦可 以忽略不計(jì) ， 當(dāng) 物體下落 h 時(shí)， 試 求 物體的速度 ， （ 1） 用 牛 v 頓定律 和轉(zhuǎn)動(dòng)定律 求解； （2）用守 恒定律求解 。 解 （1）用牛 頓定律和轉(zhuǎn) 動(dòng)定律求解 。 建立坐 標(biāo)系及受力 分析如圖 3.14 所示。 則由牛頓定 律和轉(zhuǎn)動(dòng)定 律得 對(duì)于物 體有： 1 m g T m a = 對(duì)于滑 輪有： ( ) 1 2 T T R J = 對(duì)于彈 簧有： 2 T k x = 物體的 加速度與滑 輪邊緣的切 向加速相同 ，即 a R = 聯(lián)立以上 4 個(gè)方程 可得 2 m g k x a J m R = + 因?yàn)?dv dv dx dv a v dt dx dv dx = = =8 所以有 2 dv m g k x v J dx m R = + 整理并 積分有 0 0 2 v h m g k x v dv dx J m R = + 解之可 得物體的速 度為 2 2 2 m gh k h v J m R = + （2 ） 用守恒 定律求解 由于滑 輪和軸之間 的摩擦忽略 不計(jì)， 系 統(tǒng) （ 彈簧、 滑 輪 、 物 體 和地球） 僅 受 保守力 （ 重 力和彈 力）的作用 ，所以系統(tǒng) 的機(jī)械能守 恒，若以物 體 的初始 位置處為勢(shì) 能零點(diǎn)，則 m 2 2 2 1 1 1 2 2 2 v m gh m v J k h R = + + 解之得 物體的速度 為 2 2 2 m gh k h v J m R = +