昆明理工大學 《自動控制原理第5章》 李玉惠主編 課后習題答案

第 5 章 頻域分析法 5.1 學習要點 1 頻率特性的概念，常用數(shù)學描述與圖形表示方法； 2 典型環(huán)節(jié)的幅相頻率特性與對數(shù)頻率特性表示及特點； 3 系統(tǒng)開環(huán)幅相頻率特性與對數(shù)頻率特性的圖示要點； 4 應用乃奎斯特判據(jù)判斷控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性方法； 5 對數(shù)頻率特性三頻段與系統(tǒng)性能的關(guān)系； 6 計算頻域參數(shù)與性能指標； 5.2 思考與習題祥解 題5.1 判斷下列概念的正確性 (1) 將頻率為 0 的正弦信號加入線性系統(tǒng)， 這個系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出也將是同一 頻率的。 (2) 對于典型二階系統(tǒng)，諧振峰值 p M 僅與阻尼比 有關(guān)。 (3) 在開環(huán)傳遞函數(shù)中增加零點總是增加閉環(huán)系統(tǒng)的帶寬。 (4) 在開環(huán)傳遞函數(shù)中增加極點通常將減少閉環(huán)系統(tǒng)的帶寬并同時降低穩(wěn)定 性。 (5) 對于最小相位系統(tǒng)，如果相位裕量是負值，閉環(huán)系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的。 (6) 對于最小相位系統(tǒng)，如果幅值裕量大于 1，閉環(huán)系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。 (7) 對于最小相位系統(tǒng)， 如果幅值裕量是負分貝值， 閉環(huán)系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的。 (8) 對于非最小相位系統(tǒng)，如果幅值裕量大于 1，閉環(huán)系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。 (9) 對于非最小相位系統(tǒng)，須幅值裕量大于 1且相位裕量大于 0 ，閉環(huán)系統(tǒng) 才是穩(wěn)定的。 o (10) 相位穿越頻率是在這一頻率處的相位為 。 0 o (11) 幅值穿越頻率是在這一頻率處的幅值為 0dB。 (12) 幅值裕量在相位穿越頻率處測量。 (13) 相位裕量在幅值穿越頻率處測量。 (14) 某系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)放大系數(shù) 25 K ，這是一個條件穩(wěn)定系統(tǒng)。 (15) 對于（-2/ -1/ -2)特性的對稱最佳系統(tǒng)，具有最大相位裕量。 (16) 對于（-2/ -1/ -3)特性的系統(tǒng)，存在一個對應最大相位裕量的開環(huán)放大系 數(shù)值。 (17) 開環(huán)中具有純時滯的閉環(huán)系統(tǒng)通常比沒有時滯的系統(tǒng)穩(wěn)定性低些。 (18) 開環(huán)對數(shù)幅頻特性過 0 分貝線的漸近線斜率通常表明了閉環(huán)系統(tǒng)的相 對穩(wěn)定性。 (19) Nichols 圖可以用于找到一個閉環(huán)系統(tǒng)的諧振峰值 p M 和頻帶寬 的 信息。 BW(20) Bode 圖能夠用于最小相位以及非最小相位系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析。(T) (F) 答：(1) 正確 ( 2 ) 正確 ( 3 ) 正確 ( 4 ) 正確 ( 5 ) 正確 ( 6 ) 正確 (7) 正確 (8) 錯誤 (9) 正確 (10) 錯誤 (11) 正確 (12) 正確 (13) 正確 (14) 錯誤 ( 1 5 ) 正確 ( 1 6 ) 正確 ( 1 7 ) 正確 ( 1 8 ) 正確 ( 1 9 ) 正確 (20) 正確 題 5.2 已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 1 10 ) ( + = s s G ，求下列參考 輸入下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 (1) ) 30 sin( ) ( 1 + = t t r (2) ) 45 2 cos( ) ( 2 = t t r (3) ) 45 2 cos( ) 30 sin( ) ( 3 + = t t t r 解：根據(jù)單位負反饋系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的定義，穩(wěn)態(tài)誤差傳遞函數(shù) () 1 1 1 1 () () 1 () 1 1 1 1 1 11 e Es s s Gs s Rs Gs s + + = = + + 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差傳遞函數(shù)的頻率特性為 11 () 11 1 11 e j Gj j + = + 穩(wěn)態(tài)誤差傳遞函數(shù)的幅頻特性 22 22 1111 |() | | 11 11 1 ()1 11 11 e j Gj j + = = + + 穩(wěn)態(tài)誤差傳遞函數(shù)的相頻特性 ( ) arctan arctan( ) 11 e Gj = 又根據(jù)頻率特性的定義，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差頻率特性 j e e j E j R j G j E | ) ( | ) ( ) ( ) ( = = 其中 ) ( ) ( ) ( | ) ( | ) ( | | ) ( ) ( | | ) ( | j R j G j E j R j G j R j G j E e e e + = = = 所以 (1) 當 ) 30 sin( ) ( 1 + = t t r 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差傳遞函數(shù)的頻率特性為 1 111 () | 1 11 1 11 e j Gj j = + = + 穩(wěn)態(tài)誤差傳遞函數(shù)的幅頻特性 61 1 1 ) 11 1 ( 1 1 11 1 | 1 11 1 1 1 11 1 | | ) 1 ( | 2 2 2 2 = + + = + + = j j j G e 穩(wěn)態(tài)誤差傳遞函數(shù)的相頻特性 81 . 39 19 . 5 45 ) 11 1 arctan( 1 arctan ) 1 ( = = = j G e 所以 11 11 11 |() |() | |() | 1 61 61 ( ) ( ) ( ) 39.81 30 69.81 e e Ej Gj Rj Ej Gj Rj = = = + =+= oo o 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 ) 81 . 69 sin( 61 1 ) ( 1 + = t t E (2) 當 ) 135 2 sin( ) 45 2 ( 90 sin ) 45 2 cos( ) ( 2 + = = = t t t t r ) 45 2 sin( ) 135 2 ( 180 sin ) 135 2 sin( + = = = t t t 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差傳遞函數(shù)的頻率特性為 2 121 () | 2 11 1 11 e j Gj j = + = + 穩(wěn)態(tài)誤差傳遞函數(shù)的幅頻特性 22 22 1211 |(2 ) | 1122 ()1 11 e Gj + = = + 5 穩(wěn)態(tài)誤差傳遞函數(shù)的相頻特性 2 ( 2) arctan 2 arctan( ) 63.4 10.3 53.1 11 e Gj = ooo 所以 22 22 11 | ( )| | ( )| ( )| 1 25 25 ( ) ( ) ( ) 53.1 45 98.1 e e Ej Gj Rj Ej Gj Rj = = = + =+= ooo 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 2 1 ( ) sin( 98.1 ) 25 Et t =+ o (3) 當 ) 45 2 cos( ) 30 sin( ) ( 3 + = t t t r 線性系統(tǒng)滿足疊加原理，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 312 11 ( ) ( ) ( ) sin( 69.81 ) sin( 98.1 ) 61 25 Et Et Et t t = + + oo 題 5.3 試繪出下列各傳遞函數(shù)對應的幅相頻率特性和對數(shù)頻率特性。 （1） ) 2 , 1 , 10 ( ) ( = = = N K Ks s G N （2） 1 1 . 0 10 ) ( = s s G （3） ) 2 , 1 , 10 ( ) ( = = = N K Ks s G N （4） ) 1 1 . 0 ( 10 ) ( = s s G （5） ) 4 ( 6 ) ( + = s s s G （6） ) 4 )( 1 ( 6 ) ( + + = s s s G （7） ) 20 ( ) 5 ( ) ( + + = s s s G （8） ) 01 . 0 ( 1 . 0 ) ( + + = s s s s G （9） ) 707 . 0 , 4 . 0 , 10 , 1 ( 1 2 1 ) ( 2 2 = = + + = T Ts s T s G （10） 1 2 ) 1 2 . 0 ( 40 ) ( 2 + + + = s s s s G 解： （1） ) 2 , 1 , 10 ( ) ( = = = N K Ks s G N dB K 20 10 lg 20 lg 20 = = 當 時， ， 對應的幅相頻率特性和對數(shù)頻率特性如圖 5.1(a). 1 = N s s G / 10 ) ( = 當 時， ，對應的幅相頻率特性和對數(shù)頻率特性如圖 5.1(b). 2 = N 2 / 10 ) ( s s G = () R () jI = + = 0 () L () 90 = 圖 5.1(a). 一個積分環(huán)節(jié) () R () jI = + = 0 () L () 10 180 = 圖 5.1(b) 兩個積分環(huán)節(jié) （2） 1 1 . 0 10 ) ( = s s G 轉(zhuǎn)折頻率 10 1 . 0 1 1 = = ， dB K 20 10 lg 20 lg 20 = = 。 當 1 1 . 0 10 ) ( + = s s G 時， ) 1 . 0 arctan( ) ( = ，對應的幅相頻率特性和對數(shù) 頻率特性如圖 5.2(a). 當 1 1 . 0 10 ) ( = s s G 時， ，對應的幅相頻率特性 和對數(shù)頻率特性如圖 5.2(b). ) 1 . 0 arctan( 180 ) ( + = j I() () R 0 = = () L () / 1 = T 10 = 圖 5.2(a) 慣性環(huán)節(jié) 對數(shù)頻率特性 幅相頻率特性 () R () jI 0 0 = = -10 () L 1 10 100 20 0 135 () 180 20 dB/十倍頻 _ _ _ 10 / 1 = = T 90 _ 圖 5.2(b) 不穩(wěn)定的慣性環(huán)節(jié) （3） ) 2 , 1 , 10 ( ) ( = = = N K Ks s G N dB K 20 10 lg 20 lg 20 = = 當 時， ，對應的幅相頻率特性和對數(shù)頻率特性如圖 5.3(a). 1 = N s s G 10 ) ( = 當 時， ， 對應的幅相頻率特性和對數(shù)頻率特性如圖 5.3(b). 2 = N 2 10 ) ( s s G = () R () jI 0 = = () L () 90 = 圖 5.3(a). 一個微分環(huán)節(jié) 0 = () L () jI 1 . 0 () () R = 180 = 圖 5.3(b) 兩個微分環(huán)節(jié) （4） ) 1 1 . 0 ( 10 ) ( = s s G 轉(zhuǎn)折頻率 10 1 . 0 1 1 = = ， dB K 20 10 lg 20 lg 20 = = 。 當 時， ) 1 1 . 0 ( 10 ) ( + = s s G ) 1 . 0 arctan( ) ( = ，對應的幅相頻率特性和對 數(shù)頻率特性如圖 5.4(a). 當 時， ，對應的幅相頻率特 性和對數(shù)頻率特性如圖 5.4(b). ) 1 1 . 0 ( 10 ) ( = s s G ) 1 . 0 arctan( 180 ) ( = () L () R () jI 0 = = 10 () 圖5.4(a) 一階比例微分環(huán)節(jié) () R () jI 0 = = () L 10 () 圖5.4(b) 不穩(wěn)定的一階比例微分環(huán)節(jié) （5） ) 1 4 ( 5 . 1 ) 4 ( 6 ) ( + = + = s s s s s G 轉(zhuǎn)折頻率 4 1 = ， dB K 5 . 3 5 . 1 lg 20 lg 20 = = 。 ) 4 / arctan( 90 ) ( = ， 對應的幅相頻率特性和對數(shù)頻率特性如圖 5.5. () R () jI = + = 0 () L () 圖 5.5 型二階系統(tǒng) （6） ) 1 4 )( 1 ( 5 . 1 ) 4 )( 1 ( 6 ) ( + + = + + = s s s s s G 轉(zhuǎn)折頻率 1 1 = ， 4 2 = ， dB K 5 . 3 5 . 1 lg 20 lg 20 = = 。 ) 4 / arctan( arctan ) ( = ，對應的幅相頻率特性和對數(shù)頻率特性如 圖 5.6. () R () jI 0 = 0 = () L 11 0 0 3.5 90 () 180 0 對數(shù)頻率特性 20 dB/十倍頻 _ _ _ 20 幅相頻率特性 4 40 dB/十倍頻 _ 1.5 圖 5.6 二階系統(tǒng) （7） ) 1 20 ( ) 1 5 ( 25 . 0 ) 20 ( ) 5 ( ) ( + + = + + = s s s s s G 轉(zhuǎn)折頻率 5 1 = ， 20 2 = ， dB K 12 25 . 0 lg 20 lg 20 = = 。 ) 20 / arctan( ) 5 / arctan( ) ( = ， 對應的幅相頻率特性和對數(shù)頻率特性 如圖 5.7. () R () jI = 0 = () L () 圖 圖 5.7 具有零點的一階系統(tǒng) （8） ) 1 01 . 0 ( ) 1 1 . 0 ( 10 ) 01 . 0 ( 1 . 0 ) ( + + = + + = s s s s s s s G 轉(zhuǎn)折頻率 01 . 0 1 = ， 1 . 0 2 = ， dB K 20 10 lg 20 lg 20 = = 。 ) 1 . 0 / arctan( ) 01 . 0 / arctan( 90 ) ( + = ，對應的幅相頻率特性和對 數(shù)頻率特性如圖 5.8. () R () jI = () L () + = 0 圖 5.8 具有零點的二階系統(tǒng) （9） ) 707 . 0 , 4 . 0 , 10 , 1 ( 1 2 1 ) ( 2 2 = = + + = T Ts s T s G 當 ， 1 = T 4 . 0 = 時，對應的幅相頻率特性和對數(shù)頻率特性如圖 5.9(a). 當 ， 10 = T 707 . 0 = 時，對應的幅相頻率特性和對數(shù)頻率特性如圖 5.9(b). () R () jI 0 = = () L () T / 1 = 25 . 1 2 1 = 4 . 0 = 1 / 1 = T = 圖5.9(a) 二階振蕩環(huán)節(jié) () R () jI 0 0 = = 1 () L 1 0.1 20 0 -90 () -180 0 _ 2 0 =0.707 =0.707 707 . 0 2 1 = 707 . 0 = 幅相頻率特性 對數(shù)頻率特性 1 . 0 / 1 = = T T / 1 = 2 圖 5.9(b) 二階振蕩環(huán)節(jié) （10） 1 2 ) 1 2 . 0 ( 40 ) ( 2 + + + = s s s s G 轉(zhuǎn)折頻率 1 1 = ， 5 2 = ， dB K 32 40 lg 20 lg 20 = = 。 ) 1 2 arctan( ) 2 . 0 arctan( ) ( 2 = ， 7 . 78 90 3 . 11 ) 1 1 2 arctan( ) 2 . 0 arctan( ) 1 ( = = = 1 . 112 1 . 143 31 ) 9 1 6 arctan( ) 6 . 0 arctan( ) 3 ( = = = 3 . 112 3 . 157 45 ) 25 1 10 arctan( ) 1 arctan( ) 5 ( = = = 2 . 105 6 . 168 4 . 63 ) 100 1 20 arctan( ) 2 arctan( ) 10 ( = = = 4 . 93 7 . 177 3 . 84 ) 2500 1 100 arctan( ) 10 arctan( ) 50 ( = = = 當 由 0 ， ) ( 變化趨勢由 ，對應的幅 相頻率特性和對數(shù)頻率特性如圖 5.10. 90 180 90 0 () R () jI 0 = = () L () ) 0 , 40 ( j 圖5.10 具有零點的二階系統(tǒng) 題 5.4 試繪出下列系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)對應的幅相頻率特性和對數(shù)頻率特 性。 （1） ) 0 ( , ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) ( 3 2 1 2 1 3 + + + = T T T s T s T s s T K s G （2） ) 100 ( 250 ) ( 2 + + = s s s s G （3） 1 ) ( 2 . 0 + = s e s G 解： （1） ) 0 ( , ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) ( 3 2 1 2 1 3 + + + = T T T s T s T s s T K s G 當 時， 0 + = = ) ( A 90 ) ( = ， 當 = 時， 0 ) ( = A ， 180 ) ( = 當 由0 ， + ) ( 變化趨勢由 。 180 270 180 90 設 ， 10 = K dB K 20 10 lg 20 lg 20 = = ，轉(zhuǎn)折頻率如圖示，對應的幅相頻率 特性和對數(shù)頻率特性如圖 5.11. () R () jI = + = 0 () L () 1 / 1 T 2 / 1 T 3 / 1 T 圖5.11 題5.4（1）用圖 （2） ) 1 100 1 100 1 ( 5 . 2 ) 100 ( 250 ) ( 2 2 + + = + + = s s s s s s s G 轉(zhuǎn)折頻率 1 10 = ， dB K 8 5 . 2 lg 20 lg 20 = = 。 ) 100 1 1 100 1 arctan( 90 ) ( 2 = ， 57 . 90 57 . 0 90 ) 100 1 1 100 1 arctan( 90 ) 1 ( = = = 180 90 90 ) 1 1 10 1 arctan( 90 ) 10 ( = = = 42 . 269 42 . 179 90 ) 100 1 1 arctan( 90 ) 100 ( = = = 當 由0 ， + ) ( 變化趨勢由 ，對應的幅相 頻率特性和對數(shù)頻率特性如圖 5.12. 270 180 90 () R () jI = + = 0 () L () 圖5.12 題 5.4（2）用圖 （3） 1 ) ( 2 . 0 + = s e s G 轉(zhuǎn)折頻率 1 1 = ， dB K 0 1 lg 20 lg 20 = = 。 arctan 2 . 0 ) ( = ， (0) 0 = o 5 . 56 45 5 . 11 1 arctan 3 . 57 1 2 . 0 ) 1 ( = = = 3 . 199 3 . 84 115 10 arctan 3 . 57 10 2 . 0 ) 10 ( = = = 4 . 1239 4 . 89 1150 100 arctan 3 . 57 100 2 . 0 ) 100 ( = = = 當 由 0 ， ) ( 變化趨勢由 ，對應的幅相頻率特性和對數(shù) 頻率特性如圖 5.13. 0 () R () jI = () L () 0 = (1, 0) j 圖5.13 題5.4（3）用圖 題 5.5 設系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性如圖題 5.5 所示。試寫出開環(huán)傳遞函數(shù)的 形式，并判斷閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定。圖中，P 為開環(huán)傳遞函數(shù)右半 平面的極點 數(shù)， 為其 S N 0 = s 的極點數(shù)。 Im 1 Im 0 = Re = 1 0 = Re Im Im = 1 0 = Re = 1 0 = Re = 0, 2 PN = 0, 0 PN = = 2 , 0 = = N P 0 , 1 = N P 0 , 1 = = N P 1 Im = Im Re = 1 Re Im Im = 1 0 = Re = 1 0 = Re = 0 , 2 = = N P 0 , 1 = = N P 0 = 0 = 1 , 1 = = N P 題 5.5 圖 解：解題思路提示：根據(jù) 、 和開環(huán)幅相頻率特性的相位變化確定開環(huán) 傳遞函數(shù)形式。 P N (a) 為不穩(wěn)定的慣性環(huán)節(jié)，開環(huán)傳遞函數(shù)的形式為 1 ) ( = Ts K s G 。由圖知， 當 由 ，開環(huán)幅相頻率特性 0 ) ( j G 在 ) 1 , ( 區(qū)間正負穿越次數(shù)之差為 2 0 2 1 P = ，故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。 (b) 根據(jù) 1 P = 、 和開環(huán)幅相頻率特性的起始相位，可判斷開環(huán)系統(tǒng)含 有一不穩(wěn)定慣性環(huán)節(jié)。開環(huán)傳遞函數(shù)的形式為 0 N = 4 3 2 1 2 1 4 3 , ) 1 )( 1 ( ) 1 )( 1 ( ) ( T T T T s T s T s T s T K s G + + + = 由圖知，當 由 ，開環(huán)幅相頻率特性 0 ) ( j G 在 ) 1 , ( 區(qū)間正負穿越次 數(shù)之差為 2 2 1 0 P ，故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 (c) 根據(jù)角度的變化，開環(huán)傳遞函數(shù)的形式為 ) 1 ( ) ( = Ts K s G 。由圖知， 當 由 ，開環(huán)幅相頻率特性 0 ) ( j G 在 ) 1 , ( 區(qū)間正負穿越次數(shù)之差為 1 0 22 P ，故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 (d) 根據(jù)角度的變化，開環(huán)傳遞函數(shù)的形式為 4 3 2 1 3 2 2 4 1 , ) 1 )( 1 ( ) 1 )( 1 ( ) ( T T T T s T s T s s T s T K s G + + + + = 或 3 2 1 2 2 2 2 3 1 , ) 1 2 ( ) 1 )( 1 ( ) ( T T T Ts s T s s T s T K s G + + + + = 由圖知，當 由 ，開環(huán)幅相頻率特性 0 ) ( j G 在 ) 1 , ( 區(qū)間正負穿越次 數(shù)之差為 2 0 0 P = ，故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。 (e) 根據(jù)角度的變化，開環(huán)傳遞函數(shù)的形式為 3 2 1 3 2 1 , ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) ( T T T s T s T s s T K s G + + = 由圖知，當 由 ，開環(huán)幅相頻率特性 0 ) ( j G 在 ) 1 , ( 區(qū)間正負穿越次 數(shù)之差為 2 0 1 P ，故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 (f) 根據(jù)角度的變化，開環(huán)傳遞函數(shù)的形式為 ) 1 ( ) ( 2 + = Ts s K s G 由圖知，當 由 ，開環(huán)幅相頻率特性 0 ) ( j G 在 ) 1 , ( 區(qū)間正負穿越次 數(shù)之差為 2 2 1 0 P ，故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 (g) 根據(jù)角度的變化，開環(huán)傳遞函數(shù)的形式為 3 2 1 3 2 1 , ) 1 )( 1 )( 1 ( ) ( T T T s T s T s T K s G + + = 由圖知，當 由 ，開環(huán)幅相頻率特性 0 ) ( j G 在 ) 1 , ( 區(qū)間正負穿越次 數(shù)之差為 2 0 2 1 P = ，故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。 (h) 根據(jù)角度的變化，開環(huán)傳遞函數(shù)的形式為 ) 1 )( 1 ( ) ( 2 1 = s T s T K s G ， 由圖知，當 由 ，開環(huán)幅相頻率特性 0 ) ( j G 在 ) 1 , ( 區(qū)間正負穿越次 數(shù)之差為 2 0 0 P ，故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 題 5.6 已知最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性如圖 5.68 所示。試寫出開環(huán) 傳遞函數(shù)的形式，并繪制近似的對數(shù)相頻特性。 () L () L () L () L () L () L 2 . 0 1 = 1 . 0 2 = 題 5.6 圖 解： (a) 開環(huán)傳遞函數(shù)的形式為 ) 1 500 1 )( 1 10 1 )( 1 ( ) ( + + + = s s s K s G 根據(jù) dB K 60 lg 20 = ， 。近似的對數(shù)相頻特性如圖 5.14。 100 = K () L () 圖5.14 題5.6（a）對數(shù)相頻特性 (b) 開環(huán)傳遞函數(shù)的形式為 ) 1 100 1 )( 1 ( 100 ) ( + + = s s s s G 近似的對數(shù)相頻特性如圖 5.15。 () L () 圖5.15題5.6（b）對數(shù)相頻特性 (c) 開環(huán)傳遞函數(shù)的形式為 ) 1 100 1 ( 1 . 0 ) ( + = s s s G 近似的對數(shù)相頻特性如圖 5.16. () L () 圖5.16題5.6（c）對數(shù)相頻特性 (d) 開環(huán)傳遞函數(shù)的形式為 ) 1 80 1 ( ) 1 ( 64 ) ( 2 + + = s s s s G 近似的對數(shù)相頻特性如圖 5.17。 () L 11 0 0 80 -1 -2 -2 8 () 0 _ 90 180 _ 圖 5.17題5.6（d）對數(shù)相頻特性 (e) 開環(huán)傳遞函數(shù)的形式為 22 22 2 22 11 1 (2 () 21 KTs TS Gs Ts TS 1 ) + + = + 其中 1 1 4 T = ， 2 1 60 T = ， 1 0.2 = ， 2 0.1 = 。近似的對數(shù)相頻特性如圖 5.18。 () L 4 60 0 -2 2 . 0 1 = 1 . 0 2 = 20 () 0 _ 90 180 _ 圖 5.18 題 5.6（e）的對數(shù)相頻特性 (f) 開環(huán)傳遞函數(shù)的形式為 2 12 () (1 ) (1 ) KS Gs Ts TS = + 由低頻鍛 20lg 0 Ksd = B 的點得 1 5 0.2 K = = ，同時 1 20lg 12 0.2 dB = ，解得 1 4 0.2 ， 1 0.8 = ；則 1 1 1 1.25 T = 。 由高頻鍛 2 20 40lg 12dB = ，解得 2 20 2 ， 2 10 = ；則 2 2 1 0.1 T =。近 似的對數(shù)相頻特性如圖 5.19。 () () L 圖 5.19 題 5.6（f）的對數(shù)相頻特性 題 5.7 試用奈氏穩(wěn)定判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 各系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如 下： （1） ) ( , ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) ( 2 1 3 2 1 3 T T T s T s T s s T K s G + + + + = （2） ) 10 )( 1 ( 20 ) ( + + = s s s s G （3） ) 2 ( ) 100 ( 10 ) ( + = s s s s G 解： （1） ) ( , ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) ( 2 1 3 2 1 3 T T T s T s T s s T K s G + + + + = 這是一個 I 型 3 階最小相位系統(tǒng)，開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。開環(huán)頻率特性為 3 12 (1 ) () (1 ) ( KjT Gj jjT jT1 ) + = + + 幅頻特性為 2 3 22 12 ()1 () ()1()1 KT A TT + = + + 2 T 相頻特性為 31 ( ) 90 arctan arctan arctan TT = + o 首先繪制開環(huán)幅相頻率特性，再應用奈氏穩(wěn)定判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 當 0 + 時，有 2 ) ( j e K j K j G = = 即 ， 。 = + ) 0 ( A 90 ) 0 ( = + 當 時， ， 。 ()0 A = ( ) ( ) 90 180 nm = = oo 因為 ，所以開環(huán)幅相頻率特性從第四到第三象限變化。開環(huán)幅 相頻率特性與負實軸無交點。開環(huán)幅相頻率特性如圖 5.20， 31 TTT + 2 由 0到0 的增補特 性如圖中虛線所示。 + () R () jI = + = 0 0 = 圖 5.20 題 5.7(1)的開環(huán)幅相頻率特性 可以看出，當 由 0到 時，開環(huán)幅相頻率特性不包圍(1 ,0 ) j 點，所以，閉 環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 （2） ) 10 )( 1 ( 20 ) ( + + = s s s s G 這也是一個 I 型 3 階最小相位系統(tǒng)，開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。開環(huán)頻率特性為 2 () (1 ) ( 0 . 1 Gj jj j = 1 ) + + 幅頻特性為 22 2 () 1( 0 . 1)1 A = + + 相頻特性為 ( ) 90 arctan arctan(0.1 ) = o 首先繪制開環(huán)幅相頻率特性，再應用奈氏穩(wěn)定判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 當 0 + 時， ， 。 = + ) 0 ( A 90 ) 0 ( = + 當 時， ， 。 ()0 A = ( ) ( ) 90 270 nm = = oo 開環(huán)幅相頻率特性與負實軸的交點。 開環(huán)幅相頻率特性與負實軸的交點滿足 ，即 ( ) 180 j = o 90 arctan arctan(0.1 ) 180 jj = oo 或 arctan(0.1 ) 90 arctan j j = o 兩邊取正切： tanarctan(0.1 ) tan90 arctan j j = o 有 1 0.1 j j = 解得 10 j = 代入幅頻特性，得 22 ( ) 0.134 10 10 1 1 1 220 j A = + + = 開環(huán)幅相頻率特性與負實軸的交點坐標為 ( 0.134, 0) j 。 開環(huán)幅相頻率特性如圖 5.21， 由 0到0 + 的增補特性如圖中虛線所示。 () R () jI = + = 0 0 = ( 0.134, 0) j 圖 5.21 題 5.7(2)的開環(huán)幅相頻率特性 可以看出，當 由 0到 時，開環(huán)幅相頻率特性不包圍(1 ,0 ) j 點，所以，閉 環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 （3） ) 2 ( ) 100 ( 10 ) ( + = s s s s G 這是一個非最小相位系統(tǒng)，開環(huán)右極點數(shù)目 1 P = 。開環(huán)頻率特性為 50( 0.01 1) () (0 . 5 1 ) j Gj jj + = 幅頻特性為 2 2 50 (0.01 ) 1 () (0.5 ) 1 A + = + 相頻特性為 ( ) 90 180 arctan(0.5 ) arctan(0.01 ) = + + oo 首先繪制開環(huán)幅相頻率特性，再應用奈氏穩(wěn)定判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 當 0 + 時， ， 。 = + ) 0 ( A (0 ) 270 + = o 當 時， ， ()0 A = () 9 0 = o 。 開環(huán)幅相頻率特性與負實軸的交點。 開環(huán)幅相頻率特性與負實軸的交點滿足 ，即 ( ) 180 j = o 90 180 arctan(0.5 ) arctan(0.01 ) 180 jj + + = oo o 或 arctan(0.5 ) 90 arctan(0.01 ) j j = o 兩邊取正切： tanarctan(0.5 ) tan 90 arctan(0.01 ) j j = o 有 1 0.5 0.01 j j = 解得 200 j = 代入幅頻特性，得 50 1.02 () 0 . 5 200 51 A = = ，開環(huán)幅相頻率特性與負實軸的 交點坐標為 。 (0 . 5 ,0 ) j 開環(huán)幅相頻率特性如圖 5.22， 由 0到0 + 的增補特性如圖中虛線所示。 () R () jI = + = 0 0 = (0 . 5 ,0 ) j 圖 5.22 題 5.7(3)的開環(huán)幅相頻率特性 由圖看出，當 由 0到 時，開環(huán)幅相頻率特性不包圍(1 ,0 ) j 點，所以，閉 環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定的。 題 5.8 試用對數(shù)頻率特性求取系統(tǒng)的相位裕量和增益裕量， 判斷閉環(huán)系統(tǒng)的 穩(wěn)定性。 （1） ) 1 08 . 0 )( 1 2 . 0 ( 25 ) ( + + = s s s s G （2） ) 1 005 . 0 )( 1 025 . 0 ( ) 1 ( 100 ) ( 2 + + + = s s s s s G （3） ) 1 5 . 0 )( 1 1 . 0 ( 2 ) ( + + = s s s s G 解： （1） ) 1 08 . 0 )( 1 2 . 0 ( 25 ) ( + + = s s s s G 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為 25 () (0 . 2 1 ) (0 . 0 8 1 ) Gj jj j = + + 幅頻特性為 22 25 () (0.2 ) 1 (0.08 ) 1 A = + + 相頻特性為 ( ) 90 arctan 0.2 arctan 0.08 = o 首先繪制開環(huán)對數(shù)頻率特性。 對數(shù)幅頻特性 22 25 ()2 0 l g()2 0 l g (0.2 ) 1 (0.08 ) 1 LA = + + 其中 20lg 25 28 = dB，轉(zhuǎn)折頻率 12 11 5, 12.5 0.2 0.08 = =。對數(shù)頻率 特性如圖 5.23。 () L () c j 圖5.23 題5.8(1)的對數(shù)頻率特性 求相位裕量 令 22 25 25 () 1 0.2 0.08 (0.2 ) 1 (0.08 ) 1 c ccc cc c A = = + + 3 25 11.6 0.2 0.08 c = o o j 相位 ( ) 90 arctan(0.2 11.6) arctan(0.08 11.6) c = o 90 66.68 42.86 199.54 = = ooo 相位裕量 ( ) 180 ( ) 180 199.54 19.54 cc =+= = ooo 求增益裕量 令 ( ) 90 arctan 0.2 arctan 0.08 180 jj = = oo 90 arctan 0.2 arctan 0.08 j j = o 兩邊取正切： tan90 arctan 0.2 tanarctan 0.08 j j = o 有 1 0.08 0.2 j j = 解之，得 7.9 j = 。代入幅頻特性，得 22 25 () 1 . 4 3 7.9 (0.2 7.9) 1 (0.08 7.9) 1 j A = + + 則增益裕量 1 0.699 1.43 GM= 。 判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 因為相位裕量 ，增益裕量 ( ) 19.54 0 c = oo 0.699 1 GM = ，故閉環(huán)系統(tǒng) 不穩(wěn)定。 （2） ) 1 005 . 0 )( 1 025 . 0 ( ) 1 ( 100 ) ( 2 + + + = s s s s s G 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為 2 100( 1) () ( )(0 . 0 2 5 1 ) (0 . 0 0 5 1 ) j Gj jj j + = + + 幅頻特性為 2 22 100 1 () (0.025 ) 1 (0.005 ) 1 A + = 2 + + 相頻特性為 ( ) 180 arctan arctan 0.025 arctan 0.005 = + o 首先繪制開環(huán)對數(shù)頻率特性。 對數(shù)幅頻特性 2 22 100 1 ()2 0 l g()2 0 l g (0.025 ) 1 (0.005 ) 1 LA + = 2 + + 其中 dB ，轉(zhuǎn)折頻率 20lg100 40 = 1 1 1 1 = = ， 2 1 40 0.025 = = ， 3 1 200 0.005 = 。對數(shù)頻率特性如圖 5.24。 () c j 圖5.24 題5.8(2)的對數(shù)頻率特性 求相位裕量 令 2 2 222 100 1 100 () 1 0.025 (0.025 ) 1 (0.005 ) 1 c c c cc ccc A + = + + = 100 63.25 0.025 c = 相位 ( ) 180 arctan arctan 0.025 arctan 0.005 cccc = + o o o j 180 89.1 57.69 17.55 166.14 = + = oooo 相位裕量 ( ) 180 ( ) 180 166.14 13.86 cc =+= = ooo 求增益裕量 令 ( ) 180 arctan arctan 0.025 arctan 0.005 180 jjj = + = o o arctan arctan 0.025 arctan 0.005 j jj = 兩邊取正切： tanarctan arctan 0.025 tanarctan 0.005 j jj = 有 0.025 0.005 1 0.025 jj j jj = + 88.1 j = 代入幅頻特性，得 2 2 222 100 1 100 ( ) 0.52 0.025 (0.025 ) 1 (0.005 ) 1 j j j jj jjj A + = + + = 則增益裕量 1 1.94 0.52 GM= 。 判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 因為相位裕量 ，增益裕量 ( ) 13.86 0 c = oo 1.94 1 GM = ，故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn) 定。 （3） 2 () (0.1 1)(0.5 1) Gs ss s = + 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為 2 () (0 . 1 1 ) (0 . 5 1 ) Gj jj j = + + 幅頻特性為 22 2 () (0.1 ) 1 (0.5 ) 1 A = + + 相頻特性為 ( ) 90 arctan 0.1 arctan 0.5 = o 首先繪制開環(huán)對數(shù)頻率特性。 對數(shù)幅頻特性 22 2 ()2 0 l g()2 0 l g (0.1 ) 1 (0.5 ) 1 LA = + + 其中 20lg 2 6 = dB， 轉(zhuǎn)折頻率 12 11 2, 10 0.5 0.1 = = 。 對數(shù)頻率特性如 圖 5.25。 () L () c j 圖5.25 題5.8(3)的對數(shù)頻率特性 求相位裕量 令 22 22 () 1 0.5 ( 0 . 1)1( 0 . 5)1 c cc cc c A = + + = 42 c = = 相位 ( ) 90 arctan(0.1 2) arctan(0.5 2) c = o 90 11.3 45 146.3 = = oooo o j 相位裕量 ( ) 180 ( ) 180 146.3 33.7 cc =+= ooo 求增益裕量 令 ( ) 90 arctan 0.1 arctan 0.5 180 jj = = oo 90 arctan 0.1 arctan 0.5 j j = o 兩邊取正切： tan90 arctan 0.1 tanarctan 0.5 j j = o 有 1 0.5 0.1 j j = 解之，得 4.47 j = 。代入幅頻特性，得 22 22 () 0 . 2 0.5 (0.1 ) 1 (0.5 ) 1 j jj jj j A = + + = 則增益裕量 1 5 0.2 GM = = 。 判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 因為相位裕量 ，增益裕量 ( ) 33.7 0 c = oo 51 GM = ，故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。 題 5.9 已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試繪制系統(tǒng)的閉環(huán)的頻率特 性，計算系統(tǒng)的諧振峰值和諧振頻率。 （1） ) 1 ( 12 ) ( + = s s s G （2） ) 1 5 ( ) 1 5 . 0 ( 10 ) ( + + = s s s s G 解：繪制系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性略，下面計算系統(tǒng)的諧振峰值和諧振頻率。 （1） ) 1 ( 12 ) ( + = s s s G 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù) 2 () 1 2 () 1( ) 1 Gs s Gs s s = = 2 + + ，與典型二階系統(tǒng)傳遞函數(shù) 2 22 () 2 n nn s ss = + 比較，有 2 12 n = 21 n = 解得 12 2 3 n =， 3 12 = 。所以 諧振頻率 2 12 3 12 231 3 . 3 9 24 2 pn = 諧振峰值 2 1 3.5 21 p M = （2） ) 1 5 ( ) 1 5 . 0 ( 10 ) ( + + = s s s s G 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù) 2 ( ) 10(0.5 1) () 1( )561 Gs s s Gs s s0 + = = + + 。因為系統(tǒng)有零點，不能直接利用公式?？筛鶕?jù)諧振峰值的概念求取。 系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性 () 2 10(0.5 1) () () 5( ) 6( ) 10 j j jM jj e + = = + 2 22 2 10 50 (10 50 )(10 5 ) 6 ) ()|( ) | | | (10 5 ) 6 (10 5 ) ( 6 ) jj Mj j 2 j + = = = + + 23 42 (250 100) 440 250 ) | 61 100 100 j + = + （ 22 3 42 (250 100) 440 250 ) 61 100 100 + = + （ 2 令 () 0 dM d = ，解得 1.6 p ，由此得諧振峰值 1.6 () | 2 . 9 p p MM = = 。 題 5.10 單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 ) 1 087 . 0 ( 7 ) ( + = s s s G ， 試用頻域 和時域關(guān)系求系統(tǒng)的超調(diào)量與調(diào)整時間。 解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù) 22 ( ) 7 80.45 () 1 ( ) 0.087 7 11.5 80.45 Gs s Gs s s s s = = = + + + + 其中 2 80.45 n = 2 11.5 n = 解得 8.96 n = ， 0.64 = 。所以時域中： 2 1 % % 5.9% e = = 3 (5%) 0.52 s n t =s 頻域中： 24 241 6 . cn =+ =1 9 ( ) 180 90 arctan 61.7 2 c c n = = oo o 6 (5%) 0.512 tan( ( ) s cc t = s