機械控制工程基礎 時域分析(C班)

一 、時間響應及其組成 1、 時間響應 定義：在輸入作用下，系統(tǒng)的輸出（響應） 在時域的表現(xiàn)形式 在數(shù)學上，就是系統(tǒng)的動力學方程在一定初 始條件下的解。 時間響應能完全反映系統(tǒng)本身的固有特性與 系統(tǒng)在輸入作用下的動態(tài)歷程。 第一節(jié) 概述 2時域分析的目的 在時間域，研究在一定的輸入信號作用下，系統(tǒng)輸 出隨時間變化的情況，以分析和研究系統(tǒng)的控制性 能。 3 時域分析法 時域分析法就是根據(jù)系統(tǒng)的微分方程，采用拉氏變 法直接解出系統(tǒng)的時間響應，再根據(jù)響應的表達式 及對應曲線來分析系統(tǒng)的性能。 用時域分析法分析系統(tǒng)性能具有直接、準確、易于 接受等特點。 二 、典型輸入信號 1、在時間域進行分析時，為了比較不同系統(tǒng)的控制 性能，需要規(guī)定一些具有典型意義的輸入信號建立分 析比較的基礎。這些信號稱為控制系統(tǒng)的 典型輸入信 號 。 一般，系統(tǒng)可能受到的外 加作用有控制輸入和擾動， 擾動通常是隨機的，即使 對控制輸入，有時其函數(shù) 形式也不可能事先獲得。 2、作用 : 在實際中，輸入信號很少是典型輸入信號，但由于 在系統(tǒng)對典型輸入信號的時間響應和系統(tǒng)對任意輸 入信號的時間響應之間存在一定的關系，所以，只 要知道系統(tǒng)對典型輸入信號的響應，再利用關系式： )(2 2 )(1 1 )()()( si o si o X sXsG X sX 就能求出系統(tǒng)對任何輸入的響應。 3、常用的 典型輸入信號 Asint 正弦信號 1 (t)， t=0 單位脈沖信號 單位加速度信號 t， t0 單位速度 (斜坡 )信號 1(t)， t0 單位階躍信號 復數(shù)域表達式 時域表達式 名 稱 s 1 2 1 s 3 1 s 22 s A 0,21 2 tt （ 1） 能反映系統(tǒng)在工作過程中的大部分實際 情況； 4、典型輸入信號的選擇原則 如：若實際系統(tǒng)的輸入具有突變性質(zhì)，則可 選階躍信號；若實際系統(tǒng)的輸入隨時間逐漸 變化，則可選速度信號。 （ 2）形式簡單，便于解析分析； （ 3）實際中可以實現(xiàn)或近似實現(xiàn)。 1、 一階系統(tǒng)（慣性環(huán)節(jié)） 1 1)( TssG 極點（特征根）： -1/T 時間常數(shù)，微分方程： :)()()( Ttxtxdt tdxT ioo 1/Ts Xi(s) X0(s) )()()( tKxtKxdt tdxC ioo K CT TskCs KsG ,1 1)( 如：彈簧 -阻尼器環(huán)節(jié) xi(t) xo(t) 彈簧 -阻尼器組成的環(huán)節(jié) K C 2、一階系統(tǒng)的 單位脈沖響應 1)( sX i TsT sGsX o 111)()( 0,1)( te T tx T t o xo(t) 1/T 0 t 0.368 1 T 斜率 xo(t) T 21T 一階系統(tǒng)單位脈沖響應的特點 瞬態(tài)響應 ： (1/T )e t /T ； 穩(wěn)態(tài)響應 ： 0； xo(0)=1/T,隨時間的推移， xo(t)指數(shù)衰減； 對于實際系統(tǒng)，通常應用具有較小脈沖寬 度（脈沖寬度小于 0.1T）和有限幅值的脈 沖代替理想脈沖信號。 20 1)( Tdt tdx t o 3、一階系統(tǒng)的 單位階躍響應 ssX i 1)( TsssTs sXsGsX io 1111 1 1)()()( 0,1)( tetx T t o 0,1)( tetx T t o 1 0.632 1T A 0 B 斜率 =1/T 2T 3T 4T 5T xo(t) t Tto etx /1)( 63.2% 86.5% 95% 98.2% 99.3% 99.8% 6T 一階系統(tǒng)單位階躍響應的特點 響應分為兩部分 瞬態(tài)響應 ： Tte 表示系統(tǒng)輸出量從初態(tài)到終態(tài)的變化過程 （動態(tài) /過渡過程） 穩(wěn)態(tài)響應 ： 1 表示 t時，系統(tǒng)的輸出狀態(tài) xo(0) = 0，隨時間的推移， xo(t) 指數(shù)增大， 且無振蕩。 xo() = 1，無穩(wěn)態(tài)誤差 ； 4、一階系統(tǒng)的 單位速度響應 2 1)( ssX i Ts T s T ssTssXsGsX io 1 11 1 1)()()( 22 0,)( tTeTttx T t o 0 t xo(t) x i(t) xo(t)=t-T+Te-t/T e()=T T 一階系統(tǒng)單位速度響應的特點 瞬態(tài)響應 ： T e t /T ； 穩(wěn)態(tài)響應 ： t T； 經(jīng)過足夠長的時間 (穩(wěn)態(tài)時，如 t 4T)，輸 出增長速率近似與輸入相同，此時輸出為： t T，即 輸出相對于輸入滯后時間 T； 5、不同時間常數(shù)下的響應情況 由上圖可知， T越大，慣性越大。 第三節(jié) 、二階系統(tǒng)的時間 響應 例如圖所示機械系統(tǒng) 解： 1)明確系統(tǒng)的輸入與輸出 輸入為 f(t),輸出為 x(t) 2)列寫微分方程，受力分析 xmxckxf 3)整理可得： fkxxcxm kcsms 1 F ( s ) X ( s ) G ( s ) F ( s )X ( s )s X ( s )X ( s )s 2 2 kcm 4)傳遞函數(shù) 5)單位階躍響應 k)css ( m s 1 s 1G ( s )X ( s ) 2 3 1 ) 4 3 () 2 1 (s 4 3 - ) 4 3 () 2 1 (s 2 1 s - s 1 ) 4 3 () 2 1 (s 1s - s 1 1)s(s 1s - s 1 1)ss ( s 1 k)css ( m s 1 X ( s ) 2222 22 2 22 t) 2 3c o s (e 3 1-t) 2 3s i n (e-1x ( t ) t21-t21- 若 m=1,c=1,k=1 的曲線t)2 3c o s (e31-t)2 3s i n (e-1x ( t ) t21-t21- t=0:0.01:20; x=1-exp(-0.5*t).*sin(sqrt(3)/2*t)-1/sqrt(3)*exp(- 0.5*t).*cos(sqrt(3)/2*t); plot(t,x); 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1 1 . 1 1 . 2 Matlab命令 + num1=0 0 1; + den1=1 1 1; + sys=tf(num1,den1) ; + step(num1,den1); m=1,c=1,k=1時階躍響應 0 2 4 6 8 10 12 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4 S t e p R e s p o n s e T i m e ( s e c ) A m p l i t u d e 1)(s 1 1)(s 1 - s 1 1)s ( s 1 1)2ss ( s 1 G ( s ) s 1 X ( s ) 12ss 1 G ( s ) 22 2 2 若 m=1,c=2,k=1 -t-t te-e-1x ( t ) 則運動方程為： t=0:0.01:20; x=1-exp(-t)-t.*exp(-t); plot(t,x); Matlab命令 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1 -t-t te-e-1x ( t ) + num1=0 0 1; + den1=1 2 1; + sys=tf(num1,den1) ; + step(num1,den1); 0 5 10 15 0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1 S t e p R e s p o n s e T i m e ( s e c ) A m p l i t u d e m=1,c=2,k=1時階躍響應（ Matlab計算） 4)(s 1 / 3 1)(s 4 / 3 - s 1 4)1 ) ( ss ( s 4 4)5ss ( s 4 G ( s ) s 1 X ( s ) 45ss 4 G ( s ) 2 2 若 m=1,c=5,k=4 4t-t- e 3 1 e 3 4 -1x ( t ) 則運動方程為： t=0:0.01:20; x=1-4/3*exp(-t)+1/3*exp(-4*t); plot(t,x); Matlab命令 4t-t- e 3 1e 3 4-1x ( t ) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1 + num1=0 0 4; + den1=1 5 4; + sys=tf(num1,den1) ; + step(num1,den1); m=1,c=5,k=4時階躍響應 0 1 2 3 4 5 6 0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1 S t e p R e s p o n s e T i m e ( s e c ) A m p l i t u d e 1)(s s - s 1 1)s ( s 1 G ( s ) s 1 X ( s ) 1s 1 G ( s ) 2 2 2 若 m=1,c=0,k=1 c o s ( t )-1x ( t ) 則運動方程為： c o s ( t )-1x ( t ) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4 1 . 6 1 . 8 2 + num1=0 0 1; + den1=1 0 1; + sys=tf(num1,den1) ; + step(num1,den1); m=1,c=0,k=1時階躍響應 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4 1 . 6 1 . 8 2 S t e p R e s p o n s e T i m e ( s e c ) A m p l i t u d e 二階系統(tǒng) 22 2 2 2T k)( nn n sskss sG 其中 ， T為時間常數(shù) ， 也稱為無阻尼自由振蕩 周期 ， 為 阻尼比 ； 為系統(tǒng)的 無阻尼固有頻率 。 m k n )1s(T k s KT2 1 二階系統(tǒng)的特征方程： 02 22 nn ss 極點（特征根）： 122,1 nns 欠阻尼二階系統(tǒng)（振蕩環(huán)節(jié)）： 0 1 具有兩個不相等的 負實數(shù)極點 ： 122,1 nns 零阻尼二階系統(tǒng)： 0 具有 一對共軛虛極點 ： njs 2,1 負阻尼二階系統(tǒng)： 0 極點實部大于零 ，響應發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定。 2、二階系統(tǒng)的 單位脈沖響應 0 1： 0 12 )( 11 2 22 t eetc tt n nn num1=0 0 1; den1=1 3 1; sys=tf(num1,den1) ; t=0:0.01:20; impulse(sys,t) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 0 . 0 5 0 . 1 0 . 1 5 0 . 2 0 . 2 5 0 . 3 0 . 3 5 I m p u l s e R e s p o n s e T i m e ( s e c ) A m p li t u d e 3、二階系統(tǒng)的 單位階躍響應 ssR 1)( )2( )()()( 22 2 nn n sss sRsGsC 欠阻尼（ 01）狀態(tài) 0 )11(2 1 )11(2 1 1)( )1( 22 )1( 22 2 2 te etc t t n n ， 0 1 t xo(t) 特點 單調(diào)上升，無振蕩， 過渡過程時間長 c () = 1，無穩(wěn)態(tài) 誤差。 01 1 1 0),s i n ( 1 1)( 2 ttetc d tn 0,)1(1)( tettc tn n 0 )11(2 1 )11(2 1 1)( )1( 22 )1( 22 2 2 te etc t t n n ， 其中 ， 21 nd a r c c o s1 2 a r c t g 幾點結(jié)論 二階系統(tǒng)的阻尼比 決定了其振蕩特性： 0 時，階躍響應發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定； 1 時，無振蕩、無超調(diào)，過渡過程長； 01時，有振蕩， 愈小，振蕩愈嚴重， 但響應愈快， = 0時 ，出現(xiàn)等幅振蕩。 工程中除了一些不允許產(chǎn)生振蕩的應用 ， 如指 示和記錄儀表系統(tǒng)等 ， 通常采用欠阻尼系統(tǒng) ， 且 阻尼比通常選擇在 0.40.8之間 ， 以保證系統(tǒng)的快 速性同時又不至于產(chǎn)生過大的振蕩 。 5、 二階系統(tǒng)的性能指標 控制系統(tǒng)的時域性能指標 控制系統(tǒng)的性能指標是評價系統(tǒng)動態(tài)品質(zhì)的 定量指標，是定量分析的基礎。 系統(tǒng)的時域性能指標通常通過系統(tǒng)的單位階躍響 應進行定義。常見的性能指標有： 上升時間 tr、 峰值時間 tp、 調(diào)整時間 ts、 最大超調(diào)量 Mp、 振蕩次數(shù) N。 1 0 t Mp 允許誤差 =0.05或 0.02 tr tp ts 0.1 0.9 xo(t) 控制系統(tǒng)的時域性能指標 評價系統(tǒng)快速性的 性能指標 上升時間 tr 響應曲線從零時刻出發(fā) 首次到達穩(wěn)態(tài)值 所需 時間 。 對無超調(diào)系統(tǒng) ， 上升時間一般定義為 響應曲線 從穩(wěn)態(tài)值的 10%上升到 90%所需 的時間 。 峰值時間 tp 響應曲線從零上升到 第一個峰值 所需時間 。 調(diào)整時間 ts 響應曲線到達并保持在允許誤差范圍（穩(wěn)態(tài) 值的 2%或 5%）內(nèi)所需的時間。 最大超調(diào)量 Mp 響應曲線的最大峰值與穩(wěn)態(tài)值之差。通常用 百分數(shù)表示： 評價系統(tǒng)平穩(wěn)性的 性能指標 %1 0 0)( )()( o opo p x xtxM 若 xo(tp) xo()，則響應無超調(diào)。 振蕩次數(shù) N 在調(diào)整時間 ts內(nèi)系統(tǒng)響應曲線的振蕩次數(shù)。 實測時，可按響應曲線穿越穩(wěn)態(tài)值次數(shù)的一 半計數(shù)。 欠阻尼二階 系統(tǒng)的時域性能指標 上升時間 tr 1s i n 1 1)( 2 rd t r t etc rn 根據(jù)上升時間的定義有： 欠阻尼二階系統(tǒng)的階躍響應為： 0),s i n ( 1 1)( 2 ttetc d tn 22 2 1 a r c c o s 1 1 nnd r a r c t g t從而： 即： 0s in rd t ,2,1,0, kkt rd 顯然， 一定時， n越大， tr越??； n一定時， 越大， tr 越大。 峰值時間 tp ，并將 t = tp代入可得： 0)( dt tdx o令 0)c o s ( 1 )s i n ( 1 22 pd td pd tn tete pnpn 即： tgttg pd 21)( ,2,1,0, kkt pd 根據(jù) tp的定義解上方程可得： 21 nd pt 一定， n越大， tp越?。?n一定， 越大， tp 越大。 最大超調(diào)量 Mp %1 0 0 %1 0 0 )( )()( 21 e x xtx M o opo p 顯然， Mp僅與阻尼比 有關。最大超調(diào)量直接說明了 系統(tǒng)的阻尼特性。 越大， Mp 越小，系統(tǒng)的平穩(wěn)性 越好，當 = 0.40.8時，可以求得相應的 Mp = 25.4%1.5%。 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Mp 二階系統(tǒng) Mp 圖 調(diào)整時間 ts 對于欠阻尼二 階系統(tǒng)，其單 位階躍響應的 包絡線為一對 對稱于響應穩(wěn) 態(tài)分量 1 的指 數(shù)曲線： 21 1 tne t 0 1 xo(t) 211 tne 211 tne n T 1 21 11 21 11 T 2T 3T 4T T 2 a r c c o s21 d t 當包絡線進入允許誤差范圍之內(nèi)時，階躍響應 曲線必然也處于允許誤差范圍內(nèi)。因此利用： 1 1 1 2 tne n st 21lnln 可以求得： 由上式求得的 ts包通常偏保守。 當 一定時， n越大， ts越小，系統(tǒng)響應越快。 05.0, 3 02.0, 4 1lnln 2 n n n st 當 00.7時， 振蕩次數(shù) N N 僅與 有關。與 Mp 一樣直接說明了系統(tǒng)的阻 尼特性。 越大， N越小，系統(tǒng)平穩(wěn)性越好。 21 22 nd dT 對欠阻尼二階系統(tǒng)，振蕩周期 02.0, 12 05.0, 15.1 2 2 d s T t N + 重要公式小結(jié) 01 1 1 0),s i n ( 1 1)( 2 ttetc d tn 0,)1(1)( tettc tn n 0 )11(2 1 )11(2 1 1)( )1( 22 )1( 22 2 2 te etc t t n n ， 其中 ， 21 nd a r c c o s1 2 a r c t g 0),s i n ( 1 1)( 2 ttetc d tn 21 nd pt 22 2 1 a r c c o s 1 1 nnd r a r c t g t %1 0 0 %1 0 0 )( )()( 21 e x xtx M o opo p 05.0, 3 02.0, 4 n n st 02.0, 12 05.0, 15.1 2 2 d s T t N 21 22 nd dT 其中 ， 21 nd a r c c o s1 2 a r c t g + 1、某數(shù)控機床的位置隨動系統(tǒng)為單位反饋 系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為 G(s)=9/(s(s+1)。 試計算系統(tǒng)的 Mp、 tp、 ts和 N。 + 解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 9ss 9 91)s ( s 9 G ( s )1 G ( s )( s ) 2 6 1,s3r a d 1- n 峰值時間 1 .06 2s-1t 2 n p 5 3 . 8 %1 0 0 %eM 2-1 - p 最大超調(diào)量 2 % )( 4 -12 /2 t N 5 % )( 3 -11 . 5 /2 t N 2 % )( 8s 4 t 5 % )( 6s 3 t 2 d s 2 d s n s n s 振蕩次數(shù) 調(diào)整時間 + 例 2 控制系統(tǒng)框圖所示。若要求系統(tǒng)單位階躍 響應超調(diào)量 Mp=20%，調(diào)節(jié)時間 ts=1.5s,試確定 K 與 的值 K/s(s+1) 1+ts K/s(s+1) 1+ts k)sk(1s k s)(1 1)s ( s k 1 1)s ( s k ( s ) 2 解： 0 .1 5 6 1)-2( 1 9 .2 3 ,k 4 .3 8 50 .4 5 6 1 .5 st0 .2M 1)-2( ,k 2 n n2 n n sp 2 n n2 n ，可以求得將系統(tǒng)的特征參數(shù)代入 ， 數(shù)為可以求得系統(tǒng)的特征參，由性能指標 標準形式比較，可得與二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的 例 3 圖 a)所示機械系統(tǒng) ， 當在質(zhì)量塊 M上施加 f(t)=8.9N的階躍力后 ， M的位移時間響應如 圖 b)。 試求系統(tǒng)的質(zhì)量 M、 彈性系數(shù) K和粘 性阻尼系數(shù) C的值。 m f(t) K C xo(t) a) 0 0.03 0.0029 2 t /s 1 3 xo(t)/m tp b) 解 ：根據(jù)牛頓定律： )()()()(22 tftKxdt tdxCdt txdM ooo 22 2 2 2 1 1 )( )()( nn no ss K KCsMssF sXsG KM C M K n 2, 其中， 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為： sKCsMssXsGsX io 9.81)()()( 2 由于 F(s)=Lf(t)=L8.9=8.9/s，因此 根據(jù)拉氏變換的終值定理： KKCsMsssXx soso 9.89.8lim)(lim)( 200 由圖 b)知 xo() = 0.03m，因此： K=8.9/0.03=297N/m 又 由圖 b)知 ： %7.9%10003.0 0 0 2 9.0%10021 eM p 解得： = 0.6 2 1 2 n pt 又由： 代入 ，可得 n=1.96rad/s KM C M K n 2, 根據(jù) 解得 M = 77.3Kg， C = 181.8Nm/s 例 4 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 求 K=200時，系統(tǒng)單位階躍響應的動態(tài)性能 指標。若 K 增大到 1500或減小到 13.5，試分 析動態(tài)性能指標的變化情況。 )5.34( 5)( ss KsG 解 ：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為： Kss K sG sGs 55.34 5 )(1 )()( 2 1） K = 200時 10005.34 1000)( 2 sss n=31.6rad/s， =0.545 st n r 081.01 a r c c o s 2 )05.0(1 7 4.03 st ns %13%1 0 021 eM p )05.0(73.015.1 2 N st n p 12.01 2 2） K = 1500時 n=86.2rad/s， =0.2，同樣可計算得： tr=0.021s， tp=0.037s， Mp=52.7% ts=0.174s， N=2.34 可見，增大 K， 減小， n提高，引起 tp 減小， Mp增大，而 ts無變化 即系統(tǒng)可以視為由兩個時間常數(shù)不同的一階系 統(tǒng)串聯(lián)組成 ， 其中 T1=0.481s,T2=0.0308s 3） K = 13.5時 n=8.22rad/s， =2.1 ， 系統(tǒng)工作于過阻尼 狀態(tài)，傳遞函數(shù)可以改寫為： )10308.0)(1481.0( 1 5.675.34 5.67)( 2 sssssG 五 、高階系統(tǒng)的時間響應 1、高階系統(tǒng)的單位階躍響應 )()( )()( 1110 1110 mn asasasa bsbsbsb sX sXsG nnnn mmmm i o 考慮系統(tǒng) 0 0 1 1 , )( )( a b K ps zsK n j j m i i 若在系統(tǒng)極點中包含 q個實數(shù)極點和 r對共軛復數(shù)極 點 可以求得高階系統(tǒng)的時間響應，其包含有指數(shù)函數(shù) 分量和衰減正弦函數(shù)分量。 主導極點：距離虛軸很近的極點，對系統(tǒng)時間起主 導作用 21 kkkk js 六 、誤差分析和計算 1、控制系統(tǒng)的誤差 考慮反饋控制系統(tǒng) H(s) R(s) C(s) B(s) E (s) G(s) 偏差信號 E(s)即輸入 R(s)與 反饋 信號 B(s)之差 E(s)= R(s) B(s) R(s) H(s) C(s) H(s) R(s) C(s) B(s) E (s) G(s) )()(1 1 )( )( sHsGsR sE )()()( )()()()( sGsEsC sHsCsRsE )()(1 )( )( )( sHsG sG sR sC )()()( )( sHsGsE sB 誤差傳遞函數(shù) 閉環(huán)傳遞函數(shù) 開環(huán)傳遞函數(shù) )()(1 )()( sHsG sRsE 偏差信號 + 動態(tài)誤差： 誤差隨時間變化的過程值 + 穩(wěn)態(tài)誤差： 系統(tǒng)進入穩(wěn)態(tài)后其實際輸出量 與希望輸出量之間的相差程度 實際輸出量希望輸出量， 系統(tǒng)誤差定義為： :c ( t ):( t )c c ( t )-( t )c( t )e r rr c ( t )*h ( t )-r ( t )e ( t ) 系統(tǒng)偏差定義為： H ( s ) C ( s )-R ( s )E ( s ) C ( s )-( s )C( s )E rr 拉氏變換 2、穩(wěn)態(tài)偏差及其計算 穩(wěn)態(tài)偏差 ess 誤差是時間的函數(shù) e(t) 穩(wěn)態(tài)偏差 ：若誤差信號在（ t）存在，即 e(t) 的穩(wěn)態(tài)分量為 穩(wěn)態(tài)誤差 ： )(lim tee tss 根據(jù)拉氏變換的終值定理，有： )(lim)(lim 0 ssEtee stss 穩(wěn)態(tài)偏差的計算 )()()(1 1lim)(lim)(lim 00 sRsHsGsssEtee sstss 利用拉氏變換的終值定理，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為： 例題 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： G(s)=1/Ts 求其在單位階躍輸入、單位單位速度輸入、 單位加速度輸入下的穩(wěn)態(tài)偏差。 解 ：該單位反饋系統(tǒng)在輸入作用下的誤差傳 遞函數(shù)為： 1)(1 1)( Ts Ts sGsE 在單位階躍輸入下的穩(wěn)態(tài)偏差為： 011lim)()(1 1lim 00 sTs TsssRsGse ssss 在單位速度輸入下的穩(wěn)態(tài)偏差為： TsTs TsssRsGse ssss 200 11lim)()(1 1lim 在單位加速度輸入下的穩(wěn)態(tài)偏差為： 300 11lim)()(1 1lim sTs TsssRsGse ssss 例 : 一系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 求 ： r(t)=1(t)及 t時的穩(wěn)態(tài)誤差 解 : )104.0)(15.0( 20)()( sssHsG )(20)104.0)(15.0( )104.0)(15.0(lim)()()(1 1lim 00 sRss ssssRsHsGse ssss 05.0211120)104.0)(15.0( )104.0)(15.0(lim 0 sss ssse sss r(t) = 1(t) 時 , R(s)=1/s r(t) = t 時 , R(s)=1/s2 20 120)104.0)(15.0( )104.0)(15.0(l i m sss ssse sss 3、穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù) 穩(wěn)態(tài)偏差系數(shù)的概念 穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù) pss ss KsHsGsRsHsGse 1 1 )()(1 1lim)( )()(1 1lim 00 單位階躍輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差 (位置誤差 ) 稱為 穩(wěn)態(tài)位置偏差系數(shù) 。 )0()0()()(lim 0 HGsHsGK sp 其中， 穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù) vs isss KsHssGssRsHsGse 1 )()( 1lim)( )()(1 1lim 00 單位速度輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差 稱為 穩(wěn)態(tài)速度偏差系數(shù) 。 )()(lim 0 sHssGK sv 其中， 穩(wěn)態(tài)加速度偏差系數(shù) ass ss KsHsGsssRsHsGse 1 )()( 1lim)( )()(1 1lim 2200 單位加速度輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差 (加速度偏差 ) 稱為 穩(wěn)態(tài)加速度偏差系數(shù) 。 )()(lim 20 sHsGsK sa 其中， 系統(tǒng)類型 將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)寫成如下形式： )()( )1()1)(1( )1()1)(1()()( 00 21 21 sHsG s K sTsTsTs sssKsHsG v vn v m 根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的多少，當 v = 0, 1, 2, 時，系統(tǒng)分別稱為 0型 、 I型 、 型 、 系統(tǒng)。 v v s v s sst ss sK sRs s K ssR sR sHsG sssEtee )( lim 1 )( lim )( )()(1 1 lim)(lim)(lim 1 00 00 不同類型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 系數(shù)及穩(wěn)態(tài)誤差 0型 系統(tǒng) )1()1)(1( )1()1)(1()()( 21 21 sTsTsT sssKsHsG vn m KsHsGK sp )()(lim 0 KKe pss 1 11 1 0)()(lim 0 sHssGK sv vss Ke 1 0)()(lim 20 sHsGsK sa ass Ke 1 I型 系統(tǒng) )1()1)(1( )1()1)(1()()( 21 21 sTsTsTs sssKsHsG vn m )()(lim 0 sHsGK sp 01 1 pss Ke KsHssGK sv )()(lim 0 KKe vss 11 0)()(lim 20 sHsGsK sa ass Ke 1 型 系統(tǒng) )1()1)(1( )1()1)(1()()( 212 21 sTsTsTs sssKsHsG vn m )()(lim 0 sHsGK sp 01 1 pss K e )()(lim 0 sHssGK sv 01 vss K e KsHsGsK sa )()(lim 20 KKe ass 11 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)及穩(wěn)態(tài)誤差 0 0 K II型 0 0 K I型 0 0 K 0型 單位加速 度輸入 單位速 度輸入 單位階 躍輸入 Ka Kv Kp 穩(wěn)態(tài)誤差 穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù) 系統(tǒng) 類型 K1 1 K 1 K 1 不同類型的輸入信號作用于同一控制系統(tǒng)， 其穩(wěn)態(tài)誤差不同；相同的輸入信號作用于不 同類型的控制系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)誤差也不同。 七 擾動引起的穩(wěn)態(tài)偏差和系統(tǒng)總誤差 G1(s) H(s) R(s) C(s) B(s) E(s) G 2(s) N(s) + + )()()(1 )( )( )( 21 2 sHsGsG sG sN sC N 擾動作用下的傳遞函數(shù) )()()()(1 )(0)()()( 21 2 sN sHsGsG sGsCsRsE Nn )()()(1 )()( 21 sHsGsG sRsE R 擾動 單獨 作用 時即 R(s)=0 輸入信號單 獨作用時 )()()()(1 )()()()(1 )()( 21 2 21 sNsHsGsG sGsHsGsG sRsE 總誤差 擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差 G1(s) H(s) R(s) C(s) B(s) E(s) G 2(s) N(s) + + )()()(1 )()( )( )( 21 2 sHsGsG sHsG sN sC N 擾動誤差傳遞函數(shù)為： )()()()(1 )()(lim)(lim 21 2 00 sNsHsGsG sHsGsssEe snsssn 所以，擾動引起的穩(wěn)態(tài)偏差： )0()0()0(1 )0( 21 2 2 HGG Ge ss 對于單位階躍擾動， 系統(tǒng)總誤差 21 ssssss eee 當系統(tǒng)同時受到輸入信號 R(s)和擾動信號 N(s) 作用時，由疊加原理，系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差： 22 2 2)( nn n sssG )1()1)(1( )1()1)(1()()( 212 21 sTsTsTs sssKsHsG vn m R ( s )()(1 )(C ( s ) sHsG sG )()()( )( sHsG sE sB 開環(huán)傳遞函數(shù) 閉環(huán)傳遞函數(shù) II型和二階系統(tǒng)的區(qū)別 求穩(wěn)態(tài) 偏差 F ( s ) 1-Lc ( t ) 求運動 方程 R ( s )()(1 1s e ( t )e l i ml i m 0st ss sHsG 為誤差傳遞函數(shù)）（ )()(1 1)( )( sHsGsR sE 已知系統(tǒng)的單位階躍響應為： tto eetx 1060 2.12.01)( 求： 1）系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)； 2）系統(tǒng)阻尼比 和無阻尼固有頻率 n。 60070 600 )10)(60( 600 )( )()( 2 sssssX sXs i o 2）對比二階系統(tǒng)的標準形式： 22 2 2)( nn n sss 702 6002 n n 429.1 /5.24 sr a dn 有： 解 ： 1） ssX i 1)( )10)(60( 600 10 2.1 60 2.01)()( sssssstxLsX oo 例：設單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 )5( 4)( sssG 試求： (1)系統(tǒng)的單位階躍響應和單位速度響 應； (2) 確定位置誤差系統(tǒng)、速度誤差系數(shù) 和當輸入為 xi(t)=2t時的系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為 4t-t-1- e 3 1 e 3 4 -1 s 1 )4)(1( 4 Lc ( t ) s 1 R ( s ) R ( s ) )4)(1( 4 C ( s ) )4)(1( 4 4)5( 4 )()(1 )( ss ss sssssHsG sG 時當輸入為單位階躍信號 則系統(tǒng)的輸出為 0.8 5)s ( s 4 ss G ( s ) K 0 5)s ( s 4 G ( s )K ( 2) l i ml i m l i ml i m 0s0s v 0s0s p 速度偏差系數(shù)為 系統(tǒng)的位置偏差系數(shù)為 2 .50 .82K 2e2t v ss 時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差為當輸入為 求解若按 R ( s )()(1 1s e ( t )e l i ml i m 0st ss sHsG 2.5 4 25 s 2 45)s ( s 5)s ( s s s 2 5)s ( s 4 1 1 s R ( s ) )()(1 1 s e ( t )e 2 0s 2 0s 0s t ss lim lim lim lim sHsG 例：設二階控制系統(tǒng)的單位階躍響應曲線如圖所示。如果 該系統(tǒng)屬于單位反饋控制系統(tǒng)，試確定其開環(huán)傳遞函數(shù)。 2 22() 2 n nn s ss 21 2 % = e 1 0 0 % 3 0 % 0 .3 5 7 3 3 .6 3 0 .1 1 n p n t 2 1 1 3 1 ( ) 1 1 3 1( ) ( ) 2 4 1 1 3 1 1 ( ) ( 2 4 ) ss G s s s s s s 已知系統(tǒng)結(jié)構圖，及單位階躍響 應的指標： 1 % 1 6 . 3 % p t 求 ( 1 ) ( ) ?Gs ( 2 ) ( ) ?s ( 3 ) 由 ,%pt 確定 K 和 ( 4 ) ( ) 1.5r t t 時 ?sse 解 ： 10 10( 1 ) ( ) . 10 ( 1 ) 10 1 ( 1 ) Kss G s K s s s ss 開環(huán)增益 0 10 ( 1 ) 1 10 K K 2 ( ) 1 0 () 1 ( ) ( 1 1 0 ) 1 0 G s K s G s s s K 得 2 1 0 1 0 ( 2 ) 21( 1 1 0 ) 102 1 0 nn n KK K 依題： 22 3 .1 4 1 3 .6 3 ( ) 0 .8 6 611 pn n t 弧 / 秒 % 1 6 .3 % 6 0 0 .5 代入（ 2 ）式： 2 3 . 6 3 1 . 3 2 10 K 2 0.5 3.6 3 1 0.2 63 10 由知： 1v 一型系統(tǒng) 0 10 10 1.3 2 3.6 4 1 10 1 10 0.2 63 K K 又 ( ) 1 . 5 1 . 5r t t A 0 vKK 1.5 0.413 3.64 ss v A e K