中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 31 中值定理32 羅必達(dá)法則

第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 3.1 中值定理 3.2 羅必達(dá)法則 3.3 函數(shù)單調(diào)性的判別法 3.4 函數(shù)的極值 3.5 函數(shù)的最大值和最小值 3.6 曲線的凹凸與拐點(diǎn) 3.7 函數(shù)圖像的描繪 3.8 曲率 下頁 3.1 中值定理 1. 羅爾（ Rolle）定理 2. 拉格朗日（ Lagrange)定理 3. 柯西 （ Cauchy） 定理 首頁 上頁 下頁 3.1 中值定理 1. 羅爾（ Rolle）定理 定理 1 （羅爾定理）如果函數(shù) f(x)滿足： (1) 在閉區(qū)間 a,b上連續(xù)； (2) 在開區(qū)間 (a,b)內(nèi)可導(dǎo)； (3) f(a)=f(b), 0f ( ) . 則在 (a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn) 使得 ( ) ,ab x y o 0f ( ) . C a b A B 首頁 上頁 下頁 例 1 驗(yàn)證函數(shù) 定理的條件，并求出使 的 值 . 解 1x 所以，在 內(nèi)，使得 的 有兩個 : 3.1 中值定理 3,33)( 3 在xxxf 上滿足羅爾 0)( f 33)( 2 xxf 3( ) 3 3 , 3 ,f x x x ， 且 在是 初 等 函 數(shù) 上 有 定 義 3( ) 3 .f x x x 在 該 區(qū) 間 上 連 續(xù) )3()3( ff 0)( xf 23 3 0 x ( 1 ) 0 , ( 1 ) 0ff )3,3( 0)( f 121, 1 . 首頁 上頁 下頁 2. 拉格朗日（ Lagrange)定理 定理 2 （拉格朗日定理） 如果函數(shù) f(x)滿足： (1) 在閉區(qū)間 a,b上連續(xù)； (2) 在開區(qū)間 (a,b)內(nèi)可導(dǎo)； 則在 (a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn) 使得 3.1 中值定理 ( ) ,ab ( ) ( ) ( ) .f b f a f ba x y o ABf ( ) k . a b A B ab afbfk AB )()( 首頁 上頁 下頁 格朗日定理的條件，并求 的值 . 例 2 驗(yàn)證函數(shù) 在區(qū)間 0， 1上滿足拉 解 拉格朗日定理 230 32 1 . （舍） 1 33 , 2 3 3 . 3.1 中值定理 xxxf 2)( 3 3( ) 2 0 , 1 f x x x 在 區(qū) 間 上 有 定 義 ， 所以在區(qū)間 0， 1上連續(xù)； 2( ) 3 2f x x 在 開 區(qū) 間 (0,1) 內(nèi) 存 在 )(01 )0()1( fff 首頁 上頁 下頁 推論 1 如果函數(shù) f(x)在區(qū)間 (a,b)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)恒為 零，則 f(x)在區(qū)間 (a,b)內(nèi)是一個常數(shù) . 推論 2 如果函數(shù) f(x)和 g(x)在區(qū)間 (a,b)內(nèi)可導(dǎo) ,且 則在區(qū)間 (a,b)內(nèi)兩個 函數(shù)至多相差一個常數(shù)，即 其中 C為某個常數(shù) . 3.1 中值定理 （用拉格朗日定理證） ( ) ( ) ,f x g x ( ) ( ) ,f x g x C 首頁 上頁 下頁 則在 (a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn) ，使得 3. 柯西 （ Cauchy） 定理 定理 3 （柯西定理）如果函數(shù) f(x)和 g(x)滿足 : (1) 在閉區(qū)間 a,b上連續(xù)； (2) 在開區(qū)間 (a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且 3.1 中值定理 ( ) 0 ,gx ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) f b f a f g b g a g xxg )( ( ) ( ) ( ) .f b f a f ba 首頁 上頁 下頁 1. 未定式 型的極限求法 3.2 羅必達(dá)法則 0 0 2. 未定式 型的極限求法 3. 其他類型的未定式極限的求法 首頁 上頁 下頁 可以除外）， (2)在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)（點(diǎn) 1. 未定式 型的極限求法 3.2 羅必達(dá)法則 0 0 羅必達(dá)法則 1 如果函數(shù) f(x)和 g(x)滿足下述條件： (1) 0 x 0 x 均存在且 (3) 存在（或?yàn)闊o窮大），則有 00 l i m ( ) l i m ( ) 0 ;x x x xf x g x )(),( xgxf ( ) 0 ;gx )( )(lim 0 xg xf xx 00 ( ) ( )l im l im . ( ) ( )x x x x f x f x g x g x 首頁 上頁 下頁 例 1 求 解 例 2 求 解 3.2 羅必達(dá)法則 0 ( 1 ) 1l im ( ) . x x x 為 實(shí) 數(shù) 1 0 0 0 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 )l i m l i m l i m . ( ) 1x x x x x x xx a r c ta n 2l im . 1x x x 22 2 2 1 a r c ta n 12l im l im l im 1 . 11 1x x x x x x x xx 10, a r c ta n 0 , 0 . 20 xx x 00 , ( 1 ) 1 0 , 0 . 0 x x x 首頁 上頁 下頁 例 3 求 解 3.2 羅必達(dá)法則 30 si nlim . x xx x 3200 sin 1 c o sl im l im , 3xx x x x xx 200 1 c os sin 1l im l im . 3 6 6xx xx xx 0 0 320 0 0 00 s i n 1 c o s s i n 1l i m l i m l i m . 3 6 6x x x x x x x x x x 首頁 上頁 下頁 的某鄰域內(nèi)（點(diǎn) 可以除外）， 2. 未定式 型的極限求法 羅必達(dá)法則 2 如果函數(shù) f(x)和 g(x)滿足下述條件： (1) (2)在點(diǎn) 0 x 0 x 均存在且 (3) 存在（或?yàn)闊o窮大），則有 3.2 羅必達(dá)法則 00 l i m ( ) l i m ( ) ;x x x xf x g x )(),( xgxf ( ) 0;gx )( )(lim 0 xg xf xx 00 ( ) ( )l im l im . ( ) ( )x x x x f x f x g x g x 首頁 上頁 下頁 例 4 求 解 3.2 羅必達(dá)法則 00 l n c otl im . lnx x x xx x x x x x x xxx c o ss i n lim 1 )c s c( c o t 1 lim ln c o tln lim 00 2 0000 .1s inlimc os1lim 0000 xxx xx 首頁 上頁 下頁 例 5 求 解 例 6 解 求 3.2 羅必達(dá)法則 2 lnlim . x x x 22 1 l n 1l i m l i m l i m 0. 22x x x x x x x x lim . n xx x e x nxxnxxnx e xnnenxex 21 )1(limlimlim !li m 0. xx n e 注意 洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法，但與其它 求極限方法結(jié)合使用，效果更好 . 首頁 上頁 下頁 例 7 求 解 例 8 求 解 方法失效 3.2 羅必達(dá)法則 sinli m . x xx x ( s in ) c o s 1l im l im ( ) ( ) 1xx x x x x 不 存 在 1lims i n1lims i nlim xxxxx xx xxx lim .xxxxx eeee xx xx xxx xx xxx xx x ee ee ee ee ee ee limlimlim 101 0111limlim 2 2 x x xxx xx x e e ee ee 首頁 上頁 下頁 3. 其他類型的未定式極限的求法 例 9 求 解 例 10 求 解 3.2 羅必達(dá)法則 000 , , 0 , 1 , 0 0 或 00lim ln .x xx (0 ) 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 ln l im l n l im l im l im 0. 11x x x x x x x x x xx 2 l im ( s e c ta n ) . x xx 2 2 2 0 1 s i n 0 c o s0l i m ( s e c t a n ) l i m l i m 0 . c o s s i nx x x xxxx xx 首頁 上頁 下頁 例 11 求 解 3.2 羅必達(dá)法則 00lim . x x x 00 00l i m l nln 0 0 0 0l im l im , x xxx x x xx x e e 00l im l n 0 ,x xx 0 00l i m 1 . x x xe 首頁 上頁 下頁 3.3 函數(shù)單調(diào)性判別法 設(shè)函數(shù) f(x)在區(qū)間 (a,b)內(nèi)可導(dǎo) . 定理 (1)如果在 (a,b)內(nèi)， 0)( xf ，則函數(shù) f(x)在 (a,b)內(nèi)單調(diào)增加 ; (2)如果在 (a,b)內(nèi)， 0)( xf ，則函數(shù) f(x)在 (a,b)內(nèi)單調(diào)減少 . 首頁 上頁 下頁 證 ),(, 21 baxx ,21 xx 且 應(yīng)用拉氏定理 ,得 )()()()( 211212 xxxxfxfxf ,0)(),( xfba 內(nèi)，若在 ,0)( f則 ).()( 12 xfxf .,)( 上單調(diào)增加在 baxfy ,0)(),( xfba 內(nèi)，若在 ,0)( f則 ).()( 12 xfxf ( ) , .y f x a b 在 上 單 調(diào) 減 少 3.3 函數(shù)單調(diào)性判別法 21 12 21 ( ) ( ) ( ) ( ) ,f x f x f x x xx 首頁 上頁 下頁 表中“ ”表示單調(diào)增加，“ ”表示單調(diào)減 少 . 例 1 判定函數(shù) 的單調(diào)性 . 解 0 0 x 3.3 函數(shù)單調(diào)性判別法 2)( xxf xxf 2)( 0 , ( ) 0 ; 0 , ( ) 0 ; 0 , ( ) 0 . x f x x f x x f x 時 時 時 )0,( ),0( )(xf )(xf 首頁 上頁 下頁 例 2 求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間 . 解 x -1 (-1,3) 3 0 0 3.3 函數(shù)單調(diào)性判別法 1493)( 23 xxxxf 2( ) 3 6 9 3 ( 1 ) ( 3 ) ,f x x x x x 12( ) 0 , 1 , 3 .f x x x 解 得 )1,( ),3( )(xf )(xf ( , 1 ) ( 3 , ) , ( 1 , 3 ) . 單 調(diào) 增 加 區(qū) 間 為 和 單 調(diào) 減 少 區(qū) 間 為 首頁 上頁 下頁 例 3 求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間 . 解 1 不存在 x 3.3 函數(shù)單調(diào)性判別法 3 2 )1(3)( xxf 3 3 1 )1( 2)1(2)( x xxf )(xf )(xf )1,( ),1( ( 1 , ) , ( 1 ) . 單 調(diào) 增 加 區(qū) 間 為 單 調(diào) 減 少 區(qū) 間 為 ， 首頁 上頁 下頁 例 4 求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間 . 解 0 - 0 + x 3.3 函數(shù)單調(diào)性判別法 )1ln ()( xxxf ( 1 , ) 定 義 域 為 ， 1( ) 1 . 11 xfx xx ( ) 0 0 .f x x )(xf )(xf )0,1( ),0( ( 0 , ) , ( 1 0 ) . 單 調(diào) 增 加 區(qū) 間 為 單 調(diào) 減 少 區(qū) 間 為 ， 首頁 上頁 下頁 （ 2）求導(dǎo)數(shù)，并求使 或 不存在的點(diǎn)， 得到各單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)； 3.3 函數(shù)單調(diào)性判別法 綜合以上幾例，得到求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟如下： （ 1）求函數(shù)的定義域； （ 3）討論 在各區(qū)間內(nèi)的符號，判斷函數(shù) 在各區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性 . 0)( xf )(xf )(xf)(xf 注意 如果函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)，只有個別點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零或 不存在，但該區(qū)間內(nèi)其余各點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)均大于（或小于）零， 則函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)仍是單調(diào)增加（或減少）的 . 3xy 首頁 上頁 下頁 例 5 0 x si n x x .證明 :當(dāng) 時， 證 令 所以 在 內(nèi)是單調(diào)增加的且連續(xù) . 3.3 函數(shù)單調(diào)性判別法 ,0.0)0(,s i n)( 時當(dāng)則 xfxxxf ,0c o s1)( xxf )(xf ),0( 0 ( ) ( 0 ) 0 ,x f x f si n 0 ,xx si n ( 0 ) .x x x 首頁 上頁 下頁 3.4 函數(shù)的極值 1. 函數(shù)極值的定義 2. 函數(shù)極值的判定和求法 首頁 上頁 下頁 3.4 函數(shù)的極值 概念引入 1 4 1 4 25 25 ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) . y f x c c f c f c CC f c f c 在 點(diǎn) 處 的 函 數(shù) 值 比 它 們 左 右 鄰 近 各 點(diǎn) 的 函 數(shù) 值 大 而 在 處 的 函 數(shù) 值 比 它 們 鄰 近 各 點(diǎn) 的 函 數(shù) 值 都 小 首頁 上頁 下頁 3.4 函數(shù)的極值 1. 函數(shù)極值的定義 定義 0 x設(shè)函數(shù) 在 的某個鄰域內(nèi)有定義 . （ 1）如果對于該鄰域內(nèi)的任意點(diǎn) ，都有 （ 2）如果對于該鄰域內(nèi)的任意點(diǎn) ，都有 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的 極值 ， 使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為函數(shù)的 極值點(diǎn) . )(xf 0()x x x 00( ) ( ) , ( ) ( ) ,f x f x f x f x 則 稱 為 函 數(shù) 極 大 值的 并 且 0 ( ) ;x f x稱 是 的 極 大 值 點(diǎn)點(diǎn) 0()x x x 00( ) ( ) , ( ) ( ) ,f x f x f x f x 則 稱 為 函 數(shù) 極 小 值的 并 且 0 ()x f x 極稱 點(diǎn) 是 的 小 值 點(diǎn) . 首頁 上頁 下頁 取得極值，則函數(shù)在點(diǎn) 可導(dǎo)，且在點(diǎn) 2. 函數(shù)極值的判定和求法 定理 1 （必要條件） 0 x 0 x 0 x 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的導(dǎo)數(shù) 使函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)叫作函數(shù)的 駐點(diǎn)（或穩(wěn)定點(diǎn)） 3.4 函數(shù)的極值 )(xf 0( ) 0 .fx 注意 001 , ( ) ( ) 0 , , , . f x f x x定 理 表 明 函 數(shù) 在 的 點(diǎn) 處 可 能 取 極 值 但 是 在 導(dǎo) 數(shù) 不 存 在 的 點(diǎn) 函 數(shù) 也 可 能 有 極 值 yx x y o x y o 13yx 首頁 上頁 下頁 3.4 函數(shù)的極值 x y o a b x y o a b0 x 0 x ( ) 0fx ( ) 0fx ( ) 0fx ( ) 0fx 定理引入 首頁 上頁 下頁 在點(diǎn) 的一個鄰域內(nèi) 定理 2 （第一充分條件） 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 0 x 連續(xù)且可導(dǎo)（但 可以不存在） . （ 1）如果在 0 x 的鄰域內(nèi)，當(dāng) 0 xx 時， 0 xx 0 x 當(dāng) 時， ，則函數(shù) 取得極大值 （ 2）如果在 0 x 的去心鄰域內(nèi)， 0 xx 時， 當(dāng) 0 xx 時， ，則函數(shù) 在點(diǎn) 0 x 取得極小值 3.4 函數(shù)的極值 )( 0 xf ( ) 0 ;fx 0)( xf )(xf 0( ).fx ( ) 0 ;fx ( ) 0fx )(xf 0( ).fx （ 3）如果在 ( ) ,fx 不 改 變 符 號 的鄰域內(nèi)，當(dāng) 0( ) ( ) .f x f x則 不 是 函 數(shù) 的 極 值 0 x 首頁 上頁 下頁 （ 2）求導(dǎo)數(shù) ; 3.4 函數(shù)的極值 綜合上面兩個定理，得到求函數(shù)極值的一般步驟如下： （ 1）求函數(shù)的定義域； )(xf （ 3）求 的全部駐點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)； （ 4）討論各駐點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)是否為極值點(diǎn)， 是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)； （ 5）求各極值點(diǎn)的函數(shù)值，得到函數(shù)的全部極值 . )(xf 首頁 上頁 下頁 例 1 求函數(shù) 的極值 . 解 （ 1）函數(shù)的定義域?yàn)?（ 2） （ 3）令 得駐點(diǎn) 3.4 函數(shù)的極值 11232)( 23 xxxxf ( , ). 2( ) 6 6 1 2 6 ( 2 ) ( 1 ) .f x x x x x 0)( xf 122 , 1 .xx （ 4）列表討論如下 : x -2 (-2,1) 1 0 0 極大值 21 極小值 6 )2,( ),1( )(xf )(xf 首頁 上頁 下頁 3.4 函數(shù)的極值 x y o ( 2 ) 2 1 , ( 1 ) 6 .ff 極 大 值 為 極 小 值 為 322 3 1 2 1y x x x 1 2 首頁 上頁 下頁 例 2 求函數(shù) 的極值 . （ 1）函數(shù)的定義域?yàn)?解 （ 2） （ 3）令 得駐點(diǎn) （ 4）列表討論如下 : x -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 - 0 - 0 + 0 + 極小 值 0 3.4 函數(shù)的極值 1)1()( 32 xxf ( , ). 2 2 2 2( ) 3 ( 1 ) 2 6 ( 1 ) ( 1 ) .f x x x x x x 0)( xf 1 2 31 , 0 , 1 .x x x )(xf )(xf )1,( ),1( 首頁 上頁 下頁 1 1x, 3 1x 由上表知，函數(shù)的極小值為 .駐點(diǎn) 不是極值點(diǎn)，如下圖所示 . 3.4 函數(shù)的極值 0)0( f x y o 11 23( 1 ) 1yx 首頁 上頁 下頁 例 3 求函數(shù) 的極值 . 解 （ 1）函數(shù)的定義域?yàn)?（ 2） （ 3）令 得駐點(diǎn) 1x. 當(dāng) 0 x 時，導(dǎo)數(shù)不存在 . （ 4）列表討論如下 : x 0 (0,1) 1 + 不存在 - 0 + 極大值 0 極小值 12 3.4 函數(shù)的極值 3 2 2 3)( xxxf ( , ). 1 3( ) 1 .f x x 0)( xf )(xf )(xf )0,( ),1( 首頁 上頁 下頁 由上表知，函數(shù)的極大值為 3.4 函數(shù)的極值 ( 0 ) 0 .f 1(1) . 2f 函數(shù)的極小值為 首頁 上頁 下頁 取得極小值 . 在點(diǎn) 定理 3 （第二充分條件） 設(shè)函數(shù) 0 x 處具有二階 導(dǎo)數(shù)且 （ 1）如果 ，則函數(shù) 在點(diǎn) 0 x （ 2）如果 ，則函數(shù) 在點(diǎn) 0 x 取得極大值 . 3.4 函數(shù)的極值 )(xf 0( ) 0 , ( ) 0 .f x f x 0)( 0 xf )(xf )(xf 0)( 0 xf 注意 0( ) 0 ( ) 0 , 3 ,f x f x 當(dāng) 且 則 定 理 失 效 這 時 仍 用 第 一 充分條件來判定 . 32 )(,)( xxgxxf 0 x 首頁 上頁 下頁 3.4 函數(shù)的極值 例 4 求函數(shù) 在區(qū)間 02, 上的極值 . xxxf c o ss in)( 解 ( ) c o s sin .f x x x 0)( xf 12 5,. 44xx xxxf c o ss in)( ( ) 2 0 ,4f ( ) ( ) 2 .44f x x f 在 取 得 極 大 值 02)45( f 55( ) ( ) 2 . 44f x x f 在 取 得 極 小 值 首頁 上頁 下頁 （ 1）求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)，并求出所有的駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存 在的點(diǎn) . （ 3）比較上述各函數(shù)值的大小，其中最大的就是 在閉區(qū)間 a， b上的最大值，最小的就是 在閉區(qū)間 a， b上的最小值 . 3.5 函數(shù)最大值和最小值 求函數(shù) 在閉區(qū)間 a， b上的最大值與最小值的步驟為： )(xf )(xf )(xf )(xf （ 2）求各駐點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)及各端點(diǎn)的函數(shù)值 . 首頁 上頁 下頁 3.5 函數(shù)最大值和最小值 例 1 求函數(shù) 的最大值和 最小值 . 解 令 所以最大值為 ，最小值為 32( ) 3 9 2 2 , 6 f x x x x 在 閉 區(qū) 間 )3)(1(3963)( 2 xxxxxf 12( ) 0 , 1 , 3 .f x x x 得 駐 點(diǎn) （ 2）求出區(qū)間端點(diǎn)及各駐點(diǎn)的函數(shù)值分別是 （ 1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得 .25)3(,7)1(,56)6(,0)2( ffff 56)6( f (3 ) 2 5 .f 首頁 上頁 下頁 例 2 用一塊邊長為 24cm的正方形鐵皮，在其四角各截去一塊面 積相等的小正方形，做成無蓋的鐵盒，問截去的小正方形 邊長為多少時，做出的鐵盒容積最大？ 解 設(shè)截去的小正方形邊長為 xcm，鐵盒容積為 Vcm3得 3.5 函數(shù)最大值和最小值 首頁 上頁 下頁 令 0V , 得 又由問題得實(shí)際意義知，函數(shù) V的最大值在（ 0， 12）內(nèi)取 得，所以當(dāng) x 4時，函數(shù) V取得最大值，即當(dāng)所截去的正 方形邊長為 4cm時，鐵盒的容積最大。 3.5 函數(shù)最大值和最小值 )120()224( 2 xxxV ).4)(12(12 )624)(224( )2)(224(2)224( 2 xx xx xxxV 121 2 , 4 .xx 首頁 上頁 下頁 例 3 在一條河的同旁有甲乙兩城，甲的城位于河岸邊，乙城離 岸 40km，乙城到岸的垂足與甲城相距 50km，兩城在此河 邊合建一水廠取水，從水廠到甲城和乙城的水管費(fèi)用分別 為每公里 3萬元和 5萬元，問此水廠應(yīng)設(shè)在河邊的何處才能 使水管費(fèi)用最??？ 3.5 函數(shù)最大值和最小值 解 設(shè)水廠離甲城 xkm，水管 總費(fèi)用為 y萬元，則 ).500(,)50(4053 22 xxxy 22 2 2 2 2 3 4 0 ( 5 0 ) 5 ( 5 0 ) 5 ( 5 0 )3. 4 0 ( 5 0 ) 4 0 ( 5 0 ) xxxy xx 0 2 0 .yx 首頁 上頁 下頁 例 4 已知電源電壓為 E，內(nèi)阻為 r，求負(fù)載電阻 R為多大時， 輸出功率最大？ 解 2P I R , EI rR 令 0dP ,dR 得 R r. 所以當(dāng) Rr 時，輸出功率最大 . 3.5 函數(shù)最大值和最小值 2 , ( 0 , ) .EP R RrR 3 2 )( Rr RrE dR dP 首頁 上頁 下頁 例 5 每單位產(chǎn)品的價格是 134元，求使利潤最大的產(chǎn)量 . 解 生產(chǎn) x個單位利潤為 3.5 函數(shù)最大值和最小值 某產(chǎn)品生產(chǎn) x單位的總成本為 3001705121)( 23 xxxxC .3 0 0365 12 1 )3 0 01 7 05 12 1 (1 3 4 )()()( 23 23 xxx xxxx xCxRxL 211( ) 10 36 ( 36 ) ( 4) , 44L x x x x x 首頁 上頁 下頁 因?yàn)?所以 在 36x 有極大值 ; 又因?yàn)?所以 在 4x 有極小值 . 因此 L(36)=996是 L(X)的最大值 .所以 ,生產(chǎn) 36個單位時 , 有最大利潤 996元 . 3.5 函數(shù)最大值和最小值 1( ) 10 . 2L x x 12( ) 0 36 , 4.L x x x ( 36) 8 0 ,L )(xL ( 4) 4 0 ,L )(xL (0 ) 3 0 0 , 3 6 , ( ) 0L x L x ( ) .Lx 單 調(diào) 減 少 首頁 上頁 下頁 ) 設(shè)曲線弧的方程為 y=f(x)，且曲線弧上的每一點(diǎn) 都有切線，如果在某區(qū)間內(nèi)，該曲線弧位于其上任意一 點(diǎn)切線的下方，則稱曲線弧在該區(qū)間內(nèi)是 凹的 ；如果該 曲線弧位于其上任一點(diǎn)切線的下方，則稱曲線弧在該區(qū) 間內(nèi)是 凸的 。 3.6 曲線的凹凸與拐點(diǎn) 定義 x y ox y o 2yx yx ) ) 首頁 上頁 下頁 定理 設(shè)函數(shù) f(x)在 (a,b)內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù) . （ 1）如果在 (a,b)內(nèi)， 則曲線 y=f(x)在 (a,b)內(nèi)是凹的 ; （ 2）如果在 (a,b)內(nèi)， 則曲線 y=f(x)在 (a,b)內(nèi)是凸的 . 例 1 判定曲線 3yx 的凹凸性 . 解 函數(shù)的定義域?yàn)?236y x , y x . 00 x y . 所以曲線在 內(nèi)是凸的 , 在 內(nèi)是凹的 . 3.6 曲線的凹凸與拐點(diǎn) ( ) 0 ,fx ( ) 0 ,fx ( , ) . )0,( ),0( 首頁 上頁 下頁 連續(xù)曲線上凹的曲線弧與凸的曲線弧的分界點(diǎn)叫作 曲線的 拐點(diǎn) . 3.6 曲線的凹凸與拐點(diǎn) y xo 3yx 首頁 上頁 下頁 例 2 求曲線 4321y x x 凹凸區(qū)間和拐點(diǎn) . 解 函數(shù)的定義域?yàn)?令 0y , 得 1 0 x, 2 1x. x 0 (0,1) 1 + 0 - 0 + 拐點(diǎn) (0,1) 拐點(diǎn) (1,0) 3.6 曲線的凹凸與拐點(diǎn) ( , ). )1(121212,64 223 xxxxyxxy )(xf )( xfy )0,( ),1( 首頁 上頁 下頁 例 3 求曲線 53yx 凹凸區(qū)間和拐點(diǎn) . 解 函數(shù)的定義域?yàn)?2 35 3y x , 1 352 33y x 10 1 9 3 .x x 0 - 不存在 拐點(diǎn) (0,0) 3.6 曲線的凹凸與拐點(diǎn) ( , ) . )(xf )( xfy )0,( ),0( 首頁 上頁 下頁 例 4 判斷曲線 是否有拐點(diǎn) ? 解 函數(shù)的定義域?yàn)?令 0y , 得 12x. 1 2x 時，恒有 0y , 因此點(diǎn) 不是曲線得拐點(diǎn)，所以曲線沒有拐點(diǎn) . 3.6 曲線的凹凸與拐點(diǎn) 1)12( 4 xy ( , ) . 23 )12(48,)12(8 xyxy 1 , 2xy 即 在 點(diǎn) 的 左 右 近 旁 的 符 號 相 同 1,21 首頁 上頁 下頁 3.7 函數(shù)圖像的描繪 1. 曲線的水平漸近線和鉛直漸進(jìn)線 2. 函數(shù)圖像的描繪 首頁 上頁 下頁 3.7 函數(shù)圖像的描繪 1. 曲線的水平漸近線和鉛直漸進(jìn)線 一般地 則直線 y=A叫作曲線 y=f(x)的水平漸進(jìn)線 . 則直線 x=x0叫作曲線 y=f(x)的鉛直漸進(jìn)線 . ( , ) l im ( ) ,xx x x f x A 如 果 或 或 時 , 00 0 0 ( 0 , 0 ) l i m ( ) ,xxx x x x x x f x 如 果 或 或 時 , 首頁 上頁 下頁 例 1 求曲線 21 xy x 的漸進(jìn)線 . 解 0y 是曲線的水平漸進(jìn)線 . 例 2 求曲線 的漸進(jìn)線 . 解 1x, 1x 是曲線的鉛直漸進(jìn)線 . 0y 是曲線的水平漸進(jìn)線 . 3.7 函數(shù)圖像的描繪 2 2l im 0 , 1x x x )1)(1( xx xy 11 l im , l im( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) xx xx x x x x l im 0( 1 ) ( 1 )x xxx 首頁 上頁 下頁 3.7 函數(shù)圖像的描繪 2. 函數(shù)圖像的描繪 利用導(dǎo)數(shù)描繪函數(shù)的圖像的一般步驟是： （ 1）確定函數(shù) 的定義域，并討論函數(shù)的奇偶性； （ 2）求出 ，解出 在 函數(shù)定義域內(nèi)的全部實(shí)根，并求出所有使一階導(dǎo)數(shù) 二階導(dǎo)數(shù) 不存在的點(diǎn)； （ 3）把函數(shù)的定義域分為幾個部分區(qū)間，列表討論函 數(shù)的單調(diào)性與極值、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)； （ 4）確定曲線的漸近線； （ 5）結(jié)合極值點(diǎn)、拐點(diǎn)以及必要的輔助點(diǎn)，把它們 連成光滑的曲線，從而得到函數(shù) 的圖像 . )( xfy )()( xfxf 與 0)(0)( xfxf 與 ( ),fx )(xf )( xfy 首頁 上頁 下頁 例 3 作函數(shù) 的圖像 . （ 1）函數(shù)的定義域?yàn)?解 3.7 函數(shù)圖像的描繪 33)( xxxf ( , ). 33( ) 3 ( ) ( ) ( 3 ) ( ) ,f x x x x x f x 所以 , 是奇函數(shù)，它的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱 . )(xf 2( 2 ) ( ) 3 3 3 ( 1 ) ( 1 ) ,f x x x x 12( ) 0 , 1 , 1 .f x x x 令 得 ( ) 6 ,f x x 3( ) 0 , 0 .f x x 令 得 首頁 上頁 下頁 （ 3）列表討論如下 : x -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 - 0 + + 0 - + + 0 - - 極小 值 2 極大 值 2 曲線 拐點(diǎn) (0,0) 3.7 函數(shù)圖像的描繪 )1,( ),1( )(xf )(xf )(xf 首頁 上頁 下頁 3.7 函數(shù)圖像的描繪 首頁 上頁 下頁 例 4 作函數(shù) 2xye 的圖像 . (1)函數(shù)的定義域?yàn)?解 所以 是偶函數(shù)，它的圖像關(guān)于 y軸對稱 . 22 xy x e , 3.7 函數(shù)圖像的描繪 ( , ). 22()( ) ( ) ,xxf x e e f x )(xf (2) 20 , . 2yx 令 得 0 , 0 .yx 令 得 222 ( 2 1 ) ,xy x e 首頁 上頁 下頁 (3)列表討論如下 : x 0 0 0 0 y 極大 值 1 曲線 拐點(diǎn) 拐點(diǎn) 22 2 2 3.7 函數(shù)圖像的描繪 )22,( ),22( 20, 22( ,0)2 y y ),22( 21 e ),22( 2 1e 2( 4 ) l i m 0 x x e 直線 y=0為水平漸進(jìn)線 . 首頁 上頁 下頁 3.7 函數(shù)圖像的描繪 首頁 上頁 下頁 例 5 作函數(shù) 2361 3xy x 的圖像 . 解 (1) 函數(shù)的定義域?yàn)?33, 3 3 6 3 3 xy x 令 0y , 得 3x. 4 7 2 6 3 xy x 令 0y , 得 6x. (3) 列表討論如下 : 3.7 函數(shù)圖像的描繪 (2) 首頁 上頁 下頁 x 3 (3,6) 6 - + 0 - - - - - 0 + 極大值 4 曲線 拐點(diǎn) f x f x fx 3, 33, 6, 116 3( , ) 3.7 函數(shù)圖像的描繪 首頁 上頁 下頁 1xli m f x , 3xl i m f x . 所以直線 y=1為水平漸進(jìn)線， x=-3為鉛直漸進(jìn)線 . (5) 綜上所述得圖像 3.7 函數(shù)圖像的描繪 (4) 首頁 上頁 下頁 3.8 曲率 1. 弧微分 2. 曲率及其計(jì)算公式 3. 曲率圓和曲率半徑 首頁 上頁 下頁 3.8 曲率 0s M M x s dx dss x 0lim 2 2222 )( x MN MN MN x MN x s 2 22 2 ( ) ( ) () M N x y M N x 2 2 1,M N yM N x 1. 弧微分 首頁 上頁 下頁 3.8 曲率 弧微分 ds 就是曲線上點(diǎn) M處的切線段 |MT|. 通常把直角三角形 MRT叫作曲線在點(diǎn) M的 微分三角形 . 22d s d x d y弧微分公式 2 2 1.s MN yx MN x 00 l i m 1 , l i m xx M N y y M N x 21. ds y dx s=s(x)是 x的單調(diào)增加函數(shù)，從而根號前應(yīng)取正號， 21,ds y dx 首頁 上頁 下頁 例 1 求正弦曲線 y sin x 的弧微分 . 解 21d s y d x 21 c os x dx . 例 2 求圓 x r co s t y r sin t 的弧微分 . 解 22d s ( r s in td t ) ( r c o s td t ) rdt. 3.8 曲率 首頁 上頁 下頁 2. 曲率及其計(jì)算公式 平均曲率 ak MN 曲率 0MN ak lim MN 3.8 曲率 1 1 MNMN 11 1 NMMN 首頁 上頁 下頁 例 3 解 已知圓的半徑為 R,求：（ 1）圓上任意一段的平均曲率； （ 2）圓上任意一點(diǎn)的曲率 . （ 1） ak MN a Ra 1 . R （ 2）圓上任一點(diǎn)的曲率 0MN ak lim MN 0 1lim R 1 . R 3.8 曲率 ,.M O N M N R 首頁 上頁 下頁 3.8 曲率 MMs 0 .K MN s 弧 MN的平均曲率為 在點(diǎn) M(x,y)的曲率為 0l im . ( 1)s dK s ds y ta n 2 1 . c o s d y d x 1)(1t a nc o s c o ss i nc o s1 222 222 y 2 . ( 2 )1 ( ) yd d x y 首頁 上頁 下頁 例 4 求等邊雙曲線 xy=1在點(diǎn) (1,1)處的曲率 . 解 2 1y , x 3 2y . x 1 1xy | , 1 2xy | . 代入曲率的計(jì)算公式得 322 2 11 |k. 3.8 曲率 曲率的計(jì)算公式 21 ( 3 )d s y d x 2 3 / 2 2 3 / 2 | . ( 1 ) ( 1 ) yyK K K 只 取 正 值 11.x y y x (2)與 (3)代入 (1)得 首頁 上頁 下頁 3.8 曲率 例 5 求拋物線 上曲率最大的點(diǎn) . 2xy 解 2xy 2 , 2 .y x y 2 3 / 2 | 2 | . 1 ( 2 ) K x 當(dāng) x=0時，分母最小 . 所以，在頂點(diǎn)（ 0， 0）處拋物線的曲率最大 . 首頁 上頁 下頁 3. 曲率圓和曲率半徑 圓 C與曲線 y=f(x)有以下關(guān)系： (1)在點(diǎn) M有公共的切線； (2)在點(diǎn) M有公共的凹向； (3)在點(diǎn) M有相同的曲率 . 我們把同時滿足以上三個條件的圓叫作曲線在點(diǎn) M的 曲率 圓 .曲率圓的圓心 C叫作曲線在 M點(diǎn)的 曲率中心 ，曲率圓的 半徑 R叫作曲線在點(diǎn) M的 曲率半徑 . 3.8 曲率 首頁 上頁 下頁 曲率半徑的計(jì)算公式 32 21( y ) R | y | 例 6 求等邊雙曲線 xy 1在點(diǎn) (1,1)的曲率半徑 . 解 該點(diǎn)在點(diǎn) (1,1)的曲率 2 2K. 所求曲率半徑為 1R K 2. 3.8 曲率 首頁 上頁 下頁 設(shè)工件內(nèi)表面的截線為拋物線 . 現(xiàn)在要用砂 輪磨削其內(nèi)表面，問直徑多大的砂輪比較合適？ 3.8 曲率 例 7 24.0 xy 解 問題成為求拋物線在頂點(diǎn)處 的曲率半徑 . 0.8 , 0.8 ,y x y 000 , 0 .8 .xxyy 2 3 / 2( 1 0 ) 1 . 2 5 .0 . 8R 所以選用砂輪的半徑不得超過 1.25單位長， 即直徑不得超過 2.50單位長 . 首頁 上頁 下頁