《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》習(xí)題及答案

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一部份習(xí)題第一章概率論基本概念一、填空題1、設(shè) A，B， C 為 3 事件，則這3 事件中恰有2 個(gè)事件發(fā)生可表示為。2、設(shè) P( A)0.1, P( AB) 0.3 ，且 A 與 B 互不相容，則 P( B)。3、口袋中有4 只白球， 2 只紅球，從中隨機(jī)抽取3 只，則取得2 只白球， 1 只紅球的概率為。4、某人射擊的命中率為0.7，現(xiàn)獨(dú)立地重復(fù)射擊5 次，則恰有2 次命中的概率為。5、某市有50%的住戶訂晚報(bào)，有60%的住戶訂日?qǐng)?bào)，有 80%的住戶訂這兩種報(bào)紙中的一種，則同時(shí)訂這兩種報(bào)紙的百分比為。6、設(shè) A，B 為兩事件， P( A)0.7, P( AB )0.3 ，則 P( AB )。7、同時(shí)拋擲3 枚均勻硬幣，恰有1 個(gè)正面的概率為。8A，B為兩事件，P( A)0.5, P( A B)0.2，則 P( AB)。、設(shè)9、 10個(gè)球中只有 1 個(gè)為紅球，不放回地取球，每次1 個(gè)，則第 5 次才取得紅球的概率為。10、將一骰子獨(dú)立地拋擲2 次，以 X 和 Y 分別表示先后擲出的點(diǎn)數(shù)，AX Y10BXY ，則 P(B | A)。11、設(shè) A, B 是兩事件，則A, B 的差事件為。12、設(shè) A, B, C 構(gòu)成一完備事件組， 且 P( A) 0.5, P( B ) 0.7, 則 P(C )，P( AB)。13、設(shè) A 與 B 為互不相容的兩事件，P( B)0, 則 P( A | B)。14、設(shè) A 與 B 為相互獨(dú)立的兩事件，且P( A)0.7, P(B)0.4 ，則 P( AB)。15、設(shè) A, B 是兩事件， P( A)0.9, P( AB )0.36, 則 P( AB )。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第 1 頁(yè)（共 57 頁(yè)）16、設(shè) A, B 是兩個(gè)相互獨(dú)立的事件，P( A)0.2, P(B) 0.4,則 P( A B)。17、設(shè) A, B 是兩事件， 如果 A B，且 P( A)0.7, P(B)0.2 ，則 P( A | B)。18、設(shè) P( A)1 , P(B)1 , P( AB)1 ，則 P( A B )。34219、假設(shè)一批產(chǎn)品中一、二、三等品各占60%， 30%，10%。從中隨機(jī)取一件，結(jié)果不是三等品，則為一等品的概率為20、將 n 個(gè)球隨機(jī)地放入n 個(gè)盒子中，則至少有一個(gè)盒子空的概率為。二、選擇題1、設(shè) P( AB)0 ，則下列成立的是() A 和 B不相容A 和 B 獨(dú)立 P( A)0orP (B)0 P( AB) P( A)2A, B,C是三個(gè)兩兩不相容的事件，且P( A)P( B)P(C )a，則a 的最大值為、設(shè)()1/2 1 1/31/43、設(shè) A 和 B 為 2 個(gè)隨機(jī)事件，且有P(C | AB)1，則下列結(jié)論正確的是()P(C )P( A)P(B)1P(C ) P( A)P( B)1P(C ) P( AB)P(C ) P( A B)4、下列命題不成立的是() AB AB B ABAB (AB)( AB ) A BB A5、設(shè) A, B 為兩個(gè)相互獨(dú)立的事件，P( A) 0, P( B)0 ，則有（） P( A) 1 P(B) P( A | B) 0 P( A | B ) 1 P( A) P( A | B) P(B)6、設(shè) A, B 為兩個(gè)對(duì)立的事件，P( A)0, P(B)0，則不成立的是（） P( A) 1 P(B) P( A | B)0 P( A | B ) 0 P( AB )17、設(shè) A, B 為事件， P( A B)P( A)P( B)0 ，則有（）概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第 2 頁(yè)（共 57 頁(yè)） A 和 B不相容 A 和 B 獨(dú)立A 和 B相互對(duì)立 P( AB) P( A)8、設(shè) A, B 為兩個(gè)相互獨(dú)立的事件，P( A)0, P( B)0，則 P( A B) 為（） P( A) P(B) 1P( A) P(B ) 1P( A) P(B ) 1 P( AB)9、設(shè) A, B 為兩事件，且 P( A)0.3 ，則當(dāng)下面條件（）成立時(shí)，有 P(B)0.7 A 與 B 獨(dú)立 A 與 B 互不相容 A 與 B 對(duì)立 A 不包含 B10、設(shè) A, B 為兩事件，則 ( AB)( AB ) 表示（）必然事件不可能事件 A 與 B 恰有一個(gè)發(fā)生 A 與 B 不同時(shí)發(fā)生11、每次試驗(yàn)失敗的概率為p(0p1)，則在3 次重復(fù)試驗(yàn)中至少成功一次的概率為（） 3(1 p) (1 p)3 1p3 C31 (1p) p212、 10 個(gè)球中有3 個(gè)紅球7 個(gè)綠球，隨機(jī)地分給10個(gè)小朋友，每人一球，則最后三個(gè)分到球的小朋友中恰有一個(gè)得到紅球的概率為（） C 31 ( 3 ) ( 3 )( 7 )2 C 31 ( 3 )( 7 ) 2 C31C721010101010C10313、設(shè) P( A) 0.8, P( B)0.7, P( A | B)0.8 ，則下列結(jié)論成立的是（）A與 B 獨(dú)立A與 B 互不相容B A P( A B) P( A) P( B)14、設(shè) A, B,C 為三事件，正確的是（）P( AB ) 1P( AB)P( AB )P( A) P( B)1P( ABC )1 P( AB C )P( AB)P( BA)15、擲 2 顆骰子，記點(diǎn)數(shù)之和為3 的概率為 p ，則 p 為（）1/2 1/4 1/18 1/3616、已知 A, B 兩事件的概率都是1/2,則下列結(jié)論成立的是（） P( A B) 1 P( AB ) 1 P( AB ) P( AB) P( AB)12概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第 3 頁(yè)（共 57 頁(yè)）17、 A, B, C 為相互獨(dú)立事件，0P(C )1，則下列 4 對(duì)事件中不相互獨(dú)立的是（） A B 與 C A B 與 C AB 與 C AC 與 C18、對(duì)于兩事件A, B ，與 AB B 不等價(jià)的是（） A B ABA B B A19、對(duì)于概率不為零且互不相容的兩事件A, B ，則下列結(jié)論正確的是（） A 與 B 互不相容 A 與 B 相容P( AB )P( A)P(B)P( AB) P(A)三、計(jì)算題1、某工廠生產(chǎn)的一批產(chǎn)品共有100 個(gè)，其中有 5 個(gè)次品。從中取30 個(gè)進(jìn)行檢查，求次品數(shù)不多于1 個(gè)的概率。2、某人有5 把形狀近似的鑰匙，其中有2 把可以打開房門，每次抽取1把試開房門，求第三次才打開房門的概率。3、某種燈泡使用1000 小時(shí)以上的概率為0.2，求 3 個(gè)燈泡在使用1000 小時(shí)以后至多有 1個(gè)壞的概率。4、甲、乙、丙 3 臺(tái)機(jī)床加工同一種零件，零件由各機(jī)床加工的百分比分別為45%， 35%，20%。各機(jī)床加工的優(yōu)質(zhì)品率依次為85% ， 90%， 88%，將加工的零件混在一起，從中隨機(jī)抽取一件，求取得優(yōu)質(zhì)品的概率。若從中取1 個(gè)進(jìn)行檢查，發(fā)現(xiàn)是優(yōu)質(zhì)品，問是由哪臺(tái)機(jī)床加工的可能性最大。6 、 某 人 買 了 A, B, C 三 種 不 同 的 獎(jiǎng) 券 各 一 張 ， 已 知 各 種 獎(jiǎng) 券 中 獎(jiǎng) 的 概 率 分 別 為0. 03,0.01,0.02 ；并且各種獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)是相互獨(dú)立的。如果只要有一種獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)則此人一定賺錢，求此人賺錢的概率。7、教師在出考題時(shí)，平時(shí)練習(xí)過的題目占60% ，學(xué)生答卷時(shí)，平時(shí)練習(xí)過的題目在考試時(shí)答對(duì)的概率為 95%，平時(shí)沒有練習(xí)過的題目在考試時(shí)答對(duì)的概率為30%。求答對(duì)而平時(shí)沒有練習(xí)過的概率8、有兩張電影票，3 人依次抽簽得票。求每個(gè)人抽到電影票的概率。9、有兩張電影票，3 人依次抽簽得票，如果第1 個(gè)人抽的結(jié)果尚未公開，由第2 個(gè)人抽的結(jié)果去猜測(cè)第 1 個(gè)人抽的結(jié)果。問：如果第2 個(gè)人抽到電影票，問第1 個(gè)人抽到電影票的概率。10、一批產(chǎn)品的次品率為0.1，現(xiàn)任取 3 個(gè)產(chǎn)品，問 3 個(gè)產(chǎn)品中有幾個(gè)次品的概率的可能性最大。11、有 5 個(gè)除顏色外完全相同的球，其中三個(gè)白色，兩個(gè)紅色。從中任取兩個(gè)，（ 1）求這兩個(gè)球顏色相同的概率； （ 2）兩球中至少有一紅球的概率。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第 4 頁(yè)（共 57 頁(yè)）12、設(shè) A, B 是兩個(gè)事件，用文字表示下列事件：AB , AB, AB, AB 。13、從 1100 這 100 個(gè)自然數(shù)中任取 1 個(gè)，求（ 1）取到奇數(shù)的概率； （ 2）取到的數(shù)能被 3 整除的概率；（ 3）取到的數(shù)能被 6 整除的偶數(shù)。14、對(duì)次品率為 5%的某箱燈泡進(jìn)行檢查，檢查時(shí)，從中任取一個(gè)，如果是次品，就認(rèn)為這箱燈泡不合格而拒絕接受，如果是合格品就再取一個(gè)進(jìn)行檢查，檢查過的產(chǎn)品不放回，如此進(jìn)行五次。如果 5 個(gè)燈泡都是合格品，則認(rèn)為這箱燈泡合格而接受，已知每箱燈泡有100 個(gè)，求這箱燈泡被接受的概率。15、某人有5 把形狀近似的鑰匙，其中只有1 把能打開他辦公室的門，如果他一把一把地用鑰匙試著開門，試過的鑰匙放在一邊，求（1）他試了3 次才能打開他辦公室的門的概率；（ 2）他試了5 次才能打開他辦公室的門的概率16、 10 個(gè)塑料球中有3 個(gè)黑色， 7 個(gè)白色，今從中任取2 個(gè)，求已知其中一個(gè)是黑色的條件下，另一個(gè)也是黑色的概率。17、裝有 10 個(gè)白球， 5 個(gè)黑球的罐中丟失一球，但不知是什么顏色。為了猜測(cè)丟失的球是什么顏色，隨機(jī)地從罐中摸出兩個(gè)球，結(jié)果都是白色球，問丟失的球是黑色球的概率。18、設(shè)有三只外形完全相同的盒子，號(hào)盒中裝有14 個(gè)黑球， 6 個(gè)白球；號(hào)盒中裝有5 個(gè)黑球 ,25 個(gè)白球；號(hào)盒中裝有 8 個(gè)黑球， 42 個(gè)白球。現(xiàn)從三個(gè)盒子中任取一盒，再?gòu)闹腥稳∫磺?，求?1）取到的球?yàn)楹谏虻母怕?；?2）如果取到的球?yàn)楹谏?，求它是取自?hào)盒的概率。19、三種型號(hào)的圓珠筆桿放在一起，其中型的有4 支，型的有5 支，型的有6 支；這三種型號(hào)的圓珠筆帽也放在一起，其中型的有5 個(gè)，型的有7 個(gè)，型的有8 個(gè)?，F(xiàn)在任意取一個(gè)筆桿和一個(gè)筆帽，求恰好能配套的概率。20、有兩張電影票， 3 人依次抽簽得票，如果第1 個(gè)人抽的結(jié)果尚未公開，由第2 個(gè)人抽的結(jié)果去猜測(cè)第1 個(gè)人抽的結(jié)果。問：如果第2 個(gè)人抽到電影票，問第1 個(gè)人抽到電影票的概率。21、甲、乙、丙、丁 4 人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼，他們能譯出的概率分別為0.2 , 0.3 , 0.4 , 0.7,求此密碼能譯出的概率是多少。22、袋中 10 個(gè)白球， 5 個(gè)黃球， 10 個(gè)紅球，從中取 1 個(gè)，已知不是白球，求是黃球的概率。23、設(shè)每次試驗(yàn)事件 A發(fā)生的概率相同， 已知 3 次試驗(yàn)中 A至少出現(xiàn)一次的概率為19/27，求事件 A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率。24、甲、乙、丙3 臺(tái)機(jī)床獨(dú)立工作，由 1 個(gè)人看管，某段時(shí)間甲、乙、丙3 臺(tái)機(jī)床不需看管的概率分別為0.9， 0.8， 0.85，求在這段時(shí)間內(nèi)機(jī)床因無人看管而停工的概率。25、一批產(chǎn)品共有100 件，對(duì)其進(jìn)行檢查，整批產(chǎn)品不合格的條件是：在被檢查的4 件產(chǎn)品中至少有 1 件廢品。如果在該批產(chǎn)品中有5%是廢品，問該批產(chǎn)品被拒收的概率是多少。26、將 3 個(gè)球隨機(jī)地放入 4 個(gè)杯子中，求杯子中球的個(gè)數(shù)的最大值為2 的概率。27、甲、乙 2 班共有 70 名同學(xué)， 其中女同學(xué)40 名，設(shè)甲班有 30 名同學(xué)， 而女同學(xué)15 名，求碰到甲班同學(xué)時(shí)，正好碰到女同學(xué)的概率。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第 5 頁(yè)（共 57 頁(yè)）28、一幢10 層的樓房中的一架電梯，在底層登上7 位乘客。電梯在每一層都停，乘客在第二層起離開電梯。假設(shè)每位乘客在哪一層離開是等可能的，求沒有2 位及 2 位以上乘客在同一層離開的概率。29、某種動(dòng)物由出生到20 歲的概率為0.8，活到 25 歲的概率為0.4，問現(xiàn)在20 歲的動(dòng)物活到 25 歲的概率為多少？30、每門高射炮（每射一發(fā)）擊中目標(biāo)的概率為0.6，現(xiàn)有若干門高射炮同時(shí)發(fā)射（每炮射一發(fā)），欲以 99% 以上的概率擊中目標(biāo)，問至少需要配置幾門高射炮？31、電路由電池A 與 2 個(gè)并聯(lián)的電池B 和 C 串聯(lián)而成，設(shè)電池A， B，C 損壞的概率分別為0.2 ，0.3， 0.3，求電路發(fā)生間斷的概率。32、袋中 10 個(gè)白球， 5 個(gè)黃球， 從中不放回地取3 次，試求取出的球?yàn)橥伾那虻母怕省?3、假設(shè)目標(biāo)在射程之內(nèi)的概率為0.7，這時(shí)射擊的命中率為0.6，試求兩次獨(dú)立射擊至少有一次擊中的概率。34、假設(shè)某地區(qū)位于甲乙二河流的匯合處，當(dāng)任一河流泛濫時(shí)，該地區(qū)即遭受水災(zāi)。設(shè)某段時(shí)期內(nèi)甲河流泛濫的概率為 0.1，乙河流泛濫的概率為 0.2，當(dāng)甲河流泛濫時(shí)乙河流泛濫的概率為 0.3，求（ 1）該時(shí)期內(nèi)這地區(qū)遭受水災(zāi)的概率；（ 2）當(dāng)乙河流泛濫時(shí)甲河流泛濫的概率。35、甲、乙、丙3 人同向飛機(jī)射擊。擊中飛機(jī)的概率分別為0.4， 0.5，0.7。如果有1 人擊中，則飛機(jī)被擊落的概率為0.2，如果有 2 人擊中，則飛機(jī)被擊落的概率為0.6，如果有3 人擊中，則飛機(jī)一定被擊落。求飛機(jī)被擊落的概率。36、一射手命中 10 環(huán)的概率為0.7，命中 9 環(huán)的概率為0.3，求該射手 3發(fā)子彈得到不小于 29 環(huán)的概率。38、甲、乙 2 名乒乓球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行單打比賽，如果每賽局甲勝的概率為0.6，乙勝的概率0.4，比賽既可采用三局兩勝制，也可采用五局三勝制，問采用哪種比賽制度對(duì)甲更有利。39、有 2500 人參加人壽保險(xiǎn)， 每年初每人向保險(xiǎn)公司交付保險(xiǎn)費(fèi)12 元。若在一年內(nèi)死亡，則其家屬可以從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取2000 元。假設(shè)每人在一年內(nèi)死亡的概率都是0.002，求保險(xiǎn)公司獲利不少于 10000 元的概率。40、在 12 名學(xué)生中有 8 名優(yōu)等生，從中任取 9 名，求有5 名優(yōu)等生的概率。41、特色醫(yī)院接待患者的比例為K 型 50%，L 型 30%，M 型 20%，對(duì)應(yīng)治愈率為0.7，0.8，0.9，一患者已治愈，問他屬于L 型的概率？42、某人從甲地到乙地，乘火車、輪船、飛機(jī)的概率分別為0.2，0.4， 0.4，乘火車遲到的概率為 0.5、乘輪船遲到的概率為0.2、乘飛機(jī)不會(huì)遲到。問這個(gè)人遲到的概率；又如果他遲到，問他乘輪船的概率是多少？43、一對(duì)骰子拋擲 25 次，問出現(xiàn)雙6 和不出現(xiàn)雙 6 的概率哪個(gè)大？44、一副撲克（ 52 張），從中任取13 張，求至少有一張“A”的概率？45、據(jù)以往資料表明，某三口之家，患某種傳染病的概率有以下規(guī)律。孩子得病的概率為0.6 ，孩子得病下母親得病的概率為0.5 ，母親及孩子得病下父親得病的概率為0.4 ，求母親及孩子得病但父親未得病的概率。46、某人忘記了電話號(hào)碼的最后一位數(shù)字，因而他隨機(jī)地?fù)芴?hào)。求他撥號(hào)不超過3 次的概率；若已知最后一位數(shù)字為奇數(shù)，此概率是多少？概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第 6 頁(yè)（共 57 頁(yè)）47、某場(chǎng)戰(zhàn)斗準(zhǔn)備調(diào)甲、乙兩部隊(duì)參加，每支部隊(duì)能按時(shí)趕到的概率為，若只有一支部隊(duì)參加戰(zhàn)斗，則取勝的概率為0.4 ；若兩部隊(duì)參加戰(zhàn)斗，則必勝；若兩部隊(duì)未能按時(shí)趕到則必?cái)?。欲達(dá)0.9 以上的概率取勝，求的最低值。48、工人看管三臺(tái)設(shè)備，在1 小時(shí)內(nèi)每臺(tái)設(shè)備不需要看管的概率均為0.8 ，求（ 1）三臺(tái)設(shè)備均不需要看管的概率；（ 2）至少有一臺(tái)設(shè)備需要看管的概率；（ 3）三臺(tái)設(shè)備均需要看管的概率。四、證明題1、 假設(shè)我們擲兩次骰子，并定義事件A“第一次擲得偶數(shù)點(diǎn)” ， B “第二次擲得奇數(shù)點(diǎn)”， C“兩次都擲奇數(shù)點(diǎn)或偶數(shù)點(diǎn)”，證明 A，B， C 兩兩獨(dú)立，但A，B， C 不相互獨(dú)立。、 設(shè)每次試驗(yàn)A發(fā)生的概率p, (0p1)，An“ n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中至少出現(xiàn)一次2A ”證明 Lim P( An )1n3、設(shè) X b(n, p) ，證明 EXnp, DXnp (1p)4、證明，如果 P( A | B)P( A) ，則 P( B | A)P( B)5、當(dāng) P( A)a, P(B)b 時(shí)，證明： P( A | B)a b1b6、證明： P( A)0 ，則 P( B | A)P(B )1P( A)7、設(shè) A, B,C 三事件相互獨(dú)立，則AB, AB 與 C 相互獨(dú)立。8、設(shè) AiA ， i1,2,3 ，則 P(A)P( A1 )P( A2 ) P( A3 ) 29、已知 A1 , A2 同時(shí)發(fā)生，則A 發(fā)生，證明 P( A)P( A1 )P( A2 ) 110、 10 個(gè)考簽中有4 個(gè)難簽， 3 人依次抽簽參加考試，證明3 人抽到難簽的概率相等。11、設(shè) A，B 為兩事件，證明P( BA)P(B)P( AB)12、證明如果 A 與 B 獨(dú)立，則 A 與 B 獨(dú)立、 A 與 B 獨(dú)立、 A 與 B 獨(dú)立13、如果 P( A)0 ，證明 A與 B 獨(dú)立的充分必要條件是P( B | A) P(B)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第 7 頁(yè)（共 57 頁(yè)）第二章隨機(jī)變量及其分布一、填空題k1、設(shè)隨機(jī)變量X 的分布律為 P( Xk )a(k0,1,2 ),0 ，則 a。k!2、設(shè)隨機(jī)變量X 服從參數(shù)為 1/3 的 0 1 分布，則 X 的分布函數(shù)為 =。3、設(shè)隨機(jī)變量X N (1,4), P( Xa)1，則 a。24X的分布律為P( Xk )(k1,2N ),0，則a。、設(shè)隨機(jī)變量aN5、設(shè)隨機(jī)變量X 服從 (0,1)區(qū)間上的均勻分布，則隨機(jī)變量YX 2 的密度函數(shù)為。( x 1) 26、隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為f ( x)ke8(x) ，則 k。7、隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為X N (1,4), 則 Y2X1 。8、若 P( Xx2 ) 1, P( Xx1 ), x1x2 ，則 P( x1X x2 )。9、設(shè)離散型隨機(jī)變量X 的分布函數(shù)為0x1F ( x)a1x22a1x23bx2a且 P( X 2)1， b。，則 a210、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X 的密度函數(shù)為 f (x)ke0x2x0x則0k， P(1X2)， P( X2)。11、設(shè) 5 個(gè)晶體管中有2 個(gè)次品， 3 個(gè)正品，如果每次從中任取1 個(gè)進(jìn)行測(cè)試，測(cè)試后的產(chǎn)品不放回，直到把 2 個(gè)次品都找到為止， 設(shè) X 為需要進(jìn)行測(cè)試的次數(shù)，則 P( X3)。12、設(shè) F ( x) 為離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，若P( aXb)F (b)F (a) ，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第 8 頁(yè)（共 57 頁(yè)）則 P( Xb)。13、一顆均勻骰子重復(fù)擲 10 次，設(shè) X 表示點(diǎn) 3 出現(xiàn)的次數(shù)，則 X 的分布律 P( Xk)。14、設(shè) X 為連續(xù)型隨機(jī)變量，且P( X0.29) 0.75 ，Y 1X ，且 P(Yk)0.25 ，則 k。15、設(shè)隨機(jī)變量X 服從 POISSON 分布，且 P( X1)P( X2) ，則 P( X1)。1e ( x24 x 4)2c16、連續(xù)型隨機(jī)變量X 為 f (x)，f ( x) dxf ( x)dx ，則 c。6c17、設(shè) F1 ( x), F2 (x) 為分布函數(shù)， a10, a20 ， a1 F1 (x) a2 F2 (x) 為分布函數(shù)，則a1 a2。0x018、若連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)F ( x)Ax20x 6 ，則 A。1x619、設(shè)隨機(jī)變量X 的概率密度 f ( x)1e |x| ，則 X 的分布函數(shù)為。220、若隨機(jī)變量X N (1,0.52 ) ，則 2 X 的密度函數(shù) f (x)。二、選擇題1、若函數(shù) f (x) 是一隨機(jī)變量X 的密度函數(shù)，則（） f ( x) 的定義域?yàn)?0,1f ( x) 值域?yàn)?0,1f ( x) 非負(fù) f (x) 在 R1 連續(xù)2、如果 F (x) 是（），則 F ( x) 一定不可以為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)。非負(fù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)有界函數(shù)單調(diào)減少函數(shù)3、下面的數(shù)列中，能成為一隨機(jī)變量的分布律的是（） e 1(k0,1,2,) e 1(k1,2,) 1k(k0,1,2,) 1k (k1,2, )k!k!224、下面的函數(shù)中，能成為一連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)的是（）概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第 9 頁(yè)（共 57 頁(yè)） f ( x)sin xx3h( x)sin xx3220其他0其他 g( x)cosxx3u( x)1cos xx3220其他0其他5、設(shè)隨機(jī)變量 X N (0,1) ，(x) 為其分布函數(shù)，P( Xx)，則 x（）。1 (1)1 (1)1 ( )1 ( )226、設(shè)離散型隨機(jī)變量X 的分布律為 P(Xk) bk ( k1,2,) ，則（）。0的實(shí)數(shù)b11111bb7、設(shè)隨機(jī)變量 X N (,2 ) ，則增大時(shí)， P(|X|) 是（）單調(diào)增大單調(diào)減少保持不變?cè)鰷p不定8、設(shè)隨機(jī)變量X 的分布密度f ( x) ，分布函數(shù) F ( x) ， f ( x) 為關(guān)于 y 軸對(duì)稱，則有（） F ( a) 1 F ( a) F ( a)1(a) F ( a) F ( a) F ( a) 2F (a) 1F29、設(shè) F1 (x), F2 ( x) 為分布函數(shù)，a1 F1 (x) a2 F2 (x) 為分布函數(shù)，則下列成立的是（） a13 , a22 a12 , a23 a11 , a23 a11 , a235555222210、要使 f ( x)1 cos x xG）2x是密度函數(shù)，則 G 為（0G,0,2222211、設(shè)隨機(jī)變量的分布密度為f(x)1, 則 Y2X 的密度函數(shù)為（）(1x2 )1211(1 4x 2 )1(1 x2 )(4 x 2 )2)(1x412、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X 的分布函數(shù)為F (x) ，密度 f ( x) ，則（）概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第 10 頁(yè)（共 57 頁(yè)） P( Xx) 0 F (x) P( Xx) F ( x) P( Xx) f ( x) P(Xx)x0x113、設(shè)隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為f ( x)2x 1x2 ，則 P( X 1.5)（）0其他1.51.5 0.75 0.875(2x) dx( 2 x)dx0114、設(shè)隨機(jī)變量 X N (1,1) ，分布函數(shù)為F (x) ，密度 f ( x) ，則有（） P( X0) P( X0) f ( x)f ( x) P( X1) P( X1)F ( x)F ( x)三、計(jì)算題1、 10 個(gè)燈泡中有 2 個(gè)是壞的，從中任取 3 個(gè)，用隨機(jī)變量描述這一試驗(yàn)結(jié)果，并寫出這個(gè)隨機(jī)變量的分布律和分布函數(shù)及所取的三個(gè)燈泡中至少有兩個(gè)好燈泡的概率。2、罐中有 5 個(gè)紅球， 3 個(gè)白球，有放回地每次任取一球，直到取得紅球?yàn)橹?。用X 表示抽取的次數(shù)，求X 的分布律，并計(jì)算P 1 X3 。3、設(shè)隨機(jī)變量X 的分布律為 P( XA(k 1,2, ) ，試求 A 的值。k )k(k1)4、已知離散型隨機(jī)變量X 的分布律為(1) 求 P( 1X1) ；（ 2）求 YX 2 的分布律；X（ 3）求 X 的分布函數(shù)。 2 10121/51/61/51/1511/305、已知離散型隨機(jī)變量X 的分布律為 P( Xk ) C 4k p k (1 p)4 k ，且 P( X 1)59求 p 。6、對(duì)某一目標(biāo)射擊，直到擊中時(shí)為止。如果每次射擊的命中率為p ，求射擊次數(shù)X 的分布律。7、已知離散型隨機(jī)變量X 的分布律為 P( X k )1，其中 k1,2, ，2k概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第 11 頁(yè)（共 57 頁(yè)）求 Y SinX的分布律。28、 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X 的分布函數(shù)為： F ( x)A B arctan x求： (1) 常數(shù) A, B (2)X 的概率密度。X 的密度函數(shù)為A| x |19、已知隨機(jī)變量f ( x)1x2| x |10求（ 1）系數(shù) A ；（ 2） X 落入1 ,1 的概率；2 2（ 3） X 的分布函數(shù)。10、某車間有 20 部同型號(hào)機(jī)床，每部機(jī)床開動(dòng)的概率為0.8，若假定各機(jī)床是否開動(dòng)是獨(dú)立的，每部機(jī)床開動(dòng)時(shí)所消耗的電能為15 個(gè)單位，求這個(gè)車間消耗的電能不少于270 個(gè)單位的概率。11、 設(shè)隨機(jī)變量 X U (0,2) ，求 YX 2 的分布。1(x 2)212、設(shè)測(cè)量誤差 X 的密度函數(shù)為f ( x)40e3200 ，求2（ 1）測(cè)量誤差的絕對(duì)值不超過30 的概率；（ 2）測(cè)量 3 次，每次測(cè)量獨(dú)立，求至少有1 次測(cè)量誤差的絕對(duì)值不超過30的概率。13、在下列兩種情形下，求方程t 2Xt10 有實(shí)根的概率。（ 1） X 等可能取 1, 2， 3,4， 5,6；（ 2） X U (1,6)14、設(shè)球的直徑（單位：mm） X U (10,11) ，求球的體積的概率密度。15、已知離散型隨機(jī)變量X 只取 -1， 0，1，2 ，相應(yīng)的概率為1, 3 ,5 , 7 ，2a4a8a 16a求 a 的值并計(jì)算 P(| X |1 | X 0)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第 12 頁(yè)（共 57 頁(yè)）X 的密度函數(shù) f ( x)100x10016、設(shè)某種電子管的壽命x2x1000（ 1）若 1 個(gè)電子管在使用150 小時(shí)后仍完好，那么該電子管使用時(shí)間少于200 小時(shí)的概率是多少？（ 2）若 1 個(gè)電子系統(tǒng)中裝有3 個(gè)獨(dú)立工件的這種電子管，在使用150 小時(shí)后恰有 1 個(gè)損壞的概率是多少。17、設(shè)鉆頭的壽命 ( 即鉆頭直到磨損為止所鉆的地層厚度，以米為單位) 服從指數(shù)分布，鉆頭平均壽命為 1000米，現(xiàn)要打一口深度為2000 米的井，求(1) 只需一根鉆頭的概率；(2) 恰好用兩根鉆頭的概率。18、某公共汽車站從上午7 時(shí)起第 15 分鐘發(fā)一班車，如果乘客到達(dá)此汽車站的時(shí)間X 是7 時(shí)至 7 時(shí) 30 分的均勻分布，試求乘客在車站等候（ 1）不超過 15 分鐘的概率；（2）超過 10 分鐘的概率。19、自動(dòng)生產(chǎn)線在調(diào)整以后出現(xiàn)廢品的概率為0.1，生產(chǎn)過程中出現(xiàn)廢品時(shí)重新進(jìn)行調(diào)整，問在兩次調(diào)整之間能以0.6 的概率保證生產(chǎn)的合格品數(shù)不少于多少？20、設(shè)在一段時(shí)間內(nèi)進(jìn)入某一商店的顧客人數(shù)服從POSSION 分布，每個(gè)顧客購(gòu)買某種物品的概率為 p ，并且各個(gè)顧客是否購(gòu)買該物品是相互獨(dú)立的，求進(jìn)入商店的顧客購(gòu)買該種物品人數(shù)的分布律。21、設(shè)每頁(yè)書上的印刷錯(cuò)誤個(gè)數(shù)服從泊松分布，現(xiàn)從一本有500 個(gè)印刷錯(cuò)誤的 500 頁(yè)的書上隨機(jī)地取 5 頁(yè)，求這5 頁(yè)各頁(yè)上的錯(cuò)誤都不超過2 個(gè)的概率。22、已知每天到某煉油廠的油船數(shù)X 服從參數(shù)為2 的泊松分布， 而港口的設(shè)備一天只能為三只油船服務(wù)，如果一天中到達(dá)的油船超過三只，超出的油船必須轉(zhuǎn)到另一港口。求：（ 1）這一天必須有油船轉(zhuǎn)走的概率；（ 2）設(shè)備增加到多少，才能使每天到達(dá)港口的油船有90%可以得到服務(wù)。（ 3）每天到達(dá)港口油船的最可能只數(shù)。23、某實(shí)驗(yàn)室有12 臺(tái)電腦，各臺(tái)電腦開機(jī)與關(guān)機(jī)是相互獨(dú)立的，如果每臺(tái)電腦開機(jī)占總工作時(shí)間的 3/4，試求在工作時(shí)間任一時(shí)刻關(guān)機(jī)的電腦臺(tái)數(shù)超過兩臺(tái)的概率以及最有可能有幾臺(tái)電腦同時(shí)開機(jī)。24、設(shè)有各耗電7.5KW 的車床 10 臺(tái)，每臺(tái)車床使用情況是相互獨(dú)立的，且每臺(tái)車床每小時(shí)平均開車12 分鐘，為這10 臺(tái)車床配電設(shè)備的容量是55KW ，試求該配電設(shè)備超載的概率。25、一臺(tái)電子設(shè)備內(nèi)裝有5 個(gè)某種類型的電子管，已知這種電子管的壽命（單位：小時(shí)）服從指數(shù)分布，且平均壽命為1000 小時(shí)。如果有一個(gè)電子管損壞，設(shè)備仍能正常工作的概率為 95%，兩個(gè)電子管損壞，設(shè)備仍能正常工作的概率為70%，若兩個(gè)以上電子管損壞，則設(shè)備不能正常工作。 求這臺(tái)電子設(shè)備在正常工作 1000 小時(shí)后仍能正常工作的概率 ( 各電子管工作相互獨(dú)立 ) 。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第 13 頁(yè)（共 57 頁(yè)）26、某地區(qū) 18 歲的女青年的血壓（收縮壓，以mm Hg計(jì)）服從 N (110,122 ) 。在該地區(qū)任選一 18 歲的女青年， 測(cè)量她的血壓X 。（ 1）求 P X105 ，P 100X120 ；（ 2）確定最小的 x,使 P Xx0.05 。( 5)0.7976,(1.645)0.95627、將一溫度調(diào)節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內(nèi)。調(diào)節(jié)器整定在d ,液體的溫度 X 是一個(gè)隨機(jī)變量，且 X N (d ,0.52 )(1)若 d=90, 求X 小于 89的概率。（ 2）若要求保持液體的溫度至少為 80的概率不低于 0.99，問 d至少為多少？(2.327)0.99,( 2)0.9772ax128、設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)F (x)bx ln xcxd1xedxe（ 1）確定 a,b, c, d 的值；（ 2） P(| X |e)229、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X 的分布函數(shù)為 F (x)ABexx00)0x(0求 (1) 常數(shù) A， B 的值； (2)P( 1X1)30、有一個(gè)半徑為 2 米的圓盤形靶子，設(shè)擊中靶上任一同心圓盤的概率與該圓盤的面積成正比，并設(shè)均能中靶，如以X 表示擊中點(diǎn)與靶心的距離，求X 的分布函數(shù)和密度函數(shù)。31、設(shè)隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù) f x ( x)1 | x |1x1，求 YX 21的密度函數(shù)。0其他32、設(shè)隨機(jī)變量的分布律為X42340.20.10.7求隨機(jī)變量 YSinX 的分布函數(shù)。33、已知 10 個(gè)元件中有 7 個(gè)合格品和 3 個(gè)次品，每次隨機(jī)地抽取 1 個(gè)測(cè)試，測(cè)試后不放回，直至將 3 個(gè)次品找到為止，求需測(cè)試次數(shù) X 的分布律。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第 14 頁(yè)（共 57 頁(yè)）0x111x03234、已知 X 的分布函數(shù)為 FX ( x)10x1，求 YSin X 的分布函數(shù)。2621x23 x 2135、設(shè)某產(chǎn)品的壽命T 服從 N (160, 2 ) 的正態(tài)分布，若要求壽命低于120 小時(shí)的概率不超過 0.1，試問應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)，并問壽命超過210 小時(shí)的概率在什么范圍內(nèi)？36、某廠決定在工人中增發(fā)高產(chǎn)獎(jiǎng)，并決定對(duì)每月生產(chǎn)額最高的5%的工人發(fā)放高產(chǎn)獎(jiǎng)，已知每人每月生產(chǎn)額X N (4000,60 2 ) ，試問高產(chǎn)獎(jiǎng)發(fā)放標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)把月生產(chǎn)額定為多少？37、在長(zhǎng)為 1 的線段隨機(jī)地選取一點(diǎn)，短的一段與長(zhǎng)的一段之比小于1/4 的概率是多少？38、設(shè)39、設(shè)XX的分布密度為f的分布密度為fXX( x)2 xx(0,)SinX 的密度函數(shù)。2求 Y0x(0,)( x)1 e |x|2求（ 1） YX 2(2) Y| X | （ 3） Yln | X |的概率密度。四、證明題1、設(shè) F (x) 為隨機(jī)變量X 的分布函數(shù)，證明：當(dāng)x1x2 時(shí)，有 F ( x1 )F ( x2 )2