人教課標(biāo)版高中數(shù)學(xué)選修4-4《曲線的參數(shù)方程》教案-新版

第二講參數(shù)方程2.1曲線的參數(shù)方程一、教學(xué)目標(biāo)（一）核心素養(yǎng)通過(guò)這節(jié)課學(xué)習(xí)，了解參數(shù)方程的概念、 體會(huì)參數(shù)的意義，會(huì)進(jìn)行參數(shù)方程和普通方程的互化，在直觀想象、數(shù)學(xué)抽象中感受不同參數(shù)方程的特點(diǎn)（二）學(xué)習(xí)目標(biāo)1通過(guò)實(shí)例，了解參數(shù)方程的含義，體會(huì)參數(shù)的意義2能求解圓的參數(shù)方程并用圓的參數(shù)解決有關(guān)問(wèn)題，了解圓的參數(shù)方程中參數(shù)的意義3掌握基本的參數(shù)方程與普通方程的互化，感受集合語(yǔ)言的意義和作用（三）學(xué)習(xí)重點(diǎn)1參數(shù)方程的概念2圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用3參數(shù)方程與普通方程的互化（四）學(xué)習(xí)難點(diǎn)1參數(shù)方程與普通方程的互化的等價(jià)轉(zhuǎn)化2根據(jù)幾何性質(zhì)選取恰當(dāng)?shù)膮?shù)，建立曲線的參數(shù)方程二、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）課前設(shè)計(jì)1預(yù)習(xí)任務(wù)（ 1）讀一讀：閱讀教材第21 頁(yè)至第 26 頁(yè)，填空：一般的，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x, y 都是某個(gè)變數(shù) t 的函數(shù)：xf (t)yg(t)且對(duì)于 t 的每一個(gè)允許值，由方程組確定的點(diǎn)M ( x， y) 都在這條曲線上，那么方程組叫做這條曲線的 參數(shù)方程 ，聯(lián)系變數(shù) x, y 的變數(shù) t 叫參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù) 相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)坐標(biāo) x, y 之間關(guān)系的方程f ( x， y)0 叫普通方程 （ 2）想一想：參數(shù)方程與普通方程如何轉(zhuǎn)化？一般地，可以通過(guò)消去 參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程.反之，如果知道變數(shù)個(gè)與參數(shù) t 的關(guān)系，例如 x f (t ) ，把它代入普通方程， 求出另一個(gè)變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系那么就是曲線的參數(shù)方程（ 3）寫一寫：圓的一般參數(shù)方程是什么？x, y 中的一yg( x) ，圓心在原點(diǎn) ,半徑為 r 的圓的參數(shù)方程為( 為參數(shù) );圓心在 (a,b) ,半徑為 r 的圓的參數(shù)方程為( 為參數(shù) ).2預(yù)習(xí)自測(cè)x 1 sin (是參數(shù) )所表示曲線經(jīng)過(guò)下列點(diǎn)中的 ()（ 1）方程y sin 2A.(1,1)B. ( 3, 1 )22C. ( 3 ,3)D. ( 223 , 1 )222【知識(shí)點(diǎn)】參數(shù)方程的定義【解題過(guò)程】將選項(xiàng)中的點(diǎn)一一代入曲線的參數(shù)方程中，顯然選項(xiàng)C 滿足題意【思路點(diǎn)撥】根據(jù)參數(shù)方程的定義求解【答案】 Cxm，為參數(shù)xm，為參數(shù)x 1，（ 2）下列方程：(m)x yym.(m ny 2.yn.0 中，參數(shù)方程的個(gè)數(shù)為 ()A 1B 2C3D4【知識(shí)點(diǎn)】參數(shù)方程的定義【解題過(guò)程】根據(jù)參數(shù)方程的定義，只有是參數(shù)方程【思路點(diǎn)撥】由參數(shù)方程的定義求解【答案】 A（ 3）參數(shù)方程xcos ，化成普通方程為_.為參數(shù)()y1sin 【知識(shí)點(diǎn)】參數(shù)方程與普通方程互化xcos ，【解題 過(guò)程 】由變 形整 理得 cosx, siny1 ，兩 式分別平方相 加得y1sin x2( y1)21【思路點(diǎn)撥】利用三角恒等變換消去參數(shù)【答案】 x2( y1)21.x2cos （ 4）P(x，y)是曲線(為參數(shù) )上任意一點(diǎn)，則 P 到直線 xy40 的距離的最ysin 小值是 _【知識(shí)點(diǎn)】參數(shù)方程的應(yīng)用【解題過(guò)程】由 P 在曲線x2cos ysin 上可得 P 的坐標(biāo)為 (2cos ，sin )，2cos 64由點(diǎn)到直線的距離公式得d|cos sin 6|，22 26當(dāng) cos 4 1 時(shí)， d 最小， dmin 2 132.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)參數(shù)方程的應(yīng)用得到點(diǎn)設(shè)置，再轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問(wèn)題求解【答案】 13 2(二)課堂設(shè)計(jì)1問(wèn)題探究探究一結(jié)合實(shí)例，認(rèn)識(shí)參數(shù)方程活動(dòng)歸納提煉概念在過(guò)去的學(xué)習(xí)中， 我們已經(jīng)掌握了一些求曲線方程的方法， 但在求某些曲線方程時(shí)， 直接確定曲線上點(diǎn)的坐標(biāo) x, y 的關(guān)系并不容易，我們先看下來(lái)的例子：一架救援飛機(jī)在離災(zāi)區(qū)底面 500m 高處以 100m/s 的速度作水平直線飛行為使投放的救援物質(zhì)準(zhǔn)確落于災(zāi)區(qū)指定的地面飛行員應(yīng)如何確定投放時(shí)機(jī)？（不計(jì)空氣阻力，重力加速度g9.8m / s2 ）設(shè)飛機(jī)在點(diǎn)A 將物質(zhì)投出機(jī)艙，在過(guò)飛機(jī)航線且垂直于底面的平面上建立如右圖的平面直角坐標(biāo)系，其中 x 軸為該平面與地面的交線，y 軸經(jīng)過(guò) A 點(diǎn)記物質(zhì)從被投出到落地這段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)曲線為C， M (x，y) 為 C 上任意點(diǎn)，設(shè) t 時(shí)刻時(shí)， x 表示物質(zhì)的水平位移，y 表示物質(zhì)距地面的高度 .由物理知識(shí)，物資投出機(jī)艙后，沿Ox 方向以 100m/ s 的速度作勻速直線運(yùn)動(dòng)，x100t沿 Oy 反方向作自由落體運(yùn)動(dòng)，即：1 gt 2y5002令 y0, t10.10s ，代入 x100t ，解得 x1010m .所以，飛行員在離救援點(diǎn)的水平距離約為1010m 時(shí)投放物資，可以使其準(zhǔn)確落在指定地點(diǎn) .由上可知：在 t 的取值范圍內(nèi)，給定t 的一個(gè)值，就可以惟一確定x, y 的值，反之也成立 .一般的，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x, y 都是某個(gè)變數(shù) t 的函數(shù)：xf (t)yg(t)且對(duì)于 t 的每一個(gè)允許值，由方程組確定的點(diǎn)M ( x， y) 都在這條曲線上，那么方程組叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x, y 的變數(shù) t 叫參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù)相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)坐標(biāo) x, y 之間關(guān)系的方程f ( x， y)0 叫普通方程參數(shù)是聯(lián)系變數(shù) x, y 的橋梁，可以是一個(gè)有物理意義或幾何意義，也可以沒(méi)有明顯實(shí)際意義的變數(shù) .【設(shè)計(jì)意圖】從生活實(shí)例到數(shù)學(xué)問(wèn)題，從特殊到一般，體會(huì)概念的提煉、抽象過(guò)程活動(dòng) 鞏固基礎(chǔ)，檢查反饋x3t(t為參數(shù) )例 1 已知曲線 C 的參數(shù)方程是2t 2y1（ 1）判斷點(diǎn) M 1(0,1), M 2 (5,4) 與曲線 C 的位置關(guān)系；（ 2）已知點(diǎn) M (6, a) 在曲線 C 上，求 a 的值 .【知識(shí)點(diǎn)】參數(shù)方程【解題過(guò)程】（1）把點(diǎn) M 1 的坐標(biāo) (0,1) 代入方程組，解得 t0 ，所以 M 1 在曲線 C 把點(diǎn) M 2 的53t，無(wú)解，所以 M 2 不在曲線 C .坐標(biāo) (5,4) 代入方程組，得2t241（ 2）因?yàn)辄c(diǎn) M (6, a) 在曲線 C 上，所以63t，解得 t2, a9a 2t2 1【思路點(diǎn)撥】根據(jù)參數(shù)方程與曲線的關(guān)系來(lái)求解【答案】（1） M 1 在曲線 C ， M 2 不在曲線 C ； （2） a9 同類訓(xùn)練 已知某條曲線 C 的參數(shù)方程為x1 2tR) 且點(diǎn) M ( 3,4) 在該曲線上 .yat2 (t為參數(shù) , a(1)求常數(shù) a 的值；(2)判斷點(diǎn) P(1,0)， Q(3， 1)是否在曲線 C 上？【知識(shí)點(diǎn)】參數(shù)方程【解題過(guò)程】 (1)將 M(3,4)的坐標(biāo)代入曲線 C 的參數(shù)方程x12t， 3 1 2t，得消yat2，4at2，去參數(shù) t，得 a1.x12t，(2)由上述可得，曲線C 的參數(shù)方程是yt2，把點(diǎn) P 的坐標(biāo) (1,0)代入方程組，解得t 0，因此 P 在曲線 C 上，把點(diǎn) Q 的坐標(biāo) (3， 1)代入312t，方程組，得到1t2 ，這個(gè)方程組無(wú)解，因此點(diǎn)Q 不在曲線 C 上【思路點(diǎn)撥】根據(jù)參數(shù)方程和曲線的關(guān)系來(lái)求解【答案】 (1) a1 ；(2) P 在曲線 C 上，點(diǎn) Q 不在曲線 C 上【設(shè)計(jì)意圖】鞏固基礎(chǔ)，加深理解與應(yīng)用探究二探究圓的參數(shù)方程活動(dòng)互動(dòng)交流、初步實(shí)踐結(jié)合以上參數(shù)方程的定義，你能的得到圓的參數(shù)方程嗎？先看下面例子當(dāng)物體繞定軸作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，物體中各個(gè)點(diǎn)都作勻速圓周運(yùn)動(dòng)(如右圖 )那么，怎樣刻畫運(yùn)動(dòng)中點(diǎn)的位置呢？如圖 1，設(shè)圓 O 的半徑是 r，點(diǎn) M 從初始位置 M0(t0 時(shí)的位置 )出發(fā)，按逆時(shí)針?lè)较蛟趫AO 上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M 繞點(diǎn) O 轉(zhuǎn)圖 2- 1- 2動(dòng)的角速度為.以圓心 O 為原點(diǎn)， OM0 所在的直線為x 軸，建立直角坐標(biāo)系顯然，點(diǎn) M 的位置由時(shí)刻 t 惟一確定，因此可以取 t 為參數(shù)【設(shè)計(jì)意圖】 通過(guò)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的求解， 加深對(duì)參數(shù)方程中參數(shù)的意義的理解圖 1活動(dòng)建立模型，加深認(rèn)識(shí)如果在時(shí)刻 t，點(diǎn) M 轉(zhuǎn)過(guò)的角度是，坐標(biāo)是 M(x， y)，那么 t.設(shè)|OM|r，如何用 r和 表示 x，y 呢？由三角函數(shù)定義，有xycos tr ，sin t r ，xrcos t，即(t 為參數(shù) )yrsin t.考慮到 t，也可以取 為參數(shù)，于是有xrcos ，(為參數(shù) )yrsin .這就得到了以原點(diǎn)為圓心，半徑為r 的圓參數(shù)方程 .其中 的幾何意義是轉(zhuǎn)到 OM 的位置時(shí)， OM 0 轉(zhuǎn)過(guò)的角度OM0 繞點(diǎn)O 逆時(shí)針旋【設(shè)計(jì)意圖】 通過(guò)對(duì)問(wèn)題的求解， 得出圓的參數(shù)方程， 同時(shí)為求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的參數(shù)方程作鋪墊活動(dòng) 歸納梳理、靈活應(yīng)用若圓的圓心坐標(biāo)為 (a, b) ，半徑為 r 的圓的參數(shù)方程是什么呢？此時(shí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： (x a)2( y b)2r 2 ，由 sin 2cos21，故令x acos , y bsin ，整理得：rrxar cosybr sin( 為參數(shù) )一般地，同一條曲線，可以選取不同的變數(shù)為參數(shù)，另外，要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍 . 【設(shè)計(jì)意圖】由特殊到一般，體會(huì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、歸類整理意識(shí)探究三探究參數(shù)方程和普通方程的互化活動(dòng)歸納梳理、體會(huì)內(nèi)在聯(lián)系我們除了用普通方程表示曲線外，還可以用參數(shù)方程表示曲線， 它們是同一曲線的兩種不同的表達(dá)形式 .但由參數(shù)方程直接判斷曲線的類型不太容易，例如xcos 3 為何曲線？ysin這就需要我們轉(zhuǎn)化為普通再判斷，那么兩者如何轉(zhuǎn)化？由 xcos3得 cosx 3， 所以 ( x 3)2y21 ，表示以 (3,0) 為圓心，半徑為1 的圓 .ysinsiny一般地，可以通過(guò)消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程 .反之，如果知道變數(shù) x, y 中的一個(gè)與參數(shù) t 的關(guān)系，例如 xf (t ) ，把它代入普通方程， 求出另一個(gè)變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系 yg( x) ，那么就是曲線的參數(shù)方程在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x, y 的取值范圍保持一致，即等價(jià)轉(zhuǎn)化.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)實(shí)例體會(huì)參數(shù)方程與普通方程的互化，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象意識(shí)活動(dòng)鞏固基礎(chǔ)，檢查反饋例 2 如圖，已知點(diǎn) P 是圓 x2 y2 16 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn) A(12,0)，當(dāng)點(diǎn) P 在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段 PA 的中點(diǎn) M 的軌跡 .【知識(shí)點(diǎn)】圓的參數(shù)方程、點(diǎn)的軌跡方程【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過(guò)程】設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x，y)，x4cos ，圓 x2 y216 的參數(shù)方程為(為參數(shù) )，y4sin ，設(shè)點(diǎn) P(4cos ， 4sin )，4cos 124sin 由線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得x2，且 y2 ，x2cos 6，轉(zhuǎn)化為普通方程得 ( x 6)2y24點(diǎn) M 的軌跡方程為y2sin ，因此點(diǎn) M 的軌跡是以點(diǎn) (6,0)為圓心，以 2 為半徑的圓【思路點(diǎn)撥】借助于圓的參數(shù)方程來(lái)得到點(diǎn)的軌跡方程，即代入法【答案】點(diǎn) M 的軌跡是以點(diǎn) (6,0)為圓心，以 2 為半徑的圓同類訓(xùn)練將例 1 中的定點(diǎn) A 的坐標(biāo)改為 ( 4,0) ，其它條件不變，求線段PA 的中點(diǎn) M 的軌跡【知識(shí)點(diǎn)】圓的參數(shù)方程、點(diǎn)的軌跡方程【解題過(guò)程】設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x，y)，x4cos ，圓 x2 y216 的參數(shù)方程為(為參數(shù) )，y4sin ，設(shè)點(diǎn) P(4cos ， 4sin )，由線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得x4cos4，且 y4sin 2，2點(diǎn) M 的軌跡方程為x2cos2 ，轉(zhuǎn)化為普通方程得 (x2)2y 24y2sin因此點(diǎn) M 的軌跡是以點(diǎn) (6,0)為圓心，以 2 為半徑的圓【思路點(diǎn)撥】借助于圓的參數(shù)方程來(lái)得到點(diǎn)的軌跡方程，即代入法【答案】點(diǎn) M 的軌跡是以點(diǎn) (2,0)為圓心，以 2 為半徑的圓【設(shè)計(jì)意圖】鞏固檢查參數(shù)方程與曲線的關(guān)系例 3把下列參數(shù)方程化為普通方程，并說(shuō)明它們各表示什么曲線？（ 1）xt1 (t為參數(shù) ) （2） xsincos( 為參數(shù) )y12 ty1sin 2【知識(shí)點(diǎn)】參數(shù)方程化為普通方程【解題過(guò)程】（1）由 xt 11，有 tx 1 ，代入 y 12 t ，得到 y2x 3 .又因?yàn)閤t11，所以與參數(shù)方程等價(jià)的普通方程是y2x3(x1) ，即以 (1,1) 為端點(diǎn)的一條射線（包括端點(diǎn)）.（ 2）把xsincos平方后減去y1sin 2，得到x2y ，又因?yàn)閤sincos2 sin() ，所以x2,2，即與參數(shù)方程等價(jià)的普通方程是4x2y ，x2,2，即開口向上的拋物線的一部分.【思路點(diǎn)撥】先由一個(gè)方程求出參數(shù)的表達(dá)式，再代入另一個(gè)方程，或者利用三角恒等變換消去參數(shù)【答案】（1） y2 x 3( x 1) ；（ 2） x2y ， x 2 , 2 同類訓(xùn)練 化下列曲線的參數(shù)方程為普通方程,并指出它是什么曲線x12t，x cos sin ，(1)t(t 為參數(shù) )；(2)(為參數(shù) )y34y sin cos 【知識(shí)點(diǎn)】參數(shù)方程化為普通方程【解題過(guò)程】 (1)x12t， 2 tx 1. 4 t 2x2， y34t 3 2x2.即 y 2x 5(x1)，它表示一條射線(2)xcos sin 2sin 4， x 2，2 x2 1 2sin cos ，將 sin cos y 代入，得 x212y.普通方程為 y12x212(2x 2)，它是拋物線的一部分【思路點(diǎn)撥】先由一個(gè)方程求出參數(shù)的表達(dá)式，再代入另一個(gè)方程，或者利用三角恒等變換消去參數(shù)【設(shè)計(jì)意圖】鞏固檢查參數(shù)方程與普通方程的互化活動(dòng)強(qiáng)化提升、靈活應(yīng)用例 4 若 x，y 滿足 (x1)2(y 2)24，求 2x y 的最值【知識(shí)點(diǎn)】參數(shù)方程的應(yīng)用、三角函數(shù)【數(shù)學(xué)思想】轉(zhuǎn)化與化歸思想【解題過(guò)程】令x 1 2cos ，y22sin ，則有 x 2cos 1，y 2sin 2，故 2x y4cos 22sin 2 4cos 2sin 2 5sin() 2 52xy25.即 2x y 的最大值為 25，最小值為 25.【思路點(diǎn)撥】考慮利用圓的參數(shù)方程將求 2xy 的最值轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)最值問(wèn)題【答案】 2xy 的最大值為 2 5，最小值為 2 5.同類訓(xùn)練 已知點(diǎn) M(x， y)是圓 x2y2 2x0 上的動(dòng)點(diǎn)，若 4x3y a0恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍【知識(shí)點(diǎn)】參數(shù)方程的應(yīng)用、三角函數(shù)【數(shù)學(xué)思想】轉(zhuǎn)化化歸思想【解題過(guò)程】由x2y2 2x0，得 (x 1)2 y21，又點(diǎn) M 在圓上， x 1 cos ，且 ysin ，因此 4x3y4( 1 cos )3sin 4 45sin() 4 5 1.(由 tan 3確定 ) 4x3y 的最大值為 1.若 4x 3ya0恒成立，則 a(4x 3y)max，故實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 1， )【思路點(diǎn)撥】考慮利用圓的參數(shù)方程將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值，在利用求三角函數(shù)最值問(wèn)題【答案】 1， )【設(shè)計(jì)意圖】熟練利用參數(shù)方程求解某些最值問(wèn)題3.課堂總結(jié)知識(shí)梳理（ 1）一般的，在平面直角坐標(biāo)系中， 如果曲線上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo) x, y 都是某個(gè)變數(shù) t 的函數(shù)：x f (t)yg(t)且對(duì)于 t 的每一個(gè)允許值，由方程組確定的點(diǎn)M ( x， y) 都在這條曲線上，那么方程組叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x, y 的變數(shù) t 叫參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù)相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)坐標(biāo) x, y 之間關(guān)系的方程 f ( x， y) 0 叫普通方程（ 2）一般地，可以通過(guò)消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程.反之，如果知道變數(shù) x, y 中的一個(gè)與參數(shù) t 的關(guān)系，例如 x f (t ) ，把它代入普通方程， 求出另一個(gè)變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系 yg( x) ，那么就是曲線的參數(shù)方程x rcos ，( 為參數(shù) ) ;（ 3）圓心在原點(diǎn) ,半徑為 r 的圓的參數(shù)方程為y rsin .xar cos圓心在 (a, b) ,半徑為 r 的圓的參數(shù)方程為b( 為參數(shù) ) .yr sin重難點(diǎn)歸納（ 1）參數(shù) t （也可用其它小寫字母表示）是聯(lián)系變數(shù) x, y 的橋梁，它可以是有物理意義或幾何意義的變數(shù)，也可以是沒(méi)有明顯實(shí)際意義的變數(shù)； 參數(shù)方程和普通方程都是在直角坐標(biāo)系之下同一曲線的兩種不同表的形式（ 2）參數(shù)方程和普通方程互化時(shí)，一定使 x, y 的取值范圍保持一致，即等價(jià)轉(zhuǎn)化（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1下列方程中能表示曲線參數(shù)方程的是()A. 2x 3y t 0x2tyx2t4x5k3B.3x 2tC.3u2D.32kyyy【知識(shí)點(diǎn)】參數(shù)方程的含義【解題過(guò)程】 A 是含參數(shù)的方程 ,B 中的 x, y 并不都由參數(shù) t 確定 ,C 中的 x, y 不是由同一個(gè)參數(shù)確定 ,D 正確 .【思路點(diǎn)撥】根據(jù)參數(shù)方程的含義進(jìn)行判斷【答案】 Dx1t22曲線(t為參數(shù) ) 與 x 軸交點(diǎn)的直角坐標(biāo)是 ()yt1A (0,1)B (1,2)C (2,0)D ( 2,0)【知識(shí)點(diǎn)】曲線與參數(shù)方程【解題過(guò)程】設(shè)與 x 軸交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為 (x，y)，令 y0 得 t1，代入 x 1t2，得 x 2，曲線與 x 軸的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為 (2,0)【思路點(diǎn)撥】根據(jù)曲線與參數(shù)方程的關(guān)系判斷【答案】C3曲線x 1 cos ，y2sin (為參數(shù) )的對(duì)稱中心()A. 在直線y 2x 上B.在直線y 2x 上C.在直線yx1 上D.在直線yx1 上【知識(shí)點(diǎn)】圓的參數(shù)方程【解題過(guò)程】由x 1cos ，y2sin ，得cos x1，sin y2.所以 (x1)2(y2)2 1.曲線是以 (1，2)為圓心， 1 為半徑的圓，所以對(duì)稱中心為 (1，2)，在直線 y 2x 上.故選 B【思路點(diǎn)撥】將圓的參數(shù)方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【答案】 B若，y滿足 2y21，則 x3y 的最大值為 ()4xxA 1B2C3D4【知識(shí)點(diǎn)】參數(shù)方程的應(yīng)用x cos ，3y 3sin 【解題過(guò)程】由于圓x2y21 的參數(shù)方程為(為參數(shù) )，則 xy sin cos 2sin () ，故 x 3y 的最大值為 2.故選 B.6【思路點(diǎn)撥】利用三角代換求解【答案】 B5圓心在點(diǎn) (-1,2),半徑為 5 的圓的參數(shù)方程為 _.【知識(shí)點(diǎn)】普通方程化為參數(shù)方程x15 cos【解題過(guò)程】 因?yàn)槭菆A心在點(diǎn) (-1,2),半徑為 5 的圓，所以參數(shù)方程為2( 為參數(shù) ) y5sin【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角代換公式來(lái)求解x15cos【答案】2( 為參數(shù) ) y5sin6設(shè) ytx(t 為參數(shù) )，則圓 x2y24y 0 的參數(shù)方程是 _【知識(shí)點(diǎn)】普通方程與參數(shù)方程互化2【解題過(guò)程】把y tx 代入 x2y2 4y0 得 x4t 2， y 4t 2，1 t1 tx 4t2，參數(shù)方程為1t(t 為參數(shù) )4t2y1t2【思路點(diǎn)撥】利用代入法求解x 4t2，1t(t 為參數(shù) )【答案】4t2y1t2能力型 師生共研x2sin27將參數(shù)方程(為參數(shù) )化為普通方程為 ()ysin2A yx2By x2C yx2(2 x 3)Dyx 2(0 y 1)【知識(shí)點(diǎn)】參數(shù)方程化為普通方程【解題過(guò)程】消去22sin ，得 x 2 y，又0 sin1， 2x 3.【思路點(diǎn)撥】注意三角函數(shù)的有界性，參數(shù)方程的等價(jià)轉(zhuǎn)化【答案】 Cx2cos (為參數(shù)， 0<2)8已知曲線 C 的參數(shù)方程為y3sin 判斷點(diǎn) A(2,0)，B (3,3) 是否在曲線 C 上？若在曲線上，求出點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)的值2【知識(shí)點(diǎn)】曲線與參數(shù)方程x 2cos ，【解題過(guò)程】把點(diǎn)A(2,0)的坐標(biāo)代入y 3sin ，得 cos 1 且 sin 0，由于 0<2，解之得 0，因此點(diǎn) A(2,0)在曲線 C 上，對(duì)應(yīng)參數(shù) 0.同理，把 B ( 3,3) 代入?yún)?shù)方程，得2 32cos ，3cos 2 ，3，123sinsin 2.535又 0<2， 6，所以點(diǎn) B (3,2 ) 在曲線 C 上，對(duì)應(yīng) 6.【思路點(diǎn)撥】利用曲線與參數(shù)方程的關(guān)系求解【答案】 A， B 是在曲線 C 上， A，B 對(duì)應(yīng)的參數(shù)的值分別為 0、56探究型 多維突破2y28xcos 6ysin7cos2 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)圓R)的圓心為9x8 0(P(x，y)，求 2xy 的取值范圍【知識(shí)點(diǎn)】參數(shù)方程的應(yīng)用x4cos ，【解題過(guò)程】由題設(shè)得(為參數(shù)， R)y3sin ，于是 2xy 8cos 3sin 73sin()，8由tan 3確定 所以732xy 73.所以 2xy 的取值范圍是 73，73 【思路點(diǎn)撥】利用參數(shù)方程，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值來(lái)求解【答案】 73，73 x4cos 10在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，曲線 C1 的參數(shù)方程為(為參數(shù)，且 0<2)，點(diǎn)y4sin M 是曲線 C1 上的動(dòng)點(diǎn)(1)求線段 OM 的中點(diǎn) P 的軌跡的直角坐標(biāo)方程；(2)以坐標(biāo)原點(diǎn) O 為極點(diǎn)， x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，若直線l 的極坐標(biāo)方程為 cos sin 10(>0)，求點(diǎn) P 到直線 l 距離的最大值【知識(shí)點(diǎn)】參數(shù)方程、極坐標(biāo)、點(diǎn)到直線的距離【解題過(guò)程】 (1)曲線 C1 上的動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4cos，坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0)，4sin )設(shè) P 的坐標(biāo)為 (x， y)，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得11x2(04cos)2cos ，y2(04sin)2sin ，所以點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 (2cos ，2sin )，x2cos 為參數(shù)，且 )，因此點(diǎn) P 的軌跡的參數(shù)方程為(0<2y2sin 消去參數(shù) ，得點(diǎn) P 軌跡的直角坐標(biāo)方程為 x2 y24.(2)由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)關(guān)系得直線 l 的直角坐標(biāo)方程為 x y 1 0.又由 (1)知，點(diǎn) P 的軌跡為圓心在原點(diǎn)，半徑為2 的圓，因?yàn)樵c(diǎn) (0,0)到直線 xy10 的距離為 |001| 1 2，12 ( 1)222所以點(diǎn) P 到直線 l 距離的最大值為 222 .【思路點(diǎn)撥】普通方程側(cè)重于判斷曲線的形狀,參數(shù)方程側(cè)重于表示曲線上的點(diǎn)【答案】（1）P 軌跡的直角坐標(biāo)方程為x2 y24；（2）2 22自助餐xsin2為參數(shù)下列點(diǎn)在方程()所表示的曲線上的是 ()1ycos2A. (2,7)B. (1, 2)C. (1 , 1)D. (1, 1)3322【知識(shí)點(diǎn)】曲線與參數(shù)方程【解題過(guò)程】選 D.由方程( 為參數(shù) ),令xsin 21得,k , k Z y cos 21.2【思路點(diǎn)撥】利用曲線點(diǎn)的與參數(shù)方程的關(guān)系求解【答案】 D2把方程 xy1 化為以 t 為參數(shù)的參數(shù)方程是 ()1x sin txcos t，x tan t，xt2C.A.1B.11D.1yty sin tycos ty tan t2【知識(shí)點(diǎn)】普通方程與參數(shù)方程互化【解題過(guò)程】 A 顯然代入不成立， B,C 選項(xiàng)中 x1 ，不成立， D 選項(xiàng)滿足要求【思路點(diǎn)撥】把選項(xiàng)的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化【答案】 D3圓的參數(shù)方程為x24cos ，(0 <2)，若圓上一點(diǎn) P 對(duì)應(yīng)參數(shù) 4，則 P 點(diǎn)的坐標(biāo)y 34sin 3是 _【知識(shí)點(diǎn)】曲線與參數(shù)方程4【解題過(guò)程】將 3代入?yún)?shù)方程中，解得 x 0, y3 3 ，所以 P( 0, 3 3) 【思路點(diǎn)撥】利用曲線上的點(diǎn)與參數(shù)方程的關(guān)系【答案】 (0， 33)x 2cos ，y4點(diǎn) (x，y)是曲線 C： ysin (為參數(shù)，02)上任意一點(diǎn)，則 x的取值范圍是_【知識(shí)點(diǎn)】圓的參數(shù)方程、直線斜率【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合思想x 2cos ，【解題過(guò)程】曲線 C：是以 ( 2,0)為圓心， 1 為半徑的圓，即 (x2)2 y2ysin y1.設(shè) x k， y kx.當(dāng)直線 ykx 與圓相切時(shí)， k 取得最小值與最大值， | 2k| 1，k21， y的范圍為 3，3k213x33 .【思路點(diǎn)撥】利用數(shù)形結(jié)合的思想求解【答案】 33， 33 5根據(jù)所給條件，把曲線的普通方程化為參數(shù)方程：（ 1） y2xy1 0 ，設(shè) y t1, t 為參數(shù)；（ ） x2y21，設(shè) x 3cos ,為參數(shù).249【知識(shí)點(diǎn)】普通方程與參數(shù)方程互化【解題過(guò)程】（1）將 y t1, 代入方程 y 2x y1 0 ，解得 xt 23t 1 ，所以參數(shù)方程為x t 23t1(t為參數(shù) )yt 1（ 2）將 x3 cos , 代入方程 x2y21 y2 sin，由于參數(shù)的任意性，可取 y 2sin ，94x3cos( 為參數(shù) ) 所以參數(shù)方程為2 siny【思路點(diǎn)撥】普通方程化為參數(shù)方程，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化【答案】（1）x t 23t 1x3cosyt 1(t為參數(shù) ) ；（2）( 為參數(shù) )y2 sinx a tcos ，(a， b 為正常數(shù) )中，6在方程y b tsin (1)當(dāng) t 為參數(shù)， 為常數(shù)時(shí)，方程表示何種曲線？(2)當(dāng) t 為常數(shù)， 為參數(shù)時(shí)，方程表示何種曲線？【知識(shí)點(diǎn)】參數(shù)方程的含義【數(shù)學(xué)思想】分類討論的思想【解題過(guò)程】（1）方程xatcos ， ，是正常數(shù)，(ab)ybtsin ， (1)sin cos 得xsin ycos asin bcos 0. cos 、 sin 不同時(shí)為零，方程表示一條直線(2)( )當(dāng) t 為非零常數(shù)時(shí)，x a原方程組為t cos ，y bt sin . 2 2 得xa2y b2 1，t2t2即 (xa)2 (yb)2t2 ，它表示一個(gè)圓【思路點(diǎn)撥】 (1)運(yùn)用加減消元法，消t； (2)當(dāng) t0 時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)t 為非零常數(shù)時(shí)，利用平方關(guān)系消參數(shù)，化成普通方程，進(jìn)而判定曲線形狀【答案】（1）方程表示一條直線； （2）()當(dāng) t 為非零常數(shù)時(shí)，它表示一個(gè)圓，()當(dāng) t0 時(shí)，表示點(diǎn) (a， b)