高數(shù)第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分

第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分【字體：大 中 小】【打印】 3.1導(dǎo)數(shù)概念 一、問題的提出1.切線問題割線的極限位置切線位置如圖，如果割線MN繞點M旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置MT，直線MT就稱為曲線C在點M處的切線.極限位置即切線MT的斜率為2.自由落體運動的瞬時速度問題二、導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)y=f（x）在點的某個鄰域內(nèi)有定義，當自變量x在處取得增量x（點仍在該鄰域內(nèi)）時，相應(yīng)地函數(shù)y取得增量；如果y與x之比當x0時的極限存在，則稱函數(shù)y=f（x）在點處可導(dǎo)，并稱這個極限為函數(shù)y=f（x）在點處的導(dǎo)數(shù)，記為即其它形式關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說明：在點處的導(dǎo)數(shù)是因變量在點處的變化率，它反映了因變量隨自變量的變化而變化的快慢程度。如果函數(shù)y=f（x）在開區(qū)間I內(nèi)的每點處都可導(dǎo)，就稱函數(shù)f（x）在開區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo)。對于任一，都對應(yīng)著f（x）的一個確定的導(dǎo)數(shù)值，這個函數(shù)叫做原來函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，記作注意：2.導(dǎo)函數(shù)（瞬時變化率）是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).導(dǎo)數(shù)定義例題：例1、115頁8設(shè)函數(shù)f（x）在點x=a可導(dǎo)，求：（1）【答疑編號11030101：針對該題提問】（2）【答疑編號11030102：針對該題提問】三、單側(cè)導(dǎo)數(shù)1.左導(dǎo)數(shù)：2.右導(dǎo)數(shù)：函數(shù)f（x）在點處可導(dǎo)左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在且相等.例2、討論函數(shù)f（x）=|x|在x=0處的可導(dǎo)性?！敬鹨删幪?1030103：針對該題提問】解閉區(qū)間上可導(dǎo)的定義：如果f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且及都存在，就說f（x）在閉區(qū)間a，b上可導(dǎo).由定義求導(dǎo)數(shù)步驟：例3、求函數(shù)f（x）=C（C為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)?！敬鹨删幪?1030104：針對該題提問】解例4、設(shè)函數(shù)【答疑編號11030105：針對該題提問】解同理可以得到例5、求例6、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)?！敬鹨删幪?1030106：針對該題提問】解例7、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)?！敬鹨删幪?1030107：針對該題提問】解 四、常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 五、導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示曲線y=f（x）在點處的切線的斜率，即 切線方程為法線方程為例8、求雙曲線處的切線的斜率，并寫出在該點處的切線方程和法線方程?！敬鹨删幪?1030108：針對該題提問】解由導(dǎo)數(shù)的幾何意義, 得切線斜率為所求切線方程為法線方程為六、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系1.定理 凡可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù).注意：該定理的逆定理不成立，即：連續(xù)函數(shù)不一定可導(dǎo)。我們有：不連續(xù)一定不可導(dǎo)極限存在、連續(xù)、可導(dǎo)之間的關(guān)系。2.連續(xù)函數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)舉例例9、討論函數(shù)在x=0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性?！敬鹨删幪?1030109：針對該題提問】解：例10、 P115第10題設(shè)，在什么條件下可使f（x）在點x=0處。（1）連續(xù)；（2）可導(dǎo)?！敬鹨删幪?1030110：針對該題提問】解：（1）（2）七、小結(jié)1.導(dǎo)數(shù)的實質(zhì)：增量比的極限；2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：切線的斜率；3.函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)；4.5.求導(dǎo)數(shù)最基本的方法：由定義求導(dǎo)數(shù).6.判斷可導(dǎo)性3.2求導(dǎo)法則 3.3基本求導(dǎo)公式 一、和、差、積、商的求導(dǎo)法則1.定理：如果函數(shù)在點x處可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商（分母不為零）在點x處也可導(dǎo)，并且推論2.例題分析例1、求的導(dǎo)數(shù)?！敬鹨删幪?1030201：針對該題提問】解例2、求的導(dǎo)數(shù)?！敬鹨删幪?1030202：針對該題提問】解例3、求y=tanx的導(dǎo)數(shù)?！敬鹨删幪?1030203：針對該題提問】解同理可得例4、求y=secx的導(dǎo)數(shù)?！敬鹨删幪?1030204：針對該題提問】解同理可得例5、131頁例2設(shè)，求.【答疑編號11030205：針對該題提問】二、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.定理：如果函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且，那么它的反函數(shù)在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)也可導(dǎo)，且有即反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).2.例題分析例6、求函數(shù)y=arcsinx的導(dǎo)數(shù)【答疑編號11030206：針對該題提問】解同理可得例7、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)?！敬鹨删幪?1030207：針對該題提問】解特別地三、小結(jié)：初等函數(shù)的求導(dǎo)問題1.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式2.函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè)u=u（x），v=v（x）可導(dǎo)，則例8、127頁1題（6）（14）（15）（1）1題（6）小題【答疑編號11030208：針對該題提問】解：（2）1題（14）小題【答疑編號11030209：針對該題提問】解：（3）1題（15）小題【答疑編號11030210：針對該題提問】解：例9、115頁3若一直線運動的運動方程為，求在t=3時運動的瞬時速度?！敬鹨删幪?1030211：針對該題提問】解：例10、115頁5求曲線的與直線y=5x的平行的切線。【答疑編號11030212：針對該題提問】另一條求出來是四、分段函數(shù)的求導(dǎo)問題1.114頁定理：設(shè)（1）如果函數(shù)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且當時，則（2）如果函數(shù)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且當時，則2.分段函數(shù)的求導(dǎo)問題舉例例11、 116頁11 求下列分段函數(shù)f（x）的：（1）【答疑編號11030213：針對該題提問】解：五、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則1.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則定理如果函數(shù)在點x0可導(dǎo)，而y=f（u）在點可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在點x0可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為即 因變量對自變量求導(dǎo)，等于因變量對中間變量求導(dǎo)，乘以中間變量對自變量求導(dǎo)。（鏈式法則）推廣設(shè)，則復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為2.例題分析例1.求函數(shù)y=lnsinx的導(dǎo)數(shù)?！敬鹨删幪?1030301：針對該題提問】解y=lnu，u=sinx.例2.已知y=（2x2-3x+5）100，求?！敬鹨删幪?1030302：針對該題提問】例3.求y=sin5x的導(dǎo)數(shù)【答疑編號11030303：針對該題提問】例4.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【答疑編號11030304：針對該題提問】解 例5.（教材133頁習(xí)題3.3，1題（2）小題）求的導(dǎo)數(shù)【答疑編號11030305：針對該題提問】例6.求的導(dǎo)數(shù)【答疑編號11030306：針對該題提問】例7.求的導(dǎo)數(shù)（a>0）【答疑編號11030307：針對該題提問】例8.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【答疑編號11030308：針對該題提問】解例9.（教材128頁習(xí)題3.2，3題（5）小題）求的導(dǎo)數(shù)【答疑編號11030309：針對該題提問】例10.（教材128頁習(xí)題3.2，3題（7）小題）求y=（sinnx）（cosnx）的導(dǎo)數(shù)【答疑編號11030310：針對該題提問】例11.求的導(dǎo)數(shù)【答疑編號11030311：針對該題提問】例12.求的導(dǎo)數(shù)【答疑編號11030312：針對該題提問】例13.求的導(dǎo)數(shù)【答疑編號11030313：針對該題提問】例14.求的導(dǎo)數(shù)【答疑編號11030314：針對該題提問】例15.（教材習(xí)題3.2，8題）已知在點x1可導(dǎo)，求a，b?！敬鹨删幪?1030315：針對該題提問】冪指函數(shù)、抽象的復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)例題一、冪指函數(shù)求導(dǎo)例1： xx【答疑編號11030401：針對該題提問】例2： y=（sinx）cosx求y【答疑編號11030402：針對該題提問】二、抽象的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)例3：設(shè)f（u）可導(dǎo)，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）f（lnx）+lnf（x）【答疑編號11030403：針對該題提問】解：（2）y=f（e-x） 【答疑編號11030404：針對該題提問】解：（3）y= ef（x）【答疑編號11030405：針對該題提問】（4）【答疑編號11030406：針對該題提問】（5）【答疑編號11030407：針對該題提問】3.4高階導(dǎo)數(shù) 一、高階導(dǎo)數(shù)的定義問題:變速直線運動的加速度。設(shè)s=f（t），則瞬時速度為v（t）=f（t）加速度是速度v對時間t的變化率a（t）=v（t）=f（t）定義如果函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f（x）在點x處可導(dǎo)，即存在，則稱（f（x）為在點x處的二階導(dǎo)數(shù)。記作。二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),。三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù),。例4：y=3x2+sinx【答疑編號11030408：針對該題提問】一般地，函數(shù)f（x）的n-1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)f（x）的n階導(dǎo)數(shù)，記作相應(yīng)地，f（x）稱為零階導(dǎo)數(shù)；f（x）稱為一階導(dǎo)數(shù)。例5：求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：（1）y=ax+b【答疑編號11030409：針對該題提問】（2）y=cos nx；【答疑編號11030410：針對該題提問】（3）y=esinx【答疑編號11030411：針對該題提問】二、對于某些特殊的導(dǎo)數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)是有規(guī)律的。例6：求下列函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)（1）y=ex【答疑編號11030412：針對該題提問】（2）y=x5【答疑編號11030413：針對該題提問】例7：設(shè)y=x求y（n）解：用數(shù)學(xué)歸納法可以證明：特別，當=n時，即y=xn，其n階導(dǎo)數(shù)y（n）= （x n）（n）=n!【答疑編號11030414：針對該題提問】例8：【答疑編號11030415：針對該題提問】例9：設(shè)y=（x2+1）10（x9+x3+1），求y（30）【答疑編號11030416：針對該題提問】例10：設(shè)y=sinx，求y（n）?！敬鹨删幪?1030417：針對該題提問】解同理可得注意：求n階導(dǎo)數(shù)時,求出13或4階后,不要急于合并,分析結(jié)果的規(guī)律性,寫出n階導(dǎo)數(shù).（數(shù)學(xué)歸納法證明）例11：設(shè)f（x）的n-2階導(dǎo)數(shù)，求f（n）（x）?！敬鹨删幪?1030418：針對該題提問】3.5函數(shù)的微分 問題的提出實例:正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.設(shè)邊長由x0變到x0+x，正方形面積是x的線性函數(shù)且為A的主要部分，是x的高階無窮小，當|x|很小時可忽略。微分的定義定義：設(shè)函數(shù)y=f（x）在某區(qū)間內(nèi)有定義，x0及x0+x在這區(qū)間內(nèi)，如果成立（其中A是與x無關(guān)的常數(shù)），則稱函數(shù)y=f（x）在點x0可微，并且稱Ax為函數(shù)y=f（x）在點x0相應(yīng)于自變量增量x的微分，記作微分dy叫做函數(shù)增量y的線性主部。（微分的實質(zhì)）可微的條件定理：函數(shù)f（x）在點x0可微的充要條件是函數(shù)f（x）在點x0處可導(dǎo)，且通常把自變量x的增量x稱為自變量的微分，記作dx，即dx=x即函數(shù)的微分dy與自變量的微分dx之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)也叫“微商”。微分的幾何意義幾何意義:（如圖）當y是曲線的縱坐標增量時，dy就是切線縱坐標對應(yīng)的增量，當|x |很小時，在點M的附近，切線段MP可近似代替曲線段MN。微分的求法求法: 計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 乘以自變量的微分。1.基本初等函數(shù)的微分公式 2.函數(shù)和、差、積、商的微分法則例1：設(shè)，求dy?！敬鹨删幪?1030501：針對該題提問】例2：，求dy。【答疑編號11030502：針對該題提問】例3：，求dy?！敬鹨删幪?1030503：針對該題提問】微分形式的不變性設(shè)函數(shù)y=f（x）有導(dǎo)數(shù)f（x）（1）若x是自變量時，dy= f（x）dx（2）若x是中間變量時，同樣有結(jié)論：無論x是自變量還是中間變量，函數(shù)y=f（x）的微分形式總是，這就是微分形式的不變性例4：設(shè)y=sin（2x+1），求dy?！敬鹨删幪?1030504：針對該題提問】解法一：解法二：y=sinu,u=2x+1dy=cosudu=cos（2x+1）d（2x+1）=cos（2x+1）2dx=2cos（2x+1）dx例5（P144、例6（1）:設(shè)函數(shù)f（u）可微，求函數(shù)y=f（lnx）的微分：【答疑編號11030505：針對該題提問】解：例6：求【答疑編號11030506：針對該題提問】例7（P144、例7）：求【答疑編號11030507：針對該題提問】利用微分計算函數(shù)的近似值求f（x）在點x=x0附近的近似值；例8：計算的近似值。【答疑編號11030508：針對該題提問】解：3.6導(dǎo)數(shù)和微分在經(jīng)濟學(xué)中的簡單應(yīng)用，由于知識體系的關(guān)聯(lián)性，我們把本節(jié)放到第四章后面講。