圓錐曲線定義、方程與性質(zhì)

第 11講 圓錐曲線定義、 方程與性質(zhì) 第 11講 圓錐曲線定義、方程與性質(zhì) 主干知識整合 第 11講 主干知識整合 1 圓錐曲線的統(tǒng)一性 ( 1 ) 從方程的形式看 ， 在直角坐標(biāo)系中 ， 橢圓 、 雙曲 線和拋物線這三種曲線的方程都是二元二次的 ， 所以也叫 二次曲線 ( 2 ) 從點的集合 ( 或軌跡 ) 的觀點看 ， 它們都是與定點和 定直線距離的比是常數(shù) e 的點的集合 ( 或軌跡 ) ， 這個定點 是它們的焦點 ， 定直線是它們的準(zhǔn)線 ， 只是由于離心率 e 取值范圍的不同 ， 而分為橢圓 、 雙曲線和拋物線三種曲線 第 11講 主干知識整合 ( 3 ) 這三種曲線都可以是由平面截圓錐面得到 的截線 ， 因而才稱之為圓錐曲線 ( 4 ) 圓錐曲線第二定義把 “ 曲線上的點 M ” 、 “ 焦點 F ” 、 “ 相應(yīng)準(zhǔn)線 l” 和 “ 離心率 e ” 四者巧 妙地聯(lián)系起來 ， 所以在 圓錐曲線的問題中 ， 凡與準(zhǔn) 線 、 離心率 、 焦點有關(guān)的問題應(yīng)充分利用第二定義 第 11講 主干知識整合 2 焦半徑 圓錐曲線上一點與其焦點的連線段稱為這一點的焦半 徑 ， 下面是用的較多的焦半徑公式 ： ( 1 ) 對于橢圓 x 2 a 2 y 2 b 2 1 ( a b 0 ) 而言 ， | PF 1 | a ex 0 ， | PF 2 | a ex 0 . ( 2 ) 對于雙曲線 x 2 a 2 y 2 b 2 1 ( a 0 ， b 0 ) 而言 ， 若點 P 在右 半支上 ， 則 | PF 1 | a ex 0 ， | PF 2 | ex 0 a ； 若點 P 在左半支上 ， 則 | PF 1 | ( ex 0 a ) ， | PF 2 | ( ex 0 a ) ( 3 ) 對于拋物線 y 2 2 px ( p 0 ) 而言 ， | PF | x 0 p 2 . 第 11講 主干知識整合 以上各式中 ， P ( x 0 ， y 0 ) 是曲線上的一點 ， F 1 、 F 2 分別是橢圓 、 雙曲線的左 、 右焦點 ， F 是拋物線的焦 點 ， 在這里特別強(qiáng)調(diào)的是 ， 由于曲線方程的不同 ， 焦 半徑公式也各不相同 第 11講 主干知識整合 3 幾個常用結(jié)論 ( 1 ) 橢圓的焦點三角形 ： 橢圓上一點 P 與橢圓的兩個焦點 F 1 、 F 2 組成的三角形稱為橢圓的焦點三角形 ， 解決與橢圓焦點三角形 有關(guān)的問題時 ， 應(yīng)注意橢圓的定義 、 正弦和余弦定理的運(yùn)用 ( 2 ) 關(guān)于拋物 線焦點弦的幾個結(jié)論 ： 設(shè) AB 為過拋物線 y 2 2 px ( p 0 ) 焦點的弦 ， A ( x 1 ， y 1 ) 、 B ( x 2 ， y 2 ) ， 直線 AB 的傾斜角為 ， 則 x 1 x 2 p 2 4 ， y 1 y 2 p 2 ； | AB | 2 p s i n 2 ； 以 AB 為直徑的圓 與準(zhǔn)線相切 ； 焦點 F 對 A 、 B 在準(zhǔn)線上射影的張角為 9 0 ； 1 | FA | 1 | FB | 2 p . 要點熱點探究 第 11講 要點熱點探究 例 1 已知兩點 F 1 ( 2 , 0 ) ， F 2 ( 2 , 0 ) ， 曲線 C 上的動點 M 滿足 | MF 1 | | MF 2 | 2| F 1 F 2 |， 直線 MF 2 與曲線 C 交于另一點 P . ( 1 ) 求曲線 C 的方程及離心率 ； ( 2 ) 設(shè) N ( 4 , 0 ) ， 若 S M N F 2 S P N F 2 3 2 ， 求直線 MN 的 方程 探究點一 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) 第 11講 要點熱點探究 【解答】 ( 1 ) 因為 | F 1 F 2 | 4 ， | MF 1 | | MF 2 | 2| F 1 F 2 | 8 4 ， 所以曲線 C 是以 F 1 ， F 2 為焦點，長軸長為 8 的橢圓 曲線 C 的方程為 x 2 16 y 2 12 1 ，離心率為 1 2 . 第 11講 要點熱點探究 ( 2 ) 顯然直線 MN 不垂直于 x 軸，也不與 x 軸重合或平行 設(shè) M ( x M ， y M ) ， P ( x P ， y P ) ，直線 MN 的方程為 y k ( x 4) ，其中 k 0. 由 x 2 16 y 2 12 1 y k x 4 ，得 (3 4 k 2 ) y 2 24 ky 0. 解得 y 0 或 y 24 k 4 k 2 3 . 依題意 y M 24 k 4 k 2 3 ， x M 1 k y M 4 16 k 2 12 4 k 2 3 . 因為 S M N F 2 S P NF 2 3 2 ， 所以 | MF 2 | | F 2 P | 3 2 ， 則 MF 2 3 2 F 2 P . 第 11講 要點熱點探究 于是 2 x M 3 2 x P 2 ， 0 y M 3 2 y P 0 ， 所以 x P 2 3 2 x M 2 24 k 2 2 4 k 2 3 ， y P 2 3 y M 16 k 4 k 2 3 . 因為點 P 在橢圓上 ， 所以 3 24 k 2 2 4 k 2 3 2 4 16 k 4 k 2 3 2 48. 整理得 48 k 4 8 k 2 21 0 ， 解得 k 2 7 12 或 k 2 3 4 ( 舍去 ) ， 從而 k 21 6 . 所以直線 MN 的方程為 y 21 6 ( x 4 ) 第 11講 要點熱點探究 【點評】 解決橢圓 ， 雙曲線 ， 拋物線的問題 ， 要牢牢 抓住其定義和性質(zhì) ， 一些看起來很復(fù)雜 ， 沒有頭緒的問題 ， 如果從定義上來考慮 ， 往往會迎刃而解 一定不可脫離基 本概念 ， 過分去追求技巧方法 本題的第二問需要把面積 問題轉(zhuǎn)化為方程問題 ， 用方程思想解決 ， 對運(yùn)算化簡能力 要求較高 第 11講 要點熱點探究 已知線段 CD 2 3 ， CD 的中點為 O ， 動點 A 滿足 AC AD 2 a ( a 為正常數(shù) ) ( 1 ) 求動點 A 所在的曲線方程 ； ( 2 ) 若存在點 A ， 使 AC AD ， 試求 a 的取值范圍 ； ( 3 ) 若 a 2 ， 動點 B 滿足 BC BD 4 ， 且 AO OB ， 試求 A O B 面積的最大值和最小值 第 11講 要點熱點探究 【解答】 ( 1 ) 以 O 為圓心， CD 所在直線為軸建立平面 直角坐標(biāo)系 若 AC AD 2 a 2 3 ，即 0 a 2 3 ，即 a 3 ，動點 A 所在的曲線方 程為 x 2 a 2 y 2 a 2 3 1. 第 11講 要點熱點探究 ( 2 ) 由 ( 1 ) 知 a 3 ， 要存在點 A ， 使 AC AD ， 則以 O 為 圓心 ， OC 3 為半徑的圓與橢圓有公共點 故 3 a 2 3 ， 所以 a 2 6 ， 所以 a 的取值范圍是 3 1 ) ，則 S 2 t 2 4 t 2 9 t 9 2 1 9 t 2 9 t 4 . 令 g ( t ) 9 t 2 9 t 4 9 1 t 1 2 2 25 4 ( t 1 ) ， 所以 4 g ( t ) 25 4 ，即 4 5 S 0 ) 的一個焦點 ， A ( a , 0 ) ， B ( 0 ， b ) ， 雙曲線的離心率為 2 ， 點 C 在 x 軸上 ， BC BF 0 ， B ， C ， F 三點所確定的圓 M 恰 好與直線 l： x 3 y 3 0 相切 ， 求雙曲線的方程 圖 5 11 1 探究點二 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) 第 11講 要點熱點探究 【解答】 依題意，設(shè)雙曲線的半焦距為 c ，由離心 率 e 2 c a ，得 c 2 a ， b 3 a ， B (0 ， 3 a ) ， F ( 2 a, 0) 設(shè) C ( x, 0) ，故 BC ( x ， 3 a ) ， BF ( 2 a ， 3 a ) ，由 BC BF 0 ，得 x 3 a 2 ，所以 C 3 a 2 ， 0 . 易知 FC 是 B ， C ， F 三點所確定的圓 M 的直徑，圓 心 M a 4 ， 0 ，直徑為 3 a 2 ( 2 a ) 7 a 2 . 第 11講 要點熱點探究 又圓 M 恰好與直線 l ： x 3 y 3 0 相切，則 a 4 3 1 2 3 2 7 a 4 ，即 a 4 3 7 a 2 ，得 a 4 5 . 雙曲線的方 程為 x 2 16 25 y 2 48 25 1 ，即 25 x 2 16 25 y 2 48 1. 第 11講 要點熱點探究 【點評】 江蘇高考對雙曲線要求不高 ， 本題以雙曲 線為載體 ， 實質(zhì)是對直線與圓的知識的考查 第 11講 要點熱點探究 例 3 設(shè)拋物線 y 2 4 ax ( a 0 ) 的焦點為 A ， 以點 B ( a 4 , 0 ) 為圓心 ， | BA |為半徑 ， 在 x 軸上方畫半圓 ， 設(shè)拋物線與半圓相 交于不同的兩點 M 、 N ， 點 P 是 MN 的中點 ( 1 ) 求 | AM | | AN |的值 ； ( 2 ) 是否存在實數(shù) a ， 恰使 | AM |、 | AP |、 | AN |成等差數(shù)列 ？ 若存在 ， 求出 a ； 若不存在 ， 說明理由 探究點三 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) 第 11講 要點熱點探究 【解答】 設(shè) M 、 N 、 P 在拋物線的準(zhǔn)線上的射影分別為 M ， N ， P ， 由拋物線定義得 ： | AM | | A N | | M M | | N N | x M x N 2a ， 又圓的方程 為 x (a 4 ) 2 y 2 16 ， 將 y 2 4 a x 代入得 x 2 2 ( 4 a ) x a 2 8a 0 ， x M x N 2 ( 4 a ) ， 所以 | AM | | A N| 8. ( 2 ) 假設(shè)存在這樣的 a ， 使得 ： 2 | AP | | AM | | A N |， | AM | | A N| | M M | | N N | 2 | P P | ， | AP | | P P |. 由定義知點 P 必在拋物線上 ， 這與點 P 是弦 MN 的中點矛 盾 ， 所以這樣的 a 不存在 第 11講 要點熱點探究 【點評】 本題的 “ 幾何味 ” 特別濃 ， 這就為本題注入 了活力 圓錐曲線的有關(guān)問題常常與平面幾何知識相結(jié)合 ， 這也提醒廣大師生對圓錐曲線幾何性質(zhì)的重視 ， 也只有這樣 才能挖掘出豐富多彩的解析幾何的題目 第 11講 規(guī)律技巧提煉 1 當(dāng)橢圓的焦點位置不明確 ， 而無法確定其標(biāo)準(zhǔn)方 程時 ， 可設(shè)方程為 x 2 m y 2 n 1 ( m 0 ， n 0 且 m n ) ， 這樣 可以避免討論和繁雜的運(yùn)算 ， 橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 均可用簡單形式 mx 2 ny 2 1 ( mn 0 ) 來表示 ， 所不同的 是 ： 若方程表示橢圓 ， 則要求 m 0 ， n 0 且 m n ； 若方 程表示雙曲線 ， 則要求 mn 0 ， 利用待定系數(shù)法求標(biāo)準(zhǔn)方 程時 ， 應(yīng)注意此方法的合理使用 ， 以避免討論 規(guī)律技巧提煉 第 11講 規(guī)律技巧提煉 2 雙曲線是具有漸近線的曲線，復(fù)習(xí)中要注意以下兩個問題： ( 1 ) 已知雙曲線方程，求它的漸近線方程，將雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方 程 x 2 a 2 y 2 b 2 1 中的常數(shù) “ 1 ” 換成 “ 0 ” ，即得 x 2 a 2 y 2 b 2 0 ，然后分解因式 即可得到其漸近線方程 x a y b 0 ；若求中心不在原點，對稱軸平行于 坐標(biāo)軸的雙曲線的漸近線方程，只需將雙曲線方程 x ， y 分別配方， 然后將常數(shù) “ 1 ” 換成 “0” ，再分解因式，則可得漸近線方程， 例如雙 曲線 ( x 2) 2 y 2 3 2 1 的漸近線方程為 ( x 2) 2 y 2 3 2 0 ，即 y 3 ( x 2) ，因此，如果雙曲線的方程已經(jīng)確定，那么它的漸近線方程也就 確定了 第 11講 規(guī)律技巧提煉 ( 2 ) 求已知漸近線的雙曲線方程 ： 已知漸近線方程 為 ax by 0 時 ， 可設(shè)雙曲線方程為 a 2 x 2 b 2 y 2 ( 0 ) ， 再利用其他條件 確定 的值 ， 求法的實質(zhì)是 待定系數(shù)法 ， 如果已知雙曲線的漸近線 ， 雙曲線方程 卻不是唯一確定的 第 11講 規(guī)律技巧提煉 3 在建立拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的坐標(biāo)系時 ， 以拋 物線的頂點為坐標(biāo)原點 ， 對稱軸為一條坐標(biāo)軸建立坐 標(biāo)系 ， 這樣不僅具有對稱性 ， 而且曲線過原點 ， 方程 不含常數(shù)項 ， 形式更為簡單 ， 便于應(yīng)用 江蘇真題剖析 第 11講 江蘇真題剖析 2 0 1 0 江蘇卷 在平面直角坐標(biāo)系 x O y 中 ， 雙 曲線 x 2 4 y 2 12 1 上一點 M 的橫坐標(biāo)是 3 ， 則 M 到雙 曲線右焦點的距離是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 第 11講 江蘇真題剖析 【答案】 4 【解析】 MF d e 4 2 2 ， d 為點 M 到右準(zhǔn)線 x 1 的距離， d 2 ， MF 4. 【點評】 本題是考查雙曲線的定義 ， 只要審題清 楚 ， 準(zhǔn)確計算不難解決 對于雙曲線與拋物線 ， 江蘇高 考只是 A 級要求 ， 平時復(fù)習(xí)要關(guān)注對課本習(xí)題的變式訓(xùn) 練 ， 不要隨意加大試題的難度