高中數(shù)學(xué)解析幾何總結(jié)非常全

高中數(shù)學(xué)解析幾何第一部分:直線(xiàn)1、 直線(xiàn)的傾斜角與斜率1. 傾斜角(1)定義：直線(xiàn)l向上的方向與x軸正向所成的角叫做直線(xiàn)的傾斜角。(2)范圍：2.斜率：直線(xiàn)傾斜角的正切值叫做這條直線(xiàn)的斜率. （1）.傾斜角為的直線(xiàn)沒(méi)有斜率。（2）.每一條直線(xiàn)都有唯一的傾斜角，但并不是每一條直線(xiàn)都存在斜率（直線(xiàn)垂直于軸時(shí)，其斜率不存在)，這就決定了我們?cè)谘芯恐本€(xiàn)的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)考慮到斜率的存在與不存在這兩種情況，否則會(huì)產(chǎn)生漏解。 （3）設(shè)經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率為， 則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；斜率不存在；二、直線(xiàn)的方程1.點(diǎn)斜式：已知直線(xiàn)上一點(diǎn)P（x0,y0）及直線(xiàn)的斜率k（傾斜角）求直線(xiàn)的方程用點(diǎn)斜式：y-y0=k(x-x0)注意：當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，不能用點(diǎn)斜式表示，此時(shí)方程為；2.斜截式：若已知直線(xiàn)在軸上的截距（直線(xiàn)與y軸焦點(diǎn)的縱坐標(biāo)）為，斜率為，則直線(xiàn)方程：；特別地，斜率存在且經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線(xiàn)方程為：注意：正確理解“截距”這一概念，它具有方向性，有正負(fù)之分，與“距離”有區(qū)別。3.兩點(diǎn)式：若已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)，且（則直線(xiàn)的方程：；注意：不能表示與軸和軸垂直的直線(xiàn)；當(dāng)兩點(diǎn)式方程寫(xiě)成如下形式時(shí)，方程可以適應(yīng)在于任何一條直線(xiàn)。4截距式：若已知直線(xiàn)在軸，軸上的截距分別是，（）則直線(xiàn)方程：；注意：1）.截距式方程表不能表示經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)，也不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線(xiàn)。 2）.橫截距與縱截距相等的直線(xiàn)方程可設(shè)為x+y=a;橫截距與縱截距互為相反數(shù)的直線(xiàn)方程可設(shè)為x-y=a5一般式：任何一條直線(xiàn)方程均可寫(xiě)成一般式：；（不同時(shí)為零）；反之，任何一個(gè)二元一次方程都表示一條直線(xiàn)。注意：直線(xiàn)方程的特殊形式，都可以化為直線(xiàn)方程的一般式，但一般式不一定都能化為特殊形式，這要看系數(shù)是否為0才能確定。指出此時(shí)直線(xiàn)的方向向量：， （單位向量）；直線(xiàn)的法向量：；（與直線(xiàn)垂直的向量）6(選修4-4)參數(shù)式（參數(shù)）其中方向向量為，單位向量； ；點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，則；（為參數(shù)）其中方向向量為， 的幾何意義為；斜率為；傾斜角為。3、 兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系位置關(guān)系平行，且(A1B2-A2B1=0)重合，且相交垂直設(shè)兩直線(xiàn)的方程分別為：或；當(dāng)或時(shí)它們相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為方程組或解；注意：對(duì)于平行和重合，即它們的方向向量（法向量）平行；如：對(duì)于垂直，即它們的方向向量（法向量）垂直；如若兩直線(xiàn)的斜率都不存在，則兩直線(xiàn) 平行 ；若一條直線(xiàn)的斜率不存在，另一直線(xiàn)的斜率為 0 ，則兩直線(xiàn)垂直。對(duì)于來(lái)說(shuō)，無(wú)論直線(xiàn)的斜率存在與否，該式都成立。因此，此公式使用起來(lái)更方便斜率相等時(shí)，兩直線(xiàn)平行(或重合)；但兩直線(xiàn)平行(或重合)時(shí)，斜率不一定相等，因?yàn)樾甭视锌赡懿淮嬖?。四、兩直線(xiàn)的交角（1）到的角：把直線(xiàn)依逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到與重合時(shí)所轉(zhuǎn)的角；它是有向角，其范圍是； 注意：到的角與到的角是不一樣的；旋轉(zhuǎn)的方向是逆時(shí)針?lè)较?；繞“定點(diǎn)”是指兩直線(xiàn)的交點(diǎn)。（2）直線(xiàn)與的夾角：是指由與相交所成的四個(gè)角的最小角(或不大于直角的角)，它的取值范圍是；（3）設(shè)兩直線(xiàn)方程分別為： 或若為到的角，或；若為和的夾角，則或；當(dāng)或時(shí)，；注意：上述與有關(guān)的公式中，其前提是兩直線(xiàn)斜率都存在，而且兩直線(xiàn)互不垂直；當(dāng)有一條直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，用數(shù)形結(jié)合法處理。直線(xiàn)到的角與和的夾角：或；5、 點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式：1.點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為：；2.兩平行線(xiàn)，的距離為：；六、直線(xiàn)系：（1）設(shè)直線(xiàn)，經(jīng)過(guò)的交點(diǎn)的直線(xiàn)方程為（除去）；如：，即也就是過(guò)與的交點(diǎn)除去 的直線(xiàn)方程。直線(xiàn)恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn) 。注意：推廣到過(guò)曲線(xiàn)與的交點(diǎn)的方程為：；（2）與平行的直線(xiàn)為；（3）與垂直的直線(xiàn)為；七、對(duì)稱(chēng)問(wèn)題：（1）中心對(duì)稱(chēng)：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)：該點(diǎn)是兩個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的中點(diǎn)，用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)：、在已知直線(xiàn)上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線(xiàn)方程；、求出一個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，在利用由點(diǎn)斜式得出直線(xiàn)方程；、利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離相等。求出直線(xiàn)方程。如：求與已知直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)的方程。（2）軸對(duì)稱(chēng)：點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)：、點(diǎn)與對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的中點(diǎn)在已知直線(xiàn)上，點(diǎn)與對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連線(xiàn)斜率是已知直線(xiàn)斜率的負(fù)倒數(shù)。、求出過(guò)該點(diǎn)與已知直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)方程，然后解方程組求出直線(xiàn)的交點(diǎn)，在利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解。如：求點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的坐標(biāo)。直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)：（設(shè)關(guān)于對(duì)稱(chēng)）、若相交，則到的角等于到的角；若，則，且與的距離相等。、求出上兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，在由兩點(diǎn)式求出直線(xiàn)的方程。、設(shè)為所求直線(xiàn)直線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，則關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)適合的方程。如：求直線(xiàn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)的方程。八、簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃：（1）設(shè)點(diǎn)和直線(xiàn)， 若點(diǎn)在直線(xiàn)上，則；若點(diǎn)在直線(xiàn)的上方，則；若點(diǎn)在直線(xiàn)的下方，則；（2）二元一次不等式表示平面區(qū)域：對(duì)于任意的二元一次不等式，當(dāng)時(shí)，則表示直線(xiàn)上方的區(qū)域；表示直線(xiàn)下方的區(qū)域；當(dāng)時(shí)，則表示直線(xiàn)下方的區(qū)域；表示直線(xiàn)上方的區(qū)域；注意：通常情況下將原點(diǎn)代入直線(xiàn)中，根據(jù)或來(lái)表示二元一次不等式表示平面區(qū)域。（3）線(xiàn)性規(guī)劃：求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)在線(xiàn)性約束條件下的最大值或最小值的問(wèn)題，統(tǒng)稱(chēng)為線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題。滿(mǎn)足線(xiàn)性約束條件的解叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域。生產(chǎn)實(shí)際中有許多問(wèn)題都可以歸結(jié)為線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題。注意：當(dāng)時(shí)，將直線(xiàn)向上平移，則的值越來(lái)越大； 直線(xiàn)向下平移，則的值越來(lái)越??；當(dāng)時(shí)，將直線(xiàn)向上平移，則的值越來(lái)越??； 直線(xiàn)向下平移，則的值越來(lái)越大；xyOA(1,1)B(5,1)C(4,2)如：在如圖所示的坐標(biāo)平面的可行域內(nèi)（陰影部分且包括周界），目標(biāo)函數(shù)取得最小值的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)個(gè)，則為 ；第二部分：圓與方程2.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心，半徑特例：圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為的圓的方程是：.2.2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系： 1. 設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d，圓半徑為r：(1)點(diǎn)在圓上 d=r；(2)點(diǎn)在圓外 dr；(3)點(diǎn)在圓內(nèi) dr 2.給定點(diǎn)及圓.在圓內(nèi) 在圓上 在圓外2.3 圓的一般方程： .當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)圓，其中圓心，半徑.當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn).當(dāng)時(shí)，方程無(wú)圖形（稱(chēng)虛圓）.注：（1）方程表示圓的充要條件是：且且.圓的直徑系方程：已知AB是圓的直徑2.4 直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系： 直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系有三種，d是圓心到直線(xiàn)的距離，(1)；(2)；（3）。2.5 兩圓的位置關(guān)系設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）； 外離 外切 相交 內(nèi)切 內(nèi)含2.6 圓的切線(xiàn)方程：1. 直線(xiàn)與圓相切：(1)圓心到直線(xiàn)距離等于半徑r；（2）圓心與切點(diǎn)的連線(xiàn)與直線(xiàn)垂直（斜率互為負(fù)倒數(shù)）2. 圓的斜率為的切線(xiàn)方程是過(guò)圓上一點(diǎn)的切線(xiàn)方程為：.一般方程若點(diǎn)(x0 ,y0)在圓上，則(x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)=R2. 特別地，過(guò)圓上一點(diǎn)的切線(xiàn)方程為.若點(diǎn)(x0 ,y0)不在圓上，圓心為(a,b)則，聯(lián)立求出切線(xiàn)方程.2.7圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題：1.半弦、半徑r、弦心距d構(gòu)成直角三角形，滿(mǎn)足勾股定理：2.弦長(zhǎng)公式（設(shè)而不求）：第三部分:橢圓一橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程1橢圓的定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2距離的和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，即點(diǎn)集M=P| |PF1|+|PF2|=2a，2a|F1F2|=2c；這里兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫橢圓的焦距2c。（時(shí)為線(xiàn)段，無(wú)軌跡）。2標(biāo)準(zhǔn)方程： 焦點(diǎn)在x軸上：（ab0）； 焦點(diǎn)F（c，0）焦點(diǎn)在y軸上：（ab0）； 焦點(diǎn)F（0, c） 注意：在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，總有ab0，并且橢圓的焦點(diǎn)總在長(zhǎng)軸上；一般形式表示：或者 二橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)： 1.范圍 （1）橢圓（ab0） 橫坐標(biāo)-axa ,縱坐標(biāo)-bxb （2）橢圓（ab0） 橫坐標(biāo)-bxb,縱坐標(biāo)-axa 2.對(duì)稱(chēng)性 橢圓關(guān)于x軸y軸都是對(duì)稱(chēng)的，這里，坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱(chēng)軸，原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱(chēng)中心，橢圓的對(duì)稱(chēng)中心叫做橢圓的中心 3.頂點(diǎn) （1）橢圓的頂點(diǎn)：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b） （2）線(xiàn)段A1A2，B1B2 分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于2a，短軸長(zhǎng)等于2b，a和b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)。 4離心率 （1）我們把橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比，即稱(chēng)為橢圓的離心率，記作e（）， e越接近于0 （e越?。?，橢圓就越接近于圓;e越接近于1 （e越大），橢圓越扁；注意：離心率的大小只與橢圓本身的形狀有關(guān)，與其所處的位置無(wú)關(guān)。（2）橢圓的第二定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)（焦點(diǎn)）和一定直線(xiàn)（準(zhǔn)線(xiàn)）的距離的比為常數(shù)e，（0e1）的點(diǎn)的軌跡為橢圓。（）焦點(diǎn)在x軸上：（ab0）準(zhǔn)線(xiàn)方程：焦點(diǎn)在y軸上：（ab0）準(zhǔn)線(xiàn)方程：小結(jié)一：基本元素（1）基本量：a、b、c、e、（共四個(gè)量）， 特征三角形（2）基本點(diǎn)：頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、中心（共七個(gè)點(diǎn)）（3）基本線(xiàn)：對(duì)稱(chēng)軸（共兩條線(xiàn)）5橢圓的的內(nèi)外部（1）點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部.（2）點(diǎn)在橢圓的外部.6.幾何性質(zhì) （1） 焦半徑（橢圓上的點(diǎn)與焦點(diǎn)之間的線(xiàn)段）：（2）通徑（過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦）（3）焦點(diǎn)三角形（橢圓上的任意一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)夠成的三角形）：其中7直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系：(1) 判斷方法:聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程消y(或x)得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)判別式的符號(hào)判斷位置關(guān)系：聯(lián)立消y得：聯(lián)立消x得：(2) 弦中點(diǎn)問(wèn)題:斜率為k的直線(xiàn)l與橢圓交于兩點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，則：(3) 弦長(zhǎng)公式：第四部分：雙曲線(xiàn)雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程（焦點(diǎn)在軸）標(biāo)準(zhǔn)方程（焦點(diǎn)在軸）定義第一定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的差的絕對(duì)值是常數(shù)（小于）的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線(xiàn)。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫焦距。PP第二定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線(xiàn)的距離的比是常數(shù)，當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線(xiàn)。定點(diǎn)叫做雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，定直線(xiàn)叫做雙曲線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)，常數(shù)（）叫做雙曲線(xiàn)的離心率。PPPP范圍，對(duì)稱(chēng)軸軸 ，軸；實(shí)軸長(zhǎng)為,虛軸長(zhǎng)為對(duì)稱(chēng)中心原點(diǎn)焦點(diǎn)坐標(biāo) 焦點(diǎn)在實(shí)軸上，；焦距：頂點(diǎn)坐標(biāo)（,0） (,0)(0, ,) (0，)離心率1)重要結(jié)論（1） 焦半徑（雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)與焦點(diǎn)之間的線(xiàn)段）：（2）通徑（過(guò)焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦）（3）焦點(diǎn)三角形（雙曲線(xiàn)上的任意一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)夠成的三角形）：準(zhǔn)線(xiàn)方程準(zhǔn)線(xiàn)垂直于實(shí)軸且在兩頂點(diǎn)的內(nèi)側(cè)；兩準(zhǔn)線(xiàn)間的距離：漸近線(xiàn)方程 共漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)系方程（）（）直線(xiàn)和雙曲線(xiàn)的位置（1）判斷方法:聯(lián)立直線(xiàn)方程與雙曲線(xiàn)方程消y(或x)得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)判別式的符號(hào)判斷位置關(guān)系：聯(lián)立消y得：聯(lián)立消x得：(4) 弦中點(diǎn)問(wèn)題:斜率為k的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，則：弦長(zhǎng)公式：補(bǔ)充知識(shí)點(diǎn)：等軸雙曲線(xiàn)的主要性質(zhì)有：（1）半實(shí)軸長(zhǎng)=半虛軸長(zhǎng)；（2）其標(biāo)準(zhǔn)方程為其中C0；（3）離心率；（4）漸近線(xiàn)：兩條漸近線(xiàn) y=x 互相垂直；（5）等軸雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)到中心的距離是它到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的比例中項(xiàng)；（6）等軸雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)P處的切線(xiàn)夾在兩條漸近線(xiàn)之間的線(xiàn)段，必被P所平分；7）等軸雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)處的切線(xiàn)與兩條漸近線(xiàn)圍成三角形面積恒為常數(shù)第五部分：拋物線(xiàn)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)圖象xyOlFxyOlFlFxyOxyOlF定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線(xiàn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(xiàn)，點(diǎn)叫做拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，直線(xiàn)叫做拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)。=點(diǎn)M到直線(xiàn)的距離范圍對(duì)稱(chēng)性關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)焦點(diǎn)(,0)(,0)(0,)(0,)焦點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上頂點(diǎn)離心率=1準(zhǔn)線(xiàn)方程準(zhǔn)線(xiàn)與焦點(diǎn)位于頂點(diǎn)兩側(cè)且到頂點(diǎn)的距離相等。頂點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離焦半徑焦點(diǎn)弦 長(zhǎng)焦點(diǎn)弦的幾條性質(zhì)(以焦點(diǎn)在x軸正半軸為例)oxFyMN以為直徑的圓必與準(zhǔn)線(xiàn)相切,以MN為直徑的圓與AB相切與點(diǎn)F，即若的傾斜角為，則 參數(shù)方程1. 直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系直線(xiàn)，拋物線(xiàn)，消y得：（1）當(dāng)k=0時(shí)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸平行，有一個(gè)交點(diǎn)；（2）當(dāng)k0時(shí)， 0，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交，兩個(gè)不同交點(diǎn)； =0， 直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切，一個(gè)切點(diǎn)； 0，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相離，無(wú)公共點(diǎn)。（3） 若直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn),則直線(xiàn)與拋物線(xiàn)必相切嗎?（不一定）2. 關(guān)于直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系問(wèn)題常用處理方法直線(xiàn)： 拋物線(xiàn)，1 聯(lián)立方程法： 設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為,，則有,以及，還可進(jìn)一步求出， 在涉及弦長(zhǎng)，中點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)，面積等問(wèn)題時(shí)，常用此法，比如a. 相交弦AB的弦長(zhǎng) 或 b. 中點(diǎn), ， 2 點(diǎn)差法：設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，代入拋物線(xiàn)方程，得 將兩式相減，可得a. 在涉及斜率問(wèn)題時(shí)，b. 在涉及中點(diǎn)軌跡問(wèn)題時(shí)，設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)為， 即，同理，對(duì)于拋物線(xiàn)，若直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，則有（注意能用這個(gè)公式的條件：1）直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，2）直線(xiàn)的斜率存在，且不等于零）