2018年高考全國(guó)一卷理科數(shù)學(xué)答案及解析

2018年普通高等學(xué)招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)一卷）理科數(shù)學(xué)參考答案與解析一、選擇題：本題有12小題，每小題5分，共60分。1、設(shè)z=，則|z|=A、0B、C、1D、【答案】C 【解析】由題可得，所以|z|=1 【考點(diǎn)定位】復(fù)數(shù)2、已知集合A=x|x2-x-2>0，則A=A、x|-1<x<2B、x|-1x2C、x|x<-1x|x>2D、x|x-1x|x2【答案】B 【解析】由題可得CRA=x|x2-x-20，所以x|-1x2 【考點(diǎn)定位】集合 3、某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番，為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖：則下面結(jié)論中不正確的是：A、新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少。B、新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上。C、新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍。D、新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半?！敬鸢浮緼 【解析】由題可得新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入37%*200%=74%>60%， 【考點(diǎn)定位】簡(jiǎn)單統(tǒng)計(jì) 4、記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若3S3=S2+S4，a1=2，則a5=A、-12B、-10C、10D、12【答案】B 【解析】3*(a1+a1+d+a1+2d)=( a1+a1+d) (a1+a1+d+a1+2d+a1+3d)，整理得:2d+3a1=0 ; d=-3 a5=2+(5-1)*(-3)=-10 【考點(diǎn)定位】等差數(shù)列 求和 5、設(shè)函數(shù)f（x）=x3+(a-1)x2+ax，若f（x）為奇函數(shù)，則曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，0）處的切線方程為：A、y=-2xB、y=-xC、y=2xD、y=x【答案】D 【解析】f（x）為奇函數(shù)，有f（x）+f（-x）=0整理得:f（x）+f（-x）=2*(a-1)x2=0 a=1f（x）=x3+x 求導(dǎo)f（x）=3x2+1 f（0）=1 所以選D 【考點(diǎn)定位】函數(shù)性質(zhì)：奇偶性；函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 6、在ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則=A、-B、-C、-+D、-【答案】A 【解析】AD為BC邊上的中線 AD=E為AD的中點(diǎn)AE=EB=AB-AE= 【考點(diǎn)定位】向量的加減法、線段的中點(diǎn) 7、某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如右圖，圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為11A，圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為A、B、C、3D、2【答案】BAA 【解析】將圓柱體的側(cè)面從A點(diǎn)展開：注意到B點(diǎn)在圓周處。B最短路徑的長(zhǎng)度為AB=22+42【考點(diǎn)定位】立體幾何:圓柱體的展開圖形，最短路徑 8.設(shè)拋物線C：y=4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)（-2，0）且斜率為的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，則= A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D 【解析】拋物線C：y=4x的焦點(diǎn)為F(1,0)直線MN的方程: 消去x整理得：y2-6y+8=0 y=2 或y=4M、N 的坐標(biāo)（1，2），（4，4）則=(0,2)(3,4)=0*3+2*4=8 【考點(diǎn)定位】拋物線焦點(diǎn) 向量的數(shù)量積 如果消去，計(jì)算量會(huì)比較大一些，您不妨試試。9.已知函數(shù)f（x）=g（x）=f（x）+x+a，若g（x）存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是 A. -1，0） B. 0，+） C. -1，+） D. 1，+）【答案】C 【解析】根據(jù)題意：f(x)+x+a=0 有兩個(gè)解。令M(x)=-a,N(x)=f(x)+x =ex+x x0lnx+x x>0分段求導(dǎo)：N(x)=f(x)+x =ex+1>0 x01x+1>0 x>0 說明分段是增函數(shù)。考慮極限位置，圖形如下：M(x)=-a 在區(qū)間(-，+1上有2個(gè)交點(diǎn)。a的取值范圍是C. -1，+） 【考點(diǎn)定位】分段函數(shù)、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、分離參數(shù)法10.下圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形。此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為。直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC. ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為，黑色部分記為，其余部分記為。在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自，的概率分別記為p1，p2，p3，則A. p1=p2B. p1=p3C. p2=p3D. p1=p2+p3【答案】A 【解析】整個(gè)區(qū)域的面積： S1+S半圓BC= S半圓AB+ S半圓AC+SABC根據(jù)勾股定理，容易推出S半圓BC= S半圓AB+ S半圓ACS1= SABC 故選A 【考點(diǎn)定位】古典概率、 不規(guī)則圖形面積 11.已知雙曲線C： -y=1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，過F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M，N. 若OMN為直角三角形，則MN= A. B.3 C. D.4MFNo【答案】B 【解析】右焦點(diǎn),OF=3+1=2，漸近線方程y=33x NOF=MOF =30在RtOMF中，OM=OF*cosMOF=2*cos=303在RtOMN中，MN=OM*tanNOM=3*tan(30+30)=3【考點(diǎn)定位】雙曲線漸近線、焦點(diǎn)概念清晰了，秒殺！有時(shí)簡(jiǎn)單的“解三角”也行，甚至雙曲線都不用畫出來。 如果用解方程，計(jì)算量很大。12.已知正方體的棱長(zhǎng)為1，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】如圖平面截正方體所得截面為正六邊形，此時(shí)，截面面積最大，其中邊長(zhǎng)GH=22截面面積S=634（22）2=【考點(diǎn)定位】立體幾何 截面【盤外招】交并集理論：ABD交集為3，AC交集為 34，選A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.若x，y滿足約束條件則z=3x+2y的最大值為 .【答案】6 【解析】當(dāng)直線z=3x+2y經(jīng)過點(diǎn)（2，0）時(shí)，Zmax=3*2+0=6 【考點(diǎn)定位】線性規(guī)劃（頂點(diǎn)代入法） 14.記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若Sn=2an+1，則S6= .【答案】-63【解析】S1=2a1+1=a1 a1=-1n>1時(shí)，Sn=2an+1，Sn-1=2an-1+1 兩式相減：Sn-Sn-1= an=2an-2an-1 an=2an-1an=a12n-1= （-1）2n-1S6=（-1）（26-1）=-63 【考點(diǎn)定位】等比數(shù)列的求和15.從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有 種.（用數(shù)字填寫答案）【答案】16【解析】C21C42+C22C41=26+14=16【考點(diǎn)定位】排列組合16.已知函數(shù)f（x）=2sinx+sin2x，則f（x）的最小值是 .【答案】-332【解析】f（x）=2sinx+sin2x=2sinx+2sinxcosx=2sinx(1+cosx)考慮到f（x）為奇函數(shù)，可以求f（x）最大值.將f（x）平方：f2（x）=4sin2x(1+cosx)2=4(1-cosx)(1+cosx)3=4/3(3-3cosx)(1+cosx)3(4/3)（3-3cosx）+3(1+cosx)/4）4= （）4=當(dāng)3-3cosx=1+cosx 即cosx=12時(shí)，f2（x）取最大值f（x）min=-332【考點(diǎn)定位】三角函數(shù)的極值，基本不等式的應(yīng)用【其他解法】：求導(dǎo)數(shù)解答f（x）=2sinx(1+cosx)看成單位圓中一個(gè)三角形面積求解。三.解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17.（12分）在平面四邊形ABCD中，ADC=90，A=45，AB=2，BD=5.（1）求cosADB；（2）若DC=，求BC.【答案】【解析】（1）在ABD中，由正弦定理得BDsinA=ABsinADB sinADB =ABsinADB/BD=25由題設(shè)可知，ADB<90 cosADB=1-225=235(2)由題設(shè)及（1）可知cosBDC= sinADB =25在BCD中，由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-2525=25BC=5【考點(diǎn)定位】正弦定理 余弦定理18.（12分）如圖，四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，以DF為折痕把DFC折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PFBF.（1）證明：平面PEF平面ABFD；（2）求DP與平面ABFD所成角的正弦值. 【答案】【解析】（1）由已知可得PFBF ，BFEF BF平面PEF又BF在平面ABFD上 平面PEF平面ABFD (2) PHEF，垂足為H，由（1）可得，PH平面ABFD DP與平面ABFD所成角就是PDH.CD2=PD2=DH2+PH2=DE2+EH2+PH2= DE2+（EF-HF）2+PH2CF2=PF2=HF2+PH2設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2.上面兩個(gè)等式即是：22=12+（2-HF）2+PH212=HF2+PH2解方程得HF=12 PH=32在RtPHD中, sinPDH=PH/PD=32/2=34.【考點(diǎn)定位】立體幾何 點(diǎn)、直線、面的關(guān)系19.（12分）設(shè)橢圓C： +y=1的右焦點(diǎn)為F，過F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0）.（1）當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：OMA=OMB.【答案】【解析】（1）由已知可得F（1，0） ，直線l的方程為x=1由已知可得, 點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，22）或（1， 22） 直線AM的方程為y= 22x+2 或 y= 22x2(2)當(dāng)l與x軸重合，.OMA=OMB=00當(dāng)l與x軸垂直，OM為AB的垂直平分線，所以O(shè)MA=OMB當(dāng)l與x軸不重合且不垂直，設(shè)直線l的方程為y=k(x-1) (k0)點(diǎn)A(x1,y1), B(x2,y2) ，x1<2,X2<2, 則直線MA、MB的斜率之和KMA+KMB=y1x1-2+y2x2-2=k(x1-1)x1-2+k(x2-1)x2-2=2kx1x2-3kx1+x2+4k(x1-2)(x2-2)將y=k(x-1)代入橢圓C的方程得：（2k2+1）x2-4k2x+(2k2-2)=0x1+x2=4k22k2+1,x1x2=2k2-22k2+12kx1x2-3kx1+x2+4k=4k3-4k-12k3+8k3+4k2k2+1=0從而 KMA+KMB=0 MA、MB的傾斜角互補(bǔ)，OMA=OMB綜上所述，OMA=OMB【考點(diǎn)定位】圓錐曲線 20、（12分）某工廠的某、種、產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品，檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件產(chǎn)品作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品做檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為P（0<P<1），且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立。（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f（P），f（P）求f（P）的最大值點(diǎn)。（2）現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的作為P的值，已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用。（i） 若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求EX：（ii） 以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？【答案】【解析】（1）f（P）=C202P2(1-P)18=181C202(9P)2(1-P)18181C202(9P*2+（1-P)*18）2020=181C20291020當(dāng)9P=1-P，即f（P）的最大值點(diǎn)P0=0.1. f（0.1）=199181019(2)令Y表示余下的180件產(chǎn)品中不合格品件數(shù)，依題意可知Y-B(180,0.1),X=20*2+25Y=40+25YEX=E(40+25Y)=40+25EY=490(ii)如果開箱檢驗(yàn)，檢驗(yàn)費(fèi)=200*2=400元EX>400, 應(yīng)該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)。【考點(diǎn)定位】隨機(jī)變量及分布：二項(xiàng)分布最值（基本不等式）、數(shù)學(xué)期望 21、（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn), ,證明： .【答案】【解析】（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+）f（x）=-1x2-1+ax=-x2-ax+1x2=a2-4(i)若a2,則f（x）0，當(dāng)且僅當(dāng)a=2,x=1時(shí)f（x）=0，f（x）在（0，+）單調(diào)遞減。(i)若a>2,令f（x）=0得到，x=aa2-42當(dāng)x（0，a-a2-42）（a+a2-42，+）時(shí)，f（x）<0當(dāng)x（a-a2-42,a+a2-42）時(shí)，f（x）>0f（x）在x（0，a-a2-42）,（a+a2-42，+）單調(diào)遞減, 在（a-a2-42,a+a2-42）單調(diào)遞增。(2)由(1)可得f(x)存在2個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)a>2由于f(x)的極值點(diǎn)x1,x2滿足x2-ax+1=0 所以x1x2=1 不妨設(shè)x1<x2,則x2>1 由于fx1-f(x2）x1-x2=1x1x2-1+alnx1-Lnx2x1-x2=-2+alnx1-Lnx2x1-x2=-2+a-2Lnx21/x2-x2等價(jià)于1x2-x2+2lnx2<0設(shè)g(x)= 1x-x+2lnx 由(1)可知g（x）在（0，+）單調(diào)遞減，又g(1)=0,從而當(dāng)x（1，+）時(shí)g(x)<01x2-x2+2lnx2<0 即 【考點(diǎn)定位】函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22. 選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程、（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的方程為y=kx+2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為p+2p-3=0.（1） 求C的直角坐標(biāo)方程:（2） 若C與C有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求C的方程.【答案】【解析】（1）由x=cos,y=sin得到C的直角坐標(biāo)方程：x2+y2+2x-3=0 即(x+1)2+y2=4(2)由（1）可知C2是圓心為A（-1,0），半徑為2的圓。由題設(shè)可知，C1是過點(diǎn)B（0，2）且關(guān)于Y軸對(duì)稱的兩條射線，且C1：=kx+2 x>0-kx+2 x0顯然，K=0時(shí)，C1與C2相切，只有一個(gè)交點(diǎn)。K>0時(shí)，C1與C2沒有交點(diǎn)。C1與C2有且僅有三個(gè)交點(diǎn)，則必須滿足K<0且y=kx+2(x>0) 與C2相切,圓心到射線的距離d= |-k+2|k2+1=2 故K=-4/3或K=0.經(jīng)檢驗(yàn)，因?yàn)镵<0，所以K=-4/3。綜上所述，所求 C的方程y=-43x+2.【考點(diǎn)定位】極坐標(biāo)與參數(shù)方程 直線與圓的關(guān)系23. 選修4-5：不等式選講（10分）已知f（x）=x+1-ax-1.（1） 當(dāng)a=1時(shí)， 求不等式f（x）1的解集；（2） 當(dāng)x（0，1）時(shí)不等式f（x）x成立，求a的取值范圍.【答案】【解析】（1）當(dāng)a=1時(shí)， f（x）=x+1-x-1=-2 x-12x -1<x<12 x>1不等式f（x）1的解集為x|x>12(2) 當(dāng)x（0，1）時(shí)不等式f（x）=x+1-ax-1x成立,等價(jià)于ax-1<1成立若a0，當(dāng)x（0，1）時(shí)ax-11若a>0，當(dāng)x（0，1）時(shí)ax-1<1的解集為0<x<2a 2a>=1 故0<a2綜上所述，a的取值范圍是（0，2?！究键c(diǎn)定位】絕對(duì)值不等式 含參數(shù)不等式恒成立的問題