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2017年全國高考理科數(shù)學(xué)全國一卷試題及答案

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2017年全國高考理科數(shù)學(xué)全國一卷試題及答案

2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué) 滿分150分。考試用時(shí)120分鐘。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知集合,則A B C D2如圖,正方形內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是A B C D3設(shè)有下面四個(gè)命題:若復(fù)數(shù)滿足,則;:若復(fù)數(shù)滿足,則;:若復(fù)數(shù)滿足,則;:若復(fù)數(shù),則.其中的真命題為ABCD4記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和若,則的公差為A1B2C4D85函數(shù)在單調(diào)遞減,且為奇函數(shù)若,則滿足的的取值范圍是ABCD6展開式中的系數(shù)為A15B20C30D357某多面體的三視圖如圖所示,其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成,正方形的邊長(zhǎng)為2,俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形,這些梯形的面積之和為A10 B12 C14 D168右面程序框圖是為了求出滿足的最小偶數(shù),那么在和兩個(gè)空白框中,可以分別填入A和 B和C和 D和9已知曲線,則下面結(jié)論正確的是A把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線B把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線C把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線D把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線10已知為拋物線的焦點(diǎn),過作兩條互相垂直的直線,直線與交于A、B兩點(diǎn),直線與交于D、E兩點(diǎn),則|AB|+|DE|的最小值為A16B14C12D1011設(shè)為正數(shù),且,則A B CD12幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召,開發(fā)了一款應(yīng)用軟件。為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案:已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一項(xiàng)是,接下來的兩項(xiàng)是,再接下來的三項(xiàng)是,依此類推。求滿足如下條件的最小整數(shù)且該數(shù)列的前項(xiàng)和為2的整數(shù)冪。那么該款軟件的激活碼是A440B330C220D110二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13已知向量a,b的夾角為60,|a|=2,|b|=1,則| a +2 b |= 14設(shè)滿足約束條件,則的最小值為 15已知雙曲線的右頂點(diǎn)為A,以A為圓心,b為半徑做圓A,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn)。若,則的離心率為_。16如圖,圓形紙片的圓心為O,半徑為5 cm,該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O。D、E、F為圓O上的點(diǎn),DBC,ECA,F(xiàn)AB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形。沿虛線剪開后,分別以BC,CA,AB為折痕折起DBC,ECA,F(xiàn)AB,使得D、E、F重合,得到三棱錐。當(dāng)ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí),所得三棱錐體積(單位:cm3)的最大值為_。三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答。(一)必考題:共60分。17(12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知ABC的面積為(1)求;(2)若,求ABC的周長(zhǎng).18.(12分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB/CD,且.(1)證明:平面PAB平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,求二面角A-PB-C的余弦值.19(12分)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件,并測(cè)量其尺寸(單位:cm)根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在之外的零件數(shù),求及的數(shù)學(xué)期望;(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查()試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性;()下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸:9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計(jì)算得,其中為抽取的第個(gè)零件的尺寸,用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值,利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查?剔除之外的數(shù)據(jù),用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)和(精確到0.01)附:若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則,20.(12分)已知橢圓C:(a>b>0),四點(diǎn)P1(1,1),P2(0,1),P3(1,),P4(1,)中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.(1)求C的方程;(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn)。若直線P2A與直線P2B的斜率的和為1,證明:l過定點(diǎn).21.(12分)已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性;(2)若有兩個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍.(二)選考題:共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做,則按所做的第一題計(jì)分。22選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(10分)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為.(1)若a=1,求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo);(2)若C上的點(diǎn)到l的距離的最大值為,求a.23選修45:不等式選講(10分)已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí),求不等式f(x)g(x)的解集;(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含1,1,求a的取值范圍.2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1A, 2B, 3B, 4C, 5D, 6C, 7B,8D,9D,10A,11D,12A.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。 1314-51516三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答。(一)必考題:共60分。17(12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知ABC的面積為(1)求sinBsinC;(2)若6cosBcosC=1,a=3,求ABC的周長(zhǎng). 解:(1)由題設(shè)得,即由正弦定理得 ,故。(2)由題設(shè)及(1)得,即所以,故.由題設(shè)得,即由余弦定理得,即,得故的周長(zhǎng)為18.(12分)解:(1)由已知,得,由于,故, 從而平面又平面,所以平面平面(2)在平面內(nèi)作,垂足為.由(1)可知,平面,故,可得平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)檩S正方向,為單位長(zhǎng),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由(1)及已知可得.所以設(shè)是平面的法向量,則即 可取設(shè)是平面的法向量,則即 可取則.所以二面角的余弦值為.19(12分)解:(1)抽取的一個(gè)零件的尺寸在之內(nèi)的概率為0.9974,從而零件的尺寸在之外的概率為0.0026,故,因此的數(shù)學(xué)期望為(2)(i)如果生產(chǎn)狀態(tài)正常,一個(gè)零件尺寸在之外的概率只有0.0026,一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中,出現(xiàn)尺寸在之外的零件的概率只有0.0408,發(fā)生的概率很小。因此一旦發(fā)生這種情況,就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查,可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的。(ii)由,得的估計(jì)值為的估計(jì)值為,由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個(gè)零件的尺寸在之外,因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查。剔除之外的數(shù)據(jù)9.22,剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,因此的估計(jì)值為10.02.剔除之外的數(shù)據(jù)9.22,剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為.因此的估計(jì)值為.20.(12分)解:(1)由于兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱,故由題設(shè)知經(jīng)過兩點(diǎn).又由知,不經(jīng)過點(diǎn),所以點(diǎn)在上因此解得 故的方程為.(2)設(shè)直線與直線的斜率分別為如果與軸垂直,設(shè),由題設(shè)知,且,可得的坐標(biāo)分別為則,得,不符合題設(shè).從而可設(shè),將代入得.由題設(shè)可知設(shè),則而 .由題設(shè),故,即.解得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),于是,所以過定點(diǎn)21.(12分)解:(1)的定義域?yàn)椋╥)若,則,所以在單調(diào)遞減(ii)若,則由的.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增。(2)(i)若,由(1)知,至多有一個(gè)零點(diǎn)(ii)若,由(1)知,當(dāng)時(shí),取得最小值,最小值為 當(dāng)時(shí),由于,故只有一個(gè)零點(diǎn); 當(dāng)時(shí),由于,即,故沒有零點(diǎn); 當(dāng)時(shí),即又又,故在有一個(gè)零點(diǎn)。設(shè)正整數(shù)滿足,則.由于,因此在有一個(gè)零點(diǎn).綜上,的取值范圍為.22解:(1)曲線的普通方程為,當(dāng)時(shí),直線的普通方程為由解得或 從而與的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2)直線的普通方程為,故上的點(diǎn)到的距離為當(dāng)時(shí),的最大值為,由題設(shè)得,所以;當(dāng)時(shí),的最大值為,由題設(shè)得,所以.綜上,或23解:(1)當(dāng)時(shí),不等式等價(jià)于 當(dāng)時(shí),式化為,無解;當(dāng)時(shí),式化為,從而;當(dāng)時(shí),式化為,從而所以的解集為(2)當(dāng)時(shí),所以的解集包含,等價(jià)于當(dāng)時(shí)又在的最小值必為與之一,所以且,得所以的取值范圍為

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