MATLAB語言及應(yīng)用-第六章.ppt

第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算 6.1 符號(hào)計(jì)算基礎(chǔ) 6.2 符號(hào)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 6.3 符號(hào)積分 6.4 級(jí)數(shù) 6.5 代數(shù)方程的符號(hào)求解 6.6 常微分方程的符號(hào)求解 第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算 6.1 符號(hào)計(jì)算基礎(chǔ) 6.2 符號(hào)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 6.3 符號(hào)積分 6.4 級(jí)數(shù) 6.5 代數(shù)方程的符號(hào)求解 6.6 常微分方程的符號(hào)求解 6.1 符號(hào)計(jì)算基礎(chǔ) 6.1.1 符號(hào)對(duì)象 1. 建立符號(hào)變量和符號(hào)常數(shù) (1)sym函數(shù) sym函數(shù)用來建立單個(gè)符號(hào)量，例如， a=sym(a) 建立符號(hào)變量 a，此后，用戶可以在表達(dá)式中使用 變量 a進(jìn)行各種運(yùn)算。 第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算 例 6.1考察符號(hào)變量和數(shù)值變量的差別。 在 MATLAB命令窗口，輸入命令： a=sym(a);b=sym(b);c=sym(c);d=sym(d); %定義 4個(gè)符號(hào)變量 w=10;x=5;y=-8;z=11; %定義 4個(gè)數(shù)值變量 A=a,b;c,d %建立符號(hào)矩陣 A B=w,x;y,z %建立數(shù)值矩陣 B det(A) %計(jì)算符號(hào)矩陣 A的行列式 det(B) %計(jì)算數(shù)值矩陣 B的行列式 第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算 (2)syms函數(shù) syms函數(shù)的一般調(diào)用格式為： syms var1 var2 varn 函數(shù)定義符號(hào)變量 var1,var2,varn 等。用這種格 式定義符號(hào)變量時(shí)不要在變量名上加字符分界符 ()， 變量間用空格而不要用逗號(hào)分隔。 第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算 2. 建立符號(hào)表達(dá)式 符號(hào)表達(dá)式可以采用單引號(hào)或 sym/syms函數(shù)定義 例 6.2用兩種方法建立符號(hào)表達(dá)式。 在 MATLAB窗口，輸入命令： U=sym(3*x2+5*y+2*x*y+6) %定義符號(hào)表達(dá)式 U syms x y; %建立符號(hào)變量 x、 y V=3*x2+5*y+2*x*y+6 %定義符號(hào)表達(dá)式 V 2*U-V+6 %求符號(hào)表達(dá)式的值 第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算 例 6.3計(jì)算 3階范得蒙矩陣行列式的值。設(shè) A是一個(gè)由 符號(hào)變量 a,b,c確定的范得蒙矩陣。 命令如下： syms a b c; U=a,b,c; A=1,1,1;U;U.2 %建立范得蒙符號(hào)矩陣 det(A) %計(jì)算 A的行列式值 第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算 例 6.4建立 x,y的一般二元函數(shù)。 在 MATLAB命令窗口，輸入命令： syms x y; f=sym(f(x,y) 第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算 6.1.2 基本的符號(hào)運(yùn)算 1. 符號(hào)表達(dá)式運(yùn)算 (1)符號(hào)表達(dá)式的四則運(yùn)算 例 6.5符號(hào)表達(dá)式的四則運(yùn)算示例。 在 MATLAB命令窗口，輸入命令： syms x y z; f=2*x+x2*x-5*x+x3 %結(jié)果為最簡(jiǎn)形式 f=2*x/(5*x) %符號(hào)表達(dá)式的結(jié)果為最簡(jiǎn)形式 f=(x+y)*(x-y) %結(jié)果不是 x2-y2，而是 (x+y)*(x-y) 第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算 (2)因式分解與展開 factor(S) 對(duì) S分解因式 ,S是符號(hào)表達(dá)式或符號(hào)矩陣。 expand(S) 對(duì) S進(jìn)行展開 ,S是符號(hào)表達(dá)式或符號(hào)矩陣。 collect(S) 對(duì) S合并同類項(xiàng) ,S是符號(hào)表達(dá)式或符號(hào)矩陣。 collect(S,v) 對(duì) S按變量 v合并同類項(xiàng)， S是符號(hào)表達(dá)式或 符號(hào)矩陣。 第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算 例 6.6 對(duì)符號(hào)矩陣 A的每個(gè)元素分解因式。 命令如下： syms a b x y; A=2*a2*b3*x2- 4*a*b4*x3+10*a*b6*x4,3*x*y-5*x2;4,a3- b3; factor(A) %對(duì) A的每個(gè)元素分解因式 第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算 例 6.7 計(jì)算表達(dá)式 S的值。 命令如下： syms x y; s=(-7*x2-8*y2)*(-x2+3*y2); expand(s) %對(duì) s展開 collect(s,x) %對(duì) s按變量 x合并同類項(xiàng) (無同類項(xiàng) ) factor(ans) % 對(duì) ans分解因式 第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算 練習(xí)： 1 展開符號(hào)表達(dá)式 f1=(x+1)7和 f2=cos(x+y)。 expand(S) 2 展開符號(hào)表達(dá)式 (x+3)(x+t)(y-1)和 (x-2)2(x+1)-x2。 3 因式分解符號(hào)表達(dá)式 x5-y5。 factor(S) 4 對(duì)符號(hào)表達(dá)式 (x-ex)(x+y)進(jìn)行同類項(xiàng)合并。 collect(S) 5 按照不同方式合并表達(dá)式 (x2-aey)(axy+e2yx)。 第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算 (3)表達(dá)式化簡(jiǎn) MATLAB提供的對(duì)符號(hào)表達(dá)式化簡(jiǎn)的函數(shù)有： simplify(S) 應(yīng)用函數(shù)規(guī)則對(duì) S進(jìn)行化簡(jiǎn)，它可以完成 對(duì)指數(shù)、對(duì)數(shù)、三角函數(shù)等各種數(shù)學(xué)表達(dá)式的化簡(jiǎn)。 simple(S) 調(diào)用 MATLAB的其他函數(shù)對(duì)表達(dá)式進(jìn)行綜 合化簡(jiǎn)，并顯示化簡(jiǎn)過程，返回表達(dá)式的最簡(jiǎn)形式。 第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算 例 6.8化簡(jiǎn) 命令如下： syms x y; s=(x2+y2)2+(x2-y2)2; simple(s) %MATLAB自動(dòng)調(diào)用多種函數(shù)對(duì) s進(jìn)行化 簡(jiǎn)，并顯示每步結(jié)果 練習(xí)：簡(jiǎn)化符號(hào)表達(dá)式 sin2x-cos3x+sin2x。 第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算 2. 符號(hào)矩陣運(yùn)算 transpose(S) 返回 S矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣。 determ(S) 返回 S矩陣的行列式值。 colspace(S) 返回 S矩陣列空間的基。 Q,D=eigensys(S) Q返回 S矩陣的特征向量， D返回 S 矩陣的特征值。 第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算 6.1.3 符號(hào)表達(dá)式中變量的確定 MATLAB中的符號(hào)可以表示符號(hào)變量和符號(hào)常數(shù)。 findsym可以幫助用戶查找一個(gè)符號(hào)表達(dá)式中的符 號(hào)變量。該函數(shù)的調(diào)用格式為： findsym(S,n) 函數(shù)返回符號(hào)表達(dá)式 S中的 n個(gè)符號(hào)變量，若沒有指定 n，則返回 S中的全部符號(hào)變量。 在求函數(shù)的極限、導(dǎo)數(shù)和積分時(shí)，如果用戶沒有明確 指定自變量， MATLAB將按缺省原則確定主變量 并對(duì)其進(jìn)行相應(yīng)微積分運(yùn)算?？捎?findsym(S,1)查 找系統(tǒng)的缺省變量，事實(shí)上， MATLAB按離字符 x最近原則確定缺省變量。 第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算 第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算 6.1 符號(hào)計(jì)算基礎(chǔ) 6.2 符號(hào)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 6.3 符號(hào)積分 6.4 級(jí)數(shù) 6.5 代數(shù)方程的符號(hào)求解 6.6 常微分方程的符號(hào)求解 6.2 符號(hào)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 6.2.1函數(shù)的極限 limit函數(shù)的調(diào)用格式為： limit(f,x,a) 計(jì)算符號(hào)表達(dá)式 f在 x a條件下的極限 limit(f, a) 計(jì)算 f在默認(rèn)自變量趨于 a條件下的極限 limit(f) 計(jì)算 f在默認(rèn)自變量趨于 0條件下的極限 limit函數(shù)的另一種功能是求單邊極限，其調(diào)用格式為： limit(f,x,a,right) 或 limit(f,x,a,left) 第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算 例 6.10求極限。 在 MATLAB命令窗口，輸入命令： syms a m x; f=(x(1/m)-a(1/m)/(x-a); limit(f,x,a) %求極限 (1) f=(sin(a+x)-sin(a-x)/x; limit(f) %求極限 (2) limit(f,inf) %求 f函數(shù)在 x( 包括 +和 -)處的極限 limit(f,x,inf,left) %求極限 (3) f=(sqrt(x)-sqrt(a)-sqrt(x-a)/sqrt(x*x-a*a); limit(f,x,a,right) %求極限 (4) 第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算 6.2.2 符號(hào)函數(shù)求導(dǎo)及其應(yīng)用 MATLAB中的求導(dǎo)的函數(shù)為： diff(f,x,n) diff函數(shù)求函數(shù) f對(duì)變量 x的 n階導(dǎo)數(shù)。參數(shù) x的用法同 求極限函數(shù) limit，可以缺省，缺省值與 limit相同， n的缺省值是 1。 第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算 例 6.11求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 命令如下： syms a b t x y z; f=sqrt(1+exp(x); diff(f) %求 (1)。未指定求導(dǎo)變量和階數(shù)，按缺省規(guī)則處理 f=x*cos(x); diff(f,x,2) %求 (2)。求 f對(duì) x的二階導(dǎo)數(shù) diff(f,x,3) %求 (2)。求 f對(duì) x的三階導(dǎo)數(shù) 第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算 f1=a*cos(t);f2=b*sin(t); diff(f2)/diff(f1) %求 (3)。按參數(shù)方程求導(dǎo)公式求 y對(duì) x的導(dǎo)數(shù) (diff(f1)*diff(f2,2)-diff(f1,2)*diff(f2)/(diff(f1)3 %求 (3)。求 y對(duì) x的二階導(dǎo)數(shù) f=x*exp(y)/y2; diff(f,x) %求 (4)。 z對(duì) x的偏導(dǎo)數(shù) diff(f,y) %求 (4)。 z對(duì) y的偏導(dǎo)數(shù) 第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算 f=x2+y2+z2-a2; zx=-diff(f,x)/diff(f,z) %求 (5)。按隱函數(shù)求導(dǎo)公式求 z對(duì) x的偏導(dǎo)數(shù) zy=-diff(f,y)/diff(f,z) %求 (5)。按隱函數(shù)求導(dǎo)公式求 z對(duì) y的偏導(dǎo)數(shù) 第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算 例 6.12在曲線 y=x3+3x-2上哪一點(diǎn)的切線與直線 y=4x-1 平行。 命令如下： x=sym(x); y=x3+3*x-2; %定義曲線函數(shù) f=diff(y); %對(duì)曲線求導(dǎo)數(shù) g=f-4; solve(g) %求方程 f-4=0的根，即求曲線何處的導(dǎo)數(shù)為 4 第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算 練習(xí)：試對(duì)表達(dá)式 f(x,y)=x3-5x2y+y2求一階偏導(dǎo)和二階 偏導(dǎo)。 第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算 第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算 6.1 符號(hào)計(jì)算基礎(chǔ) 6.2 符號(hào)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 6.3 符號(hào)積分 6.4 級(jí)數(shù) 6.5 代數(shù)方程的符號(hào)求解 6.6 常微分方程的符號(hào)求解 6.3 符號(hào)積分 6.3.1不定積分 在 MATLAB中，求不定積分的函數(shù)是 int，其調(diào)用格 式為： int(f,x) int函數(shù)求函數(shù) f對(duì)變量 x的不定積分。參數(shù) x可以缺省， 缺省原則與 diff函數(shù)相同。 第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算 例 6.13求不定積分。 命令如下： x=sym(x); f=(3-x2)3; int(f) %求不定積分 (1) f=sqrt(x3+x4); int(f) %求不定積分 (2) g=simple(ans) %調(diào)用 simple函數(shù)對(duì)結(jié)果化簡(jiǎn) 練習(xí) ：計(jì)算積分 第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算 dxxxf 21 1 6.3.2 符號(hào)函數(shù)的定積分 定積分在實(shí)際工作中有廣泛的應(yīng)用。在 MATLAB中， 定積分的計(jì)算使用函數(shù)： int(f,x,a,b) 第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算 例 6.14求定積分。 命令如下： x=sym(x);t=sym(t); int(abs(1-x),1,2) %求定積分 (1) f=1/(1+x2); int(f,-inf,inf) %求定積分 (2) int(4*t*x,x,2,sin(t) %求定積分 (3) f=x3/(x-1)100; I=int(f,2,3) %用符號(hào)積分的方法求定積分 (4) double(I) %將上述符號(hào)結(jié)果轉(zhuǎn)換為數(shù)值 第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算 例 6.15求橢球的體積。 命令如下： syms a b c z; f=pi*a*b*(c2-z2)/c2; V=int(f,z,-c,c) V =4/3*pi*a*b*c 第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算 6.3.3 積分變換 1. 傅立葉 (Fourier)變換 在 MATLAB中，進(jìn)行傅立葉變換的函數(shù)是： fourier(fx,x,t) 求函數(shù) f(x)的傅立葉像函數(shù) F(t)。 ifourier(Fw,t,x) 求傅立葉像函數(shù) F(t)的原函數(shù) f(x)。 第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算 例 6.18求函數(shù)的傅立葉變換及其逆變換。 命令如下： syms x t; y=abs(x); Ft=fourier(y,x,t) %求 y的傅立葉變換 fx=ifourier(Ft,t,x) %求 Ft的傅立葉逆變換 第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算 2. 拉普拉斯 (Laplace)變換 在 MATLAB中，進(jìn)行拉普拉斯變換的函數(shù)是： laplace(fx,x,t) 求函數(shù) f(x)的拉普拉斯像函數(shù) F(t)。 ilaplace(Fw,t,x) 求拉普拉斯像函數(shù) F(t)的原函數(shù) f(x)。 第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算 例 6.19計(jì)算 y=x2的拉普拉斯變換及其逆變換 . 命令如下： x=sym(x);y=x2; Ft=laplace(y,x,t) %對(duì)函數(shù) y進(jìn)行拉普拉斯變換 fx=ilaplace(Ft,t,x) %對(duì)函數(shù) Ft進(jìn)行拉普拉斯逆變換 第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算 3. Z變換 對(duì)數(shù)列 f(n)進(jìn)行 z變換的 MATLAB函數(shù)是： ztrans(fn,n,z) 求 fn的 Z變換像函數(shù) F(z) iztrans(Fz,z,n) 求 Fz的 z變換原函數(shù) f(n) 第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算 例 6.20求數(shù)列 fn=e-n的 Z變換及其逆變換。 命令如下： syms n z fn=exp(-n); Fz=ztrans(fn,n,z) %求 fn的 Z變換 f=iztrans(Fz,z,n) %求 Fz的逆 Z變換 第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算 第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算 6.1 符號(hào)計(jì)算基礎(chǔ) 6.2 符號(hào)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 6.3 符號(hào)積分 6.4 級(jí)數(shù) 6.5 代數(shù)方程的符號(hào)求解 6.6 常微分方程的符號(hào)求解 6.4 級(jí)數(shù) 6.4.1 級(jí)數(shù)的符號(hào)求和 級(jí)數(shù)符號(hào)求和函數(shù) symsum，調(diào)用格式為： symsum(a,n,n0,nn) 第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算 例 6.22求級(jí)數(shù)之和。命令如下： n=sym(n); s1=symsum(1/n2,n,1,inf) %求 s1 s2=symsum(-1)(n+1)/n,1,inf) %求 s2。未指定求和 變量，缺省為 n s3=symsum(n*xn,n,1,inf) %求 s3。此處的求和變量 n不能省略。 s4=symsum(n2,1,100) %求 s4。計(jì)算有限級(jí)數(shù)的和 第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算 6.4.2 函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù) MATLAB中提供了將函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)的函數(shù) taylor， 其調(diào)用格式為： taylor(f,v,n,a) 第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算 例 6.24將多項(xiàng)式表示成 x+1的冪的多項(xiàng)式。 命令如下： x=sym(x); p=1+3*x+5*x2-2*x3; f=taylor(p,x,-1,4) 第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算 第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算 6.1 符號(hào)計(jì)算基礎(chǔ) 6.2 符號(hào)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 6.3 符號(hào)積分 6.4 級(jí)數(shù) 6.5 代數(shù)方程的符號(hào)求解 6.6 常微分方程的符號(hào)求解 6.5代數(shù)方程的符號(hào)求解 6.5.1線性方程組的符號(hào)求解 MATLAB中提供了一個(gè)求解線性代數(shù)方程組的函數(shù) linsolve，其調(diào)用格式為： linsolve(A,b) 第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算 6.5.2 非線性方程組的符號(hào)求解 求解非線性方程組的函數(shù)是 solve，調(diào)用格式為： solve(eqn1,eqn2,eqnN,var1,var2,varN) 第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算 例 6.28 解方程。 命令如下： x=solve(1/(x+2)+4*x/(x2-4)=1+2/(x-2),x) %解方程 (1) f=sym(x-(x3-4*x-7)(1/3)=1); x=solve(f) %解方程 (2) x=solve(2*sin(3*x-pi/4)=1) %解方程 (3) x=solve(x+x*exp(x)-10,x) %解方程 (4)。僅 標(biāo)出方程的左端 第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算 第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算 6.1 符號(hào)計(jì)算基礎(chǔ) 6.2 符號(hào)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 6.3 符號(hào)積分 6.4 級(jí)數(shù) 6.5 代數(shù)方程的符號(hào)求解 6.6 常微分方程的符號(hào)求解 6.6常微分方程的符號(hào)求解 MATLAB的符號(hào)運(yùn)算工具箱中提供了功能強(qiáng)大的求解 常微分方程的函數(shù) dsolve。該函數(shù)的調(diào)用格式為： dsolve(eqn1,condition,var) 該函數(shù)求解微分方程 eqn1在初值條件 condition下的特 解。參數(shù) var描述方程中的自變量符號(hào)，省略時(shí)按缺 省原則處理，若沒有給出初值條件 condition，則求方 程的通解。 第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算 dsolve在求微分方程組時(shí)的調(diào)用格式為： dsolve(eqn1,eqn2,eqnN,condition1,condition N,var1,varN) 函數(shù)求解微分方程組 eqn1、 、 eqnN在初值條件 conditoion1、 、 conditionN下的解，若不給出初值 條件，則求方程組的通解， var1、 、 varN給出求 解變量。 第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算 例 6.30 求微分方程的通解。 命令如下： y=dsolve(Dy-(x2+y2)/x2/2,x) %解 (1)。方程的 右端為 0時(shí)可以不寫 y=dsolve(Dy*x2+2*x*y-exp(x),x) %解 (2) y=dsolve(Dy-x/y/sqrt(1-x2),x) %解 (3) 第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算 例 6.31 求微分方程的特解。 命令如下： y=dsolve(Dy=2*x*y2,y(0)=1,x) %解 (1) y=dsolve(Dy-x2/(1+y2),y(2)=1,x) %解 (2) 第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算 例 6.32 求微分方程組的解。 命令如下： x,y=dsolve(Dx=4*x-2*y,Dy=2*x-y,t) %解方程 組 (1) x,y=dsolve(D2x-y,D2y+x,t) %解方程組 (2) 第 6章 MATLAB符號(hào)計(jì)算