2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第7章 第7節(jié) 立體幾何中的向量方法課時(shí)作業(yè) 理.doc
2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第7章 第7節(jié) 立體幾何中的向量方法課時(shí)作業(yè) 理一、選擇題1平面的一個(gè)法向量為n(1,2,0),平面的一個(gè)法向量為m(2,1,0),則平面和平面的位置關(guān)系是()A平行B相交但不垂直C垂直D重合答案:C解析:n(1,2,0),m(2,1,0),m·n2200,即mn,.2設(shè)平面的法向量為(1,2,2),平面的法向量為(2,4,k),若,則k等于()A2B4C4D2答案:C解析:,k4.3(xx·濟(jì)南模擬)已知平面內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)A(2,1,2),的一個(gè)法向量為n(3,1,2),則下列點(diǎn)P中,在平面內(nèi)的是()A(1,1,1)BC.D答案:B解析:對(duì)于選項(xiàng)A,(1,0,1),則·n(1,0,1)·(3,1,2)50,故排除A;對(duì)于選項(xiàng)B,則·n·(3,1,2)0,B正確;對(duì)于選項(xiàng)C,·n·(3,1,2)60,C不正確;對(duì)于選項(xiàng)D,·n·(3,1,2)120,D不正確故應(yīng)選B.4如圖,在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,AB2,AA1,AD2,P為C1D1的中點(diǎn),M為BC的中點(diǎn),則AM與PM的位置關(guān)系為( )A平行B異面C垂直D以上都不對(duì)答案:C解析:以點(diǎn)D為原點(diǎn),分別以DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,依題意,可得D(0,0,0),P(0,1,),C(0,2,0),A(2,0,0),M(,2,0)(,1,),(,2,0),·(,1,)·(,2,0)0,即,AMPM.5在正四面體PABC中,PA,PB,PC兩兩垂直,設(shè)PAPBPCa,則點(diǎn)P到平面ABC的距離為()A.BaCDa答案:B解析:根據(jù)題意,可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Pxyz,則P(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a)過點(diǎn)P作PH平面ABC,交平面ABC于點(diǎn)H,則PH的長(zhǎng)即為點(diǎn)P到平面ABC的距離PAPBPC,H為ABC的外心又ABC為正三角形,H為ABC的重心,可得H點(diǎn)的坐標(biāo)為.PHa.點(diǎn)P到平面ABC的距離為a.6(xx·昆明模擬)如圖,在四棱錐PABCD中,四邊形ABCD為平行四邊形,且BC平面PAB,PAAB,M為PB的中點(diǎn),PAAD2.若AB1,則二面角BACM的余弦值為()A.BC.D答案:A解析:BC平面PAB,ADBC,AD平面PAB,PAAD,又PAAB,且ADABA,PA平面ABCD.以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AD,AB,AP所在直線為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.則A(0,0,0),C(2,1,0),P(0,0,2),B(0,1,0),M,(2,1,0),易求得平面AMC的一個(gè)法向量為n(1,2,1),又平面ABC的一個(gè)法向量(0,0,2),cosn,.二面角BACM的余弦值為.二、填空題7如圖所示,在三棱錐ABCA1B1C1中,AA1底面ABC,ABBCAA1,ABC90°,點(diǎn)E,F(xiàn)分別為棱AB,BB1的中點(diǎn),則直線EF和BC1所成的角是_答案:60°解析:以BC為x軸,BA為y軸,BB1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)ABBCAA12,則C1(2,0,2),E(0,1,0),F(xiàn)(0,0,1),則(0,1,1),(2,0,2),·2,cos,EF和BC1所成的角為60°.8如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,棱長(zhǎng)為a,M,N分別為A1B和AC上的點(diǎn),A1MAN,則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是_答案:平行解析:正方體棱長(zhǎng)為a,A1MAN,()().又是平面B1BCC1的法向量,··0,.又MN平面B1BCC1,MN平面B1BCC1.9設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,則點(diǎn)D1到平面A1BD的距離是_答案:解析:如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則D1(0,0,2),A1(2,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0),(2,0,0),(2,0,2),(2,2,0),設(shè)平面A1BD的一個(gè)法向量為n(x,y,z),則令x1,則n(1,1,1),點(diǎn)D1到平面A1BD的距離d.三、解答題10(xx·濟(jì)南一模)如圖,四棱錐PABCD中,PD底面ABCD,ABDC,ADDC,ABAD1,DC2,PD,M為棱PB的中點(diǎn)(1)證明:DM平面PBC;(2)求二面角ADMC的余弦值解:(1)證明:連接BD,取DC的中點(diǎn)G,連接BG,由此知DGGCBG1,即DBC為直角三角形,故BCBD.又PD平面ABCD,故BCPD,所以BC平面BDP,BCDM.又PDBD,PDBD,M為PB的中點(diǎn),DMPB.PBBCB,DM平面PBC.(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),P(0,0,),從而M,設(shè)n1(x,y,z)是平面ADM的法向量,則即所以可取n1(0,1)同理,設(shè)n2(x0,y0,z0)是平面DMC的法向量,則即所以可取n2(,0,1),所以cosn1,n2.顯然二面角ADMC的大小為鈍角,所以二面角ADMC的余弦值為.11(xx·德州模擬)在直角梯形ABCD中,ADC90°,CDAB,AB4,ADCD2,M為線段AB的中點(diǎn),將ADC沿AC折起,使平面ADC平面ABC,得幾何體DABC.(1)求證:BC平面ACD;(2)求二面角ACDM的余弦值解:(1)證明:由條件,知AC2,CAB45°,AB4,由余弦定理,得CB28,CB2,AC2BC2AB2,ACBC.又平面ADC平面ABC,平面ADC平面ABCAC,BC平面ACD.(2)取AC的中點(diǎn)O,連接DO,MO,DOAC,DO平面ABC,OMBC,ACBC,OMAC.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,M(0,0),C(,0,0),D(0,0,)(,0),(,0,)設(shè)n1(x,y,z)為平面CDM的法向量,則即令x1,得n1(1,1,1)由題意,得n2(0,1,0)為平面ACD的一個(gè)法向量,cosn1,n2.二面角ACDM為銳角,二面角ACDM的余弦值為.12(xx·衡水二模)如圖,在四棱錐PABCD中,側(cè)面PAD底面ABCD,側(cè)棱PAPD,PAPD,底面ABCD為直角梯形,其中BCAD,ABAD,ABBC1,O為AD中點(diǎn)(1)求直線PB與平面POC所成角的余弦值;(2)求點(diǎn)B到平面PCD的距離;(3)線段PD上是否存在一點(diǎn)Q,使得二面角QACD的余弦值為?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由解:(1)在PAD中,PAPD,O為AD中點(diǎn),所以POAD,又側(cè)面PAD底面ABCD,平面PAD平面ABCDAD,PO平面PAD,則PO平面ABCD.又在直角梯形ABCD中,連接OC,易得OCAD,所以以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),直線OC為x軸,直線OD為y軸,直線OP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則P(0,0,1),A(0,1,0),B(1,1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),(1,1,1),易證OA平面POC,(0,1,0)是平面POC的法向量,cos,.直線PB與平面POC所成角的余弦值為.(2)(0,1,1),(1,0,1),設(shè)平面PDC的一個(gè)法向量為(x,y,z),則取z1,得(1,1,1)B點(diǎn)到平面PCD的距離d.(3)存在設(shè)(01),(0,1,1),(0,),(0,1),Q(0,1)設(shè)平面CAQ的一個(gè)法向量為m(x,y,z),則取z1,得m(1,1,1),又平面CAD的一個(gè)法向量為n(0,0,1),二面角QACD的余弦值為,|cosm,n|,得321030,解得或3(舍)所以存在點(diǎn)Q,使得二面角QACD的余弦值為,此時(shí).