2016全國一卷理科數(shù)學高考真題及答案

2016年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國卷）理科數(shù)學一. 選擇題：本大題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.設集合，,則 （A） （B） （C） （D） 2.設，其中是實數(shù)，則（A）（B）（C）（D）3.已知等差數(shù)列前9項的和為27，則 （A）100 （B）99 （C）98 （D）974.某公司的班車在7:00，8:00，8:30發(fā)車，小明在7:50至8:30之間到達發(fā)車站乘坐班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是（A） （B） （C） （D）5.已知方程表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4,則n的取值范圍是（A） （B） （C） （D）6.如圖,某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半徑.若該幾何體的體積是,則它的表面積是（A） （B） （C） （D）7.函數(shù)在的圖像大致為（A） （B）（C） （D）8.若,則（A） （B） （C） （D）9.執(zhí)行右面的程序框圖,如果輸入的,則輸出x,y的值滿足（A） （B） （C） （D）10.以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A、B兩點，交C的準線于D、E兩點.已知|AB|=,|DE|=,則C的焦點到準線的距離為(A)2 (B)4 (C)6 (D)8是否11.平面過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A,/平面CB1D1,平面ABCD=m,平面AB B1A1=n,則m、n所成角的正弦值為(A) (B) (C) (D)12.已知函數(shù) 為的零點,為圖像的對稱軸，且在單調(diào)，則的最大值為（A）11（B）9（C）7（D）5二、填空題：本大題共3小題,每小題5分13.設向量a=(m,1)，b=(1,2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，則m= 14.的展開式中，x3的系數(shù)是 （用數(shù)字填寫答案）15.設等比數(shù)列滿足a1+a3=10，a2+a4=5，則a1a2 an的最大值為 16.某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3個工時生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg，乙材料90kg，則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為 元三.解答題：解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.17.（本小題滿分為12分）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知 （I）求C；（II）若，的面積為，求的周長18.（本小題滿分為12分）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD，且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是（I）證明：平面ABEF平面EFDC；（II）求二面角E-BC-A的余弦值19.（本小題滿分12分）某公司計劃購買2臺機器,該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件,在購進機器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元.在機器使用期間,如果備件不足再購買,則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖：以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率,記表示2臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù),表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù).（I）求的分布列；（II）若要求,確定的最小值；（III）以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù),在與之中選其一,應選用哪個？20.（本小題滿分12分）設圓的圓心為A,直線l過點B（1,0）且與x軸不重合，l交圓A于C,D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E.（I）證明為定值，并寫出點E的軌跡方程；（II）設點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M,N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)有兩個零點.(I)求a的取值范圍； (II)設x1,x2是的兩個零點,證明：.請考生在22、23、24題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計分.22.（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖，OAB是等腰三角形，AOB=120.以O為圓心，OA為半徑作圓.(I)證明：直線AB與O相切；(II)點C，D在O上，且A，B，C，D四點共圓，證明：ABCD. 23.（本小題滿分10分）選修44：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系xy中，曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，a0）在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：=.（I）說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標方程；（II）直線C3的極坐標方程為，其中滿足tan=2，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a24.（本小題滿分10分）選修45：不等式選講已知函數(shù).（I）畫出的圖像；（II）求不等式的解集2016年高考全國1卷理科數(shù)學參考答案題號123456789101112答案DBCBAADCCBAB1.，故故選D2.由可知：，故，解得：所以，故選B3.由等差數(shù)列性質(zhì)可知：，故，而，因此公差故選C4.如圖所示，畫出時間軸：小明到達的時間會隨機的落在圖中線段中，而當他的到達時間落在線段或時，才能保證他等車的時間不超過10分鐘根據(jù)幾何概型，所求概率故選B5.表示雙曲線，則由雙曲線性質(zhì)知：，其中是半焦距焦距，解得故選A6.原立體圖如圖所示：是一個球被切掉左上角的后的三視圖表面積是的球面面積和三個扇形面積之和故選A7.，排除A，排除B時，當時，因此在單調(diào)遞減，排除C故選D8.對A：由于，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，A錯誤對B：由于，函數(shù)在上單調(diào)遞減，B錯誤對C：要比較和，只需比較和，只需比較和，只需和構造函數(shù)，則，在上單調(diào)遞增，因此又由得，C正確對D：要比較和，只需比較和而函數(shù)在上單調(diào)遞增，故又由得，D錯誤故選C9.如下表：循環(huán)節(jié)運行次數(shù)判斷是否輸出運行前01/1第一次否否第二次否否第三次是是輸出，滿足故選C10.以開口向右的拋物線為例來解答，其他開口同理設拋物線為，設圓的方程為，題目條件翻譯如圖：設，點在拋物線上，點在圓上，點在圓上，聯(lián)立解得：，焦點到準線的距離為故選B11.如圖所示：，若設平面平面，則又平面平面，結合平面平面，故同理可得：故、的所成角的大小與、所成角的大小相等，即的大小而（均為面對交線），因此，即故選A12.由題意知：則，其中在單調(diào)，接下來用排除法若，此時，在遞增，在遞減，不滿足在單調(diào)若，此時，滿足在單調(diào)遞減故選B13.-2 14.10 1564 16 21600013.由已知得：，解得14設展開式的第項為，當時，即故答案為1015.由于是等比數(shù)列，設，其中是首項，是公比，解得：故，當或時，取到最小值，此時取到最大值所以的最大值為6416設生產(chǎn)A產(chǎn)品件，B產(chǎn)品件，根據(jù)所耗費的材料要求、工時要求等其他限制條件，構造線性規(guī)則約束為 目標函數(shù)作出可行域為圖中的四邊形，包括邊界，頂點為在處取得最大值，17.解： 由正弦定理得：，由余弦定理得：周長為18解：(1)為正方形 面面平面平面由知平面平面平面平面面面四邊形為等腰梯形以為原點，如圖建立坐標系，設 ，設面法向量為.，即 設面法向量為.即 設二面角的大小為. 二面角的余弦值為19解： 每臺機器更換的易損零件數(shù)為8，9，10，11記事件為第一臺機器3年內(nèi)換掉個零件記事件為第二臺機器3年內(nèi)換掉個零件由題知，設2臺機器共需更換的易損零件數(shù)的隨機變量為，則的可能的取值為16，17，18，19，20，21，2216171819202122要令，則的最小值為19購買零件所需費用含兩部分，一部分為購買機器時購買零件的費用，另一部分為備件不足時額外購買的費用當時，費用的期望為當時，費用的期望為所以應選用20. (1)圓A整理為，A坐標，如圖，則，由，則所以E的軌跡為一個橢圓，方程為，()；設，因為，設，聯(lián)立得；則；圓心到距離，所以，21. （）（i）設，則，只有一個零點（ii）設，則當時，；當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增又，取滿足且，則，故存在兩個零點（iii）設，由得或若，則，故當時，因此在上單調(diào)遞增又當時，所以不存在兩個零點若，則，故當時，；當時，因此在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增又當時，所以不存在兩個零點綜上，的取值范圍為不妨設，由（）知，在上單調(diào)遞減，所以等價于，即.由于，而，所以.設，則.所以當時，而，故當時，.從而，故.22設圓的半徑為，作于 與相切方法一：假設與不平行與交于四點共圓由可知矛盾方法二：因為，因為所以為的中垂線上，同理所以的中垂線，所以23（均為參數(shù)）為以為圓心，為半徑的圓方程為 即為的極坐標方程兩邊同乘得 即：化為普通方程為由題意：和的公共方程所在直線即為得：，即為 24如圖所示：當，解得或當，解得或或當，解得或或綜上，或或，解集為