高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第一篇專(zhuān)題突破專(zhuān)題六解析幾何第3講圓錐曲線中的綜合問(wèn)題課件理.ppt

第3講 圓錐曲線中的綜合問(wèn)題,考情分析,總綱目錄,考點(diǎn)一 范圍、最值問(wèn)題,典型例題 (2017浙江,21,15分)如圖,已知拋物線x2=y,點(diǎn)A ,B ,拋物線上 的點(diǎn)P(x,y) .過(guò)點(diǎn)B作直線AP的垂線,垂足為Q. (1)求直線AP斜率的取值范圍; (2)求|PA|·|PQ|的最大值.,解析 (1)設(shè)直線AP的斜率為k,k= =x- , 因?yàn)? x ,所以直線AP斜率的取值范圍是(-1,1). (2)解法一:聯(lián)立方程得 解得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是xQ= . 因?yàn)閨PA|= = (k+1), |PQ|= (xQ-x)=- ,所以|PA|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3, 令f(k)=-(k-1)(k+1)3.因?yàn)閒 '(k)=-(4k-2)(k+1)2, 所以f(k)在區(qū)間 上單調(diào)遞增, 上單調(diào)遞減,因此當(dāng)k= 時(shí),|PA|·| PQ|取得最大值 . 解法二:如圖,連接BP,|AP|·|PQ|=|AP|·|PB|·cosBPQ= ·( - )= · - .,易知P(x,x2) , 則 · =2x+1+2x2- =2x2+2x+ , = + =x2+x+ +x4- x2 + =x4+ x2+x+ . |AP|·|PQ|=-x4+ x2+x+ . 設(shè)f(x)=-x4+ x2+x+ , 則f '(x)=-4x3+3x+1=-(x-1)(2x+1)2, f(x)在 上為增函數(shù),在 上為減函數(shù), f(x)max=f(1)= .,故|AP|·|PQ|的最大值為 .,方法歸納 求解范圍、最值問(wèn)題的五種方法 解決有關(guān)范圍、最值問(wèn)題時(shí),先要恰當(dāng)?shù)匾胱兞?如點(diǎn)的坐標(biāo)、角、 斜率等),建立目標(biāo)函數(shù),然后利用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)和方法求解. (1)利用判別式構(gòu)造不等式,從而確定參數(shù)的取值范圍; (2)利用已知參數(shù)的取值范圍,求新參數(shù)的范圍,解這類(lèi)問(wèn)題的核心是在 兩個(gè)參數(shù)之間建立相等關(guān)系; (3)利用隱含的不等關(guān)系,求出參數(shù)的取值范圍; (4)利用已知不等關(guān)系構(gòu)造不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍; (5)利用函數(shù)值域的求法,確定參數(shù)的取值范圍.,跟蹤集訓(xùn) (2017合肥第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))已知橢圓E: + =1(ab0)的兩焦點(diǎn) 與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等邊三角形,直線 + =1與橢圓E有且僅有 一個(gè)交點(diǎn)M. (1)求橢圓E的方程; (2)設(shè)直線 + =1與y軸交于P,過(guò)點(diǎn)P的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A, B,若| |2=|PA|·|PB|,求實(shí)數(shù)的取值范圍.,|PM|2=|PA|·|PB|= , 當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線l的方程為y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2), 由 消去y,得(3+4k2)x2+16kx+4=0, 依題意得,x1x2= ,且=48(4k2-1)0,k2 . |PA|·|PB|=(1+k2)x1x2=(1+k2)· =1+ = ,= , k2 , 1. 綜上所述,的取值范圍是 .,考點(diǎn)二 定點(diǎn)、定值問(wèn)題,典型例題 (2017課標(biāo)全國(guó),20,12分)已知橢圓C: + =1(ab0),四點(diǎn)P1(1,1),P2 (0,1),P3 ,P4 中恰有三點(diǎn)在橢圓C上. (1)求C的方程; (2)設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜 率的和為-1,證明:l過(guò)定點(diǎn).,因此 解得 故C的方程為 +y2=1. (2)證明:設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1,k2. 如果l與x軸垂直,設(shè)l:x=t,由題設(shè)知t0,且|t|2,可得A,B的坐標(biāo)分別為 , . 則k1+k2= - =-1,得t=2,不符合題設(shè). 從而可設(shè)l:y=kx+m(m1).將y=kx+m代入 +y2=1得,解析 (1)由于P3,P4兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),故由題設(shè)知C經(jīng)過(guò)P3,P4兩點(diǎn). 又由 + + 知,C不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1,所以點(diǎn)P2在C上.,(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0. 由題設(shè)可知=16(4k2-m2+1)0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=- ,x1x2= . 而k1+k2= + = + = , 由題設(shè)k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0. 即(2k+1)· +(m-1)· =0. 解得k=- .,當(dāng)且僅當(dāng)m-1時(shí),0,于是l:y=- x+m, 即y+1=- (x-2),所以l過(guò)定點(diǎn)(2,-1). 方法歸納 定點(diǎn)與定值問(wèn)題的求解策略 (1)解決動(dòng)直線恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的一般思路是設(shè)出直線y=kx+m(k存在的情 形),然后利用條件建立k與m的關(guān)系,借助于點(diǎn)斜式方程確定定點(diǎn)坐標(biāo). (2)定值的證明與探索一般是先利用特殊情形確定定值,再給出一般化 的證明或直接推證得出與參數(shù)無(wú)關(guān)的數(shù)值.在這類(lèi)試題中選擇消元的方 法是非常關(guān)鍵的.,跟蹤集訓(xùn) (2017寶雞質(zhì)量檢測(cè)(一)已知橢圓C: + =1(ab0)經(jīng)過(guò)(1,1)與 兩點(diǎn). (1)求橢圓C的方程; (2)過(guò)原點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),橢圓C上一點(diǎn)M滿足|MA|=|MB |.求證: + + 為定值.,解析 (1)將(1,1)與 代入橢圓C的方程, 得 解得 橢圓C的方程為 + =1. (2)證明:由|MA|=|MB|知M在線段AB的垂直平分線上,由橢圓的對(duì)稱(chēng)性知 A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng). 若點(diǎn)A、B是橢圓的短軸端點(diǎn),則點(diǎn)M是橢圓長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn),此時(shí) + + = + + =2 =2. 同理,若點(diǎn)A、B是橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn),則點(diǎn)M是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn),此時(shí),+ + = + + =2 =2. 若點(diǎn)A、B、M不是橢圓的頂點(diǎn),設(shè)直線l的方程為y=kx(k0),則直線 OM的方程為y=- x,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 由 解得 = , = , |OA|2=|OB|2= + = ,同理,|OM|2= , 所以 + + =2× + =2. 綜上, + + =2,為定值.,考點(diǎn)三 探索性問(wèn)題,典型例題 (2017武漢武昌調(diào)研考試)已知直線y=k(x-2)與拋物線:y2= x相交于A,B 兩點(diǎn),M是線段AB的中點(diǎn),過(guò)M作y軸的垂線交于點(diǎn)N. (1)證明:拋物線在點(diǎn)N處的切線與直線AB平行; (2)是否存在實(shí)數(shù)k使 · =0?若存在,求k的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 解析 (1)證明:由 消去y并整理,得2k2x2-(8k2+1)x+8k2=0, 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2= ,x1x2=4, xM= = ,yM=k(xM-2)=k = .,由題設(shè)條件可知,yN=yM= ,xN=2 = ,N . 設(shè)拋物線在點(diǎn)N處的切線l的方程為y- =m , 將x=2y2代入上式,得2my2-y+ - =0. 直線l與拋物線相切, =(-1)2-4×2m× = =0, m=k,即lAB. (2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)k,使 · =0,則NANB. M是AB的中點(diǎn),|MN|= |AB|. 由(1),得|AB|= |x1-x2|= · = ·,= · . MNy軸,|MN|=|xM-xN|= - = . = · ,解得k=± .故存在k=± ,使 · =0. 方法歸納 解決探索性問(wèn)題的注意事項(xiàng) 存在性問(wèn)題,先假設(shè)存在,推證滿足條件的結(jié)論,若結(jié)論正確,則存在,若結(jié) 論不正確,則不存在. (1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí),要分類(lèi)討論. (2)當(dāng)給出結(jié)論要求推導(dǎo)出存在的條件時(shí),先假設(shè)成立,再推出條件. (3)當(dāng)條件和結(jié)論都未知,按常規(guī)方法解題很難時(shí),要思維開(kāi)放,采取其他 的途徑.,跟蹤集訓(xùn) (2017蘭州診斷考試)已知橢圓C: + =1(ab0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)( ,1),且離心 率為 . (1)求橢圓C的方程; (2)設(shè)M,N是橢圓上的點(diǎn),直線OM與ON(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率之積為- . 若動(dòng)點(diǎn)P滿足 = +2 ,試探究是否存在兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2,使得|PF1|+| PF2|為定值.若存在,求F1,F2的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 解析 (1)e= , = ,可得 = , 又橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)( ,1), + =1, 解得a2=4,b2=2. 橢圓C的方程為 + =1. (2)設(shè)P(x,y),M(x1,y1),N(x2,y2),則由 = +2 得x=x1+2x2,y=y1+2y2, 點(diǎn)M,N在橢圓 + =1上, +2 =4, +2 =4, 故x2+2y2=( +4x1x2+4 )+2( +4y1y2+4 )=( +2 )+4( +2 )+4(x1x2+2y 1y2)=20+4(x1x2+2y1y2). kOM·kON= =- ,x1x2+2y1y2=0. x2+2y2=20,故點(diǎn)P是橢圓 + =1上的點(diǎn). 由橢圓的定義知存在點(diǎn)F1,F2滿足|PF1|+|PF2|=2 =4 ,為定值, 又|F1F2|=2 =2 , F1,F2的坐標(biāo)分別為(- ,0),( ,0). 隨堂檢測(cè) (2017東北四市高考模擬)已知橢圓C: +y2=1(a1),B1,B2分別是其上、 下頂點(diǎn),橢圓C的左焦點(diǎn)F1在以B1B2為直徑的圓上. (1)求橢圓C的方程; (2)過(guò)點(diǎn)F1且不與坐標(biāo)軸垂直的直線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn),線段AB的垂直 平分線與x軸交于點(diǎn)N,點(diǎn)N的橫坐標(biāo)的取值范圍是 ,求|AB|的取值,隨堂檢測(cè) (2017東北四市高考模擬)已知橢圓C: +y2=1(a1),B1,B2分別是其上、 下頂點(diǎn),橢圓C的左焦點(diǎn)F1在以B1B2為直徑的圓上. (1)求橢圓C的方程; (2)過(guò)點(diǎn)F1且不與坐標(biāo)軸垂直的直線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn),線段AB的垂直 平分線與x軸交于點(diǎn)N,點(diǎn)N的橫坐標(biāo)的取值范圍是 ,求|AB|的取值范圍.,解析 (1)由題知b=c=1, a= = ,橢圓的方程為 +y2=1. (2)設(shè)直線l:y=k(x+1),聯(lián)立方程得 消去y,得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,記A(x1,y1),B(x2,y2), 由根與系數(shù)的關(guān)系可得 則y1+y2=k(x1+x2+2)= , 設(shè)AB的中點(diǎn)為Q,則Q ,直線QN的方程:y- =- =- x- , N ,已知條件得- - 0,即02k21. |AB|= = , 02k21, 1, |AB| , |AB|的取值范圍為 .,