高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何第八節(jié)直線與圓錐曲線課件文.ppt

文數(shù) 課標(biāo)版,第八節(jié) 直線與圓錐曲線,1.直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷 判斷直線l與圓錐曲線r的位置關(guān)系時(shí),通常將直線l的方程Ax+By+C=0 (A,B不同時(shí)為0)與圓錐曲線r的方程F(x,y)=0聯(lián)立,消去y(也可以消去x) 得到一個(gè)關(guān)于變量x(或變量y)的方程,即聯(lián)立 消去y(或x) 后得ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).,教材研讀,(1)當(dāng)a0時(shí),若 0 ,則直線l與曲線r相交;若 =0 ,則直線l 與曲線r相切;若 0 ,則直線l與曲線r相離. (2)當(dāng)a=0時(shí),得到一個(gè)一次方程,則直線l與曲線r相交,且只有一個(gè)交點(diǎn), 此時(shí),若r為雙曲線,則直線l與雙曲線的 漸近線 平行;若r為拋物線, 則直線l與拋物線的 對(duì)稱軸 平行或重合.,直線l:f(x,y)=0,圓錐曲線r:F(x,y)=0,l與r有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2), 則A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組 的兩組解,方程組消元后化為 關(guān)于x(或y)的一元二次方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0),判別式=b2-4ac, 應(yīng)有0,所以x1,x2(或y1,y2)是方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0)的兩個(gè)根. 由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=- ,x1·x2= ,以此結(jié)合 弦長公式可整體代入求值.A、B兩點(diǎn)間的距離|AB|= |x1-x2| = · (其中k為直線l的斜率),也可以寫成關(guān)于y的形式, 即|AB|= |y1-y2| = · (k0).特殊地,如果,2.直線與圓錐曲線相交的弦長問題,直線l過拋物線的焦點(diǎn),拋物線方程以y2=2px(p0)為例,那么|AB|= x1+x2+p .,3.弦AB的中點(diǎn)與直線AB斜率的關(guān)系 (1)已知AB是橢圓 + =1(ab0)的一條弦,其中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,y0).運(yùn) 用點(diǎn)差法求直線AB的斜率,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2),A,B都在橢圓上, 兩式相減得 + =0, + =0, =- =- ,故kAB=- . (2)已知AB是雙曲線 - =1(a0,b0)的一條弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),x1x,2,弦中點(diǎn)M(x0,y0),則與(1)同理可知kAB= . (3)已知AB是拋物線y2=2px(p0)的一條弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),x1x2,弦中 點(diǎn)M(x0,y0). 則 兩式相減得 - =2p(x1-x2), (y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2), = = ,即kAB= .,判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”,錯(cuò)誤的打“×”) (1)直線l與拋物線y2=2px只有一個(gè)公共點(diǎn),則l與拋物線相切. (×) (2)若直線l與拋物線y2=2px相交,則一定有兩個(gè)公共點(diǎn). (×) (3)直線y=kx(k0)與雙曲線x2-y2=1一定相交. (×) (4)若直線與雙曲線相交,則一定有兩個(gè)公共點(diǎn). (×) (5)與雙曲線的漸近線平行的直線與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn). () (6)直線與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)直線與橢圓相切. (),1.直線y=kx-k+1與橢圓 + =1的位置關(guān)系為 ( ) A.相交 B.相切 C.相離 D.不確定 答案 A 由于直線y=kx-k+1=k(x-1)+1過定點(diǎn)(1,1),又(1,1)在橢圓內(nèi),故 直線與橢圓必相交.,2.直線y= x+3與雙曲線 - =1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是 ( ) A.1 B.2 C.1或2 D.0 答案 A 因?yàn)橹本€y= x+3與雙曲線的漸近線y= x平行,所以它與雙 曲線只有1個(gè)交點(diǎn).,3.雙曲線C: - =1(a0,b0)的右焦點(diǎn)為F,直線l過焦點(diǎn)F,且斜率為k,則 直線l與雙曲線C的左,右兩支都相交的充要條件是 ( ) A.k- B.k 或k- D.- k 答案 D 由雙曲線的漸近線的幾何意義知- k .,4.過點(diǎn)(0,1)作直線,使它與拋物線y2=4x僅有一個(gè)公共點(diǎn),這樣的直線有 條. 答案 3 解析 當(dāng)過點(diǎn)(0,1)的直線的斜率不存在時(shí),方程為x=0,與拋物線y2=4x 僅有一個(gè)公共點(diǎn),符合題意. 當(dāng)過點(diǎn)(0,1)的直線的斜率存在時(shí),設(shè)為k,此時(shí)直線為y=kx+1,由 得k2x2+(2k-4)x+1=0, (*),當(dāng)k=0時(shí),方程(*)只有一解,即直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn),符合題意, 當(dāng)k0時(shí),由=(2k-4)2-4k2=0,解得k=1,即直線y=x+1與拋物線相切,綜上, 符合條件的直線有3條.,考點(diǎn)一 直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判定及應(yīng)用 典例1 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C1: + =1(ab0)的左焦 點(diǎn)為F1(-1,0),且點(diǎn)P(0,1)在C1上. (1)求橢圓C1的方程; (2)設(shè)直線l同時(shí)與橢圓C1和拋物線C2:y2=4x相切,求直線l的方程. 解析 (1)由題意得a2-b2=1,b=1,則a= , 橢圓C1的方程為 +y2=1. (2)易得直線l的斜率存在且不為零,則可設(shè)l的方程為y=kx+b(k0).,考點(diǎn)突破,由 消去y整理得(1+2k2)x2+4kbx+2b2-2=0,1=16k2b2-8(b2-1)(2k2+ 1)=16k2+8-8b2=0,即b2=2k2+1. 由 消去y整理得k2x2+(2kb-4)x+b2=0,2=(2kb-4)2-4k2b2=16-16kb=0,即kb=1, ,由得b= ,代入得 =2k2+1,即2k4+k2-1=0. 令t=k2,則2t2+t-1=0,解得t1= 或t2=-1(舍), 或 l的方程為y= x+ 或y=- x- .,方法技巧 (1)判斷直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí),可直接求解相應(yīng)方程組得到交 點(diǎn)坐標(biāo),也可利用消元后的一元二次方程根的判別式來確定,需注意利 用判別式的前提是二次項(xiàng)系數(shù)不為0. (2)依據(jù)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)時(shí),聯(lián)立方程并消元,得到一 元方程,此時(shí)注意觀察方程的二次項(xiàng)系數(shù)是否為0,若為0,則方程為一次 方程;若不為0,則將方程解的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為判別式與0的大小關(guān)系求解.,1-1 若直線y=kx+2與雙曲線x2-y2=6的右支交于不同的兩點(diǎn),那么k的取 值范圍為 ( ) A. B. C. D.,答案 D 由 消去y,得(1-k2)x2-4kx-10=0, 直線與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn), 解得- k-1.,考點(diǎn)二 弦長問題 典例2 (2016課標(biāo)全國,21,12分)已知A是橢圓E: + =1的左頂點(diǎn), 斜率為k(k0)的直線交E于A,M兩點(diǎn),點(diǎn)N在E上,MANA. (1)當(dāng)|AM|=|AN|時(shí),求AMN的面積; (2)當(dāng)2|AM|=|AN|時(shí),證明: 0. 由已知及橢圓的對(duì)稱性知,直線AM的傾斜角為 . 又A(-2,0),因此直線AM的方程為y=x+2.,將x=y-2代入 + =1得7y2-12y=0. 解得y=0或y= ,所以y1= . 因此AMN的面積SAMN=2× × × = . (2)證明:將直線AM的方程y=k(x+2)(k0)代入 + =1得,(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0. 由x1·(-2)= 得x1= , 故|AM|=|x1+2| = . 由題設(shè),直線AN的方程為y=- (x+2), 故同理可得|AN|= .,設(shè)f(t)=4t3-6t2+3t-8,則k是f(t)的零點(diǎn), f '(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)20,所以f(t) 在(0,+)內(nèi)單調(diào)遞增. 又f( )=15 -260,因此f(t)在(0,+)內(nèi)有唯一的零點(diǎn),且零點(diǎn) k在( ,2)內(nèi),所以 k2.,由2|AM|=|AN|得 = ,即4k3-6k2+3k-8=0.,方法技巧 弦長的求解 (1)當(dāng)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)易求時(shí),可直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求解. (2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí),斜率為k的直線l與圓錐曲線C相交于A(x1,y1), B(x2,y2)兩個(gè)不同的點(diǎn),則弦長|AB|= = |x1-x2|= |y1-y2|(k0). (3)當(dāng)弦過焦點(diǎn)時(shí),可結(jié)合焦半徑公式求解弦長.,2-1 (2016貴州貴陽摸底)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓 + =1 (ab0)的離心率為 ,過橢圓右焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的弦AB與CD.當(dāng) 直線AB的斜率為0時(shí),AB=4. (1)求橢圓的方程; (2)若|AB|+|CD|= ,求直線AB的方程.,將直線AB的方程代入橢圓方程中并整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0, 則x1+x2= ,x1·x2= , 所以|AB|= |x1-x2| = · = . 同理,|CD|= = , 所以|AB|+|CD|= + = = ,解得k=±1, 所以直線AB的方程為x-y-1=0或x+y-1=0.,考點(diǎn)三 中點(diǎn)弦問題 典例3 (2016福建福州質(zhì)檢)拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,直線x -y=0與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),若P(1,1)為線段AB的中點(diǎn),則拋物線C的方 程為 ( ) A.y=2x2 B.y2=2x C.x2=2y D.y2=-2x 答案 B 解析 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),拋物線方程為y2=2px(p0),則 兩式相 減可得2p= ×(y1+y2)=kAB×2=2,可得p=1, 拋物線C的方程為y2=2x.,方法技巧 處理中點(diǎn)弦問題的常用方法 (1)點(diǎn)差法:即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)后,代入圓錐曲線方程,并將兩式相減, 式中含有x1+x2,y1+y2, 三個(gè)未知量,這樣就直接聯(lián)系了中點(diǎn)和直線 的斜率,借用中點(diǎn)公式即可求得斜率. (2)根與系數(shù)的關(guān)系:即聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程,將其轉(zhuǎn)化為一元二 次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解.,3-1 已知拋物線y=x2上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)M,N關(guān)于直線l:y=-kx+ 對(duì)稱, 求k的取值范圍. 解析 解法一:由題意知k0,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),MN的方程為y= x+b(b 0),代入y=x2,得x2- x-b=0, 所以= +4b0, x1+x2= . 設(shè)MN中點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0,y0),則x0= ,y0= +b, 因?yàn)?x0,y0)在直線l:y=-kx+ 上, 所以 +b=-k· + ,所以b=4- .,將代入,得 +16- 0, 所以 ,所以k 或k ,即4 ,所以k2 ,即k 或k- , 故k的取值范圍為 .,