高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何第三節(jié)圓的方程課件文.ppt

文數(shù) 課標(biāo)版,第三節(jié) 圓的方程,1.圓的定義 在平面內(nèi),到 定點 的距離等于 定長 的點的 集合 叫做 圓.,教材研讀,2.確定一個圓最基本的要素是 圓心 和 半徑 .,3.圓的標(biāo)準方程 (x-a)2+(y-b)2=r2(r0),其中 (a,b) 為圓心, r 為半徑.,5.確定圓的方程的方法和步驟 確定圓的方程的主要方法是待定系數(shù)法,大致步驟如下: (1)根據(jù)題意,選擇標(biāo)準方程或一般方程; (2)根據(jù)條件列出關(guān)于a,b,r或D,E,F的方程組; (3)解出a,b,r或D,E,F,代入標(biāo)準方程或一般方程.,6.點與圓的位置關(guān)系 點與圓的位置關(guān)系有三種:(圓的標(biāo)準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,點為(x0,y0) (1)點在圓上: (x0-a)2+(y0-b)2=r2 ; (2)點在圓外: (x0-a)2+(y0-b)2r2 ; (3)點在圓內(nèi): (x0-a)2+(y0-b)2r2 .,判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”,錯誤的打“×”) (1)已知點A(x1,y1),B(x2,y2),則以AB為直徑的圓的方程是(x-x1)(x-x2)+ (y-y1)(y-y2)=0. () (2)方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是A=C0,B=0,D2+ E2-4AF0. () (3)方程x2+2ax+y2=0一定表示圓. (×) (4)(x-2)2+(y+1)2=a2(a0)表示以(2,1)為圓心,a為半徑的圓. (×) (5)圓x2+2x+y2+y=0的圓心是 . (×) (6)若點M(x0,y0)在圓x2+y2+Dx+Ey+F=0外,則 + +Dx0+Ey0+F0. (×),1.圓心坐標(biāo)為(1,1)且過原點的圓的方程是 ( ) A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2 答案 D 由題意得圓的半徑為 ,故該圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=2,故 選D.,2.圓x2+y2-4x+6y=0的圓心坐標(biāo)是 ( ) A.(2,3) B.(-2,3) C.(-2,-3) D.(2,-3) 答案 D 圓的方程可化為(x-2)2+(y+3)2=13,所以圓心坐標(biāo)是(2,-3).,3.點(2a,a-1)在圓x2+(y-1)2=5的內(nèi)部,則a的取值范圍是 ( ) A.-1a1 B.0a1 C.-1a D.- a1 答案 D 由(2a)2+(a-2)25得- a1.,4.已知點A(-1, ),B(1,- ),則以線段AB為直徑的圓的方程是 ( ) A.x2+y2=2 B.x2+y2= C.x2+y2=1 D.x2+y2=4 答案 D AB的中點坐標(biāo)為(0,0).由題意知,AB的中點為圓心,|AB|= =4,圓的方程為x2+y2= =4.,5.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圓,則a的取值范圍是 . 答案 解析 方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0可化為 +(y+a)2=- a2-a+1, 因為該方程表示圓,所以- a2-a+10, 即3a2+4a-40,所以-2a .,考點一 求圓的方程 典例1 (1)(2015課標(biāo),7,5分)過三點A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圓交y軸于 M,N兩點,則|MN|= ( ) A.2 B.8 C.4 D.10 (2)圓心在直線y=-x+1上,且與直線x+y-2=0相切于點(1,1)的圓的方程為 . 答案 (1)C (2) + =,考點突破,解析 (1)設(shè)圓心為P(a,b),由點A(1,3),C(1,-7)在圓上,知b= =-2.再由| PA|=|PB|,得a=1.則P(1,-2),|PA|= =5,于是圓P的方程為(x- 1)2+(y+2)2=25.令x=0,得y=-2±2 ,則|MN|=|(-2+2 )-(-2-2 )|=4 . (2)解法一(幾何法):因為圓心在過點(1,1)且與切線垂直的直線上,所以圓 心在直線y-1=x-1,即x-y=0上. 又已知圓心在直線y=-x+1上,故聯(lián)立 解得 故圓心坐標(biāo)是 . 所以半徑r= =,. 故所求圓的方程為 + = . 解法二(待定系數(shù)法):設(shè)圓的標(biāo)準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,則 解得 所以r= =,. 故所求圓的方程為 + = .,1.求圓的方程的兩種方法 (1)直接法:根據(jù)圓的幾何性質(zhì),直接求出圓心坐標(biāo)和半徑,進而寫出方程. (2)待定系數(shù)法:若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關(guān),則設(shè)圓的標(biāo)準方 程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于a,b,r的方程組,從而求出a,b,r的值; 若已知條件沒有明確給出圓心或半徑,則選擇設(shè)圓的一般方程,依據(jù) 已知條件列出關(guān)于D,E,F的方程組,進而求出D,E,F的值.,方法指導(dǎo),2.確定圓心位置的方法 (1)圓心在過切點且與切線垂直的直線上; (2)圓心在圓的任意弦的垂直平分線上; (3)兩圓相切時,切點與兩圓圓心共線.,1-1 若圓C的半徑為1,圓心在第一象限,且與直線4x-3y=0和x軸都相切, 則該圓的標(biāo)準方程是 ( ) A.(x-2)2+(y-1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=1 C.(x+2)2+(y-1)2=1 D.(x-3)2+(y-1)2=1 答案 A 由于圓C的半徑為1,圓心在第一象限且與x軸相切,故設(shè)圓心 為(a,1)(a0),又由圓與直線4x-3y=0相切可得 =1,解得a=2(舍負), 故圓的標(biāo)準方程為(x-2)2+(y-1)2=1.,1-2 求經(jīng)過點A(5,2),B(3,-2),且圓心在直線2x-y-3=0上的圓的方程. 解析 解法一:圓過A(5,2),B(3,-2)兩點, 圓心一定在線段AB的垂直平分線上. 易知線段AB的垂直平分線的方程為y=- (x-4). 設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為C(a,b),則有 解得 C(2,1),r=|CA|= = , 所求圓的方程為(x-2)2+(y-1)2=10. 解法二:設(shè)圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,則 解得 所求圓的方程為(x-2)2+(y-1)2=10.,解法三:設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0), 則 解得D=-4,E=-2,F=-5,所求圓的方程為x2+y2-4x-2y-5=0.,考點二 與圓有關(guān)的最值問題 典例2 (1)已知點A(-1,0),B(0,2),點P是圓(x-1)2+y2=1上任意一點,則 PAB面積的最大值與最小值分別是 ( ) A.2, (4- ) B. (4+ ), (4- ) C. ,4- D. ( +2), ( -2),(2)若實數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0,則 的最大值為 ,最小值 為 . 答案 (1)B (2) ;- 解析 (1)由題意知|AB|= = , lAB:2x-y+2=0, 由題易知圓心坐標(biāo)為(1,0), 圓心到直線lAB的距離d= = = . SPAB的最大值為 × × = (4+ ), SPAB的最小值為 × × = (4- ).,(2)原方程可化為(x-2)2+y2=3. = , 表示點P(-1,0)與圓(x-2)2+y2=3上的點(x,y)的連線的斜率.如圖. 由圖知 的最大值和最小值分別是過P與圓相切的直線PA、PB的斜,率.易知|PB|=|PA|= = , kPA= = = , kPB=- =- =- , 的最大值為 ,最小值為- .,方法技巧 1.與圓的幾何性質(zhì)有關(guān)的最值 (1)記O為圓心,圓外一點A到圓上距離的最小值為|AO|-r,最大值為|AO| +r; (2)過圓內(nèi)一點的弦最長的為圓的直徑,最短的為以該點為中點的弦; (3)記圓心到直線的距離為d,若直線與圓相離,則圓上點到直線的最大距 離為d+r,最小距離為d-r; (4)過兩定點的所有圓中,面積最小的是以這兩個定點為直徑端點的圓.,2.與圓上點(x,y)有關(guān)的最值 (1)形如 形式的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題; (2)形如t=ax+by形式的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題,也可 用三角代換求解; (3)形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動點到定點距離的平方 的最值問題.,變式2-1 在本例(2)的條件下,求y-x的最大值和最小值. 解析 y-x可看作是直線y=x+b在y軸上的截距,當(dāng)直線y=x+b與圓相切時, 縱截距b取得最大值或最小值,此時 = ,解得b=-2± . 所以y-x的最大值為-2+ ,最小值為-2- .,變式2-2 在本例(2)的條件下,求x2+y2的最大值和最小值. 解析 x2+y2表示圓上的一點與原點距離的平方,由平面幾何知識知,過 原點和圓心的直線與圓有兩個交點,在兩個交點處取得最大值和最小 值. 又圓心到原點的距離為 =2. 所以x2+y2的最大值是(2+ )2=7+4 , x2+y2的最小值是(2- )2=7-4 .,考點三 與圓有關(guān)的軌跡問題 典例3 已知A(2,0)為圓x2+y2=4上一定點,B(1,1)為圓內(nèi)一點,P,Q為圓上 的動點. (1)求線段AP中點的軌跡方程(P與A不重合); (2)若PBQ=90°,求線段PQ中點的軌跡方程. 解析 (1)設(shè)AP的中點為M(x,y),由中點坐標(biāo)公式可知,P點坐標(biāo)為(2x-2,2 y). 因為P點在圓x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4. 故線段AP中點的軌跡方程為(x-1)2+y2=1(x2). (2)設(shè)PQ的中點為N(x,y), 在RtPBQ中,|PN|=|BN|,設(shè)O為坐標(biāo)原點,連接ON,則ONPQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2, 所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4. 故線段PQ中點的軌跡方程為x2+y2-x-y-1=0. 方法技巧 求與圓有關(guān)的軌跡問題時,根據(jù)題設(shè)條件的不同采用以下方法:(1)直接 法:直接根據(jù)題設(shè)給定的條件列出方程;(2)定義法:根據(jù)圓的定義列方程; (3)幾何法:利用圓的幾何性質(zhì)列方程;(4)代入法:找出要求的點與已知點 的關(guān)系,代入已知點滿足的關(guān)系式.,3-1 已知定點M(-3,4),動點N在圓x2+y2=4上運動,點O是坐標(biāo)原點,以 OM、ON為邊作平行四邊形MONP,求動點P的軌跡. 解析 四邊形MONP為平行四邊形, = + . 設(shè)點P(x,y),點N(x0,y0),則 = - =(x,y)-(-3,4)=(x+3,y-4)=(x0,y0), x0=x+3,y0=y-4. 又點N在圓x2+y2=4上運動, + =4,即(x+3)2+(y-4)2=4. 又當(dāng)OM與ON共線時,O、M、N、P構(gòu)不成平行四邊形, 故動點P的軌跡是圓(x+3)2+(y-4)2=4且除去兩點 和 .,