高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何第七節(jié)拋物線課件文.ppt

文數(shù) 課標(biāo)版,第七節(jié) 拋物線,1.拋物線的概念 平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)距離 相等 的點(diǎn) 的軌跡叫做拋物線.點(diǎn)F叫做拋物線的 焦點(diǎn) .直線l叫做拋物線的 準(zhǔn)線 .,教材研讀,2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì),判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”,錯(cuò)誤的打“×”) (1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋 物線. (×) (2)拋物線y=4x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0). (×) (3)若一拋物線過點(diǎn)P(2,3),其標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為y2=2px(p0)或x2=2py(p0). () (4)拋物線既是中心對(duì)稱圖形,又是軸對(duì)稱圖形. (×) (5)過拋物線的焦點(diǎn)與拋物線對(duì)稱軸垂直的直線被拋物線截得的線段叫 做拋物線的通徑,那么拋物線x2=-2ay(a0)的通徑長(zhǎng)為2a. (),1.若點(diǎn)P到點(diǎn)F(0,2)的距離比它到直線y+4=0的距離小2,則P的軌跡方程 為 ( ) A.y2=8x B.y2=-8x C.x2=8y D.x2=-8y 答案 C P到F(0,2)的距離比它到直線y+4=0的距離小2,因此P到F(0,2) 的距離與它到直線y+2=0的距離相等,故P的軌跡是以F為焦點(diǎn),y=-2為準(zhǔn) 線的拋物線,所以P的軌跡方程為x2=8y.,2.拋物線y=2x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 ( ) A. B. C. D. 答案 C 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2= y,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)是 .,3.拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),準(zhǔn)線方程為x=-2,則拋物線方程是 ( ) A.y2=-8x B.y2=-4x C.y2=8x D.y2=4x 答案 C 由拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),準(zhǔn)線方程為x=-2,知p=4,且開口向右, 故拋物線方程為y2=8x.,4.若拋物線y=4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離為1,則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是 ( ) A. B. C. D.0 答案 B 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2= y,M到準(zhǔn)線的距離等于M到焦點(diǎn)的 距離,又準(zhǔn)線方程為y=- , 設(shè)M(x,y),則y+ =1,y= .,5.已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱,它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O,并且經(jīng)過點(diǎn)M(2,y0). 若點(diǎn)M到該拋物線焦點(diǎn)F的距離為3,則|OM|= . 答案 2 解析 由題意可設(shè)拋物線方程為y2=2px(p0). 由|MF|= +2=3得p=2, 拋物線方程為y2=4x. 點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,±2 ), |OM|= =2 .,考點(diǎn)一 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì) 典例1 (1)(2015陜西,3,5分)已知拋物線y2=2px(p0)的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)(-1,1), 則該拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ( ) A.(-1,0) B.(1,0) C.(0,-1) D.(0,1) (2)若拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),開口向上,F為焦點(diǎn),M為準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn),A 為拋物線上一點(diǎn),且|AM|= ,|AF|=3,則此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 . 答案 (1)B (2)x2=8y或x2=4y 解析 (1)拋物線y2=2px(p0)的準(zhǔn)線方程為x=- , 由題設(shè)知- =-1,即 =1,考點(diǎn)突破,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0).故選B. (2)設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=2py(p0),A(x1,y1),則F ,M , 則 p=4或p=2. 故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=8y或x2=4y.,方法技巧 (1)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種不同的形式,要掌握焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離,頂 點(diǎn)到準(zhǔn)線、焦點(diǎn)的距離,通徑長(zhǎng)與標(biāo)準(zhǔn)方程中系數(shù)2p的關(guān)系. (2)求標(biāo)準(zhǔn)方程要先確定形式,必要時(shí)要進(jìn)行分類討論,標(biāo)準(zhǔn)方程有時(shí)可 設(shè)為y2=mx或x2=my(m0). (3)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離簡(jiǎn)稱為焦準(zhǔn)距,拋物線y2=2px(p0)上的點(diǎn)常設(shè)為 .,1-1 已知直線l過拋物線C的焦點(diǎn),且與C的對(duì)稱軸垂直,l與C交于A,B兩 點(diǎn),|AB|=12,P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn),則ABP的面積為 ( ) A.18 B.24 C.36 D.48 答案 C 不妨設(shè)拋物線方程為y2=2px(p0). 當(dāng)x= 時(shí),|y|=p,p= = =6. 又P到直線AB的距離為p, SABP= ×12×6=36.,1-2 若拋物線的焦點(diǎn)為直線3x-4y-12=0與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),求拋物線的標(biāo) 準(zhǔn)方程. 解析 對(duì)于直線方程3x-4y-12=0,令x=0,得y=-3,令y=0,得x=4,所以拋物線 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-3)或(4,0). 當(dāng)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-3)時(shí),設(shè)方程為x2=-2py(p0),則 =3,所以p=6,此時(shí)拋物 線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-12y; 當(dāng)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)時(shí),設(shè)方程為y2=2px(p0),則 =4, 所以p=8,此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=16x. 所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-12y或y2=16x.,考點(diǎn)二 拋物線的定義及其應(yīng)用 典例2 (1)(2016江西贛州模擬)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,2),F是拋物線y2=2x的 焦點(diǎn),點(diǎn)M在拋物線上移動(dòng)時(shí),使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐標(biāo)為 ( ) A.(0,0) B. C.(1, ) D.(2,2) (2)已知M是拋物線x2=4y上一點(diǎn),F為其焦點(diǎn),點(diǎn)A在圓C:(x+1)2+(y-5)2=1 上,則|MA|+|MF|的最小值是 . (3)已知直線l1:4x-3y+6=0和直線l2:x=-1,拋物線y2=4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1 和直線l2的距離之和的最小值是 .,答案 (1)D (2)5 (3)2 解析 (1)過M點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線,垂足是N,則|MF|+|MA|=|MN|+|MA|, 當(dāng)A,M,N三點(diǎn)共線時(shí),|MF|+|MA|取得最小值,此時(shí)M(2,2). (2)依題意,由點(diǎn)M向拋物線x2=4y的準(zhǔn)線l:y=-1引垂線,垂足為M1,則有|MA| +|MF|=|MA|+|MM1|,結(jié)合圖形可知|MA|+|MM1|的最小值等于圓心C(-1,5) 到y(tǒng)=-1的距離再減去圓C的半徑,即等于6-1=5,因此|MA|+|MF|的最小值 是5. (3)易知l2:x=-1是拋物線y2=4x的準(zhǔn)線,設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0),則動(dòng)點(diǎn)P 到l2的距離等于|PF|,則動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值為焦 點(diǎn)F到直線l1:4x-3y+6=0的距離,所以最小值是 =2.,方法指導(dǎo) 與拋物線有關(guān)的最值問題,一般情況下都與拋物線的定義有關(guān).由于拋 物線的定義在運(yùn)用上有較大的靈活性,因此此類問題也有一定的難度. “看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn),看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線”,這是解決拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)問 題的重要途徑.,2-1 (2014課標(biāo),10,5分)已知拋物線C:y2=x的焦點(diǎn)為F,A(x0,y0)是C上一 點(diǎn),|AF|= x0,則x0= ( ) A.1 B.2 C.4 D.8 答案 A 由y2=x得2p=1,即p= ,因此焦點(diǎn)F ,準(zhǔn)線方程為l:x=- ,設(shè) 點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離為d,由拋物線的定義可知d=|AF|,從而x0+ = x0,解得x0 =1,故選A.,2-2 已知點(diǎn)P是拋物線y2=2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與點(diǎn) P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為( ) A. B.3 C. D. 答案 A 易知拋物線y2=2x的焦點(diǎn)為F ,由拋物線的定義知點(diǎn)P到 焦點(diǎn)F的距離等于它到準(zhǔn)線的距離,因此要求點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與點(diǎn)P 到拋物線的準(zhǔn)線的距離之和的最小值,可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距 離與點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離之和的最小值,結(jié)合圖形不難得出相應(yīng)的最小 值就等于焦點(diǎn)F到點(diǎn)(0,2)的距離.因此所求的最小值等于 = ,選A.,2-3 (2014湖南,15,5分)如圖,正方形ABCD和正方形DEFG的邊長(zhǎng)分別 為a,b(a0)經(jīng)過C,F兩點(diǎn),則 = . 答案 1+ 解析 由題意知|OD|= ,|DE|=b,|DC|=a,|EF|=b,故C ,F , 又拋物線y2=2px(p0)經(jīng)過C、F兩點(diǎn), -2· -1=0, 又 1, =1+ .,考點(diǎn)三 焦點(diǎn)弦問題 典例3 已知過拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn),斜率為2 的直線交拋物線 于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)兩點(diǎn),且|AB|=9. (1)求該拋物線的方程; (2)O為坐標(biāo)原點(diǎn),C為拋物線上一點(diǎn),若 = + ,求的值.,(2)由p=4,4x2-5px+p2=0可簡(jiǎn)化為x2-5x+4=0,又x1x2, 從而x1=1,x2=4,y1=-2 ,y2=4 , 從而A(1,-2 ),B(4,4 ). 設(shè) =(x3,y3)=(1,-2 )+(4,4 )=(4+1,4 -2 ), 又 =8x3, 即2 (2-1)2=8(4+1), 即(2-1)2=4+1,解得=0或=2.,方法指導(dǎo) 求拋物線焦點(diǎn)弦的三種方法: 定義法:|AB|=x1+x2+p; 傾斜角法:|AB|= (為AB的傾斜角); 斜率法:|AB|= ×2p(k為AB的斜率).,3-1 設(shè)拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B 兩點(diǎn),點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上,且BCx軸.證明:直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O. 證明 設(shè)AB:x=my+ ,代入y2=2px,得y2-2pmy-p2=0. 由根與系數(shù)的關(guān)系,得yAyB=-p2,即yB=- . BCx軸,且C在準(zhǔn)線x=- 上,C , 則kOC= = = = =kOA, 直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O.,考點(diǎn)四 直線與拋物線的位置關(guān)系 典例4 已知拋物線y2=2px(p0),過點(diǎn)C(-2,0)的直線l交拋物線于A、B兩 點(diǎn),坐標(biāo)原點(diǎn)為O, · =12. (1)求拋物線的方程; (2)當(dāng)以|AB|為直徑的圓與y軸相切時(shí),求直線l的方程. 解析 (1)顯然直線l的斜率存在. 設(shè)l:x=my-2,代入y2=2px中,得y2-2pmy+4p=0. (*) 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=2pm,y1y2=4p, 則x1x2= =4. 因?yàn)?· =12,所以x1x2+y1y2=12,即4+4p=12, 解得p=2,故拋物線的方程為y2=4x. (2)由(1)可得y1+y2=4m,y1y2=8,設(shè)AB的中點(diǎn)為M,則|AB|=2xM=x1+x2=m(y1+y2)-4=4m2-4, 又|AB|= |y1-y2|= , ,由得(1+m2)(16m2-32)=(4m2-4)2, 解得m2=3,即m=± , 所以直線l的方程為x+ y+2=0或x- y+2=0.,方法指導(dǎo) (1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似, 一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系. (2)有關(guān)直線與拋物線相交的弦長(zhǎng)問題,要注意直線是否過拋物線的焦 點(diǎn),若過拋物線的焦點(diǎn),可直接使用公式|AB|=|xA|+|xB|+p或|AB|=|yA|+|yB|+p, 若不過焦點(diǎn),則必須用一般弦長(zhǎng)公式. (3)涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時(shí),一般利用根與系數(shù) 的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體代入”等解法. 提醒涉及弦的中點(diǎn)、斜率時(shí)一般用“點(diǎn)差法”求解.,4-1 已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn). (1)若 =2 ,求直線AB的斜率; (2)設(shè)點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動(dòng),原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)為C,求四邊形 OACB面積的最小值. 解析 (1)依題意知F(1,0),設(shè)直線AB的方程為x=my+1. 將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立,消去x得y2-4my-4=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),所以y1+y2=4m,y1y2=-4, 因?yàn)?=2 , 所以y1=-2y2. 聯(lián)立和,消去y1,y2,得m=± . 所以直線AB的斜率是±2 . (2)由點(diǎn)C與原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱,得M是線段OC的中點(diǎn), 從而點(diǎn)O與點(diǎn)C到直線AB的距離相等,所以四邊形OACB的面積等于2S AOB.,因?yàn)?SAOB=2× ·|OF|·|y1-y2|= =4 ,所以當(dāng)m=0時(shí),四 邊形OACB的面積最小,最小值為4.,