高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 8.1直線的傾斜角與斜率、直線的方程課件 .ppt

第八章 平面解析幾何 第一節(jié) 直線的傾斜角與斜率、直線的方程,【知識(shí)梳理】 1.表示直線方向的兩個(gè)量 (1)直線的傾斜角: 定義:,相交,x軸,平行,重合,0°,范圍:0,). (2)直線的斜率: 定義:若直線的傾斜角不是90°,則其斜率k=_; 計(jì)算公式:若由A(x1,y1),B(x2,y2)確定的直線不垂直于x軸, 則k=_.,tan,2.兩直線的平行、垂直與其斜率的關(guān)系,k1=k2,k1k2=-1,3.直線方程的五種形式,y-y1=k(x-x1),y=kx+b,Ax+By+C=0,(A2+B20),【考點(diǎn)自測(cè)】 1.(思考)給出下列命題: 根據(jù)直線的傾斜角的大小不能確定直線的位置; 坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角與斜率; 當(dāng)直線l1和l2斜率都存在時(shí),若k1=k2,則l1l2; 在平面直角坐標(biāo)系下,任何直線都有點(diǎn)斜式方程; 任何直線方程都能寫(xiě)成一般形式. 其中正確的是( ) A. B. C. D.,【解析】選B.正確.直線的傾斜角僅反映直線相對(duì)于x軸的傾斜程度,不能確定直線的位置.錯(cuò)誤.當(dāng)直線的傾斜角為90°時(shí),其斜率不存在.錯(cuò)誤.當(dāng)k1=k2時(shí),兩直線可能平行,也可能重合.錯(cuò)誤.當(dāng)直線與x軸垂直(斜率不存在)時(shí),不能用點(diǎn)斜式方程表示.正確.無(wú)論依據(jù)哪種形式求解,最后直線方程都能寫(xiě)成一般形式.,2.若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一條直線,則參數(shù)m滿足的條件是( ) A.m B.m0 C.m0且m1 D.m1 【解析】選D.由 得m=1, 故當(dāng)m1時(shí),方程表示一條直線.,3.斜率為2的直線經(jīng)過(guò)A(3,5),B(a,7),C(-1,b)三點(diǎn),則a,b的值分別為 和 . 【解析】由已知條件得 解得a=4; 解得b=-3. 答案:4 -3,4.若圖中直線l1,l2,l3的斜率分別為k1,k2,k3,則k1,k2,k3的大小關(guān)系為 .,【解析】由斜率的定義及圖象可知:k10,k30,再由正切函數(shù)的單調(diào)性知:k3k2,因此k1k3k2. 答案:k1k3k2,5.若直線x-2y+5=0與直線2x+my-6=0互相垂直,則實(shí)數(shù)m= . 【思路點(diǎn)撥】利用直線與直線垂直的充要條件:A1A2+B1B2=0來(lái)列方程求解. 【解析】由1×2-2m=0可得m=1. 答案:1,考點(diǎn)1 直線的傾斜角與斜率 【典例1】(1)直線x+(a2+1)y+1=0(aR)的傾斜角的取值范圍是( ) (2)已知點(diǎn)A(2,-3),B(-3,-2),直線l過(guò)點(diǎn)P(1,1)且與線段AB有交點(diǎn),則直線l的斜率k的取值范圍為 .,【解題視點(diǎn)】(1)先求出斜率,再求傾斜角的范圍. (2)先確定直線PA,PB的斜率,再數(shù)形結(jié)合求解;或先寫(xiě)出直線l的方程,再依據(jù)A,B兩點(diǎn)在直線l的不同側(cè)(或A,B之一在直線l上)求解.,【規(guī)范解答】 (1)選B.因?yàn)橹本€方程為x+(a2+1)y+1=0,所以直線的斜率 故k-1,0),由正切函數(shù)圖象知傾斜角 (2)方法一:因?yàn)锳(2,-3), B(-3,-2),P(1,1), 所以,如圖所示:,因此,直線l的斜率k的取值范圍為k-4或 或k不存在.,方法二:當(dāng)直線l的斜率k不存在時(shí),方程為x=1,此時(shí)符合題意; 當(dāng)直線l的斜率k存在時(shí),依題設(shè)知,直線l的方程為y-1=k(x-1),即kx-y+1-k=0, 若直線l與線段AB有交點(diǎn),則A,B兩點(diǎn)在直線l的異側(cè)(或A,B之一在直線l上), 故(2k+4-k)·(-3k+3-k)0,即(k+4)(4k-3)0,解得k-4或 綜合可知:k-4或 或k不存在. 答案:k-4或 或k不存在,【互動(dòng)探究】若本例(2)中的條件“直線l過(guò)點(diǎn)P(1,1)且與線段AB有交點(diǎn)”改為“直線l過(guò)點(diǎn)P(1,1)且與線段AB沒(méi)有交點(diǎn)”,則k的取值范圍如何? 【解析】由本例(2)可知k的取值范圍為,【規(guī)律方法】 1.已知直線方程求直線傾斜角范圍的一般步驟 (1)求出斜率k的取值范圍(若斜率不存在,傾斜角為90°). (2)利用正切函數(shù)的單調(diào)性,借助圖象或單位圓確定傾斜角的取值范圍.,2.直線的斜率k與傾斜角之間的關(guān)系,【變式訓(xùn)練】 1.直線l經(jīng)過(guò)A(2,1),B(1,-m2)(mR)兩點(diǎn),則直線l的傾斜角的取值范圍是( ) 【解析】選C.直線l的斜率k=tan= 所以,2.直線x·sin+y+2=0的傾斜角的取值范圍為 . 【解析】因?yàn)橹本€x·sin+y+2=0的斜率k=-sin,所以 -1k1,當(dāng)0k1時(shí),直線傾斜角的范圍為 當(dāng)-1k0時(shí),直線傾斜角的范圍為 綜上可知:該直線傾斜角的范圍是 答案:,【加固訓(xùn)練】 1.已知直線l的傾斜角滿足條件sin+cos= 則l的斜率 為( ),【解析】選C.由sin+cos= 得sincos= 因?yàn)?°0,cos0, 所以90°180°. 聯(lián)立方程組 解得 所以tan=,2.若直線l與直線y=1,x=7分別交于點(diǎn)P,Q,且線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo) 為(1,-1),則直線l的斜率為( ) 【解析】選B.依題意,可設(shè)P(x,1),Q(7,y),又因?yàn)榫€段PQ的中 點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1),所以2=x+7,-2=1+y.解得x=-5,y=-3.所以 P(-5,1),Q(7,-3),直線l的斜率為,考點(diǎn)2 兩條直線平行、垂直的關(guān)系 【典例2】(1)若直線l1:ax+2y-6=0與直線l2:x+(a-1)y+a2-1=0平行,則a= . (2)(2014·臺(tái)州模擬)已知直線l1:(k-3)x+(5-k)y+1=0與l2:2(k-3)x-2y+3=0垂直,則k的值是 .,【解題視點(diǎn)】(1)由兩直線的斜率相等,在y軸上的截距不等即可求解. (2)由兩直線垂直,則兩直線的斜率之積等于-1或一條直線的斜率等于0,另一條直線的斜率不存在,求解;本題還可以利用A1A2+B1B2=0來(lái)解決.,【規(guī)范解答】(1)直線l1:ax+2y-6=0的斜率為 在y軸上的截 距為3.又因?yàn)橹本€l1與直線l2平行,所以直線l2:x+(a-1)y+a2- 1=0的斜率存在且等于 在y軸上的截距為-(a+1).由兩直 線平行得, 且3-a-1,解得a=2或a=-1. 答案:2或-1,(2)方法一:當(dāng)5-k=0,即k=5時(shí),l1:2x+1=0;l2:4x-2y+3=0.此時(shí)l1 與l2不垂直. 當(dāng)5-k0時(shí),k1= k2=k-3,因?yàn)閘1l2,所以 ·(k-3)=-1, 解得:k=1或k=4.綜上可知k=1或k=4. 方法二:因?yàn)橹本€l1:(k-3)x+(5-k)y+1=0與直線l2:2(k-3)x- 2y+3=0互相垂直, 所以(k-3)·2(k-3)+(5-k)·(-2)=0, 解上式得:k=1或k=4. 答案:1或4,【易錯(cuò)警示】由垂直求參數(shù)的易錯(cuò)點(diǎn) 兩直線垂直時(shí),兩直線斜率的積等于-1或一條直線的斜率等于0,另一條直線的斜率不存在,解題時(shí)容易忽視第二種情況.,【規(guī)律方法】?jī)芍本€平行、垂直的判定方法 (1)已知兩直線的斜率存在: 兩直線平行兩直線的斜率相等且在坐標(biāo)軸上的截距不等; 兩直線垂直兩直線的斜率之積等于-1. 提醒:當(dāng)直線斜率不確定時(shí),要注意斜率不存在的情況.,(2)已知兩直線的一般方程: 兩直線方程l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0中系數(shù)A1,B1,C1,A2,B2,C2與垂直、平行的關(guān)系: A1A2+B1B2=0l1l2; A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C10l1l2.,【變式訓(xùn)練】 1.直線l1的斜率為2,l1l2,直線l2過(guò)點(diǎn)(-1,1)且與y軸交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為( ) A.(3,0) B.(-3,0) C.(0,-3) D.(0,3) 【解析】選D.因?yàn)閘1l2,且l1的斜率為2,所以l2的斜率為2,又因?yàn)閘2過(guò)點(diǎn)(-1,1),所以l2的方程為:y-1=2(x+1),即y=2x+3,令x=0得y=3,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,3).,2.已知直線l的傾斜角為 直線l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,2),B(a,-1),且 l1與l垂直,直線l2:2x+by+1=0與直線l1平行,則a+b等于( ) A.-4 B.-2 C.0 D.2 【解析】選B.依題意得l的斜率為-1,因?yàn)閘1與l垂直,所以l1的 斜率為1,又因?yàn)橹本€l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,2),B(a,-1),所以kAB= 解得:a=0.由直線l2與直線l1平行,得 b=-2,所 以a+b=-2.,【加固訓(xùn)練】 已知兩直線l1:mx+8y+n=0和l2:2x+my-1=0,試確定m,n的值,使 (1)l1與l2相交于點(diǎn)P(m,-1). (2)l1l2. (3)l1l2,且l1在y軸上的截距為-1.,【解析】(1)由題意得 解得 即m=1,n=7時(shí),l1與l2相交于點(diǎn)P(m,-1). (2)因?yàn)閘1l2,所以 解得 或 即m=4,n-2或m=-4,n2時(shí),l1l2. (3)當(dāng)且僅當(dāng)2m+8m=0,即m=0時(shí),l1l2. 又因?yàn)? =-1,所以n=8. 即m=0,n=8時(shí)l1l2,且l1在y軸上的截距為-1.,考點(diǎn)3 直線的方程 【考情】直線方程常與直線垂直、平行、距離等知識(shí)交匯考查, 考查直線方程的求法以及直線與它們的位置關(guān)系等. 【典例3】(1)(2014·寧波模擬)已知直線l過(guò)點(diǎn)(-1,2)且與直 線 垂直,則直線l的方程是( ) A.3x+2y-1=0 B.3x+2y+7=0 C.2x-3y+5=0 D.2x-3y+8=0,高頻考點(diǎn) 通 關(guān),(2)(2014·舟山模擬)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,2),且與x,y軸的正半軸交于A(a,0),B(0,b)兩點(diǎn),當(dāng)AOB的面積最小(O為坐標(biāo)原點(diǎn))時(shí),求直線l的方程.,【解題視點(diǎn)】(1)由兩直線垂直可設(shè)出所求直線方程,再由直線過(guò)點(diǎn)(-1,2)即可確定直線方程. (2)可設(shè)直線方程的截距式,由過(guò)點(diǎn)P(3,2)求出關(guān)于a,b的等式,利用基本不等式求解;也可以用a表示b,由面積解析式結(jié)合基本不等式求解.,【規(guī)范解答】(1)選A.設(shè)與直線 垂直的直線l的方程 為3x+2y+m=0.把點(diǎn)(-1,2)代入可得-3+4+m=0. 所以m=-1,故所求的直線方程為3x+2y-1=0. (2)方法一:設(shè)直線方程為 點(diǎn)P(3,2)代入得 得ab24. 從而 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立,這時(shí) 則所求直線方程為2x+3y-12=0.,方法二:由題意設(shè)直線方程為 把點(diǎn)P(3,2)代入得 解得 則 當(dāng)且僅當(dāng) 即a=6時(shí)等號(hào)成立,這時(shí)b=4, 從而所求直線方程為 即2x+3y-12=0.,【通關(guān)錦囊】,【特別提醒】求直線方程時(shí),要注意直線的斜率不存在的情況或斜率為零的情況.,【通關(guān)題組】 1.(2014·溫州模擬)過(guò)點(diǎn)(1,0)且與直線x-2y-2=0垂直的直線方程是( ) A.2x+y-2=0 B.x-2y+1=0 C.x-2y-1=0 D.2x+y-1=0 【解析】選A.因?yàn)樗笾本€與直線x-2y-2=0垂直,所以可設(shè)所求直線為2x+y+c=0,又因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)(1,0),所以2×1+0+c=0, c=-2.因此,所求直線為2x+y-2=0.,2.(2014·嘉興模擬)已知A(-1,1),B(3,1),C(1,3),則ABC的邊BC上的高所在直線方程為( ) A.x+y=0 B.x-y+2=0 C.x+y+2=0 D.x-y=0 【解析】選B.因?yàn)锽(3,1),C(1,3), 所以 故BC邊上的高所在直線的斜率k=1,又高線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,所以其直線方程為x-y+2=0.,3.(2014·杭州模擬)在同一直角坐標(biāo)系中,表示直線y=ax與y=x+a正確的是( ),【解析】選C.直線y=ax的斜率與直線y=x+a在y軸上的截距同號(hào),且y=x+a斜率為1,故選C.,4.(2014·臺(tái)州模擬)直線ax+by+c=0同時(shí)要經(jīng)過(guò)第一、二、四象限,則a,b,c應(yīng)滿足( ) A.ab0,bc0,bc0 C.ab0 D.ab0,bc0,【解析】選A.直線方程變形為 如圖,因?yàn)橹本€同時(shí)要經(jīng)過(guò)第一、二、四象限, 所以 所以,5.(2014·長(zhǎng)沙模擬)已知A(3,0),B(0,4),直線AB上一動(dòng)點(diǎn) P(x,y),則xy的最大值是 . 【解析】直線AB的方程為 則 所以 答案:3,【加固訓(xùn)練】 1.(2013·蘭州模擬)已知點(diǎn)A(1,-2),B(m,2),且線段AB的垂直 平分線的方程是x+2y-2=0,則實(shí)數(shù)m的值是( ) A.-2 B.-7 C.3 D.1 【解析】選C.由已知AB的垂直平分線方程為x+2y-2=0,所以 kAB=2,即 得m=3.,2.(2013·銀川模擬)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,4)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都是正值，且截距之和最小，則直線的方程為( ) Ax2y60 B2xy60 Cx2y70 Dx2y70,【解析】選B.設(shè)直線的方程為 則有 所以 當(dāng)且僅當(dāng) 即a=3,b=6時(shí)取“=”. 所以直線方程為2x+y-6=0.,3.(2013·煙臺(tái)模擬)直線Ax+By-1=0在y軸上的截距是-1,而且 它的傾斜角是直線 的傾斜角的2倍,則( ) A. B=1 B. B=-1 C. B=-1 D. B=1 【解析】選B.將直線Ax+By-1=0化成斜截式 因?yàn)?所以B=-1,故排除A,D;設(shè) 的傾斜角為,則 所以=60°.又所求直線的傾斜角是直線 的傾斜角的2倍,故傾斜角為120°,解得 排除C.,4.(2013·貴陽(yáng)模擬)已知射線l:y=4x(x1)和點(diǎn)M(6,4),在射線l上求一點(diǎn)N,使直線MN與l及x軸圍成的三角形面積S最小.,【解析】設(shè)N(x0,4x0)(x01),則直線MN的方程為(4x0-4)(x-6) -(x0-6)(y-4)=0.令y=0得 所以S= 當(dāng)且僅當(dāng) 即x0=2時(shí)取 等號(hào),所以當(dāng)N為(2,8)時(shí),三角形面積S最小.,【易錯(cuò)誤區(qū)17】由直線位置關(guān)系求參數(shù)問(wèn)題的易錯(cuò)點(diǎn) 【典例】(2013·遼寧高考)已知點(diǎn)O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若OAB為直角三角形,則必有( ),【解析】選C.由題意,點(diǎn)O(0,0),A(0,b),B(a,a3)不能共線, 故a0.從而點(diǎn)B(a,a3)不在坐標(biāo)軸上. 當(dāng)點(diǎn)A(0,b)為直角頂點(diǎn)時(shí)，OAAB，此時(shí)b=a3； 當(dāng)點(diǎn)B(a,a3)為直角頂點(diǎn)時(shí)，OBAB， 此時(shí) 由O(0,0)，A(0,b)，B(a,a3)得 =(a,a3), =(a,a3b), =a2+a3(a3b)=0，化簡(jiǎn)得 綜上可知，b=a3或b=a3+ ，故(ba3)(ba3 )=0.,【誤區(qū)警示】 1.處未考慮A,B哪個(gè)為直角頂點(diǎn),只選擇其一,未進(jìn)行分類討論,則會(huì)造成漏解. 2.處對(duì)以上的討論分不清是“或”,還是“且”,易造成誤選.,【規(guī)避策略】 1.對(duì)于三角形為直角三角形的問(wèn)題,若直角不確定,應(yīng)分情況依次討論,最后求其并集即可. 2.在分類討論求解,最后寫(xiě)出所有情況時(shí),一定要依具體問(wèn)題寫(xiě)出最后結(jié)果,注意是并集還是交集.,【類題試解】已知直線l1:3x+2ay-5=0,l2:(3a-1)x-ay-2=0,則 使l1l2的a的值為 . 【解析】當(dāng)直線斜率均不存在,即a=0時(shí),有l(wèi)1:3x-5=0, l2:-x-2=0,符合l1l2; 當(dāng)直線斜率存在時(shí),因?yàn)閘1l2,所以 解得: 綜上可知:使l1l2的a的值為0或 答案:0或,【創(chuàng)新體驗(yàn)】以直線為載體的創(chuàng)新問(wèn)題 【典例】(2013·四川高考)設(shè)P1,P2,Pn為平面內(nèi)的n個(gè)點(diǎn),在平面內(nèi)的所有點(diǎn)中,若點(diǎn)P到點(diǎn)P1,P2,Pn的距離之和最小,則稱點(diǎn)P為點(diǎn)P1,P2,Pn的一個(gè)“中位點(diǎn)”.例如,線段AB上的任意點(diǎn)都是端點(diǎn)A,B的中位點(diǎn).現(xiàn)有下列命題:,若三個(gè)點(diǎn)A,B,C共線,C在線AB上,則C是A,B,C的中位點(diǎn); 直角三角形斜邊的中點(diǎn)是該直角三角形三個(gè)頂點(diǎn)的中位點(diǎn); 若四個(gè)點(diǎn)A,B,C,D共線,則它們的中位點(diǎn)存在且唯一; 梯形對(duì)角線的交點(diǎn)是該梯形四個(gè)頂點(diǎn)的唯一中位點(diǎn). 其中的真命題是 .(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)),【審題視點(diǎn)】,【解析】根據(jù)“中位點(diǎn)”的定義可知:若A,B,C三個(gè)點(diǎn)共線,C在線AB上,則C是A,B,C的中位點(diǎn),正確.直角三角形斜邊的中點(diǎn)是該直角三角形三個(gè)頂點(diǎn)的中位點(diǎn),錯(cuò)誤.應(yīng)該是直角三角形斜邊上的高線的垂足.若四個(gè)點(diǎn)A,B,C,D共線,則它們的中位點(diǎn)存在但是并不唯一,故錯(cuò)誤.梯形對(duì)角線的交點(diǎn)是該梯形四個(gè)頂點(diǎn)的唯一中位點(diǎn),正確. 答案:,【創(chuàng)新點(diǎn)撥】 1.高考考情:以直線為背景的新定義問(wèn)題,是高考命題創(chuàng)新型試題的一個(gè)熱點(diǎn),考查頻次較高. 2.命題形式:常見(jiàn)的有新概念、新法則、新運(yùn)算等.,【備考指導(dǎo)】 1.準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化:解決新定義問(wèn)題時(shí),一定要讀懂新定義的本質(zhì)含義,緊扣題目所給定義轉(zhuǎn)化成題目要求的形式,切忌同已有概念或定義相混淆. 2.方法選取:對(duì)于新定義問(wèn)題,可結(jié)合特例法、篩選法等方法,并注意運(yùn)用與直線有關(guān)知識(shí)求解,要注重培養(yǎng)學(xué)生領(lǐng)悟新信息的能力.,【新題快遞】 在平面直角坐標(biāo)系中,如果x與y都是整數(shù),就稱點(diǎn)(x,y)為整點(diǎn),下列命題中正確的是 (寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)). 存在這樣的直線,既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn); 如果k與b都是無(wú)理數(shù),則直線y=kx+b不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn); 直線l經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn),當(dāng)且僅當(dāng)l經(jīng)過(guò)兩個(gè)不同的整點(diǎn); 直線y=kx+b經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)的充分必要條件是:k與b都是有理數(shù); 存在恰經(jīng)過(guò)一個(gè)整點(diǎn)的直線.,【思路點(diǎn)撥】考查數(shù)形結(jié)合，空間想象能力，特例的取得與一 般性的檢驗(yàn).根據(jù)命題的特點(diǎn)選擇合適的情形. 【解析】例如y= ；如y= 過(guò)整點(diǎn)(1，0)； 正確，可以驗(yàn)證；如y= 不經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)；如 直線y= x，只經(jīng)過(guò)整點(diǎn)(0，0). 答案：,