小學奧數(shù)公式

公式1. 平方差公式 a2 - b2 = ( a + b )( a b ) 2. 和平方公式 ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 3. 差平方公式 ( a - b )2 = a2 - 2ab + b24. 等差數(shù)列公式 Sn = a1+an2n = a1n + n(n-1)2d n = an-a1d + 15. 立方和公式: a3 + b3 = ( a + b )( a2 ab + b2 )6. 立方差公式: a3 b3 = ( a - b )( a2 + ab + b2 )7. 奇數(shù)和公式: 1 + 3 + 5 + + (2n-1) = n28. 偶數(shù)和公式: 2 + 4 + 6 + + 2n = n(n+1)9. 多數(shù)平方和公式: 12 + 22 + 32 + + n2 = nn+1(2n+1)6 10. 多數(shù)立方和公式: 13 + 23 + 33 + + n3 = (1 + 2 + + n)211. 特種公式: 12 + 23 + 34 + + n(n+1) = 12 + 22 + 32 + + n2 + 1 + 2 + 3 + + n =13 n(n+1)(n+2)與因數(shù)相關(guān)的知識 1. 因數(shù)個數(shù)：分解質(zhì)因數(shù)后，所有指數(shù)加1后的乘積。2. 因數(shù)和：設(shè)A2a3b5c 那么因數(shù)和（20+21+2a）（30+31+3b）（50+51+5c）3. 因數(shù)積：設(shè)A2a3b5c 那么因數(shù)積A因數(shù)個數(shù)/2(完全平方數(shù)除外)4. 因數(shù)倒數(shù)和：設(shè)A2a3b5c 那么 1a + 1b + 1c = 因數(shù)和A1757137循環(huán)小數(shù)747： 170.142857 270.2857145478272 370.42857167 470.571428 570.71428551312131013913413313213113 670.85714213： 1130.076923 2130.153846835164329670 3130.230769 5130.384615 4130.307692 6130.4615387131113813813 9130.692307 7130.538461 10130.769230 8130.615384 12130.923076 11130.846153排列組合進階 排列是先選再排，組合是只選不排。Cnm=Cnn-m(n里選m個的數(shù)量和n里(n-m)個不選的數(shù)量是一樣的)Cn0=Cnn1（一個不選和全部都選只有一種情況）Cn0+Cn1+Cn2+Cnn=2n(每個元素有選中和不選中兩種情況)常用方法：1. 優(yōu)限法：找出特殊的情況，先把特殊的情況分組（有可能需要細分，如0，2，4又分為0和2，4），再計算其他情況2. 捆綁法：相鄰問題，直接捆在一起，算一個，再與其他的排，注意捆在一起包內(nèi)的，也要排序，然后兩個數(shù)乘積即可。3. 插空法：求不相鄰問題，那就把他們?nèi)猿鋈?，先排剩下的，排完，再插空，查出多少個空位再選多少個元素去插空即可。4. 大除法：先把所有的元素排列數(shù)量求出來，再找出限定條件的元素單獨排一排，并找到限定條件后占全部限定元素排列的比率，再與所有排列數(shù)量相乘即可。5. 插板法：都變?yōu)椤爸辽僖粋€”的情況，再查空位，插板，用C計算即可。6. 排除法：正面求解困難，則利用反向求解，再用全部減去反向，可得正向解。余數(shù)a b = m .n (0nb)推論1： m為(a b)的整數(shù)部分,而n為(a b)的小數(shù)部分的b倍。推論2： 當a、b同時擴大k倍，則商值m不變，余數(shù)n擴大k倍。推論3： （a, b）= （b, r） 最大公因數(shù)相等，輾轉(zhuǎn)相除求最大公因。余數(shù)性質(zhì)：1. 周期性。2. 余數(shù)的和等于和的余數(shù)。3 余數(shù)的差等于差的余數(shù)。 虞姬每周拿著魚叉去魚河抓魚。4. 余數(shù)的積等于積的余數(shù)。物不知數(shù)（中國剩余定理）1. 減同余：如果一個數(shù)除以不同的數(shù)余數(shù)相同，則只需求出除數(shù)的最小公倍數(shù)，再加上余數(shù)，即為最小的被除數(shù)。 例：A3余1， A5余1，問A最小多少？ 解：3和5的最小公倍數(shù)為15，15+116，A最小值為16.2. 加同補：如果一個數(shù)除以幾個不同的數(shù)，余數(shù)分別與除數(shù)互補，則只需求出除數(shù)的最小公倍數(shù)，再減去補數(shù)，即為最小的被除數(shù)。 例：A7余6 A6余5，A5余4， A4余3，求A最小多少？ 解：余數(shù)與除數(shù)互補，7，6，5，4420，4201419，A最小為419.3. 試數(shù)法：先找第一個式子滿足的數(shù)，再套用第二個式子，求解。 例：A7余5 A6余3，求A最小多少？解：試第一項滿足的數(shù)：5，12，19，26，33，40 分別套用第二式，發(fā)現(xiàn)33滿足條件，所以A最小為33，通式為33+42K。4. 逐級滿足法：用第一個式子設(shè)商值為K，然后求得被除數(shù)，代入二式，求K，即為最小的被除數(shù)。 例：A7余5 A6余3，求A最小多少？ 解：設(shè)A7K余5 A=7K+5代入第二式中，得，（7K+5）6余3，得7K6余4 當K4時，滿足。即A=7K+533，通式為A=33+42K同余定義：對于自然數(shù)A、B，除以相同的數(shù)m，所得的余數(shù)也相同，則稱A、B 對于模m同余。表示為 AB（mod m）讀作：“A同余于B，模m ”推論1：若AB，AmX.n BmY.n 那么，A-B（X-Y）m; m能整除A、B的差, m(A-B).推論：若AB（mod m），BC（mod m）那么，AC（mod m）；推論：若AB（mod m），CD（mod m）那么，（AC）（BD）（mod m）；ACBD（mod m）推論4： 若AB（mod m），那么AnBn（mod m）分數(shù)比較大小手段一：十字相乘法 ba dc baca dacc bc ad 即bc代表左邊，ad代表右邊。手段二：作差 AB0 AB AB0 AB手段三：作商 AB1 AB AB1 AB手段四：取倒數(shù) 1A1B AB 1A1B AB 手段五：化小數(shù)手段六：基準法 真分數(shù)：當分子與分母差一定時，分母越大，值越大 假分數(shù)：當分子與分母差一定時，分母越大，值越小在1013，1417之間比較大小，因分子與分母差都為3，且是真分數(shù)，則14171013在1310，1714之間比較大小，因分子與分母差都為3，且是假分數(shù)，則13101714手段七：通分差法（將分子分母變?yōu)椴钜欢?，再用手段六判斷大?。┰?6，1419之間比較大小，先將56變?yōu)?530，分子與分母差都為5，真分數(shù)，則561419手段八：糖水法 （糖水的甜度糖糖+水） 模型一：bab+ma+m (在糖水中加入糖，糖水的甜度增加，也可以理解為通分差) 模型二：bab+da+cdc (糖水中加入另一糖水，新的糖水的甜度在二者之間) 模型三：ba=mbmamb+ndma+ncndnc=dc bamb+ndma+ncdc有趣的巧數(shù)1. 33333311108889 n個3 n個3 n1個1 n1個8 推論：6666666644435556，9999999999980001，3333666622217778 3333999933326667，66669999666533342. 3333334111222 n個3 n1個3 n個1 n個2 推論：6666333422224444，99993334333366663. 111337 100017337 2007322239992737 10101371337 2008232511111127141 199535719 201551331 11111137111337 199823337 201625374. 頭同尾和10：兩個兩位數(shù)相乘，如首位相同，末位加和為10，則得數(shù)四位數(shù)中前兩位為首位與首位加1的乘數(shù)，末兩位為尾數(shù)相乘的乘數(shù)。 如：53573021，84867224，393112095. 完全平方數(shù)口算：找到接近5與0的數(shù)再利用平方差公式計算 如：782802-（802782）6400-（80+78）26400-3166084 762752+（762752）5625+（76+75）5625+15157766. 1234567898+99876543217. M999的數(shù)字和為9K.（其中M999） K個98. （13 + 17 + 115）（17 + 115 + 123）（13 + 17 + 115 + 123）（17 + 115）13123 兩項乘積兩項乘積問題：把最長的算式看作小龍，則原式為： （有頭無尾小龍）（無頭有尾小龍）小龍（無頭無尾小龍） 則結(jié)果為頭尾相乘。9. 12 + 23 + n(n+1) 13nn+1(n+2) 1a1 + 2a2 + nan 16n(n+1)(2an+a1),a1,a2an為等差數(shù)列分數(shù)的分解設(shè) 1A 1A+m + 1A+n ，則得出：1A 1A+m + 1A+n 2A+m+nA+m（A+n)所以：（A+m）(A+n)A(2A+m+n)，即A2+(m+n)A+mn2A2+(m+n)A可得：A2mn解題思路：只需將分母平方后分解質(zhì)因數(shù)，找到一對質(zhì)因數(shù)后，分別加上原分母作為等式右邊的兩個分母。例：將112拆分成若干個分數(shù)單位的和。解：12的平方144，而1441144272436818所以112 113 + 1156 114 + 184 116 + 148 120 + 130 要拆分成三個式子相加如何做？先拆成兩個，再將其中一個拆成兩個即可。最值問題（1）兩數(shù)和一定，則兩數(shù)差越小，乘積越大，兩數(shù)差越大，乘積越小。（2）兩數(shù)積一定，則兩數(shù)差越小，加和越小，兩數(shù)差越大，加和越大。（3）多3少2不拆1原則。例：14拆成幾個自然數(shù)的積，求積最大值？+六大幾何模型1. 等積模型：平行平移模型和等高模型2. 一半模型：3. 鳥頭模型（共角模型） S4S3S2baS3S2S4DAAD ADAEABACSADESABCOE CBBC4. 蝴蝶模型（1）風箏模型（任意四邊形） S1S3S2S4 （對頂面積乘積相等） AO:OCS1：S4S2：S3（S1+S2）：（S4+S3)（2）梯形中的蝴蝶模型（梯形）S1S1 S1S3 S1S3S2S4 （對頂面積乘積相等） S1：S2：S3：S4ab:b2:ab:a2 梯形S對應(yīng)的份數(shù)為(a+b)25. 燕尾模型AAfedcba abcdef1 acebdf 左面積右面積左線段右線段（每一底邊對應(yīng)三對面積與線段的比） 串性：大面積小面積大面積包含的線段小面積包含的線段6. 金字塔、沙漏模型（比例模型）：形狀相同，大小不同的兩個三角形。 如果DE平行BC，那么 （1）ADABAEACDEBCAFAGBGFEEDDCCB （2）兩個三角形面積比對應(yīng)邊長的平方比7. 勾股定理：在直角三角形中，兩直角邊長為a,b,斜邊長為c,則有c2a2+b2acabbbabaabbbba 內(nèi)弦圖： 外弦圖：ab-aaS1S2S3acbb-aC2a2b2aba 常見勾股整數(shù)： 常見模型： 3， 4， 5； 5，12，13；S3S2S1 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41； S1+S2S38. 畢克定理：計算點陣中頂點在格點上的多邊形面積 S（n + l2 -1）小四邊形面積 其中：n是多邊形內(nèi)部的點數(shù) l是多邊形邊界上點數(shù)9. 海倫公式：S2p(p-a)(p-b)(p-c)，a,b,c為三角形三邊長，pa+b+c2（半周長）循環(huán)小數(shù)1. 有限小數(shù)：分母質(zhì)因子只有2或52. 純循環(huán)小數(shù)：分母質(zhì)因子無2也無53. 混循環(huán)小數(shù)：分母質(zhì)因子即含其他也含2或5.小數(shù)化分數(shù)：1. 純循環(huán)小數(shù)化分數(shù)： 0.aa9; 0.abab99; 0.abcabc9992. 混循環(huán)小數(shù)化分數(shù)： 0.abab-a90; 0.abcabc-a990; 0.abcdabcd-ab9900正方體展開圖（共11種）A1A1A1A1A2AA2AA2A2AABBBB 規(guī)律：（1）對面規(guī)律，兩個相對的面展開后是日字或之字兩個距離最遠的面。 （2）對角點規(guī)律：在展開圖中出現(xiàn)日字，通常用來尋找正方體復合的重合點。 如上圖中，A點的對角點為B點，A1，A2點與A點重合。質(zhì)數(shù)1. 0和1即不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。2. 除了2其余的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)，除了2和5，其余的質(zhì)數(shù)個位數(shù)字只有1，3，7，9.3. 最小的三位質(zhì)數(shù)是101，最小的四位質(zhì)數(shù)是1009.質(zhì)數(shù)的判定方法：找到一個大于且接近該數(shù)的完全平方數(shù)K2，再列出所有不大于K的質(zhì)數(shù)，判斷這些質(zhì)數(shù)能否被該數(shù)整除，如不能，則該數(shù)就是質(zhì)數(shù)。例149是否是質(zhì)數(shù)：132是大于149的，最接近149的數(shù)，所以用149除以2，3，5，7，9，11，13，都不能整除，那么149是質(zhì)數(shù)。兩數(shù)互質(zhì)的情況： 1. 兩個連續(xù)自然數(shù)必互質(zhì)。 2. 兩個連續(xù)奇數(shù)必互質(zhì)。 3. 一個大質(zhì)數(shù)與一個小合數(shù)必互質(zhì)。 4. 1與任何非零自然數(shù)互質(zhì)。因數(shù) 公因數(shù) 公倍數(shù)最大公因數(shù)性質(zhì)： 1. 幾個數(shù)都除以它們的最大公因數(shù)，所得的幾個商是互質(zhì)數(shù)。 2. 幾個數(shù)都乘以一個自然數(shù)N，所得積的最大公因數(shù)等于這幾個數(shù)的最大公因數(shù)乘以N最小公倍數(shù)性質(zhì)： 1. 兩個互質(zhì)的數(shù)的最小公倍數(shù)就是它們的乘積。 2. 兩個數(shù)有倍數(shù)關(guān)系，則它們的最小公倍數(shù)就是較大的數(shù)，最大公因數(shù)為較小的數(shù)。分數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)： 最大公因數(shù)：先把帶分數(shù)化為假分數(shù)，其他分數(shù)不變，求出各個分數(shù)的分母的最小公倍數(shù)A及分子的最大公因數(shù)B，AB 即為所求。簡記為“子同母反”（分子求最大公因，分母求最小公倍）最小公倍數(shù)：先把帶分數(shù)化為假分數(shù)，其他分數(shù)不變，求出各個分數(shù)的分子的最小公倍數(shù)A及分母的最大公因數(shù)B，AB 即為所求。簡記為“子同母反”（分子求最小公倍，分母求最大公因）對于任意連接3個自然數(shù)，如果它們的奇偶性為：奇偶奇：那么三個數(shù)的乘積為最小公倍數(shù)（三數(shù)互質(zhì)）偶奇偶：三個數(shù)乘積的一半為最小公倍數(shù)。奇數(shù) 偶數(shù)推論：對于任意2個整數(shù)A，B ，有A+B與A-B同奇或同偶。完全平方數(shù)性質(zhì)：1. 尾數(shù)為0，1，4，5，6，9.2. 被4除，余數(shù)為1或0.3. 被3除，余數(shù)為1或0.4. 偶指奇因：分解質(zhì)因數(shù)后，指數(shù)都為偶數(shù)；完全平方數(shù)的因數(shù)個數(shù)為奇數(shù)。